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4.3


必修二

第四章 圆与方程
4.3

空间直角坐标系

一、引入
在初中,我们学过数轴,那么什么是 数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的 点怎么表示?
A x -1

0

1

2

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示。

一、引入
在初中,我们学过平面直角坐标系,那 么如何建立平面直角坐标系?决定的因素有 哪些?平面直角坐标系上的点怎么表示?
y

N

P

平面直角坐标系是由两条 原点重合、互相垂直的数轴 组成的。
x

0

M

平面直角坐标系上的点用 它对应的横纵坐标,即一 对有序实数对(x,y)表示。

在空间,我们是否可以建立一个坐标系, 使空间中的任意一点都可用对应的有序实数 组表示出来呢?

1. 空间直角坐标系
?

?
? ? ?

? ?

1.建立了一个空间直角坐标系 Oxyz.其中 (1)点O叫做坐标原点; z (2)x轴、y轴、z轴叫做坐标轴; D` (3)以线段OA的长为单位长度. 2.通过每两个坐标轴的平面 A` 叫做坐标平面,分别称为: xOy平面、yOz平面、zOx平面. O 称这个坐标系为右手直角坐标 系.如无特别说明,本书建立 A 的坐标系都是右手直角坐标系. (图1) x

C` B`

C B

y

2、空间直角坐标系的划分


z

yz 面


zx 面


xy 面
Ⅶ Ⅷ

?

O

y




x


空间直角坐标系共有八个卦限

3.建立了空间直角坐标系以后, 空间中任意一点M如何用坐标表示呢?
?

设B`为空间的一个定点,过B`分别作垂直于x轴、 y轴、z轴的平面,依次交x轴、y轴、z轴于点

A,C,D`.
z

? 设点A,C,D`在x轴、 y轴、z轴上的坐标 分别为x、y、z, ? 那么点B`就对应惟 一确定的有序实数 组(x,y,z).
x

Z A`

D`

C`

B`
O C Y

X

y

A

(图2)

B

对于空间任意一点P,要求它的坐标

方法一:过P点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴,平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3,在其 相应轴上的坐标依次为x,y,z,那么(x,y,z)就叫做点P的 空间直角坐标,简称为坐标,记作P(x,y,z),三个数值 z 叫做 P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。
z

?
1

P3

? P
1

x? 1 x P1

? o

y ?P 2

y

方法二:过P点作xOy面的垂线,垂足为 P0点。
点P 0 在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、 纵坐标。再过P点作z轴的垂线,垂足 P1在z轴上的坐 标z就是P点的竖坐标。 z
z P1 P

1

?
y
1

P点坐标为 (x,y,z)
N

x

x M

1

? o

y

?P

0

4、特殊位置的点的坐标
z

一、坐标平面内的点

?
F

C

?
x

1
O

?
1

E

xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0

?

?
D

B
y

xoz平面上的点纵坐标为0

? A1

?

二、坐标轴上的点
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 y轴上的点横坐标和竖坐标都为0 z轴上的点横坐标和纵坐标都为0

例1:如图
在长方体OABC - D ⅱ A Bⅱ C 中, OA = 3, OC = 4, OD ⅱ = 2, 写出D ,C,Aⅱ ,B 四点的坐标.
z D' A' O B' C'

D’ (0,0,2) C (0,4,0) A’ (3,0,2)
B’ (3,4,2)

C y
x A B

例2:结晶体的基本单位称为晶胞,如
图是食盐晶胞示意图(可看成是八个 棱长为1/2的小正方体堆积成的正方 体),其中红色点代表钠原子,黑点 代表氯原子,如图:建立空间直角坐 标系 O ? xyz 后, z 试写出全部钠原子 所在位置的坐标。
y x

1、在空间直角坐标系中描出下列

各点,并说明这些点的位置
A(0,1,1) B(0,0,2) C(0,2,0) D(1,0,3) E(2,2,0) F(1,0,0)
z

D

?

?B
1

?A
?
1

O

C

F

?1

?

y

?E

x

练习:在空间直角坐标系中作出下列各点
(1)、A(1,4,1); (-1,-3,3) C ?
z

(2)、B(2,-2,-1); (3)、C(-1,-3,3);

(-1,-3,0) C1 ? (2,-2,0) B1

1
O

?

? B?
x

1

1

? A(1,4,1) y ?
A1(1,4,0)

(2,-2,-1)

练习:
点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点,写出 满足下列条件的点的坐标. (1)与点M关于x轴对称的点 (2)与点M关于y轴对称的点 (x,-y,-z) (-x,y,-z)

(3)与点M关于z轴对称的点
(4)与点M关于原点对称的点

(-x,-y,z)
(-x,-y,-z)

(5)与点M关于xOy平面对称的点 (x,y,-z)
(6)与点M关于xOz平面对称的点 (x,-y,z)

(7)与点M关于yOz平面对称的点 (-x,y,z)

小结

4.3.2空间两点间的距离公式
学习目标:会简单应用空间两点间的 距离公式.

复习引入
1. 在平面直角坐标系中两点间的距 离公式是什么?

| P1P2 |=

(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 )

2

2

2. 在空间直角坐标系中,若已知两 个点的坐标,则这两点之间的距离是 惟一确定的,我们希望有一个求两点 y 间距离的计算公式,对此,我们从理 y 2 论上进行探究.

P2(x2, y2)

y1

O

x1

P1(x1,y 1)

Q(x2,y1 ) x2

x

探究(一):与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标 系中,坐标轴上的点A (x,0,0), B(0 ,y,0), C( 0 ,0,z),与坐标原 点O的距离分别是什 么?

z
B O A C

y

x

|OA|=|x|; |OB|=|y|; |OC|=|z|.

思考:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线, 则点P1、P2的距离如何计算?
z
P1 O x P2

A
y

M

N

| P1P2 |=

(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 ) + (z 1 - z 2 )

2

2

2

这就是空间两点间的距离公式.

思考2:在空间直角坐标系中,坐标平面上的点 A(x ,y,0),B(0,y,z),C(x,0,z),与坐标原 点O的距离分别是什么?

| OA |=
| OB |=

x +y ,
y +z ,
2 2

2

2

z C
O

B

| OC |=

x +z .

2

2

y

x

A

思考3: 在空间直角坐标系中,设点 P(x,y,z)在xOy 平面上的射影为M,则点M的坐标是什么?|PM|, |OM|的值分别是什么?

M(x,y,0)

| OM |=
z O x

x +y
P

2

2

|PM|=|z|

y M

思考4:基于上述分析,你能得到点 P(x,y,z)与坐标 原点O的距离公式吗?
z
O P y

x

M

|PM|=|z|

| OM |=
2

x +y
2 2

2

2

| OP |=

x +y +z

?

思考5:在空间直角坐标系中,方程 x2+y2+z2=r2(r>0为常数)表示什 么图形是什么?
z

P
O y

x

探究(二):空间两点间的距离公式
在空间中,设点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的射 影分别为M、N.

思考1:点M、N之间的距离如何?

| MN |=

(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 )

2

2

z O P1 N

P2

y

x

M

思考2:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线, 则点P1、P2的距离如何计算?
z
P1 O x P2

A
y

M

N

思考:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线, 则点P1、P2的距离如何计算?
z
P1 O x P2

A
y

M

N

| P1P2 |=

(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 ) + (z 1 - z 2 )

2

2

2

这就是空间两点间的距离公式.

两点间的距离公式 例 1:已知两点 P(1,0,1)与 Q(4,3,-1). (1)求 P、Q 之间的距离;

(2)求 z 轴上的一点 M,使|MP|=|MQ|.

解:(1)|PQ|= ?1-4?2+?0-3?2+?1+1?2= 22. (2)设 M 点的坐标为(0,0,z), 则|MP|= 12+02+?z-1?2, |MQ|= ?4-0?2+?3-0?2+?-1-z?2, 又|MP|=|MQ|, 故 1+(z-1)2=16+9+(z+1)2,解得 z=-6, ∴M 点的坐标为(0,0,-6).

1-1.求到两定点 A(2,3,0),B(5,1,0)的距离相等的点的坐标 (x,y,z)满足的条件.

解:设 P(x,y,z)为满足条件的任一点,
则由题意得

|PA|= ?x-2?2+?y-3?2+?z-0?2, |PB|= ?x-5?2+?y-1?2+?z-0?2.
∵|PA |=|PB|, ∴6x-4y-13=0 即为所求点所满足的条件.

空间两点间距离公式的应用 例 2:在 xOy 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M,使 M

到点 N(6,5,1)的距离最小. 解:由已知,可设 M(x,1-x,0),

则|MN|= ?x-6?2+?1-x-5?2+?0-1?2 = 2?x-1?2+51. ∴|MN|min= 51.

如图,在正方体ABCDA`B`C`D`中,点P、Q分别在棱长为1的正方 体的对角线BD`和棱CC`上运动,求P、Q两 点间的距离的最小值,并指出此时P、Q两点 的位置. z
D`
A`
| PQ |= = (1 - z 1 ) + z + (z 1 - z 2 ) 12 1 ) + 2 2
2 2 1 2

P139.B3例4

C`
B` Q(0,1,z2)

O

P(x,y,z1)
C

(z 1 - z 2 )2 + 2(z 1 -

A
x

B H(x,x,0)

y

空间直角坐标系的应用 例 3: 如图 1,正方体边长为 1,以正方体的三条棱所在的 直线为坐标轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,点 P 在正方体的对

角线 AB 上,点 Q 在正方体的棱 CD 上.

图1

(1) 当点 P 为对角线 AB 中点,点 Q 在棱 CD 上运动时,求 |PQ|的最小值; (2)当点 Q 为棱 CD 的中点,点 P 在对角线 AB 上运动时, 求|PQ|的最小值.

解:(1)依题意 则|PQ|= =

?1 1 1? P?2,2,2?,设点 ? ?

Q(0,1,z),

?1?2 ?1 ?2 ?1 ?2 ? ? +? -1? +? -z? ?2? ?2 ? ?2 ?

? 1?2 1 ?z- ? + . 2? 2 ?

1 2 ∴当 z=2时,|PQ|min= 2 , 1 此时 Q(0,1,2),Q 恰为 CD 的中点.

1 (2)依题意 Q(0,1,2),设 P(x,x,z), 则|PQ|= = x +?x-1?
2 2

? 1?2 ? + z-2? ? ?

? 1?2 ? 1?2 1 ? 2 x-2? +?z-2? +2. ? ? ? ?

1 2 ∴当 x=z=2时,|PQ|min= 2 , 此时 P
?1 1 1? 点坐标为?2,2,2?,P ? ?

恰为 AB 的中点.

3-1.正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 和平面 ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移 动,若 CM=BN=a(0<a<

2).

(1)求 MN 的长;
(2)a 为何值时,MN 的长最小? 解:(1)∵平面 ABCD⊥平面 ABEF, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,AB⊥BE, ∴BE⊥平面 ABCD,则 AB、BE、BC 两两垂直.

以 B 为坐标原点,以 BA、BE、BC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.



? M? ?

? 2 ? 2 2 ? 2 ?,N? a, a,0?, 2 a,0,1- 2 a? 2 ? 2 ? ? ? ? ?2 2 2 ?2 ? 2 ?2 ? 2 ? +? ? +? ? 2 a- 2 a? ?0- 2 a? ?1- 2 a-0? ? ?a- ?

|MN|=
2

= a - 2a+ 1=

2?2 1 ? + . 2? 2

2 2 ? ? (2)当 a= 2 时,?MN?min= 2 ,此时 M、N 恰好为 AC、BF 的中点.

作业
? P138.A1,2.
? P136.练习

1,2,3


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