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第2章 第10讲(理) 导数的概念及运算(理)


第二章
一、选择题

第十讲

A 组 基础巩固

1.下列各组函数中导函数相同的是 导学号 25400473 ( A.y=x2 与 y=2x C.y=lnx2 与 y=2lnx [答案] D

)

B.y=ln(-x)与 y=lnx 1 D.y=sinxcosx 与 y= sin2x 2

1 2 2 [解析] 对于选项 C,(lnx2)′= 2· 2x= (x≠0),(2lnx)′= (x>0),否定 C. x x x 对于选项 A,(x2)′=2x,(2x)′=2x· ln2,否定 A. 1 1 1 对于选项 B,(ln(-x))′=(- )×(-1)= (x<0),(lnx)′= (x>0),否定 B,故选 D. x x x lnx-2x 2.(2015· 宁夏大学附属中学上学期期中)函数 f(x)= 的图象在点(1,-2)处的切线 x 方程为 导学号 25400474 ( A.2x-y-4=0 C.x+y+1=0 [答案] D [解析] ∵f(1)=-2,∴点(1,-2)在函数的图象上. 1-lnx 1-ln1 ∴f ′(x)= 2 ,∴f ′(1)= 2 =1,∴切线方程是 y-(-2)=1· (x-1),即 x-y-3 x 1 =0.故选 D. x2 3. (2015· 吉林长春十一高中上学期阶段性考试)已知曲线 y= -3lnx+1 的一条切线的斜 4 1 率为 ,则切点的横坐标为 导学号 25400475 ( 2 A.3 C.1 [答案] A x0 3 1 [解析] 设切点为(x0,y0),则 f ′(x0)= - = ,解得 x0=3 或 x0=-2.又 x0>0,所以 2 x0 2 x0=3.故选 A. 4.(2015· 福建八县(市)一中上学期联考)函数 f(x)=excosx 的图象在点(0,f(0))处的切线的 倾斜角为 导学号 25400476 ( ) ) B .2 1 D. 2 ) B.2x+y=0 D.x-y-3=0

π A. 4 3π C. 4 [答案] A [解析] A.

B .0 D.1

π f ′(x)=excosx-exsinx,所以 f ′(0)=e0cos0-e0sin0=1,所以倾斜角 α= .故选 4

5.(2015· 日照一中检测)已知函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是 x-2y+1 =0,则 f(1)+2f ′(1)的值是 导学号 25400477 ( 1 A. 2 3 C. 2 [答案] D [解析] ∵函数 y=f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程是 x-2y+1=0, ∴f(1)=1, f ′(1) 1 = .∴f(1)+2f ′(1)=2,故选 D. 2 6 . 若 P 为 曲 线 y = lnx 上 一 动 点 , Q 为 直 线 y = x + 1 上 一 动 点 , 则 |PQ|min = 导学号 25400478 ( A.0 C. 2 [答案] C [解析] 如图所示,直线 l 与 y=lnx 相切且与 y=x+1 平行时,切 1 1 点 P 到直线 y=x+1 的距离|PQ|即为所求最小值. (lnx)′= , 令 =1, x x 得 x=1.故 P(1,0).故|PQ|min= 二、填空题 7 . 直 线 y = kx + b 与 曲 线 y = ax2 + 2 + lnx 相 切 于 点 P(1,4) , 则 b 的 值 为 ________. 导学号 25400479 [答案] -1 [解析] 由点 P(1,4)在曲线上可得 a×12+2+ln1=4, 解得 a=2, 故 y=2x2+2+lnx, y′ 1 1 =4x+ ,从而曲线在点 P 处切线的斜率 k=y′|x=1=4×1+ =5,则切线方程为 y=5x+b, x 1 由点 P 在切线上得 4=5×1+b,解得 b=-1. 2 = 2.故选 C. 2 ) B. 2 2 B .1 D.2 )

D.2

8. 设函数 f(x)在(0, +∞)内可导, 且 f(ex)=x+ex, 则 f ′(1)=________. 导学号 25400480 [答案] 2

1 [解析] 方法 1 令 t=ex,故 x=lnt,∴f(t)=lnt+t,即 f(x)=lnx+x,∴f ′(x)= +1, x ∴f ′(1)=2. 方法 2 f ′(ex)=1+ex,f ′(1)=f ′(e0)=1+e0=2. 1 9.(2015· 陕西)设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂直, x 则 P 的坐标为________. 导学号 25400481 [答案] [解析] (1,1) 1 y′=ex,则 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k 切=1,又曲线 y= (x>0)上点 P 处 x

1 的切线与 y=ex 在点(0,1)处的切线垂直, 所以 y= (x>0)在点 P 处的切线的斜率为-1, 设 P(a, x 1 - b),则曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线的斜率为 y′|x=a=-a 2=-1,可得 a=1,又 P(a, x 1 b)在 y= 上,所以 b=1,故 P(1,1). x 10.(2014· 安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (ⅰ)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切;(ⅱ)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,则 称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编 号). 导学号 25400482 ①直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x3 ②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1)2 ③直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sinx ④直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tanx ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=lnx [答案] ①③④ [解析] 对于①,y′=3x2,y′|x=0=0,所以 l:y=0 是曲线 C:y=x3 在点 P(0,0)处的切 线,画图可知曲线 C:y=x3 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧,①正确;对于②,因为 y′ =2(x+1),y′|x=-1=0,所以 l:x=-1 不是曲线 C:y=(x+1)2 在点 P(-1,0)处的切线,② 错误;对于③,y′=cosx,y′|x=0=1,在点 P(0,0)处的切线为 l:y=x,画图可知曲线 C:y 1 1 =sinx 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧,③正确;对于④,y′= 2 ,y′|x=0= 2 =1, cos x cos 0 在点 P(0,0)处的切线为 l:y=x,画图可知曲线 C:y=tanx 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧,

1 ④正确;对于⑤,y′= ,y′|x=1=1,在点 P(1,0)处的切线为 l:y=x-1,令 h(x)=x-1- x 1 x-1 lnx(x>0),可得 h′(x)=1- = ,所以 h(x)min=h(1)=0,故 x-1≥lnx,可知曲线 C:y x x =lnx 在点 P(1,0)附近位于直线 l 的下侧,⑤错误. 三、解答题 11.已知函数 f(x)=x3+x-16. 导学号 25400483 (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. [答案] [解析] (1)y=13x-32 (2)y=13x,(-2,-26) (1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上.

∵f ′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1. ∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f ′(2)=13. ∴切线的方程为 y+6=13(x-2),即 y=13x-32. (2)设切点坐标为(x0,y0),
2 则直线 l 的斜率为 f ′(x0)=3x0 +1,y0=x3 0+x0-16, 2 ∴直线 l 的方程为 y=(3x0 +1)(x-x0)+x3 0+x0-16.

又∵直线 l 过坐标点(0,0),
2 ∴0=(3x0 +1)(-x0)+x3 0+x0-16,

整理得,x3 0=-8,∴x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, 得切点坐标(-2,-26),k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). 12 . (2015·临 沂 一 模 ) 已 知 函 数 f(x) = C. 导学号 25400484 (1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围; (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线, 求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的 取值范围. [答案] [解析] (1)[-1,+∞) (2)(-∞,2- 2]∪(1,3)∪[2+ 2,+∞) (1)由题意得 f ′(x)=x2-4x+3, 1 3 x - 2x2 + 3x(x ∈ R) 的 图 象 为 曲 线 3

则 f ′(x)=(x-2)2-1≥-1, 即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞). (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k,

k≥-1, ? ? 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,? 1 ? ?-k≥-1, 解得-1≤k<0 或 k≥1, 故由-1≤x2-4x+3<0 或 x2-4x+3≥1, 得 x∈(-∞,2- 2]∪(1,3)∪[2+ 2,+∞). B 组 能力提升 1.(2015· 福建)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=-1,其导函数 f ′(x)满足 f ′(x)>k >1,则下列结论中一定错误的是 导学号 25400485 ( 1 1 A.f( )< k k 1 1 C.f( )< k-1 k-1 [答案] C 3 1 2 1 2 1 [解析] 取满足题意的函数 f(x)=2x-1, 若取 k= , 则 f( )=f( )= < = , 所以排除 A; 2 k 3 3 3 k 11 10 11 1 1 k 若取 k= ,则 f( )=f( )=f(10)=19>11= = ,所以排除 D;取满足题意 10 11 11 k-1 k-1 -1 -1 10 10 1 1 1 1 的函数 f(x)=10x-1,若取 k=2,则 f( )=f( )=4>1= = ,所以排除 B.故结论一 k 2 2-1 k-1 定错误的是 C. 2.(2015· 重庆七校联盟联考)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲 线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率是 导学号 25400486 ( A.2 C.3 [答案] A [解析] 由 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8 两边求导得,f ′(x)=2f ′(2-x)×(-1)-2x+8. B .1 D.-2 ) )

1 1 B.f( )> k k-1 1 k D.f( )> k-1 k-1

令 x=1 得 f ′(1)=2f ′(1)×(-1)-2+8?f ′(1)=2,故所求切线斜率是 2. 3. (2015· 江西九江月考)给出定义: 若函数 f(x)在 D 上可导, 即 f ′(x)存在, 且导数 f ′(x) 在 D 上也可导,则称 f(x)在 D 上存在二阶导数,记为 f ″(x)=[f ′(x)]′,若 f ″(x)<0 在 D π 上恒成立,则称 f(x)在 D 上为凸函数.以下四个函数在(0, )上是凸函数的是________(把你 2 认为正确的序号都填上). 导学号 25400487 ①f(x)=sinx+cosx;②f(x)=lnx-2x;

③f(x)=-x3+2x-1;④f(x)=xex. [答案] ①②③ π [解析] 由①知,f ′(x)=cosx-sinx,则 f ″(x)=-sinx-cosx=- 2sin(x+ )<0 在区 4 π 1 1 π 间(0, )上恒成立;由②知,f ′(x)= -2(x>0),则 f ″(x)=- 2<0 在区间(0, )上恒成立; 2 x x 2 π 由③知,f ′(x)=-3x2+2,则 f ″(x)=-6x<0 在区间(0, )上恒成立.故①②③中的函数 2 π 为凸函数.由④知,f ′(x)=ex+xex,f ″(x)=2ex+xex=ex(x+2)>0 在区间(0, )上恒成立, 2 故④中的函数不是凸函数. lnx 4.设 L 为曲线 C:y= 在点(1,0)处的切线. 导学号 25400488 x (1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. [答案] [解析] (1)y=x-1 (2)略

1-lnx lnx (1)设 f(x)= ,则 f ′(x)= 2 . x x

所以 f ′(1)=1,即 L 的斜率为 1. 又 L 过点(1,0),所以 L 的方程为 y=x-1. (2)令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)>0(?x>0, x≠1). x2-1+lnx g(x)满足 g(1)=0,且 g′(x)=1-f ′(x)= . x2 当 0<x<1 时,x2-1<0,lnx<0,所以 g′(x)<0,故 g(x)单调递减; 当 x>1 时,x2-1>0,lnx>0,所以 g′(x)>0,故 g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 5.(2015· 河北唐山一中月考)已知函数 f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12 和直 线 m:y=kx+9,且 f ′(-1)=0. 导学号 25400489 (1)求 a 的值; (2)是否存在 k,使直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线,又是曲线 y=g(x)的切线?如果存在, 求出 k 的值;如果不存在,请说明理由. [答案] [解析] (1)a=-2 (2)k=0

(1)由已知得 f ′(x)=3ax2+6x-6a,

∵f ′(-1)=0,∴3a-6-6a=0,∴a=-2. (2)存在.由已知得,直线 m 恒过定点(0,9),若直线 m 是曲线 y=g(x)的切线,则设切点

为(x0,3x2 0+6x0+12). ∵g′(x0)=6x0+6, ∴切线方程为 y-(3x2 0+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0), 将(0,9)代入切线方程,解得 x0=± 1. 当 x0=-1 时,切线方程为 y=9; 当 x0=1 时,切线方程为 y=12x+9. 由(1)知 f(x)=-2x3+3x2+12x-11, ①由 f ′(x)=0 得-6x2+6x+12=0,解得 x=-1 或 x=2. 在 x=-1 处,y=f(x)的切线方程为 y=-18; 在 x=2 处,y=f(x)的切线方程为 y=9, ∴y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9. ②由 f ′(x)=12 得-6x2+6x+12=12,解得 x=0 或 x=1. 在 x=0 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-11; 在 x=1 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-10, ∴y=f(x)与 y=g(x)的公切线不是 y=12x+9. 综上所述,y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9,此时 k=0.


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