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北京市西城区2014届高三数学上学期期末考试试题 理(含解析)北师大版


北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末试卷 高三数学(理科)
第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | | x | ≤1} ,则集合 A ? B ? ( (A) (0,1) (B) (0,1] (C) (1, 2) (D) [1, 2) )

2.已知复数 z 满足 z = (A) ?1

2i ,那么 z 的虚部为( 1? i
(C) 1

) (D) i

(B) ?i

3.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 a ? 3 , b ? 2 , cos( A ? B) ? (B) 15 (D) 17

1 ,则 c ? ( 3



(A) 4

(C) 3

4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(



(A)

3 4

(B)

4 5

(C)

5 6

(D) 1

AB 的中点为 M,则过点 5.已知圆 C : ( x + 1) + ( y - 1) = 1 与 x 轴切于 A 点,与 y 轴切于 B 点,设劣弧 ?
2 2

M 的圆 C 的切线方程是( (A) y = x + 2 -

) (B) y = x + 1-

2 2

1 2
2

(C) y = x - 2 +

(D) y = x + 1-

6.若曲线 ax ? by ? 1 为焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a , b 满足(
2 2



(A) a2 ? b2

(B)

1 1 ? a b

(C) 0 ? a ? b

(D) 0 ? b ? a

7.. 定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 且当 x ? (0,1] 时,f ( x) ? x 2 ? x , 则当 x ?[?2, ?1] 时,f ( x) 的最小值为( (A) ?
1 16

) (B) ?
1 8

(C) ?

1 4

(D) 0

8.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 3 ,动点 P 在对角线 BD1 上,过点 P 作垂直于 BD1 的平面

? ,记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为 y,设 BP ? x,则当 x ? [1,5] 时,函数 y ? f ( x) 的值
域为( ) (B) [2 6,18] (C) [3 6,18] (D) [3 6, 6 6]

(A) [2 6, 6 6]

【答案】D 【解析】 试题分析:棱长为 2 3 ,故体对角线 BD1 = 6 ,根据对称性,只需研究 x ? [1,3] ,函数 y ? f ( x) 的值域, 连接 AB1 , B1C , AC ,则 BD1 ? 面 AB1C ,此时 BP ? 2 ,当 BP ? 1 时, 截面周长为截面 AB1C 周长的一半, 即 3 6 ,当 BP ? 3 时,即当截面过体对角线 BD1 中点时,此时截面为正六边形,其顶点为个棱的中点, 如图所示,截面周长为 6 6 .,所以函数 y ? f ( x) 的值域为 [3 6, 6 6] .

考点:1、直线和平面垂直的判定;2、截面周长. 第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上) 9.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,3) , B(?2, k ) ,若向量 OA ? AB ,则实数 k ? _____. 【答案】4 【解析】

??? ?

??? ?

OA=( 1,3), AB ? (?3,k-3), AA B ? 试题分析: 因为 OA ? AB , 故O
考点:1、向量的坐标运算;2、向量垂直. 10.若等差数列 {an } 满足 a1 ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

?0, 即 -3+3(k-3)=0 , 解得 k ? 4 .

1 , a4 ? a6 ? 5 ,则公差 d ? ______; a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 ? ______. 2

11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示, 那么此三棱柱正(主)视图的面积为______.

12.甲、乙两名大学生从 4 个公司中各选 2 个作为实习单位,则两人所选的实习单位中恰有 1 个相同的选 法种数是______. (用数字作答)

13.如图, B, C 为圆 O 上的两个点, P 为 CB 延长线上一点, PA 为圆 O 的切线, A 为切点. 若 PA ? 2 ,

BC ? 3 ,则 PB ? ______;

AC ? ______. AB

? x ? y≥0, ?u ? x ? y , ? 14.在平面直角坐标系 xOy 中,记不等式组 ? x ? y≤0, 所表示的平面区域为 D .在映射 T : ? 的 ?v ? x ? y ? x 2 ? y 2 ≤2 ?
作用下,区域 D 内的点 ( x, y ) 对应的象为点 (u, v) . (1)在映射 T 的作用下,点 (2, 0) 的原象是 ;

(2)由点 (u, v) 所形成的平面区域的面积为______.

考点:1、映射的概念;2、不等式组表示的平面区域. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ? 3 cos ? x , g ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) ,且 g ( x) 的最小正周期为 π . (Ⅰ)若 f (? ) ?

π 3

6 , ? ? [? π, π] ,求 ? 的值; 2

(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间.

16.(本小题满分 13 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊,无 法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以 a 表示. (Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求 a 的值; (Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率; (Ⅲ)当 a ? 2 时,分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学,记这两名同学数学成绩之差的绝对值 为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

甲组 8 2 2 8 9

乙组 0 1 a

所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

2 2 1 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 9 3 9 9 3

考点:1、平均数;2、古典概型;3、离散型随机变量的分布列和期望. 17.(本小题满分 14 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 ? ,四边形 BDEF 是矩形,

平面 BDEF⊥平面 ABCD,BF=3, H 是 CF 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDEF; (Ⅱ)求直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 H ? BD ? C 的大小.

又因为 AC ? 平面 ABCD ,所以 ED ? AC . 因为 ED ? BD ? D ,所以 AC ? 平面 BDEF .

(Ⅲ)解:由(Ⅱ) ,得 BH ? (? ,

????

??? ? 1 3 3 , ) , DB ? (2, 0, 0) .设平面 BDH 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) , 2 2 2

???? ? n ? BH ? 0, ? 所以 ? ? ??? n ? DB ? 0, ? ?

即?

? ? ? x1 ? 3 y1 ? 3 z1 ? 0, ? ? 2 x1 ? 0,

? 令 z1 ? 1 ,得 n ? (0, ? 3,1) . 由 ED ? 平面 ABCD ,得平面 BCD 的法向量为 ??? ED ? (0, 0, ?3) ,

??? ? ??? ? n ? ED 0 ? 0 ? (? 3) ? 0 ? 1? (?3) 1 ? ? . 由图可知二面角 H ? BD ? C 为锐角, ??? ? ? 则 cos ? n, ED ?? 2?3 2 n ED
所以二面角 H ? BD ? C 的大小为 60? .

考点:1、直线和平面垂直的判定定理;2、直线和平面所成的角;3、二面角. 18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,试确定函数 g ( x) ? f ( x ? a) ? x 的零点个数,并说明理由.
2

【答案】 (Ⅰ) f ( x) 的单调减区间为 (??, ? a ? 1) ;单调增区间为 (?a ? 1, ? ?) ; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求导得, f ?( x) ? ( x ? a ? 1)e ,因为 e ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 的解集为 (?a ? 1, ? ?) ,
x

x

'

即单调递增区间; f ( x) ? 0 的解集为 (??, ? a ? 1) ,即单调递减区间; (Ⅱ)函数 g ( x) ? xe
'

x ?a

? x 2 ,令

g ( x) ? 0 ,得 x(e x ?a ? x) ? 0 ,显然 x ? 0 是一个零点,记 F ( x) ? e x ?a ? x ,求导得 F ?( x) ? e x ?a ? 1 ,易
知 故 F ( x) 的最小值 F ( x)min ? F (a) ? 1 ? a , 又 a ? 1, x ? (??, a) 时 F ( x) 递减;x ? (a, ? ?) 时 F ( x) 递增, 故 1 ? a ? 0 ,即 F ( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 的零点个数 1 个. 试题解析: (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? ( x ? a)e , x ? R ,所以 f ?( x) ? ( x ? a ? 1)e .
x

x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?a ?1.当 x 变化时, f ( x) 和 f ?( x) 的变化情况如下:

x
f ?( x)

(??, ? a ? 1)

?a ? 1

(?a ? 1, ? ?)

?


0

?


f ( x)

故 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? a ? 1) ;单调增区间为 (?a ? 1, ? ?) .

19.(本小题满分 14 分) 已知 A, B 是抛物线 W : y ? x 上的两个点,点 A 的坐标为 (1,1) ,直线 AB 的斜率为 k, O 为坐标原
2

点. (Ⅰ)若抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方,求 k 的取值范围; (Ⅱ) 设 C 为 W 上一点, 且 AB ? AC , 过 B, C 两点分别作 W 的切线, 记两切线的交点为 D , 求 OD 的最小值. 【答案】 (Ⅰ) k ? 【解析】

2 5 3 ; (Ⅱ) . 5 4

考点:1、直线的方程;2、直线和抛物线的位置关系;3、导数的几何意义. 20.(本小题满分 13 分)

( n?N ) 设无穷等比数列 {an } 的公比为 q, 且 an ? 0

*

[an ] 表示不超过实数 an 的最大整数 , (如 [2.5] ? 2 ) ,

记 bn ? [an ] ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn .

(Ⅰ)若 a1 = 4, q =

1 ,求 Tn ; 2

(Ⅱ)若对于任意不超过 2014 的正整数 n,都有 Tn = 2n + 1,证明: ( ) 2012 ? q ? 1 . (Ⅲ)证明: S n = Tn ( n = 1, 2,3,L )的充分必要条件为 a1 挝N , q
*

2 3

1

N* .

? 4, ? 【答案】 (Ⅰ) Tn ? ?6, ?7, ?

n ? 1,
n ? 2, ; (Ⅱ)答案详见解析; (Ⅲ)答案详见解析.

n ≥ 3.

(Ⅱ)证明:因为 Tn ? 2n ? 1(n≤2014) ,所以 b1 = T1 = 3 , bn ? Tn ? Tn ?1 ? 2(2≤n≤2014) . 因为 bn = [an ] , 所以 a1 ? [3, 4) , an ? [2,3)(2≤n≤2014) . 由 q?

a2 ,得 q ? 1 . a1

因为 a2014 ? a2 q 所以 q
2012

2012

? [2,3) ,



2 2 ? , a2 3

1 2 2012 2 2012 ? q ? 1. 所以 ?q ? 1 ,即 ( ) 3 3

考点:1、等比数列的通项公式;2、数列前 n 项和;3、充要条件.


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