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初二数学培优讲义20914


第二讲 全等判定方法专题(一)
一.知识归纳 1.形状、大小相同的两个三角形放在一起能够完全重合,称这样的两个三角形叫做全等三 角形. 2.如图,平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等.

3.全等三角形的性质:(1)全等三角形的对应边相等; (2)全等三角形的对应角相等. 4.全等三角形判定方法: (1)三边对应相等的两个三角形全等(SSS); (2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS); (3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA); (4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS). 二.基础回顾 例 1 如图,已知,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别是 E、F,DE=BF,AF=CE, 求证:AB∥DC.

例 2 如图,已知 AB=CD,AB∥CD,BE=DF,E、F 是 BD 上两点。 求证:∠DAE=∠BCF.

1

练 习 1. 如图,已知 AC、BD 相交于 0,AE=FC,AO=OC,BO=OD. 求证:∠1=∠2.

2. 如图, 已知 BE、 分别是△ABC 的 AC、 边上的高, BE 的延长线上取点 P, BP=AC, CF AB 在 使 在 CF 的延长线上取点 Q,使 CQ=AB, 求证:AQ⊥AP.

三.方法运用 例 3 如图,已知 D 是△ABC 的边 BC 边的一点,且 CD=AB,∠BDA =∠BAD,AE 是△ABD 的中线, 求证:AC=2AE.

2

例4

如图,已知,AB=DE,BC=EF,CD=FA,∠A=∠D, 求证:∠C=∠F

练 习 3. 如图,已知,AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,M 为 CD 的中点. 求证:AM 平分∠BAE.

4.如图,△ABC 为直角三角形,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,∠ACB 的平分线交 AD 于 F、交 AB 于 E,FG∥BC 交 AB 于 G,AE=3,AB=8,求 EG 的长.

3

四.问题探究 例 5 如图,△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,D 为 AC 中点.F 为 BC 上一点,∠ADB=∠FDC.试 判断 AF 与 BD 的位置关系,并说明理由.

例 6 如图,点 C 在线段 AB 上,DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且 DA=BC,EB=AC,FC=AB.试探 求∠AFB 与∠DFE 的数量关系.

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练 习 5.将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片△ABC 和 △DEF.将这两张三角形胶片的顶点 B 与顶点 E 重合,把△DEF 绕点 B 顺时针方向旋转, 这时 AC 与 DF 相交于点 0. (1)当旋转至如图②位置,点 B(E),C,D 在同一直线上时,∠AFD 与∠DCA 的数量关系 是 , (2)当△DEF 继续旋转至如图③位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由; (3)在图③中,连接 BO、AD,探索 BO 与 AD 之间有怎样的位置关系,并证明.

图①

图②

图③

6.已知:AC=BC,AC⊥BC(∠CAB=∠B=45°),AE 为中线,CN⊥AE,交 AE 于 M,交 AB 于 N. 求证:CN+EN=AE.

5

7.如图,已知 AB=AC,AB⊥AC,AD=AE,AD⊥AE,点 M 为 CD 的中点.求证:AM=

1 BE. 2

五.课后作业: 1.如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上的点(不与 B,C 重合) ,F,E 分别是 AD 及其延长线上 的点,CF∥BE. 请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF (不再添加其它线段,不再标注或使 用其他字母),并给出证明. (1)你添加的条件是: (2)证明:
A



F B E D C

6

2 . (1)如图 1,在正方形 ABCD 中,M 是 BC 边(不含端点 B、C)上任意一点,P 是 BC 延长线上一点,N 是∠DCP 的平分线上一点.若∠AMN=90°,求证:AM=MN. 下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明. 证明:在边 AB 上截取 AE=MC,连 ME.正方形 ABCD 中,∠B=∠BCD=90°, AB=BC.∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE.本 试(下面请你完成余下的证明过程)
A E D N

B

M

C

P

图1

(2)若将(1)中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC” (如图 2),N 是∠ACP 的平分线 上一点,则当∠AMN=60°时,结论 AM=MN 是否还成立?请说明理由. 本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ:623300747.转载请注明!
A N

B

图2

M

C

P

(3)若将(1)中的“正方形 ABCD”改为“正 n 边形 ABCD?X” ,请你作出猜想:当∠ AMN= °时,结论 AM=MN 仍然成立. (直接写出答案,不需要证明)

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3 .如图 1,已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上,连接 AE、GC. (1)试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系,并证明你的结论. (2)将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转,使点 E 落在 BC 边上,如图 2,连接 AE 和 CG。你认为(1)中的结论是否还成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理 由. A D G A D

G B E
(图 1)

C F

B E

C F
(图 2)

4 如图,点 P 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点,DF⊥AP 于点 F,在 AP 的延长线上取一点 G,使 AF=FG,连结 DG。 (1)求证:DG=DC; (2)∠CDG 的平分线交 AG 于点 H,过点 B 作 BE⊥AG 于点 E,试问线段 BE、DF 和 AH 之间有何数量关系?为什么?

A E F P

D

H G B C

8

5 . 问题背景

某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:

①如图 8-2-1,在正三角形 ABC 中,M、N 分别是 AC、 上的点, 与 CN 相交于点 O, AB BM 若∠BON = 60°,则 BM = CN. ②如图 8-2-2,在正方形 ABCD 中,M、N 分别是 CD、 上的点, 与 CN 相交于点 O, AD BM 若∠BON = 90°,则 BM = CN. 然后运用类比的思想提出了如下的命题:

图 8-2-1

图 8-2-2

③如图 8-2-3,在正五边形 ABCDE 中,M、N 分别 是 CD、DE 上的点,BM 与 CN 相交于点 O,若 ∠BON = 108°,则 BM = CN. 任务要求 (1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证 明; (2)请你继续完成下面的探索: 图 8-2-3 图 8-2-4 ①如图 8-2-4,在正 n(n≥3)边形 ABCDEF?中, M、N 分别是 CD、DE 上的点,BM 与 CN 相交于点 O,问当∠BON 等于多少度时,结论 BM = CN 成立?(不要求证明) ②如图 8-2-5,在正五边形 ABCDE 中,M、N 分别是 DE、AE 上的点,BM 与 CN 相交于点 O,当∠BON = 108°时,请问结论 BM = CN 是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立, 请说明理由. (1)我选 .

图 8-2-5

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