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数学理卷·2014届河南省开封高级中学等中原名校高三下学期第二次联考(2014.03)word版


中原名校 2013-2014 学年高三下期第二次联考数学(理)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.若 a ? b ? 0, 集合 M ? {x | b ? x ? A. {x | b ? x ? ab} 2.已知 z 为纯虚数, A. 2 i

B. ? 2i

a?b }, N ? {x | ab ? x ? a},则集合 M ? N 等于( 2
C. {x | ab ? x ? )



B. {x | b ? x ? a}

a?b } 2

D. {x |

a?b ? x ? a} 2

z ?1 是实数,那么 z ? ( 2?i
C.

1 i 2


1 D. ? i 2

3.下列命题正确的个数是(

①“在三角形 ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”的逆命题是真命题; ②命题 p : x ? 2 或 y ? 3 ,命题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的必要不充分条件; ③“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ” ; ④若随机变量 x ~ B(n, p) ,则 DX ? np. ⑤回归分析中,回归方程可以是非线性方程. A.1 B.2 C.3 D.4

4.一个算法的程序框图如右图所示,若该程序输出的 P 位于区间 (10?4 ,10?3 ) 内,则判断框内应填入的条件是 ( )

A. T ? 3

B. T ? 4

C. T ? 5 )

D. T ? 6

5.一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( A. 2 3 B.
5 3 3

C.

4 3 3

D.

2 3 3

? ? 1 6.函数 y ? f ( x ? ) 为定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 时, f ( x) ? ( ) x ? sin x, 则下列选项正确的是( 2 2 2
A. f (3) ? f (1) ? f (2) 7.已知双曲线 B. f (2) ? f (1) ? f (3) C. f (2) ? f (3) ? f (1) D. f (3) ? f (2) ? f (1)



x2 y 2 ? ? 1 ,以右顶点为圆心,实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为 1:2 的两 a 2 b2

5

部分,则双曲线的离心率为( A.
3

B.

2 3 3

C.

D.

5 2

8.若 {bn } 为等差数列, b2 ? 4, b4 ? 8. 数列 {an } 满足 a1 ? 1, bn ? an?1 ? an (n ? N * ), 则 a8 ? ( A.56 B.57 C.72
第 1 页 共 9 页



D.73

???? 1 ???? ??? ? 9.在三角形 ABC 中, ?A ? 60? , ?A 的平分线交 BC 于 D,AB=4, AD ? AC ? ? AB(? ? R) ,则 AD 的长为( 4
A. 1 B.
3



C. 3

D. 3 3

10.已知函数 g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的导函数为 f ( x) ,且 a ? 2b ? 3c ? 0 , f (0) f (1) ? 0, 设 x1 , x2 是方程
f ( x) ? 0 的两根,则 | x1 ? x2 | 的取值范围是(



2 A. [0, ) 3

4 B. [0, ) 9

1 2 C. ( , ) 3 3

1 4 D. ( , ) 9 9

11.已知三角形 PAD 所在平面与矩形 ABCD 所在平面互相垂直,PA=PD=AB=2, ?APD ? 120? , 若点 P,A,B,C,D 都在 同一球面上,则此球的表面积等于( A. 8? B. 12? C. 16? ) D. 20? )

12.将数字 1,2,3,4 填入右侧表格内, 要求每行、 每列的数字互不相同, 如图所示, 则不同的填表方式共有 ( 种. A.432 B.576 C.720 D.864 1 4 2 3 2 3 1 4 3 1 4 2 4 2 3 1

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上)
? y?x ? 13.已知实数 x, y 满足 ? x ? ay ? 4 ,若 z ? 3x ? y 的最大值为 16, 则 a ? ________ . ? y ?1 ?
14.已知 a ?

?

?

0

1 . (用数字作答) | sin x ? cos x |dx, 则 x 3 (ax ? ) 7 的展开式中的常数项是 __________ x

x2 y2 ? ? 1, A, C 分别是椭圆的上、下顶点,B 是左顶点,F 为左焦点,直线 AB 与 FC 相交于点 D, 15.已知椭圆 4 3

_. 则 ? BDF 的余弦值是 __________
2 16.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 存在零点,且对任意 m, n ? R 都满足 f [mf (m) ? f (n)] ? f (m) ? n. 若关

_. 于 x 的方程 | f [ f ( x)] ? 3 |? 1 ? loga x(a ? 0, a ? 1) 恰有三个不同的根,则实数 a 的取值范围是 __________

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

第 2 页 共 9 页

17.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ?

?

1 ) ? cos 2 x ? . 6 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值,并写出 f ( x) 取最大值 x 时的取值集合; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, ,若 f ( A) ?

1 , b ? c ? 3. 求 a 的最小值. 2

18.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试,且规定:成绩大于或等于 90 分的有参赛资格,90 分以下(不 包括 90 分)的被淘汰.若有 500 人参加测试,学生成绩的频率分布直方图如图. (Ⅰ)求获得参赛资格的人数; (Ⅱ)根据频率直方图,估算这 500 名学生测试的平均成绩; (Ⅲ)若知识竞赛分初赛和复赛,在初赛中每人最多有 5 次选题答题的机会,累计答对 3 题或答错 3 题即终止,答 对 3 题者方可参加复赛.已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同, 并且相互之间没有影响.已知他连续两次答 错的概率为

1 ,求甲在初赛中答题个数 ? 的分布列及数学期望 E? . . 9

19.如图,在直角梯形 ABCP 中, AP // BC , AP ? AB , AB ? BC ?

1 AP ? 2 ,D 是 AP 的中点,E,G 分别为 PC,CB 2

的中点,将三角形 PCD 沿 CD 折起,使得 PD 垂直平面 ABCD.(Ⅰ)若 F 是 PD 的中点,求证:AP // 平面 EFG;(Ⅱ) 当二面角 G-EF-D 的大小为

? 时,求 FG 与平面 PBC 所成角的余弦值. 4

第 3 页 共 9 页

20.如图,已知抛物线 C 的顶点在原点,开口向右,过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为 2,过 C 上一点 A 作 两条互相垂直的直线交抛物线于 P,Q 两点. (Ⅰ) 若直线 PQ 过定点 T (3,? 2 ) , 求点 A 的坐标; (Ⅱ) 对于第 (Ⅰ) 问的点 A,三角形 APQ 能否为等腰直角三角形?若能,试确定三角形 APD 的个数;若不能,说明理由.

21.已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 图像上一点 P(2, f (2)) 处的切线方程为 y ? ?3x ? 2 ln 2 ? 2. (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? m ? 0 在区间 [ , e ] 内有两个不等实根,求 m 的取值范围;(Ⅲ)令 g ( x) ? f ( x) ? kx(k ? R), 如果 g ( x) 的图像与 x 轴交于 A( x1 ,0), B( x2 ,0)(x1 ? x2 ) 两点, AB 的中点为 C ( xo ,0) ,求证: g ?( x0 ) ? 0. 22.如图,在锐角三角形 ABC 中,D 为 C 在 AB 上的射影,E 为 D 在 BC 上的射影,F 为 DE 上一点,且满足

1 e

EF AD ? . (Ⅰ)证明: CF ? AE; (Ⅱ)若 AD=2,CD=3.DB=4,求 tan ?BAE 的值. FD DB

23.在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同单位长度.已知曲线

t ? x? , ? ? 2 C : ? ? a(a ? 0), 过点 p(0,2) 的直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数). (Ⅰ)求曲线 C 与直线 l 的普 3 ?y ? 2 ? t ? 2 ?
通方程;(Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换 ?

? x? ? 2 x 得到曲线 C ? ,若直线 l 与曲线 C ? 相切,求实数 a 的值. ? y? ? y

24.设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | 2 x ? a |, a ? R. (Ⅰ)当 a ? 4 时,求不等式 f ( x) ? 5 的解集;(Ⅱ)若 f ( x) ? 4 对

x ? R 恒成立,求 a 的取值范围.

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中原名校 2013-2014 学年高三下期第二次联考

数学(理)试题参考答案
一、选择题:CDCCB ABBDA DB

7 16. ? 3, ?? ? 14 ? 3 ? 1 1 3 1 cos x ? sin x ? ? cos2 x ? ? sin x cos x ? cos2 x 17.解:(Ⅰ) f ( x ) ? sin x ? 2 2 2 2 ? 2 ? ? 1 1 ? 1? 3 1 ?? 1 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? . 2? 2 2 6? 4 ? 4 2 ? 3 ? ∴函数 f ( x) 的最大值为 .当 f ( x) 取最大值时 sin(2 x ? ) ? 1, 4 6 ? ? ? ? 2 x ? ? 2k? ? (k ? Z ) ,解得 x ? k? ? , k ? Z . 6 2 6 ? ? ? 故 x 的取值集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? .……………………………………(6 分) 6 ? ? ? 1 1 ? ?? 1 1 (Ⅱ)由题意 f ( A) ? sin ? 2 A ? ? ? ? ,化简得 sin(2 A ? ) ? . 6 2 2 ? 6? 4 2 ? 5? ? ? ? 13? ) , ∴ 2A ? ? ? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ? ? ( , ,∴A? . 3 6 6 6 6 6 ? 2 2 2 2 在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos ? (b ? c) ? 3bc . 3 2 9 b?c? 9 ? 2 由 b ? c ? 3 ,知 bc ? ? ? ? ,即 a ? 4 . ? 2 ? 4 3 3 ∴当 b ? c ? 时, a 取最小值 .…………………………..……………………(12 分) 2 2
二、填空题:13.0 14.168 15. 18. 解 : (Ⅰ) 由 频 率 分 布 直 方 图 得 , 获 得 参 赛 资 格 的 人 数 为 500× (0.0050 + 0.0043 + 0.0032)× 20 = 125 人. .……………………………………………………………..… ………(2 分) 30+50 50+70 70+90 90+110 (Ⅱ)设 500 名学生的平均成绩为 x ,则 x =( × 0.0065+ × 0.0140+ × 0.0170+ × 0.0050+ 2 2 2 2 110+130 130+150 × 0.0043+ × 0.0032)× 20=78.48 分. 2 2 …………………………………………………………………………..…………(6 分) (Ⅲ)设学生甲答对每道题的概率为 P ( A) ,则 (1 ? P ( A)) ?
2

1 2 ,∴ P ( A) = . 3 9

学生甲答题个数 ? 的可能值为 3,4,5,

10 ? 2? ?1? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2 ?? 1 ? 则 P(? ? 3) = ? ? ? ? ? ? , P(? ? 4) = C3 ? ?? ? ? C3 ? ?? ? ? , ? 3? ? 3? 3 ? 3 ?? 3 ? ? 3 ?? 3 ? 27
8 ?1? ? 2? P(? ? 5) = C ? ? ? ? ? . 所以 ? 的分布列为 27 ? 3? ? 3?
2 4 2 2

3

3

3

3

?

3

4

5
第 5 页 共 9 页

P
1 10 8

1 3

10 27

8 27

E? =3×3+27×4+27×5= 27 .…………………………..……………….. (12 分) 19. (Ⅰ)证明: F 是 PD 的中点时, EF // CD // AB , EG // PB ,? AB //平面 EFG , PB //平面 EFG , AB ? PB ? B ,?平面 PAB //平面 EFG , AP ? 平面 PAB , ? AP //平面 EFG .……………………………………………………..………(6 分) (Ⅱ)建立如图所示的坐标系,则有 G (1, 2,0) , C (0,2,0) , P(0,0, 2) , E (0,1,1) ,设 F (0,0, a) , ??? ? ??? ? ?? GF ? (?1, ?2, a) , GE ? (?1, ?1,1) ,平面 EFG 的法向量 n1 ? ( x, y,1) ,则有 ?? ?? x ? 2 y ? a ? 0 ?x ? 2 ? a z ,解得 ? . ?n1 ? (2 ? a, a ? 1,1) . ? P ?? x ? y ? 1 ? 0 ? y ? a ?1 ?? ? 平面 EFD 的法向量 n2 ? (1,0,0) ,依题意, ?? ?? ? 2?a 2 F cos n1 , n2 ? ? , 2 (2 ? a ) 2 ? ( a ? 1) 2 ? 1 E ??? ? ? a ? 1 .于是 GF ? (?1, ?2,1) . D x A ??? ? ?? ? 平面 PBC 的法向量 n3 ? (m, n,1) , PC ? (0,2, ?2) , ??? ? C BC ? (?2,0,0) ,则有 B G y ?? ? ?m ? 0 ?2n ? 2 ? 0 ,解得 ? . ?n3 ? (0,1,1) . ? ?n ? 1 ??2m ? 0 ??? ? ?? ? 1 3 FG 与平面 PBC 所成角为 ? ,则有 sin ? ? cos GF , n3 ? , ? 6 6? 2

107

33 .………………………………………………………………(12 分) 6 2 20.解:(Ⅰ)设抛物线的方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,依题意, 2 p ? 2 ,
故有 cos ? ? 则所求抛物线的方程为 y ? 2 x .………………………………………………(2 分)
2

设直线 PQ 的方程为 x ? my ? n ,点 P 、 Q 的坐标分别为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) . 由?

? x ? my ? n
2

? y ? 2x ??? ? ???? y1 ? y2 ? 2m , y1 ? y2 ? ?2n .∵ AP ? AQ ,∴ AP ? AQ ? 0 .

2 2 ,消 x 得 y ? 2my ? 2n ? 0 .由 ? ? 0 ,得 m ? 2n ? 0 ,

? a2 ? ? a 2 ?? a2 ? 设 A 点坐标为 ? , a ? ,则有 ? x1 ? ?? x2 ? ? ? ( y1 ? a )( y2 ? a ) ? 0 . 2 ?? 2? ? 2 ? ? y2 y2 ? x1 ? 1 , x2 ? 2 ,?( y1 ? a)( y2 ? a) ?( y1 ? a)( y2 ? a) ? 4? ? 0 , 2 2 ∴ ( y1 ? a)( y2 ? a) ? 0 或 ( y1 ? a)( y2 ? a) ? 4 ? 0 .
2 2 2 ∴ 2n ? a ? 2ma 或 2n ? a ? 2ma ? 4 , ∵ ? ? 0 恒成立. ∴ 2n ? a ? 2ma ? 4 .

又直线 PQ 过定点 T (3, ? 2) ,即 n ? 3 ? 2m ,代入上式得

6 ? 2 2m ? a2 ? 2ma ? 4, a2 ? 2 ? 2m(a ? 2) ? 0, 注意到上式对任意 m 都成立,
故有 a ?

2 ,从而 A 点坐标为 1, 2 .…………………………………………(8 分)

?

?

(Ⅱ)假设存在以 PQ 为底边的等腰直角三角形 APQ ,由第(Ⅰ)问可知,将 n 用 n ? 3 ? 2m 代换得直线 PQ 的方 程为 x ? my ? 2m ? 3 .设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,

第 6 页 共 9 页

由?

? ? x ? my ? 2m ? 3
2

? ? y ? 2x ∴ y1 ? y2 ? 2m , y1 ? y2 ? ?2 2m ? 6 .
∵ PQ 的中点坐标为 ? ∵

消 x ,得 y 2 ? 2my ? 2 2m ? 6 ? 0 .

2 2 ? x1 ? x2 y1 ? y2 ? ? y1 ? y2 y1 ? y2 ? , 即 , , ? ?, 2 ? ? 4 2 ? 2 ? ?

2 y12 ? y2 ( y ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ? 1 ? m2 ? 2m ? 3 ,∴ PQ 的中点坐标为 (m2 ? 2m ? 3, m) . 4 4 m? 2 由已知得 2 ? ?m ,即 m3 ? 2m2 ? 3m ? 2 ? 0 . m ? 2m ? 2 设 g (m) ? m3 ? 2m2 ? 3m ? 2 ,则 g?(m) ? 3m2 ? 2 2m ? 3 ? 0 ,

? g (m) 在 R 上是增函数.又 g (0) ? ? 2 ? 0 , g (1) ? 4 ? 0 , ? g (m) 在 (0,1) 内有一个零点.函数 g (m) 在 R 上有且只有一个零点,
所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. ……………………..………(12 分) a a 21.解:(Ⅰ) f ? ? x ? ? ? 2bx , f ? ? 2 ? ? ? 4b , f ? 2? ? a ln 2 ? 4b . x 2 ∴
a ? 4b ? ?3 ,且 a ln2 ? 4b ? ?6 ? 2ln2 ? 2 .解得 a=2,b=1. ……...…………(4 分) 2

(Ⅱ) f ? x ? ? 2ln x ? x 2 ,设 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x2 ? m , 则 h? ? x ? ?

2 2(1 ? x2 ) ,令 h? ? x ? ? 0 ,得 x=1(x=-1 舍去). ? 2x ? x x

1 当 x∈ [ , 1) 时, h? ? x ? ? 0 , h(x)是增函数;当 x∈ (1, e] 时, h? ? x ? ? 0 , h(x)是减函数. e 1 则方程 h ? x ? ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是 e

? 1 ? h ( e ) ≤ 0, ? ? 1 ? h (1) ? 0, 解得 1 ? m≤ 2 ? 2 .………………………………………..………(8 分) e ? h (e) ≤ 0. ? ? ?
(Ⅲ) g ? x ? ? 2ln x ? x ? kx , g ? ? x ? ?
2
2 ? 2 ln x1 ? x1 ? kx1 ? 0, ? 2 ? 2 ln x2 ? x2 ? kx2 ? 0, ? 则有 ? x1 ? x2 ? 2 x0 , ? ? 2 ? 2 x ? k ? 0. 0 ? ? x0

2 ? 2 x ? k .假设结论 g ? ? x0 ? ? 0 成立, x

① ② ③ ,①-②,得 2 ln ④
x1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 0 . x2

x1 x x ln 1 ln 1 x2 x2 2 x2 1 2 ? 2 x0 .由④得 k ? ? 2 x0 ,于是有 ? ∴k ? , ? ,∴ x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x0 x0 2ln

第 7 页 共 9 页

x1 ?2 x (t ? 1) 2 x x 2t ? 2 即 ln 1 ? 2 .⑤ 令 t ? 1 , u(t ) ? ln t ? (0<t<1),则 u ?(t ) ? >0. x1 x2 t ?1 t (t ? 1) 2 x2 ?1 x2 2
∴ u(t ) 在 0<t<1 上是增函数,有 u (t ) ? u (1) ? 0 ,∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴ g ? ? x0 ? ? 0 .……………………………………………………………..………(12 分) 22. (Ⅰ)证明:设 CF 与 AE 交于点 G ,连接 DG . C

EF AD ED AB ,? ,又△ CDE ∽△ DBE , ? ? FD DB FD DB CD DB CD AB .于是有 ,注意到 ? ? ? DE BE FD BE ?
?CDF ? ?ABE ,∴△ CDF ∽△ ABE ,

A

G a F m D e

E B

∴ ?DCG ? ?DAG ,∴ A、D、G、C 四点共圆.从而有 ?AGC ? ?ADC ? 90? , ∴ CF ? AE .………………………………………………………………………(5 分) (Ⅱ)在 Rt △ CEF 中, ??ECF ? ?AED ,

12 4 9 ,? EF ? ,由 CD2 ? CE ? CB ,知 CE ? , 5 5 5 4 4 ? 4 4 24 . ? tan ?ECF ? .又 tan ?DCB ? ,? tan ?DCF ? 3 9 ? 16 9 3 43 1? 27 24 .………………………………………………………………(10 分) 故 tan ?BAE ? 43
BC ? 5 , DE ?
23.解:(Ⅰ)曲线 C : x 2 ? y 2 ? a 2 ,直线 l : y ? 3x ? 2 .…….. ….…………(5 分) (Ⅱ)曲线 C ? :

? x 2 ? 4 y 2 ? 4a 2 x2 ? 2 2 , ,消去 y ,得 ? y ? a 与直线 l 联立得 ? 4 ? ? y ? 3x ? 2

13x2 ? 16 3x ? 16 ? 4a 2 ? 0 ,由△ ? 0 知, a 2 ?

4 2 13 ,? a ? . ……….…(10 分) 13 13

? ?3 x ? 5, x ? 1 ? 24. 解:(Ⅰ) f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | ? ? ? x ? 3,1 ? x ? 2 , ?3 x ? 5, x ? 2 ?

10 ? ? ? f ( x ) ? 5 的解集是 ? x | x ? 0或x ? ? .…………………... …….…………(5 分) 3? ?
(Ⅱ) x ? 1 时, f ( x ) ?| 2 ? a |, x ?

a a 时, f ( x ) ? ? 1 ,结合 f ( x ) 的图像知, 2 2

?2?a ? 4 ? ,解得 a ? 10 或 a ? ?6 , ?a ? 1 ? 4 ?2 ?
第 8 页 共 9 页

故 a 的取值范围是 a | a ? 10或a ? ?6 .…………………..……………..……(10 分)

?

?

第 9 页 共 9 页


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