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圆锥曲线导数综合


圆锥曲线与导数综合训练试题
一.选择题:
0) (0 2) ,椭圆的方程是( 1.椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,有两顶点的坐标是 (4,,,


2

(A)

x y x y ? ?1或 ? ?1 4 16 16 4
2 2

2

2

2

2

(B)

x y ? ?1 4 16
2

2

2

(C)

x y ? ?1 16 4


2

2

(D)

x y2 ? ?1 16 20

2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则该抛物线的方程为( (A) y ? ?8x (B) y ? 8 x (C) y ? ?4 x

(D) y 2 ? 4 x )

3.若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0
3

B. x ? 4 y ? 5 ? 0

C. 4 x ? y ? 3 ? 0 ) C

D. x ? 4 y ? 3 ? 0

4.函数 f ?x ? ? 3x ? x 的单调减区间为( A

?? ?,?1?
3 2

B

?1,???
/

?? ?,?1?和?1,???

D

?? 1,1?

5.设 f ( x) ? ax ? 3x ? 2, 若 f (?1) ? 4, 则 a 的值等于 ( ) A.

19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3


6.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 (3,0), 则该双曲线的离心率为( a2 5
B.

A.

3 14 14

3 2 4

C.

3 2

D.

4 3

7.过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a > b > 0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, F2 为右焦点,若 ?F1PF2 ? 600 , 则椭 a 2 b2
) B.
B2
y P

圆的离心率为( A.

3 2

2 2

C.

1 2

D.

1 3
/

A1

F1

O

F2

A2 x

8.对于 R 上可导的任意函数 f ( x), 若满足 ( x ? 1) f
2

( x) ≥ 0, 则必有(

)

A. f (0) ? f (2) < 2 f (1) B. f (0) ? f (2) ≤ 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ≥ 2 f (1) D. f (0) ? f (2) > 2 f (1) 9.设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x ? ln 2, g ( x) ? ln x 的图象分别交于点 M , N , 则当 | MN | min 时, t 的值为( A. 1 B. )

B1

1 2

C.

5 2

D.

2 2

10.如图,椭圆的中心在坐标原点 O ,顶点分别是 A1 , A2 , B1 , B2 ,焦点为 F1 , F2 ,延长 B1F2 与 A2 B2 交于 P 点, 若 ?B1PA2 为钝角,则此椭圆的离心率的范围为( ) A. (0,

5+1 ) 4

B. (

5 ?1 ,1) 4

C. (0,

5 ?1 ) 2

D. (

5 ?1 ,1) 2

二.填空题: 11.如图是函数 f ( x ) 及 f ( x ) 在点 P 处切线的图象,则 f (2) ? f ?(2) ? y2 12.已知双曲线 x2- 2=1(b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,则 b 的值是 b . .

13.如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 60° 的直线 l,交抛物线于 A、B 两点,且|FA|=3,则抛 物线的方程是________. x2 y2 14.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右准线与 x 轴的交点为 M,以椭圆的长轴为直径作圆 O,过点 M 引圆 O 的 a b 切线,切点为 N,若△OMN 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为
3 2
//



15. 对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0), 定义: 设 f ( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数 y ? f / ( x) 的导数, 若方程 f // ( x) ? 0 有实数解 x 0 , 则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”. 有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称中 心.”请你将这一发现为条件,求 (1)函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x 对称中心为________. (2)若函数 g ( x) ?

1 2 3 2010 1 3 1 2 5 1 ) ? g( ) ? g( ) ? ? ? g( ) ? ________. x ? x ? 3x ? ? , 则 g( 1 2011 2011 2011 2011 3 2 12 x? 2
3 2

三.解答题 16.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?

2 与 x ? 1 时都取得极值. 3

(1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间.

3 2 17.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 1 处的切线为 l : 3x ? y ? 1 ? 0 ,若 x ?

2 时, 3

y ? f ( x) 有极值.

(1)求 a, b, c 的值; (2)求 y ? f ( x) 在 ? ?3,1? 上的最大值和最小值.

18.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 有公共的焦点, 和双曲线 2m 2 3n 2 3m 2 5n 2
3 ,求双曲线方程 4

(1)求双曲线的渐近线方程; (2)直线 l 过焦点且垂直于 x 轴,若直线 l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为

19.已知直线 l : y ? 3 x ? 2 交抛物线 y ? 2 x 2 于 A、 B 两点, O 为坐标原点. (Ⅰ)求 ?AOB 的面积; (Ⅱ)设抛物线在点 A、 B 处的切线交于点 M , 求点 M 的坐标.

20.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2a2 ln x , g ( x) ? ax ( x ? 0) . 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f ( x) 的图象恒在 g ( x) 的图象的上方,求实数 a 的取值范围.

x2 y 2 6 21.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 e ? ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . a b 3 (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; 3 (Ⅱ )设直线 l 与椭圆交于 A 、B 两点,原点 O 到 l 的距离为 , 求 ?AOB 面积的最大值. 2

1.C; 2.B 15.解:(1)f′(x)=3x2-6x+3,f″(x)=6x-6,令 6x-6=0 得 x=1,f(1)=1,∴f(x)的对称中心为(1,1). 1? 1 1 5 1 1 (2)令 h(x)= x3- x2+3x- ,k(x)= ,h′(x)=x2-x+3,h″(x)=2x-1,由 2x-1=0 得 x= ,h? = 3 2 12 1 2 ?2? x- 2 1 ? 1 ?1?3 1 ?1?2 1 5 × - × +3× - =1,∴h(x)的对称中心为? ?2,1?, 3 ?2? 2 ?2? 2 12 1 2 2010 ∴h(x)+h(1-x)=2,x= , ,?, . 2011 2011 2011 1 ? 1 2 2010 又 k(x)的对称中心为? ?2,0?,∴k(x)+k(1-x)=0,x=2011,2011,?,2011. 1 ? ? 2 ? + ? + g ?2010? = h ? 1 ? + h ? 2 ? + ? + h ?2010? + k ? 1 ? + k ? 2 ? + ? + k ?2010? = ∴g? + g 2011 ? ? ?2011? ?2011? ?2011? ?2011? ?2011? ?2011? ?2011? ?2011? 2010. 16.解; (1)f(x)=x +ax +bx+c,f'(x)=3x +2ax+b 由
2 3 2 2

解得,

f'(x)=3x ﹣x﹣2=(3x+2) (x﹣1) ,函数 f(x)的单调区间如下表: x (﹣∞, ﹣ ﹣ 1 (1, (﹣ , +∞) ) 1) f′ + 0 ﹣ 0 + ( x) f (x) ↑ 极 ↓ 极 ↑ 大值 小值 所以函数 f(x)的递增区间是(﹣∞,﹣ )和(1,+∞) ,递减区间是(﹣ ,1) .

18.[解析](1)依题意,有 3m ? 5n ? 2m ? 3n ,即 m ? 8n ,即双曲线方程为
2 2 2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1 ,故双曲 16n2 3n2

线的渐近线方程是

x2 y2 3 ? ? 0 ,即 y ? ? . x, 2 2 16n 3n 4

(2)设渐近线 y ? ?

3 3c 1 3c 3 x 与直线 l : x ? c 交于 A、B,则 | AB |? ? ,解得 c ? 1 即 , S?OAB ? c ? 4 2 2 2 4

a 2 ? b 2 ? 1,又

16 2 3 b 3 2 ,b ? ? ,? a ? 19 19 a 4

19x 2 19 y 2 ? ?1 双曲线的方程为 16 3

20.解析: (Ⅰ)由 f ?( x) ? x ? ∵ x ? 0 ,∴ x ?

2 ( x ? 2)( x ? 2) ? ,令 f ' ( x) ? 0 知, x x

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 ,所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( 2, ??) . ·

(Ⅱ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 2 x ? 2a2 ln x ? ax( x ? 0) , 2

h?( x) ? x ?

2a2 ( x ? a)( x ? 2a) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ?a ? x x

f ( x) 的图象恒在 g ( x) 的图象的上方,? 只要 h( x)min ? 0 2 a ) 上递减,在 (2a, ? ?) 上递增, ① a ? 0 时, h ( x ) 在 (0, 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? h( x)min ? h(2a) ? ?2a2 ln(2a) ? 0 ,? 0 ? a ? . · 2 1 ②当 a ? 0 时, h( x) ? x2 ? 0 恒成立.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 ? a) 上递减,在 (?a, ? ?) 上递增, ③当 a ? 0 时, h ( x ) 在 (0,
3 3 3 ? h( x)min ? h(?a) ? a2 ? 2a2 ln(?a) ? 0 ,即 ln(?a) ? , ? e4 ? a ? 0 , 2 4 3 1 综上, a 的取值范围为 ?e 4 ? a ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 21.

∴ ∴所求椭圆方程为 (2)设 (i)当 , 轴时, ; 。

(ii)当 AB 与 x 轴不垂直时

设直线 AB 的方程为

由已知 把

得 代入椭圆方程,整理得







当且仅当 当 k=0 时, 综上所述, ∴当

,即

时等号成立

最大时,△AOB 面积取最大值




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