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高中数学竞赛专题讲座之二数列


高中数学竞赛专题讲座之二:数列

高中数学竞赛专题讲座之二:数列
一、选择题部分 1. (2006 年江苏)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? A. a1 B. a2

2 3 2. (2006 安徽初赛)正数列满足 a 1 ? 1, a2 ? 10 , an an?2 ? 10an?t ? n ? 3? ,则 lg (a

100 ) ? (

2 ,则 ?an ? 的最大项是(B) n ? 4n ? 5 C. a3 D. a4
2



A.98 B.99 C.100 D.101 3. (2006 吉林预赛)对于一个有 n 项的数列 P=(p1,p2,?,pn),P 的“蔡查罗和”定义为 s1、s2、?sn、的算术平均值,其中 sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n),若数列(p1,p2,?,p2006)的 “蔡查罗和”为 2007,那么数列(1,p1,p2,?,p2006)的“蔡查罗和”为 (A) A.2007 B.2008 C.2006 D.1004 4.(集训试题)已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn。则满足不 等 式|Sn-n-6|< A.5

1 的最小整数 n 是 125
B.6 C.7 D.8





解:由递推式得:3(an+1-1)=-(an-1),则{an-1}是以 8 为首项,公比为-

1 的等比数列, 3

1 8[1 ? ( ? ) n ] 1 1 1 3 ∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)= =6-6×(- )n, n-n-6|=6×( )n< ∴|S , 得: 1 3 3 125 1? 3 n-1 3 >250,∴满足条件的最小整数 n=7,故选 C。
5. (集训试题)给定数列{xn}, 1=1, xn+1= x 且 A.1 B.-1

3xn ? 1 3 ? xn

2 0 0 5

, 则

?x
n ?1

n

= D.-2+ 3





C.2+ 3

解:xn+1=

xn ? 1?

3 xn 3

3 3 ,令 x =tanα ,∴x =tan(α + ? ), ∴x =x , x =1,x =2+ 3 , n n n+1 n n+6 n 1 2

6

2005

x3=-2- 3 , x4=-1, x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1,??,∴有

?x
n ?1

n

? x1 ? 1 。故选 A。

6 . 2006 陕 西 赛 区 预 赛 ) 已 知 数 列 {an } {n } 前 n 项 和 分 别 为 An , Bn 记 ( 、 的 b

Cn ? an ? Bn ? bn ? An ? an ? bn (n ? 1) 则数列{ Cn }的前 10 项和为 A ? B10 A. A10 ? B10 B. 10 C. A ? B10 D. A10 ? B10 10 2

(C)

7. (2006 年浙江省预赛)设 f (n) 为正整数 n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比
2 2 如 f (123 ? 1 ? 2 ? 3 ? 14 。 f1 (n) ? f (n) , f k ?1 (n) ? f ( f k (n)) ,k ? 1,2,3,?, 记 ) 2

则 f 2006 (2006) = A.20 B.4 C.42 ) 解:将 f (2006 ? 40 记做 2006 ? 40 ,于是有
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(D) D.145

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2006 ? 40 ? 16 ? 37 ? 58 ? 89 ? 145 ? 42 ? 20 ? 4 ? 16 ? ? 从 16 开始, f n 是周期为 8 的周期数列.
故 f 2006 (2006 ? f 2004 (16) ? f 4?250?8 (16) ? f 4 (16) ? 145. ) 二、填空题部分 1 . 数 列 正确答案为 D。

?an ?

的 各 项 为 正 数 , 其 前 n 项 和 Sn 满 足 Sn ?

1 1 (a n ? ) , 则 2 an

an =___ n ? n ?1 ___. 2. (200 6 天津)已知 a, b, c, d 都是偶数,且 0 ? a ? b ? c ? d , d ? a ? 90 ,若 a, b, c 成 等差数列, b, c, d 成等比数列,则 a ? b ? c ? d 的值等于 194 .
3. (2006 吉林预赛)如图所示,在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列 1,3, 6,10,?,记这个数列前 n 项和为 S(n),则 lim

n3 =________. n ??? S (n)
1 1 1 ? 5

1 1 1 3 4 10 ? ? 6 10 ? 2 3 4 5 ? 1 1 1 1 1 ?

1 4. (2006 年江苏)等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ? . 2 设 f ? n ? 表示这个数列的前 n 项的积,则当 n ? 12 时, ?

f ? n ? 有最大值.
5.在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列

?A ?, j ? 1,2,?,以及在第一象限内的抛物线
j

3 x 上从左向右依次取点列 ?Bk ?, k ? 1,2,? ,使 ?Ak ?1Bk Ak ( k ? 1,2,? )都是等 2 边三角形,其中 A0 是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是 2005. y2 ?
【解】 设第 n 个等边三角形的边长为 an 。 : 则第 n 个等边三角形的在抛物线上的顶点 Bn 的坐标为( a1 ? a2 ? ? ? an?1 ?

an , 2

a ? 3? 。 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? n ? ) 2? 2?

再从第 n 个等边三角形上,我们可得 Bn 的纵坐标为

3 ?1 ? 2 an ? ? an ? ? a n 。从而有 2 ?2 ?

2

an 1 2 a ? 3 3? 。 an ? ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? n ? ,即有 a n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? 2 2? 2? 2 2
由此可得 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 以及

an 1 2 ? an 2 2

(1)

a1 ? a2 ? ? ? an?1 ?

(1)-(2)即得 变形可得

an?1 1 2 (2) ? an?1 2 2 1 1 an ? (an ? an?1 ) ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ) . 2 2 (an ? an?1 ? 1)( an ? an?1 ) ? 0 .
1 1 2 a1 ? a1 , 2 2

由于 an ? an?1 ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 1 。在(1)式中取 n = 1,可得 而 a1 ? 0 ,故 a1 ? 1 。 因此第 2005 个等边三角形的边长为 a2005 ? 2005。

6.(2005 年浙江)已知数列 xn ,满足 (n ? 1) xn ?1 ? xn ? n , 且 x1 ? 2 , 则 x2005 = 【解】 :由 (n ? 1) xn?1 ? xn ? n ,推出 xn?1 ? 1 ?
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2005?1 ! . 2005!

xn ? 1 。因此有 n ?1

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x n ?1 ? 1 ?

x n ? 1 x n ?1 ? 1 xn?2 ? 1 x1 ? 1 1 ? ? ??? ? . n ? 1 (n ? 1)n (n ? 1)n(n ? 1) (n ? 1)n(n ? 1) ? 2 (n ? 1)!

2005!?1 1 ? 1 。 从而可得 x 2005 ? 。 ( n ? 1)! 2005! a a a a 7. (2005 全国)记集合 T ? {0,1,2,3,4,5,6}, M ? { 1 ? 2 ? 3 ? 4 | ai ? T , i ? 1,2,3,4}, 将 M 中 2 3 7 7 7 74 的元素按从大到小的顺序排列,则第 2005 个数是 ( ) 5 5 6 3 5 5 6 2 A. ? 2 ? 3 ? 4 B. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 7 7 7 7 1 1 0 4 1 1 0 3 C. ? 2 ? 3 ? 4 D. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 7 7 7 7 4 解:用 [a1a2 ?ak ] p 表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以 7 ,得
即有 x n ?1 ?

M ? ? {a1 ? 73 ? a2 ? 72 ? a3 ? 7 ? a4 | ai ?T , i ? 1, 2,3, 4} ? {[a1a2a3a4 ]7 | ai ?T , i ? 1, 2,3, 4}. M ? 中的最大数为 [6666 7 ? [2400 10 。在十进制数中,从 2400 起从大到小顺序排列 ] ]
的 第 2005 个数是 2400-2004=396。而 [396 10 ? [1104 7 将此数除以 7 ,便得 M 中的数 ] ]
4

1 1 0 4 ? 2 ? 3 ? 4 . 故选 C. 7 7 7 7 8. (2004 全国)已知数列 a0 , a1 , a2 ,..., an ,..., 满足关系式 (3 ? an?1 )(6 ? an ) ? 18, 且a0 ? 3 ,


?a
i ?o

n

1
i

的值是_________________________。

1 1 1 , n ? 0,1, 2,..., 则(3 ? )(6 ? ) ? 18, an bn?1 bn 1 1 1 即 3bn ?1 ? 6bn ? 1 ? 0. ? bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? ? 2(bn ? ) 3 3 3
解:设 bn ? 为 2 的等比数列,

故数列 {bn ? } 是公比

1 3

1 1 1 1 1 1 bn ? ? 2n (b0 ? ) ? 2n ( ? ) ? ? 2n?1 ? bn ? (2n?1 ? 1) 。 3 3 a0 3 3 3
n n ? 1 1 1 1 ? 2(2n?1 ? 1) ? ? bi ? ? (2i ?1 ? 1) ? ? ? (n ? 1) ? ? ? 2n? 2 ? n ? 3? 。 ? a i ?0 i ?0 3 3 ? 2 ?1 i ?o i ? 3 n

9. (2005 四川)设 r , s , t 为整数,集合 {a | a ? 2 r ? 2 s ? 2t ,0 ? t ? s ? r} 中的数由小到大

, 组成数列 {an } : 7,1113,14,? ,则 a36 ?

131



2 解:∵ r , s , t 为整数且 0 ? t ? s ? r ,∴ r 最小取 2,此时符合条件的数有 C2 ? 1

2 r ? 3 , s, t 可在 0,1,2 中取,符合条件有的数有 C3 ? 3
2 同理, r ? 4 时,符合条件有的数有 C 4 ? 6

2 r ? 5 时,符合条件有的数有 C5 ? 10

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2 r ? 6 时,符合条件有的数有 C6 ? 15 2 r ? 7 时,符合条件有的数有 C7 ? 21

因此, a36 是 r ? 7 中的最小值,即 a36 ? 20 ? 21 ? 27 ? 131 三、解答题部分 1. (200 6 天津)已知数列 {an } 满足 a1 ? p , a2 ? p ? 1 , an?2 ? 2an?1 ? an ? n ? 20 ,其 中 p 是给定的实数, n 是正整数,试求 n 的值,使得 an 的值最小. 【解】令 bn ? an?1 ? an , n ? 1,2,? 由题设 an?2 ? 2an?1 ? an ? n ? 20 , 有 bn?1 ? bn ? n ? 20 ,且 b1 ? 1 ???5 分 即 bn ? b1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? 2n(n ? 1) . ∴ bn ? 于是

?
i ?1

n ?1

(bi ?1 ? bi ) ?

? (i ? 20) ,
i ?1

n ?1

又 a1 ? p , a2 ? p ? 1 ,则 a3 ? 2a2 ? a1 ? 1 ? 20 ? p ? 17 ? a1 ? a2 . ∴当 an 的值最小时,应有 n ? 3 , an ? an ?1 ,且 an ? an ?1 . 即 bn ? an?1 ? an ? 0 , bn?1 ? an ? an?1 ? 0 . ???????? 15 分

(n ? 1)(n ? 40) ? 1. 2

(※) ???????10 分

? (n ? 1)( n ? 40) ? 2 由(※)式,得 ? ?(n ? 2)( n ? 41) ? ?2
∴当 n ? 40 时, a 40 的值最小.

?n ? 40 * 由于 n ? 3 ,且 n ? N ,解得 ? , ?n ? 40

????????????????? 20 分

? ? 2. (2006 陕西赛区预赛)(20 分)已知 sin(2 ? ? )? 3sin ,设 tan ? ? x, tan ? ? y ,记
y ? f ( x) .
(1)求 f ( x ) 的表达式;

f ( x) ?

x 1 ? 2x 2

(2) 定义正数数列 {an }; a1 ?

1 2 , an ?1 ? 2an ? f (an )(n ? N * ) 。 试求数列 {an } 的通项公式。 2

2 n?2 . 2 n?1 ? 1 3 . 2006 安 徽 初 赛 ) 已 知 数 列 ?an ? ? n ? 0? 满 足 a0 ? 0 , 对 于 所 有 n ? N? , 有 ( an ?
an?1 ? 2 3 0 n? an? ?1 ? 1 an ?,求 a n 的通项公式. a 1 5

4. (2006 吉林预赛)设{an}为一个实数数列,a1=t,an+1=4an(1-an)。求有多少个不同的实数 t 使得 a2006=0. ( 22004+1) 5. (2006 年南昌市)将等差数列{ an }: an ? 4n ?1 (n ? N * ) 中所有能被 3 或 5 整除的数删 去后,剩下的数自小到大排成一个数列{ bn },求 b2006 的值. 解:由于 an?15 ? an ? 60 ,故若 an 是 3 或 5 的倍数,当且仅当 an?15 是 3 或 5 的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为 60 的区间段:(0,+?)=(0,60)∪(60,120)∪(120,180)∪?, 注意第一个区间段中含有{ an }的项 15 个,即 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59. 其中属于{ bn }的项 8 个,为: b1 ? 7 , b2 ? 11, b3 ? 19 ,

b4 ? 23 , b5 ? 31 , b6 ? 43 , b7 ? 47 , b8 ? 59 , 于是每个区间段中恰有 15 个{ an }的项,8 个{ bn }的项,
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且有 b8k ? r ? br ? 60k ,k∈N,1≤r≤8. 由于 2006=8×250+6,而 b6 ? 43 所以 b2006 ? 60? 250? b6 ? 60? 250? 43 ? 15043. , 6. (2004 湖南)设数列 {an } 满足条件:a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?2 ? an?1 ? an (n ? 1, 2, 3, ? ) 求证:对于任何正整数 n,都有
n

an?1 ? 1 ?

1
n

an

证明:令 a0 ? 1 ,则有 ak ?1 ? ak ? ak ?1 ,且

1?

ak a ? k ?1 (k ? 1, 2, ?) , 于是 a k ?1 a k ?1

n?

?

ak ? k ?1 a k ?1

n

?a
k ?1

n

a k ?1
k ?1

由算术-几何平均值不等式,可得

1? n

a a a a a1 a2 ? ? ? ? n + n 0 ? 1 ? ? ? n?1 a 2 a3 an?1 a 2 a3 a n?1

注意到

a0 ? a1 ? 1,可知 1 ?

1
n

an?1

?
n

1 an an?1

,即

n

an?1 ? 1 ?

1
n

an

? a n ? 1, 当 n 为偶数时, ? 2 ? 7. 2006 年上海) 数列 ?an ? 定义如下: 1 ? 1 , ( 且当 n ? 2 时, n ? ? a a 1 , 当 n 为奇数时. ? ? an ?1 ?

30 ,求正整数 n. 19 ) 1 解:由题设易知, n ? 0, n ?1, 2, ? . 又由 a1 ? 1 , 可得, n 为偶数时, n ? 1 ; n (? 当 当 a a 1 是奇数时, an ? ??????(4 分) ? 1. an ?1 30 n 30 11 ? 1 ,所以 n 为偶数,于是 a n ? 由 an ? ? 1 ? ? 1 ,所以, 是奇数. 19 2 19 19 2 n n?2 19 8 19 于是依次可得:a n ? 是奇数, ? 1 , ? 1 是偶数,a n ?2 ? ? 1 ? ? 1 , ?1 2 4 11 11 11 4 2 n?6 n?6 11 11 3 是偶数, a n ?6 ? 是奇数, an?2 ? ? 1 , ? 1 ? ? 1, ?1 4 8 8 8 8 4 8 n ? 14 n ? 14 8 8 5 是偶数, a n ?14 ? ? 1 ? ? 1 , 是偶数, a n ?6 ? ? 1 , ?1 8 16 3 3 3 8 16 n ? 14 5 2 是奇数, ?????(9 分) a n ?14 ? ? 1 ? ? 1, 32 3 3 32 n ? 46 n ? 46 3 3 1 是偶数, a n ? 46 ? ? 1 ? ? 1 , 是奇数, a n ?14 ? ? 1 , ?1 32 64 2 2 2 32 64 n ? 110 是偶数, an?110 ? 2 ? 1 ? 1 , an?46 ? 2 ? 1 , ?1 64 64 128
已知 an ?
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所以,

n ? 110 ? 1 ,解得,n=238. 128
2 7an ? 45an ? 36

?????? (14 分)

13.(2005 全国)数列 {an } 满足: a0 ? 1, an?1 ?

, n ? N. 2 证明: (1)对任意 n ? N , an 为正整数;(2)对任意 n ? N , an an?1 ? 1 为完全平方数。 证明: (1)由题设得 a1 ? 5, 且 {an } 严格单调递增.将条件式变形得
2 2 2 2a n ?1 ? 7a n ? 45a n ? 36 , 两边平方整理得 an?1 ? 7an an?1 ? an ? 9 ? 0 ①

2 2 ? an ? 7an?1an ? an?1 ? 9 ? 0 ② ①-②得 (an?1 ? an?1 )(an?1 ? an?1 ? 7an ) ? 0,? an?1 ? an ,?an?1 ? an?1 ? 7an ? 0 ? an?1 ? 7an ? ab?1 . ③ 由③式及 a0 ? 1, a1 ? 5 可知,对任意 n ? N , an 为正整数.??????????10 分 a a 2 2 (2)将①两边配方,得 (a n ?1 ? a n ) ? 9(a n a n ?1 ? 1),? a n a n ?1 ? 1 ? ( n ?1 n ) . ④ 3 由③ an?1 ? an ? 9an ? (an?1 ? an ) ≡ ?(an ? an?1 ) ? mod3? a ? an ∴ an?1 ? an ≡ (?1)n ? a1 ? a0 ? ≡0(mod3)∴ n ?1 为正整数 3 ④式成立.? an an?1 ? 1 是完全平方数.??????????????20 分

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