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江西省赣州市信丰县信丰中学2015届高三数学一课一练试题一


高三第二学期数学(理科) 一课一练试题一
命题人:温日明 2015.4 班级 姓名 座号 得分 一、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。.

1 3 dx ,那么 ( x ? ) n 展开式中含 x 2 项的系数为 1 x x ??? ? ??? ? ??? ? ? 2、已知 P 为 ?ABC 所在平面内的一点,满足 PA ? PB ? 3PC ? 0 , ?ABC 的面积为 2015, 则 ?ABP 的面积为 3 、若实数 a, b, c 成等差数列,点 P(?1, 0) 在动直线 l : ax ? by ? c ? 0 上的射影为 M ,点 N (0, 3),则线段 MN 长度的最小值是
1、已知 n ?

?

e4

4、已知函数 f ? x ? ? ?

?log 2 (1 ? x) ? 1 ?1 ? x ? k
3 ? x ? 3x ? 2

k?x?a

,若存在 k 使得函数 f ? x ? 的值域为 ? 0, 2? ,

则实数 a 的取值范围是 二、解答题(本大题 4 小题,共 46 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5.(本小题满分 10 分) 设 f ( x) =| x ? 1| ? | x ? 1| . (1)求 f ( x) ? x ? 2 的解集 ; (2)若不等式 f ( x) ?

| a ? 1| ? | 2a ? 1| 对任意实数 a ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围. |a|

6.(本小题满分 12 分)在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,且

4sin 2

B?C 7 ? cos 2 A ? . 2 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 BC 边上高为 1,求 ?ABC 面积的最小值?

7.(本小题满分 12 分)甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个,其中甲袋中红色、黑色、 白色小球的个数分别为 2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3,某人用左右手 分别从甲、乙两袋中取球. (1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率; (2)若左右手依次各取 两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的 成功取法次数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望.

8. (本小题满分 12 分)直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,AA 1 ? AB ? AC ? 1 ,

B1

D

A1 C1

E , F 分别是 CC1 、 BC 的中点, AE ? A1B1 , D 为棱 A1B1 上的点.
(1)证明: DF ? AE ; (2)是否存在一点 D ,使得 平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二 面角的余 弦值为

14 ?若存在,说明点 D 的位置,若不存在,说明理由. 14

A B F

E

C

高三第二学期数学(理科)一课一练试题一答案
1.135 2.1209

5.解: (1)由零点分段法得

?1 ? , 3? ?2 ? f ( x) ? x ? 2 的解集为 {x | 0 ? x ? 2}
3. 4 ? 2 4. ?

???5 分

(2) | a ? 1| ? | 2a ? 1| ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 |a| a a a a 当且仅当 ?1 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? 0 时,取等号. ? ?? ? a ?? a? ? 由不等式 f ( x) ? | a ? 1| ? | 2a ? 1| 对任意实数 a |a| ???8 分

? 0 恒成立,可得 | x ? 1| ? | x ? 1|? 3

解得: x

??

3 3 或x? . 2 2

故实数 x 的取值范围是 ( ??, ?

3 3 ] ? [ , ??) ???10 分 2 2

7.解: (1)设事件

, A 为“两手所取的球不同色”

则 P ( A) ? 1 ?

2 ? 3 ? 3? 3 ? 4 ? 3 2 ? ???4 分 9?9 3
2 2 C2 ? C32 ? C4 5 ? ,右 2 C9 18

(2)

依题意, X 的可能取值为 0,1,2.左手所取的 两球颜色相同的概率为





























C32 ? C32 ? C32 1 ? C92 4

?

7



5 ?? 1 ? 13 3 13 ? , P( X ? 0) ? ?1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? 18 ?? 4 ? 18 4 24
P( X ? 1) ?
5 1 5 5 1 5 1 7 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , P ( X ? 2) ? ? ? ???10 分 18 4 72 18 4 18 4 18
z D A1 C1

所以X的分布列为:

13 7 5 19 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 24 18 72 36
? A1B1 , A1B1 ∥ AB ? AB ? AE
又? AB ?

B1

8. (1)证明:? AE

AA1

x B F

A

E C y

A E? A 1 A?

A



? AB ?


面 ,以

A1 ACC1



? AC ?

A1 ACC1 ? AB ? AC ???2

A

为原点建立如图所示的空间直角坐 标系

A ? xyz

, 则

? 1? ?1 1 ? A? 0,0,0? , E ? 0,1, ? , F ? , ,0 ? , A1 (0,0,1) , B1 (1,0,1) ? 2? ? 2 2 ? ???? ? ???? ? 设 D ? x, y, z ? , A 且 ? ? [0,1] ,即: ? x, y, z ?1? ? ? ?1,0,0? ? D ? ?,0,1? D ? ? A B 1 1 1 ???? ??? ? 1 1 ???? ? 1 ??? ? ? 1 1? ? ? DF ? ? ? ? , , ?1? ? AE ? ? 0 , 1, ? , ? DF ?AE ? ? ? 0 ? DF ? AE 2 2 2 2? ?2 ? ?
分 (2 )假设存在, 设面 DEF 的法向量为

?? 6

? n ? ? x, y, z ?





???? ? 1 1 ? DF ? ? ? ? , , ?1? 2 ?2 ?

1 1 ? 1 ? x? y? z ?0 ? 2 2 ? 2 ?? 1 1 ? ?? ???x? y? z ? 0 ? ?? 2 2 ? ?

z ? 2 ?1 ? ? ? ? ? n ? ?3 , 1 ? ? 2 ,?2?1 ? ??
? 平面 DEF
与平面

? ??? ? ??? ? ? 1 1 1? ? n?FE ? 0 ? FE ? ? ? , , ? ? ? ???? ? 2 2 2? ?n?DF ? 0 3 ? ? x ? 2 ?1 ? ? ? z ? 即 : 令 ? 1 ? 2 ? ?y ? z ? 2 ?1 ? ? ? ?

. ???8 分,由题可知面 ABC 的法 向量 m ?

??

? 0,0,1?

???9 分

14 ABC 所成锐二面的余弦值为 14 ?? ? m?n ?? ? 2 ?1 ? ? ? 14 14 即: ? cos m, n ? ?? ? ? ? 2 2 14 14 m n 9 ? ?1 ? 2? ? ? 4 ?1 ? ? ?

?

?

?? ?

1 7 或?? (舍) ???11 分,? 当点 D 为 A1B1 中点时,满足要求.???12 分 2 4


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