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2015年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学试题含答案word版


2015 年三明市普通高中毕业班质量检查


共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项:







本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题),第 II 卷第 21 题为选考题,其他题为必考题.本试卷

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区 域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案 使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,?, xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? n?

V?

1 S h 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积,h 为高

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题
目要求的.

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

1.已知集合 A ? ?x | x ? x ? 1? ? 0 , x ? R? , B ? ?x | ?2 ? x ? 2 ,x ? R? ,那么 A A. ? C. ?x | ?2 ? x ? 2 ,x ? R? B. ?x | 0 ? x ? 1,x ? R? D. ?x | ?2 ? x ? 1,x ? R?

B 等于

2.已知样本 M 的数据如下:80,82,82,84,84,84,86,86,86,86,若将样本 M 的数据分别加上 4 后得到样本 N 的数据,那么两样本 M,N 的数字特征对应相同的是 A.平均数 B.众数 C.标准差 D.中位数

高三理科数学试题第 1 页(共 6 页)

3.已知函数 f ( x) ? log 2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) ,则 f ( x) 是 A.奇函数 C.既是奇函数也是偶函数 B. 偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

2 4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,则数列 {an } 的前 10 项和为

A. 4 ? 1
10

B. (210 ? 1)2

C. (410 ? 1)

1 3

D. (210 ? 1)

1 3

5.设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 l1 在平面 ? 内,直线 l2 在平面 ? 内,且 l2 ⊥ m , 则“ l1 ⊥ l2 ”是“ ? ⊥ ? ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知三棱锥的底面是边长为 a 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,若侧视图的 面积为

3 1 ,三棱锥的体积为 ,则 a 的值为 4 4
B.

A.

3 4

3 2

C.

3 4

D.1

7.已知 a ? R ,那么函数 f ( x) ? a cos ax 的图象不可能是
y 1 O -1 π 2π x
y 1 O -1 π 2π x

A
y 1 O -1 π 2π x
y 1 O -1

B

π



x

C
2

D

? ? x ? 1, ? 1<x ? 0, 8.已知函数 f ( x) ? ? 将函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 的零点按从小到大的顺序排列,构成数 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0,
列 {an } ,则该数列的通项公式为 A. an ? n ?1 C. an ? n(n ? 1) 9. 已知区域 ? ? ?( x, y ) | ? B. an ? n D.an=2 -2
n

? ? ? ?

? ??1 ? x ? 1, ? 1 区域 A ? {( x, y) | 0 ? y ? e?| x| , x ?[?1,1]} , 在 ? 内随机投掷一点 M , ?, 2 ??1 ? y ? 1 ? ?

则点 M 落在区域 A 内的概率是

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A. (1 ? )

1 2

1 e

B. (1 ? )

1 4

1 e

C.

1 e

D. 1 ?

1 e

10. 若曲线 y ? f ( x) 在点 A( x1 , y1 ) 处切线的斜率为 k A , 曲线 y ? g ( x) 在点 B( x2 , y2 ) 处切线的斜率为 kB ( x1 ? x2 ) ,将 四个命题: ①已知曲线 f ( x) ? x3 , g ( x) ? x 2 ? 1,且 A(1,1) , B(2 , 3) ,则 ? ( A , B) ?
| k A ? kB | 的值称为这两曲线在 A , B 间的“异线曲度”,记作 ? ( A , B) .现给出以下 | AB |

2 ; 2

②存在两个函数 y ? f ( x) , y ? g ( x) ,其图像上任意两点间的“异线曲度”为常数; ③已知抛物线 f ( x) ? x2 ? 1 , g ( x) ? x2 ,若 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? ( A , B) ?
x ?x

2 5 ; 5

④对于曲线 f ( x) ? e , g ( x) ? e ,当 x1 ? x2 ? 1 时,若存在实数 t ,使得 t ? ? ( A , B) ? 1 恒成立,则

t 的取值范围是 [1, ??) .
其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷(非选择题
10
7

共 100 分)
开始 S=0 T= 0 输入x x≥170? 否 T=T+1 否 T≥500? 是 输出S 结束 是 S=S+1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.二项式 ( x ? a) 的展开式中, x 的系数是 15 ,则实数 a =_____. 12.某学校为调查高中三年级男生的身高情况,选取了 500 名男生作为样本,右图 是此次调查统计的流程图,若输出的结果是 380 ,则身高在 170cm 以下的频 率为_____. 13.若命题“ ?x ?[1, 2] , x2 ? 2ax ? a ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围 是 14.过双曲线 .

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂 a2 b2


足恰在线段 OF ( O 为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为

高三理科数学试题第 3 页(共 6 页)

15.如图,三条平行直线 l1 , l , l2 把平面分成①、②、③、④四个区域(不含边界) ,且直线 l 到 l1 , l2 的距 离相等.点 O 在直线 l 上,点 A,B 在直线 l1 上, P 为平 面区域内的点,且满足 OP ? ?1OA ? ?2 OB(?1, ?2 ? R) . 若 P 所在的区域为④,则 ?1 ? ?2 的取值范围是是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知集合 A ? ?1,1, 2 , 3? ,从 A 中随机抽取两个不同的元素 a ,b ,作为复数 z ? a ? bi ( i 为虚数单 位)的实部和虚部. (Ⅰ)求复数 z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率; (Ⅱ)设 ? ?| z |2 ,求 ? 的分布列及其数学期望 E? .

?

17. (本小题满分 13 分) 如图 1,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 ,将 ! ACD 沿矩形的对角线 AC 翻折,得到如图 2 所 示的几何体 D ? ABC ,使得 BD = 3 . (Ⅰ) 求证: AD ? BC ; (Ⅱ) 若在 CD 上存在点 P ,使得 VP ? ABC ?

1 VD ? ABC ,求二面角 P ? AB ? C 的余弦值. 2
D D C A A B B P C

18.(本小题满分 13 分)

图1

图2

3 x2 y 2 P ( c , c ) F ( c , 0) 已知点 在以 为右焦点的椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上,斜率为 1 的直线 m 过点 2 a b
F 与椭圆 ? 交于 A,B 两点,且与直线 l : x ? 4c 交于点 M . (Ⅰ) 求椭圆 ? 的离心率 e ; (Ⅱ) 试判断直线 PA , PM , PB 的斜率是否成等差数列?若成
等差数列,给出证明;若不成等差数列,请说明理由.

高三理科数学试题第 4 页(共 6 页)

19. (本小题满分 13 分) 如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型,其中 AD ? 6 , C 是 AB 的中点, ?BCD ?

π ,设 3

π π ?BAD ? ? ,且 ? ? ( , ) . 9 3 π (Ⅰ) 若 ? ? ,求 AB 的长; 4
(Ⅱ) 求 BD 的长 f (? ) ,并求 f (? ) 的最小值; (Ⅲ) 经市场调查发现,某地对该种金属支架的需求量与 ? 有关,且需求量 g (? ) 的 函数关系式为 g (? ) ? 4sin 6? ? 6? (单位:万件) ,试探究是否存在某种规格 的金属支架在当地需求量为零?并说明理由.

D

B

C θ A

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) ( a ? R ) . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? [0, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ?

? x ? 0, 所表示的平面区域内,求实数 a 的 ?x ? y ? 0

取值范围. (Ⅲ) 将函数 y ? f ( x) 的导函数 的图象向右平移一个单位后,再向上平移一个单位,得到函数 y ? g ( x) ... 的图象,试证明:当 a ?

1 时, [ g ( x)]n ? g ( xn ) ? 2n ? 2 (n ? N? ) . 2

21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按 所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填 入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ?

?a 1? . ? ( a ? 0, b ? 0 ) ?0 b?

(Ⅰ)当 a ? 2, b ? 3 时,求矩阵 M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量;
2 2 2 (Ⅱ)当 a ? b 时,曲线 C : x ? y ? 1 在矩阵 M 的对应变换作用下得到曲线 C ? : x ? 2 xy ?1 ? 0 ,

求 a 的值.

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(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程

3 ? x ? t, ? ? 5 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).以直角坐标原点 O 为极 4 ? y ? 1? t ? 5 ?
点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 P( x, y ) 是直线 l 与曲线 C 的内部的公共点,求 x ? y 的取值范围.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知不等式 | x ? 2 |? 1 的解集与不等式 2 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集相同. (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? a x ? 3 ? b 15 ? 4x 的最大值及取得最大值时 x 的值.

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理科数学试题参考答案及评分标准
一.选择题: 1—5 BCACB 6—10 DDABC 二、填空题: 11. ?

1 ; 2

12. 0.24 ;

13. (? , ??) ;

1 3

14. 2 ;

15. (??, ?1) ;

三.解答题:
2 16.解: (Ⅰ)从集合 A 中随机抽取两个不同的元素 a,b ,组成复平面内的对应点有 A4 ? 12 种,其中位

2 于第一象限的点有 A3 ? 6 种,所以所求的概率为

1 . 2

????????6 分

(Ⅱ) ? = z ? a 2 ? b 2 , ? =2,5,10,13 .
P(? ? 2) ?

2

????????7 分

1 1 1 1 , P(? ? 5) ? , P (? ? 10) ? , P (? ? 13) ? . 6 3 3 6

?
P

2 1 6

5 1 3

10 1 3

13 1 6 ????????11 分 ????????13 分

1 1 1 1 15 ∴ E? ? 2 ? ? 5 ? ? 10 ? ? 13 ? ? . 6 3 3 6 2 17.解: (Ⅰ)当 BD ? 3 时, AD ? 1 , AB ? 2 ,
∴ AD ? BD ,又 AD ? DC , ∴ AD ? 平面 BCD ,而 BC ? 平面 BCD , ∴ AD ? BC .

????????5 分

(Ⅱ)如图,以 B 为原点, BC 所在直线为 x 轴, BA 所 在直线为 y 轴,建立空间直角坐标系, 由(Ⅰ)知 AD ? BC ,又 AB ? BC , ∴ BC ? 平面 ABD , ∵ BC ? 平面 ABC ,∴平面 ABD ⊥平面 ABC , 过 D 作 DH ? AB ,则 DH∥z 轴, 在 Rt! ABD 中, AD ? 1 , AB ? 2 ,可得 AH ? , BH ?

????????7 分
1 2 3 . 2

3 3 1 3 3 1 ) ,∵ VP ? ABC ? VD? ABC ,∴ P 为 DC 中点,∴ P ( , , ) . 故 D(0, , 2 2 2 4 4 2
设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

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?( x, y, z ) ? (0, 2,0) ? 0, ? ?n ? BA ? 0, ? 则? ∴? 1 3 3 n ? BP ? 0, ? ?( x, y, z ) ? ( , , ) ? 0, ? ? 2 4 4

? y ? 0, ? 即 ?1 3 z ? 0, ? x? ?2 4

?????9 分

取 z ? ?2 ,则 n ? ( 3,0, ?2) ,又平面 ABC 的法向量为 m ? (0,0,1) , ???11 分 则 cos m, n =

m?n 2 7 = . | m |?| n | 7 2 7 . 7

故二面角 P ? AB ? C 的余弦值为 18.解: (Ⅰ)因为点 P (c,
4 2 2

????????13 分

3 x2 y 2 c 2 9c 2 c ) 在椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1 上,所以 2 ? 2 ? 1 . a 4b 2 a b
4 4 2

整理得, 4a ? 17a c ? 4c ? 0 ,即 4e ? 17e ? 4 ? 0 , 解得 e ?

1 1 或 e ? 2 (舍),所以离心率 e ? . 2 2

????????5 分

(Ⅱ)直线 PA , PM , PB 的斜率成等差数列,证明如下: 由(Ⅰ)知, a ? 2c, b ? 3c ,∴椭圆 E : 3x2 ? 4 y 2 ? 12c2 直线 m 的方程为 y ? x ? c .代入椭圆方程并整理, 得 7 x ? 8cx ? 8c ? 0 .
2 2

????????6 分

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 PA , PM , PB 的斜率分别为 k1,k2,k3,

8c 8c 2 . , x1 ? x2 ? ? 7 7 可知 M 的坐标为 (4c,3c) .
则有 x1 ? x2 ?

????????8 分

3 3 7 y1 ? c y2 ? c 2 x1 x2 ? c( x1 ? x2 ) ? 5c 2 2 ? 2 ? 2 所以 k1 ? k3 ? ?1 x1 ? c x2 ? c x1 x2 ? c( x1 ? x2 ) ? c 2 3 2( c ? 3c) 2k 2 ? 2 ?1, ????????12 分 c ? 4c ∴ k1 ? k3 ? 2k2 .
故直线 PA , PM , PB 的斜率成等差数列. 19.解法一: (Ⅰ)在 ?ACD 中,已知 AD =6 , ?ACD ?

????????13 分
2π π , ?ADC ? ? ? ,由正弦定理得: 3 3

π AC AD ? ? 4 3 ,故 AC ? 4 3 sin( ? ? ) . π 2π 3 sin( ? ? ) sin 3 3
当? ?

????????2 分

π π π π π π π 时, AC ? 4 3 sin( ? ) = 4 3(sin ? cos ? cos ? sin ) 4 3 4 3 4 3 4

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? 4 3?

6? 2 ?3 2? 6 4

故 AB 的长为 6 2 ? 2 6 .

????????4 分

π (Ⅱ)在 ?ABD 中,已知 AD =6 , AB=8 3sin( ? ? ) , ?BAD ? ? ,由余弦定理得: 3
BD2 ? AD2 ? AB2 ? 2 AD ? AB ? cos?

????????5 分

π π B ? 36 ? [8 3sin( ? ? )]2 ? 24 ? 4 3sin( ? ? )cos? D 3 3 π π ? 36 ? 96[2sin( ? ? )2 ? 3sin( ? ? )cos? ] 3 3 2π 3 1 C ? 36 ? 96[1 ? cos( ? 2? ) ? 3( cos ? ? sin ? )cos ? ] 3 2 2 θ 1 1 3 3 3 ? 36 ? 96[ ? cos 2? ? sin 2? ? cos 2? ? sin 2? ] A 4 2 2 4 4 1 1 3 ? 36 ? 96( ? cos 2? ? sin 2? ) 4 4 4 π ????????7 分 ? 60 ? 48sin(2? ? ) 6

? π π π 7π 5π 因为 ? ? ( , ) ,所以 2? ? ? ( , ) ,即 sin(2? ? ) ? 1 6 9 3 6 18 6
π ? BD ? 60 ? 48sin(2? ? ) ? 2 3 , 6
则 BD 的最小值为 2 3 ,此时 sin(2? ?

π π ) =1,即 ? = . 6 6

????????9 分

(用其它方法求出 BD 的表达式及最小值酌情给分) (Ⅲ)设 x=6θ, x ? (

2π 2π , 2 π ) ,令 h( x) ? 4sin x ? x , x ? ( , 2 π ) , 3 3

问题转化为在 (

2π , 2 π ) 是否存在 x 的值,使是 h( x) ? 0 , 3

????????10 分

①当 x ? (4, 2π) 时, |sinx|≤1,必有 h( x) ? 4sin x ? x ? 0 ; ②当 x ? (

2π 2π 4π 1 , 4] 时, h '( x) ? 4cos x ? 1 ,因为 ? x?4? ,所以 ?1 ? cos x ? ? , 3 3 3 2 2π 4π 2π 4π , ) 恒成立, h( x) 在区间 ( , ) 递减, 3 3 3 3

从而 h '( x) ? 4cos x ? 1 ? 0 ,在 x ? (

高三理科数学试题第 9 页(共 6 页)

于是 h( x) ? h(4) ? h(

4π 4π 4π ) ? 4sin ? ? ?2 3 ? 4 ? 0 3 3 3

综上,在 (

2π , 2 π ) , h( x) ? 0 恒成立,故不存在某种规格的金属支架,在当地需求量为零. 3

????????13 分
解法二: (Ⅰ) , (Ⅱ)同解一. (Ⅲ)设 x=6θ, x ? (

2π 2π , 2 π ) ,令 h( x) ? 4sin x ? x , x ? ( , 2 π ) , 3 3

问题转化为在 (

2π , 2 π ) 是否存在 x 的值,使得使是 h( x) ? 0 , ??????10 分 3

1 h '( x) ? 4cos x ? 1 ,令 h '( x) ? 0 ,得 cos x ? ? , 4
∵ x?(

2π 2π 3π 1 , 2 π ) ,故存在 x1 ? ( , π ) , x2 ? ( π, ) ,使得 cos x1 ? cos x2 ? ? , 3 3 2 4 2π , x1 ) 单调递,在( x1,x2 ) 递减,在 ( x2 , 2? ) 递增, 3

易知 h( x) 在 (

故在 (

2π 2π , 2 π ) , h( x) ? max{h( ), h( x2 )} , 3 3

∵ h(

2π 2π 3π 1 1 )?2 3? ? 0 ,注意到 x2 ? ( π, ) ,且 cos x2 ? ? ? ? , 3 3 2 4 2



4π 3π 15 ?x? , sin x2 ? ? . 3 2 4
15 4π ) ? x2 ? ? 15 ? ? 0 .?????12 分 4 3

这样 h( x2 ) ? 4sin x2 ? x2 ? 4 ? (? 综上:在 (

2? , 2? ) , h( x) ? 0 恒成立,故不存在某种规格的金属支架, 在当地需求量为零. 3

????????13 分
2 20.解法一: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? ln( x ? 1) ( x ? ?1) ,

f ?( x) ? 4 x ?

1 (2 x ? 1) 2 ? ?0, x ?1 x ?1

故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (?1, ??) .

????????3 分

高三理科数学试题第 10 页(共 6 页)

? x ? 0, (Ⅱ)因函数 f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内, ?x ? y ? 0

则当 x ? [0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,即 ax 2 ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立, 、 设 g ( x) ? ax 2 ? ln( x ? 1) ? x ( x ? 0 ),只需 g ( x) max ? 0 即可. 1 x[2ax ? (2a ? 1)] 由 g ?( x) ? 2ax ? , ???????4 分 ?1 ? x ?1 x ?1 ?x (ⅰ) 当 a ? 0 时, g ?( x) ? , x ?1 当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, 故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. (ⅱ) 当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ① 若

????????5 分
x[2ax ? (2a ? 1)] 1 ? 0 ,因 x ? [0, ??) ,所以 x ? ?1 , x ?1 2a

1 1 ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,在区间 (0, ??) 上, g ?( x) ? 0 , 2a 2

则函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值, 当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? ,此时不满足条件; 1 1 1 ② 若 ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ? 1) 上单调递减, 2a 2 2a 1 在区间 ( ? 1, ??) 上单调递增,同样 g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值, 2a 当 x ? ?? 时, ????????7 分 g ( x) ? ?? ,不满足条件. x[2ax ? (2a ? 1)] (ⅲ) 当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ,∵ x ? [0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ? 1) ? 0 , x ?1 ∴ g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减, 故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立.????????8 分 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??, 0] . (Ⅲ) f ?( x) ? 2ax ?

????????9 分

1 1 ,∴ g( x) ? 2a( x ? 1) ? ? 1 , x x ?1 1 1 当 a ? 时, g( x) ? x ? ( x ? 0) ???????10 分 x 2 1 1 ∴ [ g ( x)]n ? g ( x n ) ? ( x ? )n ? ( x n ? n ) x x 1 1 1 1 1 n ?1 2 n?2 n ?1 n 1 ? x n ? Cn x ? ? Cn x ? 2 ? ? Cn x ? n ? 1 ? Cn ? (xn ? n ) n x x x x x
1 n?2 2 n?4 ? Cn x ? Cn x ? 1 n?2 2 n?4 令 T ? Cn x ? Cn x ? n ?1 2 ? n n?2 4?n 则 T ? Cn x ? Cn x ? n ?1 2 ? n ? Cn x . n ?1 2 ? n ? Cn x , 1 n?2 1 2?n 2 4?n ? Cn x ? Cn x ? Cn x ? n ?1 n ? 2 ? Cn x .

∵x ? 0,
1 2 ∴ 2T ? Cn (xn ? 2 ? x2 ? n ) ? Cn (xn ? 4 ? x4 ? n ) ?
1 2 ? Cn ? 2 xn ? 2 ? x2 ? n ? Cn ? 2 xn ? 4 ? x4 ? n ?

n ?1 ? Cn (xn ? 4 ? x4 ? n )

n ?1 ? Cn ? 2 x2 ? n ? xn ? 2

高三理科数学试题第 11 页(共 6 页)

1 2 ? 2 (Cn ? Cn ?

n ?1 ? Cn ) n ?1 n 0 n (2n ? 2). ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ) ? 2

0 1 2 ? 2 (Cn ? Cn ? Cn ?

∴ T ? 2n ? 2 ,即 [ g ( x)]n ? g ( xn ) ? 2n ? 2 . 解法二: (Ⅰ) , (Ⅱ)同解一. (Ⅲ) f ?( x) ? 2ax ?

????????14 分

1 1 ,∴ g( x) ? 2a ( x ? 1) ? ? 1 , x x ?1 1 1 当 a ? 时, g( x) ? x ? ( x ? 0) , ???????10 分 x 2
1 n 1 ) ? ( xn ? n ) x x 1 1 设 h( x) ? ( x ? )n ? ( xn ? n ) , x x
∴ [ g ( x)]n ? g ( x n ) ? ( x ? 当 n ? 1 时,结论成立; 当 n ? 2 时, h?( x) ? n( x ? )n?1 (1 ? ∵当 x ? 1 时, 1 ? x 2 ?

1 x

? x2n?2

1 n n ) ? (nxn?1 ? n?1 ) ? n?1 [( x2 ? 1)n?1 ( x2 ? 1) ? ( x2n ? 1)] 2 x x x 2n x ?1 ? 2 x ?1

∴ x2n ? 1 ? ( x2 ? 1)(1 ? x2 ?

? x2 n ?2 ) ,

当 x ? 1 时,上式显然成立. n( x 2 ? 1) 2 [( x ? 1) n ?1 ? (1 ? x 2 ? ∴ h?( x) ? x n ?1

? x 2 n ? 2 )]
n?2 2 ? (Cn ?1 ? 1) x ]

?

n( x 2 ? 1) 1 2 2 n?6 [(Cn ?1 ? 1) x 2 n ? 4 ? (Cn ? ?1 ? 1) x x n ?1

当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 ∴ h( x) ? h(1) ? 2n ? 2 ∴ [ g ( x)]n ? g ( xn ) ? 2n ? 2 , (n ? N ? ) . 解法三: (Ⅰ) , (Ⅱ)同解一. (Ⅲ) f ?( x) ? 2ax ?

????????14 分

1 1 ,∴ g( x) ? 2a ( x ? 1) ? ? 1 , x x ?1 1 1 当 a ? 时, g( x) ? x ? ( x ? 0) 2 x
n n

???????10 分

∴ [ g ( x)] ? g ( x ) ? ( x ?

1 n 1 ) ? ( xn ? n ) x x
n n n

以下用数学归纳法证明不等式 [ g ( x)] ? g ( x ) ? 2 ? 2 . ①当 n ? 1 时,左边 ? ( x ?

1 1 ) ? ( x ? ) ? 0 ,右边 ? 21 ? 2 ? 0 ,不等式成立; x x
高三理科数学试题第 12 页(共 6 页)

② 假设当 n ? k (k ? N? )时,不等式成立,即( x ? 则( x ?

1 k 1 ) ? ( x k ? k ) ? 2k ? 2 , x x

1 k ?1 1 ) ? ( x k ?1 ? k ?1 ) x x 1 1 ? ( x ? )[( x ? )k ? ( x k ? x x 1 1 ? ( x ? )[( x ? )k ? ( x k ? x x

1 1 1 1 )] ? ( x ? )( x k ? k ) ? ( x k ?1 ? k ?1 ) k x x x x 1 1 )] ? ( x k ?1 ? k ?1 ) k x x

? 2 x?

1 1 ? 2 k ? 2 ? 2 x k ?1 ? k ?1 ? 2k ? 1 ? 2 . x x

?

?

也就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①②可得,对 ? n ? N , [ g ( x)]n ? g ( x n ) ? 2n ? 2 都成立.
?

??????14 分

? ? 2 -1 ?2 1? 21. (1)解: (Ⅰ) M ? ? = (? -2)(? -3) =0, ? ,令 f (? ) ? 0 ? -3 ? 0 3?
得 ? ? 2 或 ? ? 3,

?2 1? ?1 ? 当 ? ? 2 时,由 ? ? ?1 ? 2?1 ,得 ?1 ? ? ? , ? 0 3? ? 0? ?2 1? ? 1? 当 ? ? 3 时,由 ? ? ?2 ? 3?2 ,得 ?2 ? ? ? , ? 0 3? ? 1? ?1 ? 所以对应特征值为 2 的一个特征向量是 ?1 ? ? ? ; ? 0? ? 1? 对应特征值为 3 的一个特征向量是 ?2 ? ? ? . ? 1?

????????4 分

(Ⅱ)设曲线 C 上的点 P( x, y ) 在矩阵 M 的作用下变成 P?( x?, y?) ,则

? a 1 ? ? x ? ? x? ? ? x? ? ax ? y, 2 将变换公式代入曲线 C ? : x ? 2 xy ?1 ? 0 可得, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,即 ? ? 0 b y y y ? ay , ? ? ? ? ? ? ?

(ax ? y)2 ? 2(ax ? y) y ?1 ? 0 ,即 a2 x2 ? y 2 ? 1 ? 0 ,即为曲线 C : x2 ? y 2 ? 1,
∴ a ? 1 ,又 a ? 0 ,∴ a ? 1 .
2

????????7 分

2 2 2 2 2 (2)解法一: (Ⅰ)∵ ? ? 2sin ? ,∴ ? ? 2? sin ? ,∴ x ? y ? 2 y ,即 x ? ( y ?1) ? 1 ,

所以曲线 C 的直角坐标方程为 x ? ( y ?1) ? 1 .
2 2

????????4 分

(Ⅱ)法一:∵ x ? y ?

3 4 1 t ? (1 ? t ) ? ? t ? 1 ,而 ?1 ? t ? 1, 5 5 5
高三理科数学试题第 13 页(共 6 页)

∴?

1 1 1 6 1 4 ? ? t ? ,∴ ? ? ? t ? 1 ? ? , 5 5 5 5 5 5 6 5 4 5

即 x ? y 的范围是 ( ? , ? ) . 解法二: (Ⅰ)同解法一.

????????7 分

3 3 ? ? 4 x1 ? , ? x2 ? ? , ? ? ? ? ? y ? x ? 1, 5 5 (Ⅱ)联立 ? 解得 ? 或? 3 9 1 ?y ? , ?y ? . ? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1, 1 2 ? ? ? 5 5 ? ?
∴ x ? y 的范围是 ( ? , ? ) . (3)解: (Ⅰ)不等式 | x ? 2 |? 1 的解集为 ?x |1 ? x ? 3? , 所以方程 2 x ? ax ? b ? 0 的两根为 x ? 1, x ? 3 .
2

6 5

4 5

????????7 分

a ? 1? 3 ? , ? ? 2 ∴? ?1? 3 ? b , ? ? 2

解得 a ? 8, b ? 6 .

????????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 8 x ? 3 ? 6 15 ? 4x = 4 4 x ?12 ? 6 15 ? 4 x , 定义域为 ? x | 3 ? x ?

? ?

5? ?. 4?

所以 (42 ? 62 )[( 4x ?12)2 ? ( 15 ? 4 x )2 ] ? (4 4 x ?12 ? 6 15 ? 4 x )2 . 则 f ( x) ? 3 14 ,当且仅当 x ?

42 时取等号. 13

故当 x ?

42 时, f ( x ) 的最大值为 3 14 . 13

???????7 分

高三理科数学试题第 14 页(共 6 页)


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