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安徽省马鞍山市第二中学2013届高三上学期期中考试(数学文)


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马鞍山市第二中学 2012—2013 学年度 第一学期期中素质测试
高三文科数学试题 命题人:庾金保
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,计 50 分) 1.复数

审题人:聂晓峰

2 ? i3 1 ? 2i

=(



A、 i

B、 ? i

C、 2 2 ? i

D、 ? 2 2 ? i ) D、 ??1 0? ,

2.已知集合 M ? ??11 , N ? ? x , ? A、 ??11 , ? B、 ??1? )

? 1 ? ? 2 x ?1 ? 4,x ? Z ? ,则 M∩N=( ? 2 ?
C、 ?0?

3.下列结论正确的是(

A、当 x >0 且 x≠1 时,lgx+

1 ≥2 lg x

B、当 x >0 时, x ?

1 ≥2 x
1 无最大值. x


C、当 x ≥2 时, x ?

1 的最小值为 2 x

D、当 0< x≤2 时, x ?

4.已知函数 y ? sin ? x ?

? ?

? ? ? ? cos ? x ? ? ,则下列对此函数及其图像判断正确的是( 12 ? ? 12 ?

? ?

A、最小周期为 2? ,一个对称中心是 ?

?? ? ?? ? ,0 ? B、最小周期为 ? ,一个对称中心是 ? ,0 ? ? 12 ? ? 12 ?
D、最小周期为 ? ,一个对称中心是 ?

C、最小周期为 2? ,一个对称中心是 ?

?? ? ,0 ? ?6 ?

?? ? ,0 ? ?6 ?


5.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? (

A、138

B、135

C、95

D、23

? x ? y ≥ 0, ? 6.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, z ? 2 x ? y 的最大值为( 则 ?0 ≤ x ≤ 3, ?
A、0 B、6 C、9 )



D、15

7.设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则(
1

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A、 a ? b ? c

B、 a ? c ? b

C、 b ? a ? c

D、 b ? c ? a )
3 4 3 4

8.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为( A、48+12 2 B、48+24 2
6

C、36+12 2
6

D、36+24 2
6

3 第8题

9.若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f /(x)的图象是 ( y y y y



O A、

x B、

O

x

O C、

x

O D、

x

10.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值,最小值分别是( A、 4 2 ,0 B、 4, 4 2 C、16,0 D、4,0



二、填空题(共 5 小题,每题 5 分,计 25 分) 11.函数 y ?

log 1 (3x ? 2) 的定义域是_________
2

B A' P B' 图(1) A B A' C' P B' 图(2) A C

12.由图(1)有面积关系: S ?PA?B ? ? PA? ? PB ?, 则由(2) S ?PAB PA ? PB 有体积关系: VP ? A?B ?C ? ? VP ? ABC

.

13.已知函数 y=sin( ? x+ ? ) ? >0, - ? ? ? < ? )的图像 ( 如图所示,则 ? =______________

1 O -1

y
3 ? 4

2 π 第 13 题

x

? 14.设奇函数 f ( x ) 在 (0, ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式
________________.

f ( x) ? f (? x ) ? 0 的解集为 x

15.下列四个命题:① p : m ? ?2 或 m ? 6 ; q : y ? x ? mx ? m ? 3 有两个不同的零点.
2

②p :

f (? x) ? 1 ; q : y ? f ( x) 是偶函数. f ( x)

③ p : cos ? ? cos ? ; q : tan ? ? tan ? .

④ A∩B=A; q: ? UB?? UA p:

其中, p 是 q 的充要条件的命题序号是_________.
2

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马鞍山市第二中学 2012—2013 学年度 第一学期期中素质测试
高三文科数学答题卷 命题人:庾金保 审题人:聂晓峰
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题(共 5 小题,每题 5 分,计 25 分) 11.________________. 14.________________. 三、解答题(共 6 小题,计 75 分) 12. ________________. 15.________________. 13.________________.

16.(本题满分 12 分)设函数 f (x)= 2 ? 义域为 B。 (1) 求 A;

x?3 的定义域为 A,g (x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定 x ?1 (2) 若 B ? A, 求实数 a 的取值范围。

17.(本题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值。 10 2

3

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5.

18.(本题满分 12 分) 在 ΔABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c,且 cos A ? (1)求 sin
2

1 . 3

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(2)若 a ?

3 ,求 bc 的最大值.

19. (本题满分 12 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直, △ ABE 是等腰直角三角形, AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 45? (1)求证: EF ? 平面BCE ; (2) 设线段 CD 的中点为 P , 在直线 AE 上是否存在一点 M , 使得 PM ?平面BCE ?若存在, 请指出点 M 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;
E

F

A

B

D

P

C

4

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20. (本题满分 13 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (1)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (2)求数列 {an } 的通项公式。

5

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21. (本题满分 14 分)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设 g (a ) 为 f ( x ) 在区间 [0, 上的最小值. 2] (ⅰ )写出 g (a ) 的表达式; (ⅱ )求 a 的取值范围,使得 ?6 ≤ g (a) ≤ ?2 .

x ( x ? a) .

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高三文科数学答卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案

1 A

2 B

3 B

4 B

5 C

6 C

7 A

8 A

9 A

10 D

二、填空题(共 5 小题,每题 5 分,计 25 分) 11. ( ,1]

2 3

12.

PA' ? PB' ? PC ' PA ? PB ? PC

13.

9? 10

14. (?1 0) ? (0, , 1)

15.① ④

三、解答题(共 6 小题,计 75 分) 16.(本题 12 分) 解: (1)2-

x?3 x ?1 ≥0, 得 ≥0, x<-1 或 x≥1 x ?1 x ?1

即 A=(-∞,-1)∪ [1,+ ∞)――――――――――------------―――――5分 (2) 由(x-a-1)(2a-x)>0, 得(x-a-1)(x-2a)<0. ∵ a<1,∴ a+1>2a, ∴ B=(2a,a+1).-———————————————————8 分 ∵ ? A, ∴ a≥1 或 a +1≤-1, 即 a≥ B 2

1 或 a≤-2, 2 1 ,1)------12 分 2

而 a <1,∴ ≤a <1 或 a≤-2, ∴ 实数 a 的取值范围是 (-∞,-2)∪ [

1 2

17.(本题 12 分)解: (1)∵a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,-----------------------2 分
2 2 即 sin ? ? 2 cos ? ,代入 sin ? ? cos ? ? 1 得 sin ? ? ?

2 5 5 , , cos? ? ? 5 5

又 ? ? (0, (2)∵0 ? ? ?

?
2

) ,∴sin ? ?
,0 ? ? ?

2 5 5 .----------------------------6 分 , cos? ? 5 5
,∴?

?
2

?
2
2

?
2

? ? ?? ?

?
2



则 cos(? ? ? ) ? 1 ? sin (? ? ? ) ?

3 10 -------------------------------8 分 10 2 .--------------12 分 2

∴cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?

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5.

18.(本题 12 分) 解: (1) sin

B?C 1 ? cos 2 A = [1 ? cos( B ? C )] ? (2 cos 2 A ? 1) ------------3 分 2 2 1 1 1 2 1 2 = (1 ? cos A) ? (2 cos A ? 1) = (1 ? ) ? ( ? 1) = ? ------------6 分 2 2 3 9 9
2

(2) ∵ 又∵a ?

b2 ? c2 ? a2 1 ? cos A ? 2bc 3

∴ bc ? b ? c ? a ? 2bc ? a ,------9 分
2 2 2 2

2 3

3

∴bc ?

9 3 9 9 . 当且仅当 b=c= 时,bc= ,故 bc 的最大值是 .-----12 分 4 2 4 4

19. (本题 12 分)解: (1) 因为平面 ABEF ⊥ 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 平面 ABEF ? 平面 ABCD ? AB , 所以 BC ⊥ 平面 ABEF 所以 BC ⊥EF .-----------------------------3 分
? A B? A E ,所以 ?AEB ? 45

因为 ?ABE 为等腰直角三角形,

? ? ? ? 又因为 ?AEF ? 45 ,所以 ?FEB ? 45 ? 45 ? 90 ,即 EF ⊥BE ? B ,

所以 EF ⊥ 平面 BCE 。

------------------------------------------------------------6 分 --------------------------7 分

(2)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时,PM∥ 平面 BCE . 取 BE 的中点 N,连接 AN,MN,则 MN∥ =

1 AB ∥ =PC 2

所以 PMNC 为平行四边形,所

PM∥ CN 因为 CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内, 所以 PM∥ 平面 BCE-------12 分 20. (本题 13 分)解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2,

a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 ----------------------------------------------------2 分
由 Sn?1 ? 4an ? 2 ,. ..① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 ...② ..

② -① an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 得 又?bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列.----6 分 (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? ----------------------------10 分 2n ?1 2n 4

a 1 3 ? 数列 { n } 是首项为 ,公差为 的等差数列. n 2 4 2 a 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 --------------------------------13 分 n 2 2 4 4 4
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21. (本题 14分)解: (1)函数的定义域为 [0, ?) , f ?( x) ? ?

x?

x ? a 3x ? a (x ? 0) .------------2 分 ? 2 x 2 x

若 a ≤ 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 有单调递增区间 [0, ?) .-------------------------------4 分 ? 若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

a a a ,当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 3 3 3

?a ? ? a? f ( x) 有单调递减区间 ?0, ? ,单调递增区间 ? , ? ? .---------------------------------6 分 ? ?3 ? ? 3?
2] (2) (i)若 a ≤ 0 , f ( x ) 在 [0, 上单调递增,所以 g (a) ? f (0) ? 0 .--------------7 分
若 0 ? a ? 6 , f ( x ) 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? ,? 上单调递增, 2

? a? ? 3?

?a ? ?3 ?

2a a ?a? .--------------------------------------------------9 分 g (a) ? f ? ? ? ? 3 3 ?3?
若 a ≥ 6 , f ( x ) 在 [0, 上单调递减,所以 g (a) ? f (2) ? 2(2 ? a) . 2]

a ≤ 0, ?0, ? ? 2a a 综上所述, g (a ) ? ?? , 0 ? a ? 6,----------------------------------11 分 ? 3 3 ? 2(2 ? a), a ≥ 6. ?
(ii)令 ?6 ? g (a) ? ?2 . 若 a ? 0 ,无解. 若 0 ? a ? 6 ,解得 3 ? a ? 6 . 若 a ? 6 ,解得 6 ? a ? 2 ? 3 2 . 故 a 的取值范围为 3 ? a ? 2 ? 3 2 .-------------------------------------------------14 分

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