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高中数学基础知识与基本题型(完整版)


高中数学基础知识与基本题型(理) 种特殊情况.同样当 A ? B 时,你是否忘记 A ? ? 的情形?

集合
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求 有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性, 如(1)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= {a ? b | a ? P , b ? Q} ,若 P ? {0,2,5} , Q ? {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的有_____个。 (答:8) (2)设 U ? {( x, y) | x ? R, y ? R} , A ? {( x, y) | 2 x ? y ? m ? 0} , B ? {( x, y) | x ? y ? n ? 0} , 那 么 点 P(2,3) ? A (Cu B) 的 充 要 条 件 是 ________ ( 答 : ; m ? ?1, n ? 5 ) (3)非空集合 S ? {1,2,3,4,5} ,且满足“若 a ? S ,则 6 ? a ? S ”,这样的 S 共有_____个(答:7) (4)已知集合 A ? {1,3, a} ,集合 B ? {1, a 2 ? a ? 1} ,如 果 B ? A ,求 a 的值 若 a2 ? a ? 1 ? 3 ,即 a2 ? a ? 2 ? 0, 则a ? ?1或a ? 2 , 若 a2 ? a ? 1 ? a即a2 ? 2a ? 1 ? 0 ,即,则 a ? 1 。 当 a=1 时,A 中有两个相同的元素 1,与集合元素的互异 性矛盾,因此,a=1 应舍去,所以,满足题意的 a 的值为 -1,2。 (5)已知集合 A ? {x, xy, xy ? 1}, B ? {0,| x |, y} ,且 A=B, 求 x、y 的值。 解:由集合元素中的互异性可知,x≠0,y≠0,所以 A 中的 元素 xy≠0,只有 xy ? 1 ? 0 ,解得 xy=1。 (1)x=y,且 xy ?| x | ,再注意到 xy=1,解得

如(1) A ? {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A a 的取值范围。

R? ? ? ,求

(2)集合A ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,B ? ?x | ax ? 1?

?

?

若B ? A,则实数a的值构成的集合为_________ 1 (答:{ ? 1, 0, }) 3 5.你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
?5 如(1) 已知关于x的不等式 ax ? 0的解集为M, 2 x ?a

若3 ? M且5 ? M,求实数a 的取值范围. a?3?5 ∵3 ? M,∴ 2 ?0 3 ?a

5 ? M, ? (a ? 5 ? 5)(52 ? a ) ? 0
? 5? ∴ a ? ?1, ? ? 3? (9,25]

x ? y ? ?1或xy ?| x |? 1 ,当 x ? y ? 1 时,xy=1,这违背了集
,则xy ?| x |? 1 , 合元素的互异性,故应舍去;若 x ? y ? ?1 从而两个集合中的元素相同。 (2) x ?| x | 且xy ? y, 解得x ? y ? 1 ,解得,不满足集合元素 的互异性,也应舍去。 综合(1)、(2)可得,只有 x ? ?1, y ? ?1 符合题意。 2.研究集合问题, 一定要理解集合的意义――抓住集合 的代表元素。要看代表元素是数还是数对,代表元素是数 时,是函数关系中自变量的取值 ,还是因变量的取值,可与 方程、不等式的解集、函数的定义域、值域联系;代表元 素是数对时,可联系点的坐标,与平面中的点集(曲线) 联系.如:?x | y ? lg x? —函数的定义域;? y | y ? lg x? —函数
的值域; ?( x, y) | y ? lg x? —函数图象上的点集, 如 ( 1 ) 设 集 合 M ? {x | y ? x ? 2} , 集 合 N =
2

(2)已知函数 f ( x) ? 4 x2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p2 ? p ? 1 在区 间 [?1,1] 上至少存在一个实数 c ,使 f (c) ? 0 ,求实数 p 的 3 取值范围. (答: (?3, ) ) 2 提醒: ,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的 有关问题。 6.集合间的包含问题,简化后,代表元素是数的, 在数轴上,可通过相应区间端点(区间覆盖)来解, 若与一元二次不等式的解集有关, 还可考虑根的分布. (注意端点能否取到) 7.对于含有 n 个元素的有限集合 M,其子集、真子集、非 空 子 集 、 非 空 真 子 集 的 个 数 依 次 为 2n,2n ? 1, 2n ? 1, 2n ? 2. 如 满足 {1,2}? ? M ? {1,2,3,4,5} 集 合 M 有 ______ 个。 (答:7) 满足 A

B C ? {1,2,3}的集合组

( A, B, C)有 ___ 组 。 ( 73 ) 8.集合的运算性质: ⑴ A B ? A ? B ? A; ⑵ A B ? B ? B ? A; ⑶ A ? B ? U A ? UB ;
⑷ A? UB ? ? ? A ? B ; ⑸ ⑹ ⑺
U

A? B ? ? ? A ? B ;
B) ?
U

U (A

A

U

B;
B ? {2} ,( U A)

U

(A

B) ?

U

A

U

B.
B ? {4} ,

如设全集 U ? {1,2,3,4,5} , 若A

? y | y ? x , x ? M ? ,则 M

N ? ___(答: [4, ??) ) ;

( U A)

则 A=___, B=___. (答:A ? {2,3} , ( U B) ? {1,5} ,

B ? {2,4} )

(2)设集合 M ? {a | a ? (1, 2) ? ? (3, 4), ? ? R} ,

N ? {a | a ? (2,3) ? ? (4,5) ,? ? R} , 则 M N ? _____ (答: {(?2, ?2)} ) 3. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具, 数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要先把集合中 各种形式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、 直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、 形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决; 4.遇到 A B ? ? 时, 你是否注意到“极端”情况:A ? ? 或 B ? ? ;要注意到 ? 是任何集合的子集,是任何非空集 合的真子集。在具体计算时不要忘了集合本身和空集 这两
- 51 -

常用逻辑用语
1.命题定义: 可以判断真假的语句叫做命题,

逻辑连接词有“或” (? ),“且” (? ) 和 “非”(?)
2.含有逻辑连结词的命题真假的判断:
若p ? q为真,当且仅当 p、q均为真

高中数学基础知识与基本题型(理)
若p ? q为真,当且仅当 p、q至少有一个为真

若?p为真,当且仅当 p为假

其中正确命题的序号是_______(答:①④) ; ( 2 ) 设 命 题 p : | 4 x ? 3 |? 1 ; 命 题

q:

“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”;“且命 题”的真假特点是“一假即假,要真全真”;“非命题”的真假 特点是“真假相反”。 如在下列说法中: ⑴“ p 且 q ”为真是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件; ⑵“ p 且 q ”为假是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件; ⑶“ p 或 q ”为真是“非 p ”为假的必要不充分条件; ⑷“非 p ”为真是“ p 且 q ”为假的必要不充分条件。其中正 确的是__________(答:⑴⑶) 3.四种命题及其相互关系。 若原命题是“若 p 则 q”,则逆命题为“若 q 则 p”;否命 题为“若﹁p 则﹁q” ;逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。 提醒: (1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆 否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。但原命题 与逆命题、否命题都不等价;当一个命题的真假不易判断 时,可考虑判断其等价命题的真假; (2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要 注意“非或即且,非且即或”; (3)全称命题及特称命题的否定: 全称命题 p : ?x ? M , P( x) ,它的否定 ?p : ?x ? M , ?P( x) 特称命题 p : ?x ? M , P( x) ,它的否定 ?p : ?x ? M , ?P( x) (4)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要 对命题的条件和结论都否定而命题的否定仅对命题的结论 否定; (5)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一 般利用等价关系“ "A ? B ? ?B ? ?A" ”判断其真假, 这也 是反证法的理论依据。 (6)哪些命题宜用反证法? 如(1)“在△ABC 中,若∠C=900,则∠A、∠B 都是 锐角”的否命题为 (答: 在 ?ABC 中,若 ?C ? 90 ,则 ?A, ?B 不都是锐角) ; x ? 2 (2) 已知函数 f ( x) ? a x ? 证明方程 f ( x) ? 0 没 ,a ?1, x ?1 有负数根。 4.充要条件 判断命题充要条件的三种方法: ①定义法:关键是分清条件和结论(划主谓宾) ,由条件 可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出 条件,则条件是结论成立的必要条件; ②从集合角度解释,利用集合间的包含关系判断:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 B ? A ,则 A 是 B 的必要条件或 B 是 A 的充分条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件 ③等价法:即利用等价关系 "A ? B ? ?B ? ?A" 判断,对于 条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等 价法; 如(1)给出下列命题:①实数 a ? 0 是直线 ax ? 2 y ? 1 与 2ax ? 2 y ? 3 平 行 的 充 要 条 件 ; ② 若 a, b ? R, ab ? 0 是 ③已知 x, y ? R , “若 xy ? 0 , a ? b ? a ? b 成立的充要条件; 则 x ? 0 或 y ? 0 ”的逆否命题是“若 x ? 0 或 y ? 0 则 xy ? 0 ”; ④“若 a 和 b 都是偶数, 则 a ? b 是偶数”的否命题是假命题 。 - 52 -

x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 。若┐p 是┐q 的必要而不充分的 1 条件,则实数 a 的取值范围是 (答: [0, ] ) 2 5. 一元一次不等式的解法:通过去分母、去括号、移 b 项、 合并同类项等步骤化为 ax ? b 的形式, 若 a ? 0 ,则 x ? ; a b 若 a ? 0 ,则 x ? ; 若 a ? 0 ,则当 b ? 0 时,x ? R ; 当 b ? 0 时, a x?? 。 如已知关于 x 的不等式 (a ? b) x ? (2a ? 3b) ? 0 的解集 1 为 (??, ? ) ,则关于 x 的不等式 (a ? 3b) x ? (b ? 2a) ? 0 的解 3 集为_______(答: {x | x ? ?3} ) 6. 一元二次不等式的解集(联系图象)。尤其当 ? ? 0 和 ? ? 0 时的解集你会正确表示吗?设 a ? 0 , x1 , x2 是方程
ax2 ? bx ? c ? 0 的两实根,且 x1 ? x2 ,则其解集如上表:

如解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 。(答:当 1 当 a ? 0 时,x ? 1 或 x ? ; 当 0 ? a ? 1 时, a ? 0 时,x ? 1 ; a 1 1 当 a ? 1 时, 不等式无解; 当 a ? 1 时, ? x ? 1 ) 1? x ? ; a a 一元二次不等式解法步骤: (1) 把二次项的系数变为正的(如果是负,那么在不等 式两边都乘以-1,把系数变为正) (2) 解对应的一元二次方程 (先看能否因式分解, 若不能, 再看△,然后求根) 提醒: ? ? 0 时,结合相应函数的图像直接写出结论. (3)比较一元二次方程的根、结合相应函数的图像及不等 式的方向写出一元二次不等式的解集. 提醒:勿忘数形结合 (4)解集公式如下表:

7. 对于方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实数解的问题。 首先要讨论最高次项系数 a 是否为 0,其次若 a ? 0 , 则一定有 ? ? b2 ? 4ac ? 0 。对于多项式方程、不等式、函数 的最高次项中含有参数时,你是否注意到同样的情形? 提醒: “实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实数解” 转化为“ ? ? b2 ? 4ac ? 0 ”,你是否注意到必须 a≠0; 当 a=0 时, “方程有解” 不能转化为 ? ? b2 ? 4ac ? 0 。 若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,你 是否考虑到二次项系数可能为零的情形? 如: (1) ? a ? 2? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒成 立,则 a 的取值范围是____(答: (1, 2] ); (2)关于 x 的方程 f ( x) ? k 有解的条件是什么? (答: ? k ? D ,其中 D 为 f ( x) 的值域),特别地,若在 [0, ] 内有 2 两个不等的实根满足等式 cos2 x ? 3sin 2 x ? k ? 1 ,则实数 k 的范围是_______.(答: [0,1) ) 8.一元二次方程根的分布理论。

高中数学基础知识与基本题型(理) 方程 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在 (k , ??) 上有两根、 在 (m, n) 上有两根、在 (??, k ) 和 (k , ??)
y

(a>0)

O

k x1

x2

x

上各有一根的充要条件分别是什么?

?? ? 0 ? ? f (m) ? 0 ?? ? 0 ? ? ( ? f (k ) ? 0 、 ? f (n) ? 0 、 f (k ) ? 0 ) 。 ? ? b ?m ? ? b ? n ?? ? k ? 2a ? 2a 根的分布理论成立的前提是开区间,若在闭区间 [m, n] 讨论 方程 f ( x) ? 0 有实数解的情况,可先利用在开区间 (m, n) 上 实根分布的情况,得出结果,再令 x ? n 和 x ? m 检查端点 的情况.基本思维程序是:①在某区间上只有一解,只考 虑端点符号 ②在某区间上有两解,考虑对成轴、判别式、端点 符号 ③端点单独考虑 提醒:①根据要求先画出抛物线,然后写出图象成立的 充要条件②端点,验证端点。 如实系数方程 x2 ? ax ? 2b ? 0 的一根大于 0 且小于 1,另 b?2 一根大于 1 且小于 2, 则 的取值范围是_________ (答: a ?1 1 ( , 1) ) 4
9.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了 吗 ? 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0 的 两 个 根 即 为 二 次 不 等 式
ax2 ? bx ? c ? 0(? 0) 的 解 集 的 端 点 值 , 也 是 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点的横坐标。

确的是 A、M 中每一个元素在 N 中必有象 B、N 中每一个元素在 M 中必有原象 C、N 中每一个元素在 M 中的原象是唯一的 D、N 是 M 中所在元素的象的集合(答:A) ; ②点 (a, b) 在映射 f 的作用下的象是 (a ? b, a ? b) , 则在 (2,-1) ) ; f 作用下点 (3,1) 的原象为点________(答: ③若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} , a, b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有 个,B 到 A 的映射有 个,A 到 B 的函数有 个(答:81,64,81) ; 更一般地:若 A 中含有 m 个元素 B 中含有 n 个元素, 从 A 到 B 能建立多少个映射?( n m ) ④设集合 M ? {?1,0,1}, N ? {1,2,3,4,5} ,映射 f : M ? N 满足条件 “对任意的 x ? M , x ? f ( x) 是奇数 ”, 这样的映射 f 有____个(答:12) ; ⑤设 f : x ? x 2 是集合 A 到集合 B 的映射, 若 B={1,2}, 则 A B 一定是_____(答: ? 或{1}). 2.函数 f : A ? B 是特殊的映射.特殊在定义域 A 和值 域 B 都是非空数集!据此可知函数图像与 x 轴的垂线至多 有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能 有任意个. 如 ① 已 知 函 数 f ( x) , x ? F , 那 么 集 合 {( x, y) | y ? f ( x), x ? F} {( x, y) | x ? 1} 中所含元素的个数有 个(答:0 或 1) ; 1 ②若函数 y ? x 2 ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间 2 (答:2) [2,2b] ,则 b = 3. 同一函数的概念.构成函数的三要素是定义域,值域 和对应法则.而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此 当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一 函数. 如 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义 域不同, 则称这些函数为“天一函数”, 那么解析式为 y ? x 2 , 值域为{4,1}的“天一函数”共有______个(答:9) 4.分段函数的概念.分段函数是在其定义域的不同子集 上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,它是 一类较特殊的函数.注意分段函数是一个函数,而不是几个 函数.在求分段函数的值 f ( x0 ) 时,一定首先要判断 x0 属于 定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式; 求分段函数 的定义域 , 先选定所有分段的区间 , 然后取这些区间的并集 所得到的集合就是分段函数的定义域 ,分段函数的值域应是 其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集. 2 ? ?( x ? 1) .( x ? 1) 如①设函数 f ( x) ? ? , ? ?4 ? x ? 1.( x ? 1) 则使得 f ( x) ? 1 的自变量 (答: (??, ?2] [0,10] ) ; ② 已 知

如(1)不等式

x ? ax ?

3 的 解 集 是 (4, b) , 则 a 2

1 =__________(答: ) ; 8

( 2 ) 若 关 于 x 的 不 等 式 ax2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 (??, m) (n, ??) , 其 中 m ? n ? 0 , 则 关 于 x 的 不 等 式
cx2 ? bx ? a ? 0 的 解 集 1 1 ; ( ??, ? ) ( ? , ??) ) m n



________ ( 答



x 的取值范围是 __________
, 则 不 等 式

(3)不等式 3x2 ? 2bx ? 1 ? 0 对 x ?[?1,2] 恒成立,则实 数 b 的取值范围是_______(答: ? ) 。

( x ? 0) ?1   f ( x) ? ? ( x ? 0) ??1  





3 x ? ( x ? 2) f ( x ? 2) ? 5 的解集是____(答: (??, ] ) 2 ③作出分段函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 的图像

1.映射 f : A ? B 的概念.在理解映射概念时要注意:⑴ A 中元素必须都有象且唯一; ⑵B 中元素不一定都有原象(B 中元素可以无原象) ,但原象不一定唯一(A 中不同元素在 B 中可以有相同的象). 如①设 f : M ? N 是集合 M 到 N 的映射,下列说法正 - 53 -

解:根据“零点分段法” 去掉绝对值符号,即: y ? x ? 1 ? x ? 2
??(2 x ? 1) ? =? 3 ? 2x ? 1 ?

x ? ?2 ?2 ? x ? 1 x ?1

y

作出图像如图.

x

高中数学基础知识与基本题型(理) ④作出函数 y ?| x2 ? 2x ? 3| 的函数图像 ③若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 那么当 x ? (??,0) 时,f ( x) =________ (答: x(1 ? 3 x ) ). 这里需值得注意 的是所求解析式的定义域的等价性, 即 f ( x) 的定义域应是 g ( x) 的值域. (3)方程的思想 ――已知条件是含有 f ( x ) 及另外一 个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从 而得到关于 f ( x) 及另外一个函数的方程组. 如①已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 , 求 f ( x) 的解析式 (答: 2 ; f ( x) ? ?3x ? ) 3
1 = ,则 f ( x ) = x ?1

?x ? 2x ? 3 ? 解: y ? ? 2 ? ??( x ? 2 x ? 3)
2

x ? 2x ? 3 ? 0 x2 ? 2x ? 3 ? 0
2

步骤: (1)作出函数 y= x ?2x?3 的图象 (2)将上述图象 x 轴下方部分以 x 轴为对称轴向上翻折 (上方部分不变) ,即得 y=| x 2 ?2x?3|的图象
6 5
王新敞
奎屯 新疆

2

4

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

8

-1

-2

-3

-4

②已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) + g ( x) x __(答: 2 ). x ?1

⑤作函数 y=|x-2|(x+1)的图像 分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些 困难,除去对其函数性质分析外,我们还应想到对已知解 析式进行等价变形. 解:(1)当 x≥2 时,即 x-2≥0 时,
1 9 y ? ( x ? 2)( x ? 1) ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? ) 2 ? 2 4

当 x<2 时,即 x-2<0 时,
1 9 y ? ?( x ? 2)( x ? 1) ? ? x 2 ? x ? 2 ? ?( x ? )2 ? 2 4
2 ?? 1? 9 x?2 ? ?x? ? ? 2? 4 ?? ∴y?? 2 1? 9 ? ? x?2 ? x ? ? ? ? ? 2? 4 ? ? 这是分段函数,每段函数图象可根据二次函数图象作 出
8

(4)分段函数解析式分段求解. 如函数在闭区间 [?1,2] 上的图象如右图 所示,则求此函数的解 析式. 解: ?1 0) ? x ? 1(?1 ? x ? ? f ( x) ? ? 1 ? x(0 ? x ? 2) ? ? 2

y
1
O
2

x

?1

(5)实际应用问题 把长为 a 的铁丝折成矩形,设矩形的一边长为 x ,面 积为 s ,求矩形面积 s 与一边长 x 的函数关系式. 解:设矩形一边长为 x ,则另一边长为 1 (a ? 2 x ) ,
2

6

4

∴ s ? 1 x ? (a ? 2 x) ? ? x 2 ? 1 ax ( x ? (0, a ) ) . 2 2 2 说明:在解决实际问题时,求出函数解析式后,一定要写 出定义域. 6. 求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树 立定义域优先的原则) : (1) 约定: 如果不单独指出函数的定义域是什么集合, 那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数 x 的集合. 有这个约定, 我们在用解析式给出函数的对应法则 的同时也就给定了定义域,而求函数的定义域就是在这个 意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合. 根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不 能 为 零 , 对 数 log a x 中 x ? 0, a ? 0 且 a ? 1 , 三 角 形 中

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

5.求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法――已知所求函数的类型(二次函数 的表达形式有三种: 一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c ; 顶点式: f ( x) ? a( x ? m)2 ? n ; 零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,要会根据已知条件的 特点,灵活地选用二次函数的表达形式). 如已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求 f ( x) 的解析 1 式 .(答: f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ) 2 (2) 代换(配凑) 法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式, 求 f ( x ) 的表达式. 如 ①已知 f (1 ? cos x) ? sin x, 求 f x
2

0 ? A ? ? , 最大角 ?
如①函数 y?
(0,2) (2,3)

?
3

,最小角 ?

?
3

等.

x ?4 ? x? lg ? x ? 3?
2

的 定 义 域 是 ____( 答 :

(3,4) );

②若函数 y ?

kx ? 7 kx ? 4kx ? 3
2

的定义域为 R,则 k?

? ? 的解析式(答:
2

? 3? _______(答: ?0, ? ); ? 4?

f ( x2 ) ? ? x4 ? 2 x2 , x ?[? 2, 2] ) ; 1 1 2 ②若 f ( x ? ) ? x ? 2 ,则函数 f ( x ? 1) =_____ (答: x x

③函数 f ( x ) 的定义域是 [a, b] , b ? ?a ? 0 ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域是_ (答: [a, ?a] ); (4)设函数 f ( x) ? lg(ax2 ? 2 x ? 1) , ①若 f ( x) 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围;

x2 ? 2 x ? 3 ) ;
- 54 -

高中数学基础知识与基本题型(理) ②若 f ( x) 的值域是 R,求实数 a 的取值范围(答:① a ? 1 ;② 0 ? a ? 1 ) (2)根据实际问题的要求确定自变量的范围. (3) 复合函数的定义域: 若已知 f ( x) 的定义域为 [a, b] , 其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域由不等式 a ? g ( x) ? b 解出即 可;若已知 f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,求 f ( x) 的定义域,相 当于当 x ?[a, b] 时,求 g ( x) 的值域(即 f ( x) 的定义域). 以利用已学过函数的有界性,来确定所求函数的值域,最 常用的就是三角函数的有界性. 3x 2sin ? ? 1 2sin ? ? 1 如 求函数 y ? , y? ,y? 的 1 ? 3x 1 ? sin ? 1 ? cos? 1 3 值域(答: (??, ] 、 (0,1) 、 (??, ] ) ; 2 2 (3)单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数 函数,对数函数等函数的单调性. 1 如求 y ? x ? (1 ? x ? 9) , x 9 2 , y ? 2x ?5 ? log3 x ? 1 的 值 域 为 y ? sin x ? 1 ? sin 2 x 80 11 ______(答: (0, ) 、 [ ,9] 、 [2,10] ) ; 9 2 (4)数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何 意义,如两点的距离、直线斜率、等等, y 如 ① 已 知 点 P( x, y) 在 圆 x2 ? y 2 ? 1 上 , 求 及 x?2
y ? 2 x 的取值范围(答: [?

?1 ? 如 ①若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? , 2 ? ,则 f (log2 x) 的定 ?2 ?
义域为________.(答: x | 2 ? x ? 4 ) ; ②若函数 f ( x 2 ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的 定义域为________(答:[1,5]) . 用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时, 常有以下几种 情况: ①若 f(x)是整式,则函数的定义域是实数集 R; ②若 f(x)是分式, 则函数的定义域是使分母不等于 0 的 实数集; ③若 f(x)是二次根式, 则函数的定义域是使根号内的式 子大于或等于 0 的实数集合; ④若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的, 则函数的定 义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑤若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数, 则函数的定义 域应符合实际问题. 7.求函数值域(最值)的方法: (1)配方法——二次函数 主要有两类:一是求闭区间 [m, n] 上的最值;二是 求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题. 如①求函数 y ? x2 ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域(答:[4,8]) ; ②当 x ? (0,2] 时, 函数 f ( x) ? ax2 ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时 1 取得最大值,则 a 的取值范围是___(答: a ? ? ) ; 2 注:给定区间上的二次函数最值问题的解题步骤 (1)配方—找轴 (2)判断轴与所给区间的相对位置—确定在所给区间上 的单调性(轴的左右单调性不同) (3)画出草图 (4)结合草图,利用单调性得出结论. 求二次函数的最值问题, 勿忘数形结合, 注意“两看”: 一看开口方向; 二看对称轴与所给区间的相对位置关系. 闭 区间上的二次函数必有最值,最值在端点处或顶点处取得. (2)换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的 a 函数(如 y ? x ? (a ? 0) x , 其函数特征是函数解析式含有根式或三 y ? Asin(? x ? ? ) ) 角函数公式模型, 如 ① y ? 2sin 2 x ? 3cos x ? 1 的 值 域 为 _____ ( 答 : 17 ; [?4, ] ) 8 ② y ? 2 x ? 1 ? x ? 1 的值域为_____(答: (3, ??) ) (令 x ? 1 ? t ,t ? 0 .运用换元法时,要特别要注意新 元 t 的范围) ; ③ y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的 值 域 为 ____ ( 答 : 1 ; [?1, ? 2] ) 2

?

?

3 3 , ] 、 [? 5, 5] ) ; 3 3

② 求 函 数 y ? ( x ? 2)2 ? ( x ? 8)2 的 值 域 ( 答 : ; [10, ??) ) ③求函数 y ? x 2 ? 6 x ? 13 ? x 2 ? 4 x ? 5 及 y ? x2 ? 6 x ? 13 ? x2 ? 4 x ? 5 的值域(答:

[ 43, ??) 、 (? 26, 26) ) 注意 :求两点距离之和时,要将函数式变形,使两定 点在 x 轴的两侧, 而求两点距离之差时, 则要使两定点在 x 轴的同侧. (5) 函数的值域是自变量 x 在定义域中取每一个值时, 所对应的函数值的集合,也就是对 y 在且只在值域中的每 一个取值,x 在定义域中一定有一个值之对应.这样求函数 的值域就是把函数解析式看作关于 x 的方程后,此方程在 定义域内有解的参数 y 的取值范围.从而在函数与方程间建 立了一种关系“适当条件下可互(但不能解决方程根的个数 问题,方程根的个数问题可转化为相应函数图象交点问题 (一曲线、一直线,曲线定,直线动)一元二次函数根的 个数问题可考虑根的分布来解)由此: ax ? b ①y? 型:利用图象(两线一点)或部分分式法 cx ? d ax 2 ? bx ? c ②y? 2 型的判别式法:第一步,判断分子分母 dx ? ex ? f
ax ? b 型,但 cx ? d 要注意定义域改变所引起的后果,无时考察是否自然定义 . 第三步,自然定义的可考虑判别式法,但注意二次项是否 为零,不是的不能简单用判别式法,而应化为在定义域内 有解,用根的分布来解. ( 6 ) 不 等 式 法 ―― 利 用 基 本 不 等 式 其题型特征解析式是 a ? b ? 2 ab (a, b ? R? ) 求函数的最值, 和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过 有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 如设 x, a1 , a2 , y 成等差数列, x, b1 , b2 , y 成等比数列,则

有无公因式;第二步,有时约分化为上面 y ?

(a1 ? a2 ) 2 b1b2

的 取 值 范 围 是 ____________. ( 答 :

[1,3 2 ? 4] ) ④ y ? x ? 4 ? 9 ? x2 的值域为____ (答: ; (2)函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可
- 55 -

。 (??,0] [4, ??) ) (7)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函 数 f ( x) ? 2 x3 ? 4 x2 ? 40 x ,x ?[?3,3] 的最小值。 (答: -48)

高中数学基础知识与基本题型(理) 提醒 : (1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成 集合形式了吗?(2)函数的最值与值域之间有何关系? 8.函数的单调性。 (1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法: ①在解答题中常用: 定义法:取值――作差――变形――定号 注:为便于判断差的符号对差变形的方向是:完全平 方的和或因式的积. 导数法:在区间 (a, b) 内,若总有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为 增函数; 反之, 若 f ( x) 在区间 (a, b) 内为增函数, 则 f ?( x) ? 0 , 请注意两者的区别所在。 如已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数, 则 a 的取值范围是____(答: (0,3] )); ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等, b 特别要注意 y ? ax ? (a ? 0 ,b ? 0) 型函数的图象和单调性 x 在解题中的运用:增区间为 (??, ? 间不一定能添加符号“ ”和“或”; 三是单调区间应该用区间 表示,不能用集合或不等式表示. (3) 你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗? (①比 较大小;②解不等式;③求参数范围). 如已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围。(答: 1 2 ? ?m? ) 2 3 9.函数的奇偶性。 (1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须 关于原点对称!为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函 数定义域是否关于原点对称。 如若函数 f ( x) ? 2sin(3x ? ? ) , x ?[2? ? 5? ,3? ] 为奇函数,其中 ? ? (0,2? ) ,则 ? ? ? 的值 是 (答:0) ; (2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析 式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性) : | x ? 4 | ?4 ①定义法: 如 判断函数 y ? 的奇偶性 ____ 9 ? x2 (答:奇函数) 。 ②利用函数奇偶性定义的等价形式:f ( x ) ? f (? x ) ? 0 f (? x ) ? ?1 ( f ( x ) ? 0 ) 或 。 f ( x) 1 1 如判断 f ( x ) ? x( x (答: 偶函数) ? ) 的奇偶性___. 2 ?1 2 ③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图 象关于 y 轴对称。 (3)函数奇偶性的性质: ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其 单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性,则其单调性恰恰相反. ②若 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) . 如若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??,0) 上是减函数, 1 且 f ( ) =2,则不等式 f (log 1 x) ? 2 的解集为______.(答: 3 8
(0,0.5) (2, ??) ) ③若奇函数 f ( x ) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既不充分也不必要条件。 如 若

b b ],[ , ??) ,减区间为 a a

b b ,0),(0, ]. a a 如(1)若函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞, 4) 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是______(答: a ? ?3 )); ax ? 1 (2)已知函数 f ( x) ? 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函 x?2 1 数,则实数 a 的取值范围_____(答: ( , ??) ); 2 a ? ? (3)若函数 f ? x ? ? log a ? x ? ? 4 ? x ? ? [?

? a ? 0, 且a ? 1? 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是

______(答: 0 ? a ? 4 且 a ? 1 )); ③复合函数法:复合函数单调性的特点是先外后内、 同增异减.

如:求y ? log 1 ? ? x 2 ? 2 x ?的单调区间
2

解:设u ? ? x 2 ? 2 x,则y ? log 1 u,
2

又y ? l o g 0 ? ?)上是减函数, 1 u在( ,
2
2 由u ? 0即 -x ? x ?得 0 0? x ?2

u

u ? ? ? x ? 1? ? 1,如图:
2

当x ? ( 0 ,时, 1] u ? 2 x - ? 为增函数, x

当x ?[ 1 ,时, 2) u? 2 x - ? 为减函数 x
∴ y ? log 1 ? x 2 ? 2 x 的单调增区间
2

?

?

O

1

2

x

a · 2x ? a ? 2 为奇函数,则实数 a =____(答:1). 2x ? 1 ④定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可 表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”。 如 设 f ( x) 是 定 义 域 为 R 的 任 一 函 数 , f ( x) ? f ( ? x) f ( x) ? f ( ? x) , G ( x) ? 。 F ( x) ? 2 2 ① 判 断 F ( x) 与 G ( x) 的 奇 偶 性 ; ② 若 将 函 数 f ( x) ?

为 (0, 1] ,单调递减区间为 [1, 2) . 提醒:判断复合函数 f [? ( x)] 的单调性.

令y ? f( u , ) u ? ? ( ,则 x ) ?y ?? f (? ) x (外层) (内层)
先外后内:先求外层函数的单调区间,再在其基础上求 内层函数的单调性. 同增异减:当 内、外层函数单调性相同时 , f ?? ( x )?为增函数,否则f ?? ( x )?为减函数 . (2)特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域,如 a 若函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 3) 在区间 (??, ] 上为减函数, 2 求 a 的取值范围(答: (1,2 3) );二是在多个单调区间之 - 56 -

f ( x) ? lg(10x ? 1) ,表示成一个奇函数 g ( x) 和一个偶函数 则 g ( x) =____ (答: ① F ( x) 为偶函数,G( x) 为 h( x) 之和, 1 奇函数;② g ( x) = x ) 2 ⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个 ( f ( x) ? 0 , 定义域是关于 原点对称的任意一个数集). ⑧在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两 个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是 奇函数。 如:f ( x )为定义在(?1,上的奇函数, 1)
当x ? (0,时, 1) f ( x) ? 2x 求f ( x )在? ?1, 1? 上的解析式。 , 4 ?1
x

高中数学基础知识与基本题型(理)
(令x ? ? ?1, 0 ?,则 ? x ? ? 0, 1?,f ( ? x ) ?
又f ( x )为奇函数, ? f ( x) ? ?

2? x 4 ?1
?x

则 f(x)是周期为 4 a 的周期函数; 如已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是以 2 为周期的奇函数, 则方程 f ( x) ? 0 在 [?2,2] 上至少有__________个实数根 (答: 5) 11.常见的图象变换 (1) 平移变换: 图进标退 (变的只是解析式中的 x, y ) . ①函数 y ? f ? x ? a ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的。 注意 x 的系数非 1 时的情况. 如 设 f ( x) ? 2? x , g ( x) 的图像与 f ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称, h( x) 的图像由 g ( x) 的图像向右平移 1 个单位 得到,则 h( x) 为__________(答: h( x) ? ? log2 ( x ? 1) ) ②函数 y ? f ? x ? a ? ( (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位得到的。 如(1)若 f ( x ? 199) ? 4x2 ? 4x ? 3 ,则函数 f ( x) 的最 小值为____(答:2); (2) 要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关于 _____轴对称的图像, 再向____平移 3 个单位而得到(答:y ; 右 ); (3)函数 f ( x) ? x ? lg( x ? 2) ? 1 的图象与 x 轴的交点个 数有____个(答:2) ③函数 y ? f ? x ? + a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的; ④函数 y ? f ? x ? + a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 助图象沿 y 轴向下平移 a 个单位得到的;
b ? a 的图象向右平移 2 个单位后又向 x?a 下平移 2 个单位,所得图象如果与原图象关于直线 y ? x 对 称,那么 ( A)a ? ?1, b ? 0 ( B)a ? ?1, b ? R (C )a ? 1, b ? 0 ( D )a? 0 , b ? R(答:C) (2) 伸缩变换: 图伸标缩 (变的只是解析式中的 x, y ) .

2? x 2x ?? ?x 4 ?1 1 ? 4x

x ? ( ?1, 0) ? 2x ?? x ? 4 ?1 x ? 0 又f (0) ? 0,∴f ( x ) ? ? x ? 2 x ? ? 0, 1? x ? ?4 ? 1 10.函数的周期性 (1) 由周期函数的定义“函数 f ( x ) 满足
f ? x ? ? f ? a ? x ? (a ? 0) ,则 f ( x) 是周期为 a 的周期

函数”得: ①函数 f ( x) 满足 f ? a ? x ? ? ? f ? x ? , 则 f ( x) 是周期为 2 a 的 周期函数; ②若 f ( x ? a) ?

1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ; f ( x) 1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . f ( x)

③若 f ( x ? a) ? ?

提醒: (1)函数 f ( x) 满足 f ? x ? a ? ? f ( x ? a) ,
f ? x ? 2a ? ? f ? x ?

f ?a ? x? ? b ? f ? x?
f ( x ? a) ? f ( x) ? 1 , f ( x) ? 1

f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) , 1 ? f ( x)

则函数 f ( x ) 是周期为 2 a 的周期函数; ( 2 ) 函 数 f ( x) 对 x ∈ R 时 , 对 于非 零 实数 a, 恒 有 f ( x) ? 1 f ( x ? a) ? ,则 f(x)是周期函数且 3a 是函数的一个 f ( x) 周期. 如 (1) 设 f ( x) 是 (??, ??) 上 的 奇 函 数 , f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则 f (47.5) 等 于_____(答: ?0.5 ); (2)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 在 [?3, ?2] 上是减函数,若 ? , ? 是锐角三角形的两个内角, 则 f (sin ? ), f (cos ? ) 的 大 小 关 系 为 _________( 答 : f (sin ? ) ? f (cos ? ) ); (3) 已知 f ( x) 是偶函数, 且 f (1) =993,g ( x) = f ( x ? 1) 是奇函数,求 f (2005) 的值(答:993); ( 4 ) 设 f ? x? 是 定 义 域 为 R 的 函 数 , 且

如将函数 y ?

⑤函数 y ? f ? ax ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的
1 得到的。 a 如(1)将函数 y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标变为 1 原来的 (纵坐标不变) ,再将此图像沿 x 轴方向向左平移 3 2 个单位,所得图像对应的函数为_____(答: f (3x ? 6) ); ( 2 ) 如 若 函 数 y ? f (2 x ? 1) 是 偶 函 数 , 则 函 数 1 y ? f (2 x) 的对称轴方程是___(答: x ? ? ). 2 ⑥函数 y ? af ? x ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的

图象沿 x 轴伸缩为原来的

f ? x ? 2? ? ?1 ? f ? x ?? ? ? 1 ? f ? x ? , 又 f ? 2? ? 2 ? 2 , 则
2 ?2 ) 2 (2)类比“三角函数图像”得: ①若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 2 | a ? b | ; 特别地:若 y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 2 a 的周期函数;
f ? 2006 ? =

.(答:

图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得到的. 12. 函数的对称性。 ①满足条件 f ? x ? a ? ? f ?b ? x ? 的函数的图象关于直
a?b 对称。 2 特别地:若 x∈R 时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则 y=f(x) 图像关于直线 x=a 对称;

② 若 y ? f ( x) 图 像 有 两 个 对 称 中 心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一周期为 T ? 2| a ?b| ; ③如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a,0) 和一 条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且一 周期为 T ? 4 | a ? b | ; 特别地: 若 y=f(x)奇函数, 其图像又关于直线 x=a 对称, - 57 -

线x?

如已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 满足条件 f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程 f ( x) ? x 有等根,则 f ( x) = 1 _____(答: ? x 2 ? x ); 2

高中数学基础知识与基本题型(理) 函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x ? 称; 函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x ?
b?a 对 2 a?b 对 2

明 C1 上任意点关于对称中心 (对称轴) 的对称点仍在 C2 上; ②证明 C2 上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在

C1 上。
x ?1? a (a ? R) 。求证:函数 a?x (2)设曲线 f ( x) 的图像关于点 M (a, ?1) 成中心对称图形;

称. 特别地 f ( x)与f (2a ? x)的图象关于 直线x ? a对称 ②点 ( x, y) 关于 y 轴的对称点为 (? x, y) ; 函数 y ? f ? x ? 关于 y 轴的对称曲线方程为 y ? f ? ? x ? ; ③点 ( x, y) 关于 x 轴的对称点为 ( x, ? y) ; 函数 y ? f ? x ? 关于 x 轴的对称曲线方程为 y ? ? f ? x ? ; ④点 ( x, y) 关于原点的对称点为 (? x, ? y) ; 函数 y ? f ? x ? 关于原点的对称曲线方程为 y ? ? f ? ? x ? ; ***⑤点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x ? a 的对称点为 (?( y ? a), ? x ? a) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x ? a 的对 称曲线的方程为 f (?( y ? a), ? x ? a) ? 0 。特别地, 点 ( x, y) 关于直线 y ? x 的对称点为 ( y, x) ; 曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x 的对称曲线的方程为 f ( y, x) =0; 点 ( x, y) 关于直线 y ? ? x 的对称点为 (? y, ? x) ; 曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x 的对称曲线的方程为 f (? y, ? x) ? 0 。 x?3 3 如己知函数 f ( x) ? ,( x ? ) ,若 y ? f ( x ? 1) 的图像是 2x ? 3 2 C1 ,它关于直线 y ? x 对称图像是 C2 , C2 关于原点对称的图 像为 C3 , 则C3 对应的函数解析式是___________(答:
x?2 ) ; 2x ? 1 ⑥曲线 f ( x, y) ? 0 关于点 (a, b) 的对称曲线的方程 为 f (2a ? x,2b ? y) ? 0 。特别地 y??
f ( x )与 ? f (2a ? x )的图象关于点(a, 0) 对称
2 如若函数 y ? x 与 y ? g ( x) 的图象关于点 ? x

如( 1)已知函数 f ( x) ?

C 的方程是 y ? x3 ? x ,将 C 沿 x 轴, y 轴正方向分别平行移 动 t , s 单位长度后得曲线 C1 。①写出曲线 C1 的方程(答: ; ② 证 明 曲 线 C 与 C1 关 于 点 y ? ( x ? t )3 ? ( x ? t ) ? s )

?t s? A ? , ? 对称。 ?2 2? 13. 函数零点 (1)函数零点定义:对于函数 y ? f ( x)( x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)( x ? D) 的零点. 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切, 则零点 x0
通常称为不变号零点; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点. (2)函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 . 即 : 方 程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. (3)函数 y ? f ( x) 零点的求法: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它 与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零 点. 提醒:很多情况下,通过导数来确定图像的大致形状. (4)图像连续的函数的零点的性质 ①函数的图像是连续的, 当它通过零点时 (变号零点) , 函数值变号. 函数零点存在定理:函数在区间 [a, b] 上的图像是连续的, 且 f (a) f (b) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上至少有 一个零点. ②相邻两个零点之间的函数值保持同号 14.指数式、对数式: 幂指数的运算法则

(-2,3)对称,则 g ( x) =______(答: ? x2 ? 7 x ? 6 ) ⑦形如 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc) 的图像是双曲线, 其两 cx ? d 渐近线分别直线 x ? ? d (由分母为零确定)和直线 y ? a (由 c c d a 分子、分母中 x 的系数确定),对称中心是点 ( ? , ) 。 c c 如已知函数图象 C ? 与 C : y( x ? a ? 1) ? ax ? a2 ? 1 关于 直线 y ? x 对称,且图象 C ? 关于点(2,-3)对称,则 a 的值为______(答:2) ⑧ | f ( x) | 的图象先保留 f ( x) 原来在 x 轴上方的图象, 作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的对称图形, 然后擦去 x 轴下 方的图象得到; f (| x |) 的图象先保留 f ( x) 在 y 轴右方的图 象, 擦去 y 轴左方的图象, 然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到。 如(1)作出函数 y ?| log2 ( x ? 1) | 及 y ? log2 | x ? 1| 的图 象; ( 2 ) 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则函数
F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于____对称 (答: y 轴)

? 1 , a0 ? 1 , m an n m n m?n ( ab ) ? anbn , (a n )m ? a mn a a ?a 对数的运算法则 log a 1 ? 0 , log a a ? 1 ,
a n ? n am , a
lg 2 ? lg5 ? 1 , loge x ? ln x ,
ab ? N ? loga N ? b(a ? 0, a ? 1, N ? 0) , a
log a b ? log c b , log b n ? n log b 。 a am m log c a
loga N

m

?m n

?N,

(1) log a b ? log an bn (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) log a N ?
logb N ( a>0,a≠1,b>0,b≠1); logb a

提醒 : (1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方 程的问题,实质上是利用代入法转化为求点的对称问题; (2)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关 于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (3)证明图像 C1 与 C2 的对称性,需证两方面 :①证 - 58 -

(3) aloga n ? N ( a>0,a≠1,N>0 ); 提醒:指数、对数的运算法则要求参与运算的指数 对数式是同底的. (4) log a b 的符号由口诀“同正异负”记忆;
loga MN ? loga M ? loga N (a ? 0, a ? 1; M , N ? 0)

高中数学基础知识与基本题型(理)
loga M ? loga M ? loga N (a ? 0, a ? 1; M , N ? 0) 注意公式从左 N

→右应用,也注意右→左运用,以及在此过程中的对 M , N 的要求.强调利用对数运算法则时要注意各字 母值的范围 a>0,a≠1,M,N>0 (4) log a b 的符号由口诀“同正异负”记忆;口诀“同 大异小” 可用来比较 a x 与 1 的大小. 如(1) log2 25 log3 4 log5 9 的值为________(答:8);
1 log 8 1 (2) ( ) 2 的值为________(答: ) 2 64 15. 指数、对数值的大小比较: (1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间量(0 或 1) ; (4)化同指数(或同真数)后 利用图象比较。 比较两个幂值的大小是常见的题型,也是一类容易出 错的问题 .解决这类问题, 首先要分清是底数相同还是指数 相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性;如果指 数相同,可利用图像( x ? 0 时,底大图高) ;如果底数、 指数都不同,则要利用中间变量 基本思维程序是: ①中间量(0 再 1) ②化为同底利用单调性 (可引进中间量: 以保证同底、 同真或同指) ③作差或作商法(必要时可转化) 16.指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x (a > 0 , a≠1 )

19. 函数的应用 (1)求解数学应用题的一般步骤: ①审题――认真读题,确切理解题意,明确问题的实 际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模――通过抽象 概括,将实际问题转化为相应的数学问题,别忘了注上符 合实际意义的定义域; ③解模――求解所得的数学问题; ④回归――将所解得的数学结果,回归到实际问题中 去。 (2)常见的函数模型有:①建立一次函数或二次函数 模型;②建立分段函数模型;③建立指数函数模型;④建 b 立 y ? ax ? 型。 x 20. 抽象函数: 抽象函数通常是指没有给出函数的具体 的解析式,只给出了其它一些条件(如函数的定义域、单 调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函 数问题的常用方法是: (1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函 数 : ①正比例函数型: f ( x) ? kx(k ? 0) --------------- f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ; ②幂函数型:f ( x) ? x 2 -------------- f ( xy) ? f ( x) f ( y) , x f ( x) -------------- f ( ) ? ; y f ( y) ③指数函数型: f ( x) ? a x -----------f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ,-------------- f ( x ? y ) ?

①互为反函数,②其单调性与 a 的大小有关, ③图像特征: y ? a x 底大图高, y ? l o g x ? 0时, a x 底大图低 . x ? 1时,

f ( x) ; f ( y)

函数y ? log a x , y ? log b x , y ? c x , y ? d x 的图像如图所示, 那a , b, c, d 满足 B.d ? c ? 1 ? b ? a Ac . ? d ?1? b ? a C.c ? d ? 1 ? a ? b D.d ? c ? 1 ? a ? b

④对数函数型: f ( x) ? log a x --------------f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,--------------

x f ( ) ? f ( x) ? f ( y )' ; y
⑤三角函数型: f ( x) ? tan x f ( x) ? f ( y ) ----------- f ( x ? y ) ? 。 1 ? f ( x) f ( y )

C 17.幂函数 y ? x? 及其性质(只要求
y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ?
1 1 , y ? x 2 ). x

(1)都过点(1,1). (2) ? ? 0 时,图像过点(0,0) ,且在第一象限中 逐渐上升, ? ? 0 时,图像不过(0,0) ,且在第一象 限中逐渐下降. 提醒:可用来判断指数是正还是负. (3) x ? 1 时,指大图高. 1 ? x ? 0 时,指大图低. a 18.函数 y ? x ? (a ? 0) 的图象和性质; x 定义域 (? ?, 0 )? ( 0? ,? )

(?? ,? 2 a ? ] 值域 奇偶性 奇函数
单调性

[a 2 ??,

)

a ?? , 上单调递增;在 ) 在 (?? ,? a ] , [

[? a , 0 ) , ( 0 a , 上单调递增; ]

y o x

如已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且为周期函数,若它 T 的最小正周期为 T,则 f ( ? ) ? ____(答:0) 2 (2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、 对称性等)进行演绎探究: 如(1)设函数 f ( x)( x ? N ) 表示 x 除以 3 的余数,则对 任意的 x, y ? N ,都有 A、 f ( x ? 3) ? f ( x) B、 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) C、 f (3x) ? 3 f ( x) D、 f ( xy) ? f ( x) f ( y) (答:A) ; ( 2 ) 设 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数,且满足 3 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,如果 f (1) ? lg , f (2) ? lg15 , 2 求 f (2001) (答:1) ; ( 3 ) 如 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 证明: 直线 x ? 1 是函数 f ( x) 图象的一条 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 对称轴; ( 4 ) 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) 满 足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,且当 x ? 2 时, f ( x) 单调递增。如果 x1 ? x2 ? 4 ,且 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值的 符号是____(答:负数) (3) 利用一些方法 (如赋值法 (令 x =0 或 1, 求出 f (0) - 59 -

高中数学基础知识与基本题型(理) 或 f (1) 、令 y ? x 或 y ? ? x 等) 、递推法、反证法等)进行 逻辑探究。 如 (1) 若 x ? R , f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 则 f ( x) 的奇偶性是______(答:奇函数) ; (2)若 x ? R , f ( x) 满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,则 f ( x) 的 奇偶性是______(答:偶函数) ; y (3)已知 f ( x) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时, f ( x) 的图像如右图所示,那么不等式 f ( x) cos x ? 0 的解集是_____________ O 1 2 ? ? 3 x (答: (? , ?1) (0,1) ( ,3) ) ; 2 2 ( 4 ) 设 f ( x) 的 定 义 域 为 R ? , 对 任 意 x, y ? R? , 都 有
2 上移动,在点 P 处的切 3 ? 3? 线的倾斜 角 为α, 则α的 取 值范围是______ (答: ; [0, ) [ , ? ) ) 2 4 (2)直线 y ? 3x ? 1 是曲线 y ? x3 ? a 的一条切线,则实 数 a 的值为_______(答:-3 或 1) ; ( 4 ) 曲 线 y ? x3 ? x ? 1 在 点 (1,3) 处 的 切 线 方 程 是 ______________(答: 4 x ? y ? 1 ? 0 ) ;

如(1)P 在曲线 y ? x3 ? x ?

( 5 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ? x3 ? ax 2 ? 4 x , 又 导 函 数

2 3

x 1 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ,且 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,又 f ( ) ? 1 , y 2
①求证 f ( x) 为减函数; ②解不等式 f ( x) ? f (5 ? x) ? ?2(答: .

y ? f ' ( x) 的图象与 x 轴交于 (?k ,0),(2k ,0), k ? 0 。①求 a 的值;②求过点 (0,0) 的曲 35 线 y ? f ( x) 的切线方程(答:①1;② y ? 4 x 或 y ? x ) 。 8 5、导数的运算法则: ?? u ? ? ? v; (u ? v )
?? u ? ? (u v ) v ? ; u v ? v ?v u u ? u ?? ) ; 2 v v 6.常见函数的导数公式: (1)常数函数的导数为 0,即 C? ? 0 (C 为常数) ; (
(2) ? x n ? ? ? nx n ?1 ? n ? Q ? ,与此有关的如下:
1 ? 1 ?? ? x ? ? ? x2 , ? ?

? 0,1? ?

. ? ?4,5? )





1、导数的背景: (1)切线的斜率; (2)瞬时速度. 如 一物体的运动方程是 s ? 1 ? t ? t 2 ,其中 s 的单位是 米, t 的单位是秒,那么物体在 t ? 3 时的瞬时速度为_____ (答:5 米/秒) 2、导函数的概念 :如果函数 f ( x) 在开区间(a,b)内 可导,对于开区间(a,b)内的每一个 x0 ,都对应着一个导 数 f ? ? x0 ? ,这样 f ( x) 在开区间(a,b)内构成一个新的函 数,这一新的函数叫做 f ( x) 在开区间( a,b)内的导函数, 记作 f ? ? x ? ? y? ? lim ?y
?x ? 0

? x ?? ? 2 1 x ;

(sin x )? ? cos x (cos x)? ? ? sin x;

(e x )? ? e x ; (a x ) ? a x ln a; 1 1 x e (ln x )? ? ;(log a )? ? log a ; x x 7.复合函数的导数: y? ? ? x ? yu ? ux ;
一般按以下三个步骤进行: (1)适当选定中间变量,正确分解复合关系; (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变 量求导) ; (3)把中间变量代回原自变量(一般是 x)的函数。 也就是说,首先,选定中间变量,分解复合关系,说 明函数关系 y=f(μ),μ=f(x);然后将已知函数对中间变量求 导 ( y '? ) ,中间变量对自变量求导 ( ? 'x ) ;最后求 y '? ? ? 'x , 并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分 解——求导——回代。熟练以后,可以省略中间过程。若遇 多重复合,可以相应地多次用中间变量。 如(1)已知函数 f ( x) ? mx m?n 的导数为 f ?( x) ? 8x3 , 1 则 mn ? _____(答: ) ; 4 (2)函数 y ? ( x ? 1)( x ? 1)2 的导数为__________(答: ; y? ? 3x2 ? 2 x ? 1 ) (3) 若对任意 x ? R , f ?( x) ? 4 x3 , f (1) ? ?1 , 则 f ( x) 是 ______(答: f ( x) ? x4 ? 2 ) 8、函数的单调性: (1)函数的单调性与导数的关系 ①若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数;若 f ?( x) ? 0 恒成立,则 f ( x) 为常数函 数;若 f ?( x) 的符号不确定,则 f ( x) 不是单调函数。可 导函数 y=f(x)在某个区间内 f ?( x) ? 0 是函数 f(x) 在该区间上为增函数的充分条件 ②若函数 y ? f ( x) 在区间( a, b )上单调递增,则 f ?( x) ? 0 ,反之等号不成立(等号不恒成立时,反过来就成 - 60 -

?x

? lim

f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ?x

, 导函数也简称为

?x ? 0

导数。 提醒:导数的另一种形式
y?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

3、求 y ? f ( x) 在 x0 处的导数的步骤: (1)求函数的改变量 ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ;

?y f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ? ; ?x x ?y (3)取极限,得导数 f ? ? x0 ? ? lim 。 x ? 0 ?x 也可(1)求 f ?( x) , (2) f ?( x0 ) .
(2)求平均变化率 何意义,就是曲线 y ? f ( x) 在点 P ? x0, f ? x0 ? ? 处的切线的斜 率,即曲线 y ? f ( x) 在点 P ? x0, f ? x0 ? ? 处的切线的斜率是
f ? ? x0 ? ,相应地切线的方程是 y ? y0 ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? 。

4、导数的几何意义:函数 f ( x) 在点 x0 处的导数的几

特别提醒: (1)在求曲线的切线方程时,要注意区分 所求切线是曲线上某点处的切线(只有当此点在曲线 上时,此点处的切线的斜率才是 f ?( x0 ) ),还是过某点 的切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的 切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只 有一条切线,也未必和曲线只有一个交点; (2)求过 某一点的切线方程时也是通过切点坐标来求。

高中数学基础知识与基本题型(理) 立) ; 若函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b ) 上单调递减, 则 f ?( x) ? 0 , 反之等号不成立(等号不恒成立时,反过来就成立) 。 提醒:导数求单调性可用于求函数值域,证明不等式 (不等式一端化为 0) 如(1)函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,其中 a, b, c 为实 数,当 a2 ? 3b ? 0 时, f ( x) 的单调性是 ______(答:增函 数) ; (2)设 a ? 0 函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 [1, ??) 上单调函数, 则实数 a 的取值范围__(答: 0 ? a ? 3 ) ; 3 (3)已知函数 f ( x) ? ? x ? bx(b 为常数)在区间 (0,1) 上单调递增,且方程 f ( x) ? 0 的根都在区间 [?2,2] 内,则 b 的取值范围是___(答: [3,4] ) ; 2 ( 4 ) 已 知 f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? x4 ? 2x2 ? 2 , 设 ? ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) , 试 问 是 否 存 在 实 数 ? , 使 ? ( x) 在 (??, ?1) 上是减函数,并且在 (?1,0) 上是增函数?(答: ? ?4) (2)利用导数求函数单调区间的步骤: (1)求 f ?( x ) (注意定义域) ; (2)求方程 f ?( x ) ? 0 的根,设根为 x1 , x2 , xn ; (3) x1 , x2 , (3) 函数 f ? x ? ? x3 ? ax 2 ? bx ? a 2在x ? 1 处有极小值 10, 则 a+b 的值为____(答:-7) ; (4)已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在区间[-1,2 ]上 15 是减函数,那么 b+c 有最___值___(答:大, ? ) 2 8、函数的最大值和最小值: (1)定义:函数 f ( x) 在一闭区间上的最大值是此函数 在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”;函数 f ( x) 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其 端点值中的“最小值”。 (2) 求函数 y ? f ( x) 在[ a, b ]上的最大值与最小值的步 骤: (1)求函数 y ? f ( x) 在( a, b )内的极值(极大值或极 小值) ; ( 2)将 y ? f ( x) 的各极值与 f (a) , f (b) 比较,其 中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。 注:第一步中其实不必求出极值,只要找到导数为零点处 的函数值即可;闭区间上的连续函数必有最值 如(1)函数 y ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x ? 5 在[0,3]上的最大 值、最小值分别是______(答:5; ?15 ) ; (2) 用总长 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架, 如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0.5m。那么高为 多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积。 (答:高为 9 3 1.2 米时,容积最大为 cm ) 5 特别注意: (1)利用导数研究函数的单调性与最值(极 值)时,要注意列表! ( 2)要善于应用函数的导数,考察 函数单调性、最值(极值),研究函数的性态,数形结合解决 方程不等式等相关问题。 如(1) f ?( x) 是 f ( x) 的导函数, f ?( x) 的图象如右图所 示,则 f ( x) 的图象只可能是 ( 答:D )

xn 将给定区间分成 n+1 个子区间(在此

有一个比较根的大小问题) ,再在每一个子区间内判断 f ?( x ) 的符号,由此确定每一子区间的单调性。 如设函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在 x ? ?1,1 处有极值,且 f (?2) ? 2 ,求 f ( x ) 的单调区间。 (答:递增区间(-1,1) ,递减区间 ? ??, ?1? ,(1, ??) ) (3)利用导数函数的单调性确定参变数(已知函数 f ( x) 的单调性) 转化为 f ?( x) ? 0或f ?( x) ? 0 恒成立 7、函数的极值: (1) 定义: 设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近所有的点,都有 f ( x) ? f ( x0 ) ,就说是 f ( x0 ) 函数 f ( x) 的一个极大值。记作 y极大值 = f ( x0 ) ,如果对 x0 附近所有的 点,都有 f ( x) ? f ( x0 ) ,就说是 f ( x0 ) 函数 f ( x) 的一个极小 值。记作 y极小值 = f ( x0 ) 。极大值和极小值统称为极值。 (2)求函数 y ? f ( x) 在某个区间上的极值的步骤: (i)求导数 f ?( x) ; (ii)求方程 f ?( x) ? 0 的根 x0 ; (iii) 检查 f ?( x) 在方程 f ?( x) ? 0 的根 x0 的左右的符号: “左正右负” ? f ( x) 在 x0 处取极大值;“左负右正” ? f ( x) 在 x0 处取极小值。 注:导数为零的点未必是极值点, 特别提醒: (1) x0 是极值点的充要条件是 x0 点两侧导 数异号,而不仅是 f ? ? x0 ? =0, f ? ? x0 ? =0 是 x0 为极值点的 必要而不充分条件。 (2)给出函数极大 (小)值的条件,一定要既考虑 f ?( x0 ) ? 0 ,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化, 否则条件没有用完,这一点一定要切记! (3) 第二步中蕴含着比较根的大小问题, 第三步中通 常总结成表. 如(1)函数 y ? ( x2 ? 1)3 ? 1 的极值点 A.极大值点 x ? ?1 B.极大值点 x ? 0 C.极小值点 x ? 0 D.极小值点 x ? 1 (答:C) ; (2)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1 有极大值和 a ? 6 或 a ? ?3 ) 极小值, 则实数 a 的取值范围是_____ (答: ;

(2) 方程 x3 ? 6x2 ? 9x ? 10 ? 0 的实根的个数为______ (答: 1) ; ( 3 )已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ,抛物线 C : x 2 ? y ,当
x ? (1,2) 时,函数 f ( x) 的图象在抛物线 C : x 2 ? y 的上方, 求 a 的取值范围(答: a ? ?1 ) 。

不等式
1、不等式的性质: (1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若 a ? b, c ? d , 则 a ? c ? b ? d ( 若 a ? b, c ? d , 则

- 61 -

高中数学基础知识与基本题型(理) ,但异向不等式不可以相加; 同向不等式不可 a?c ?b?d ) 以相减; ( 2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘 , 但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则 ac ? bd a b (若 a ? b ? 0,0 ? c ? d ,则 ? ) ; c d (3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若 3. 利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一 正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这 17 字方针。常 用的方法为:拆、凑、平方。 如(1)下列命题中正确的是 1 A、 y ? x ? 的最小值是 2 x x2 ? 3 B、 y ? 的最小值是 2 x2 ? 2 C、 y ? 2 ? 3x ? 4 ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3
x

a ? b ? 0 ,则 a n ? bn 或 n a ? n b ; 1 1 (4)若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? ;若 ab ? 0 , a ? b , a b 1 1 则 ? 。 a b 特别提醒: 如果对不等式两边同时乘以一个代数式, 要 注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论。 如(1)对于实数 a, b, c 中,给出下列命题:①

D、 y ? 2 ? 3x ? 4 ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 (答: C) ;
x

(2)若 x ? 2 y ? 1 ,则 2x ? 4 y 的最小值是______(答:

2 2) ;
( 3 ) 正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 ______(答: 3 ? 2 2 ) ; 4.常用不等式有:
2 2 (1) a ? b ? a ? b ? ab ? 2 2 2 1?1 a b (根据目标不等式左右的运算结构选用) ; (2)a、b、c ? R, a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca (当且仅当 ; a ? b ? c 时,取等号) b b?m (3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? (糖水的浓度问 a a?m 题) 。 如如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值 范围是_________(答: ?9, ?? ? )

若a ? b, 则ac ? bc ;② 若ac ? bc , 则a ? b ;③ 1 1 若a ? b ? 0, 则a2 ? ab ? b2 ;④ 若a ? b ? 0, 则 ? ;⑤ a b b a 若a ? b ? 0, 则 ? ;⑥ 若a ? b ? 0, 则 a ? b ;⑦ a b a b 1 1 ;⑧ 若a ? b, ? ,则 若c ? a ? b ? 0, 则 ? c ?a c ?b a b 其中正确的命题是______ (答: ②③⑥⑦⑧) ; a ? 0, b ? 0 。 (2)已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取 值范围是______(答:1 ? 3x ? y ? 7 ) ; (3)已知 a ? b ? c ,
2 2 2 2

1 1 ? 的最小值为 x y

1? c ? 的取值范围是 ______ (答: ? ?2, ? ? ) a 2? ? 2. 不等式大小比较的常用方法: (1)作差:作差后通 过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; ( 2)作 商(常用于分数指数幂的代数式) ; (3)分析法; (4)平方 法; (5)分子(或分母)有理化; (6)利用函数的单调性; (7) 寻找中间量 (一般先把要比较的代数式与“0”比, 与“1” 比,然后再比较它们的大小)或放缩法 ;(8)图象法:利用 有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角 函数的图象) ,直接比较大小。其中比较法(作差、作商) 是最基本的方法。 1 t ?1 如(1)设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 ,比较 log a t和log a 的 2 2 1 t ?1 大小 (答: 当 a ? 1 时, log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ; 2 2 1 t ?1 当 0 ? a ? 1 时, log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ) ; 2 2 2 1 (2) 设 a ? 2 ,p ? a ? ,q ? 2? a ? 4a ? 2 , 试比较 p, q a?2 的大小(答: p ? q ) ;
且 a ? b ? c ? 0, 则 (3) 比较 1+ log x 3 与 2log x 2(x ? 0且x ? 1) 的大小 (答:
4 4 时, 1+ log x 3 > 2log x 2 ; 当 1 ? x ? 时, 3 3 4 1+ log x 3 < 2log x 2 ;当 x ? 时,1+ log x 3 = 2log x 2 ) 3 1 1 (4)若 ? ? 0,则下列结论不正确的是(C ) a b

5.一元一次不等式的解法 Ⅰ、 ⑴若 a ? 0 , 则 ax ? b(a ? 0) : 则 ; Ⅱ、 ax ? b(a ? 0) : ⑴若 a ? 0 ,则 ⑵若 a ? 0 ,则 5.一元二次不等式的解法 ①化为标准式(二次系数为零) ,判断判别式的正负(优先 考虑因式分解) , ? ? 0 时求根,比较根的大小,写出结论 ; ; ; ⑵若 a ? 0 ,

ax 2 ? bx ? c ? 0 注: 解集为R (? ) (即 ax 2 ? bx ? c ? 0 对x ? R恒成立) (? )

当 0 ? x ?1 或 x ?

A. a 2 ? b2

B. ab ? b2
D. a b ? ?2 b a

C . | a | ? | b |?| a ? b |

特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法 尤其适用于不成立的命题。 - 62 -

?a ? 0 ? 则(Ⅰ) ?? ? 0 (Ⅱ)若二次函数系数含参数且 ?(? ? 0) ? 未指明不为零时,需验证 a ? 0 若 ax2 ? bx ? c ? 0 解集为 R 呢? 如:关于 x 的不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对 x∈R 恒 成立,则 a 的取值范围 。 ?a ? 2 ? 0 略解(Ⅰ) a ? 2时, ? 4 ? 0成立 (Ⅱ) ? ?? ? ? 0 6.确定二元一次不等式表示的区域的步骤: ①在平面直线坐标系中作出直线 Ax ? By ? C ? 0 .

高中数学基础知识与基本题型(理) ②在直线的一侧任取一点 P( x0 , y0 ) , 特殊地, 当 C≠0 时, 常把原点作为特殊点 .③将 P( x0 , y0 ) 代入 Ax+ By+ C 求值若 Ax0 ? By0 ? C ,则包含此点 P 的半平面为不等 式 Ax ? By ?C ? 0 所表示的平面区域,不包含此点 P 的 半平面为不等式 Ax ? By ? C ? 0 所表示的平面区域 . 也 可采用:把二元一次不等式改写成 y ? kx ? b 或 y ? kx ? b 的形式,前者表示直线的上方区域,后者表示直线的下 方区域。 提醒: (1)画不等式 Ax+ By+ C≥0 所表示的平面区 域时,区域包括边界线,因此,将边界直线画成实线; 无等号时区域不包括边界线,用虚线表示不包含直线 l . ( 2) B( Ax ? By ? C ) ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 的上方, B( Ax ? By ? C ) ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 的下方. (3)设点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,若 Ax1 ? By1 ? C 与 的解集为 {x |1 ? x ? 2} , g ( x) ? 0 的解集为 ? ,则不等式 ; f ( x) g ( x) ? 0 的解集为______(答: (??,1) [2, ??) ) (4)要使满足关于 x 的不等式 2 x2 ? 9 x ? a ? 0 (解集 非 空 ) 的 每 一 个 x 的 值 至 少 满 足 不 等 式 则实数 a 的取值范 x2 ? 4x ? 3 ? 0和x2 ? 6x ? 8 ? 0 中的一个, 81 围是______.(答: [7, ) ) 8 9.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是 先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分解因式,并使每 一个因式中最高次项的系数为正 ,最后用标根法求解。解 分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负 5? x 时可去分母。如(1)解不等式 2 ? ?1 ( 答 : x ? 2x ? 3 ; (?1,1) (2,3) ) (2)关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (1, ??) ,则关 ax ? b 于 x 的不等式 ? 0 的 解 集 为 ____________ ( 答 : x?2 (??, ?1) (2, ??) ). 10. 含参不等式的解法: 求解的通法是“定义域为前提, 函数增减性为基础,分类讨论是关键.”注意解完之后要写 上:“综上,原不等式的解集是 …”。注意:按参数讨论, 最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论, 最后应求并集. 提醒:解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论,如 果遇到下述情况则一般需要讨论: ①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式 子的正、负、零性. ②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性 时,则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二 次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况(有时 要分析△) ,比较两个根的大小,设根为 x1 , x2 (或更多)但含 参数,要分 x1 ? x2 、 x1 ? x2 、 x1 ? x2 讨论。 如 (1) 若 log a
2 则 a 的取值范围是__________ (答: ?1, 3

Ax2 ? By2 ? C 同号,则 P,Q 在直线 l 的同侧,异号则在直
线 l 的异侧。 如已知点 A(—2,4) ,B(4,2) ,且直线 l : y ? kx ? 2 与线段 AB 恒相交,则 k 的取值范围是__________(答: ?-?,-3? ?1,+? ? ) 7.简单的线性规划: (1)线性规划问题中的有关概念: ①满足关于 x , y 的一次不等式或一次方程的条件叫线 性约束条件。 ②关于变量 x, y 的解析式叫目标函数, 关于变量 x, y 一 次式的目标函数叫线性目标函数; ③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的 问题,称为线性规划问题; ④满足线性约束条件的解( x, y )叫可行解,由所有可 行解组成的集合叫做可行域; ⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优 解; (2)求解线性规划问题的步骤是什么?①根据实际问 题的约束条件列出不等式; ②作出可行域, 写出目标函数; ③确定目标函数的最优位置,从而获得最优解。 如(1)线性目标函数 z=2x-y 在线性约束条件 | x |? 1 | y |? 1

?

下,取最小值的最优解是____(答: (-1,1) ) ; (2)点(- 2, t )在直线 2x-3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是 2 _________(答: t ? ) ; (3)不等式 | x ? 1| ? | y ? 1|? 2 表 3 示的平面区域的面积是_________(答:8) ; x ? y ? 2 ? 0 ? ? (4)如果实数 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 ? ?2 x ? y ? 5 ? 0 z ?| x ? 2 y ? 4 | 的最大值_________(答:21) (3)在求解线性规划问题时要注意:①将目标函数改 成斜截式方程;②寻找最优解时注意作图规范。 8.简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高 次项的系数为正; (2) 将每一个一次因式的根标在数轴上, 从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过 偶弹回; (3)根据曲线显现 f ( x) 的符号变化规律,写出不 等式的解集。 如( 1) 解不等式 ( x ? 1)( x ? 2)2 ? 0 。 (答: {x | x ? 1 或 ; x ? ?2} ) (2) 不等式 ( x ? 2) x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是____ (答: ; {x | x ? 3 或 x ? ?1} ) (3)设函数 f ( x) 、 g ( x) 的定义域都是 R,且 f ( x) ? 0 - 63 -

a ?1 或 0 ? a ?

2 ) ; 3

ax 2 ? x(a ? R) (答: a ? 0 时, {x | ax ? 1 1 1 a ? 0 时, a ? 0 时, x ? 0} ; {x | x ? 或 x ? 0} ; {x | ? x ? 0} a a 或 x ? 0} ) 提醒: ( 1) 解不等式是求不等式的解集,最后务必有 集合的形式表示; ( 2) 不等式解集的端点值往往是不等式 对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x 的 x?2 不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (??,1) ,则不等式 ?0的 ax ? b 解集为___ (答: (-1,2) ) 11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成 立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变 量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征, 利用数形结合法) (1).恒成立问题
( 2 ) 解不等式

高中数学基础知识与基本题型(理) 若不等式 f ? x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A 若不等式 f ? x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B 如 (1) 设实数 x, y 满足 x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 , 当 x? y?c?0 时, c 的取值范围是______(答: ? ; ? 2 ? 1, ?? ) (2) 不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立, 求实数 a 的取值范围_____(答: a ? 1 ) ; 2 ( 3 ) 若不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 m ? 2 的所有
a2b ? b2c ? c2a ? ab2 ? bc2 ? ca2 ; (2) 已知 a, b, c ? R ,求证:

?

a2b2 ? b2c2 ? c2a2 ? abc(a ? b ? c) ; 1 1 (3)已知 a, b, x, y ? R? ,且 ? , x ? y ,求证: a b x y ; ? x?a y ?b
(4) 若 a 、 b 、 c 是 不 全 相 等 的 正 数 , 求 证 :
lg a?b b?c c?a ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c 2 2 2

(5)已知 a, b, c ? R ,求证:
a2b2 ? b2c2 ?c2a2 ? abc(a ? b ? c) ;

7 ?1 3 ?1 m 都成立, 则 x 的取值范围_____ (答: ( , ) ) ; 2 2 (?1)n ?1 (4) 若不等式 (?1)n a ? 2 ? 对于任意正整数 n 恒 n 3 成立,则实数 a 的取值范围是_____(答: [?2, ) ) ; 2 ( 5) 若不等式 x2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有 1 实数 x 都成立,求 m 的取值范围.(答: m ? ? ) 2 (2). 能成立问题 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ? x ? ? A 成立 ,则
等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ; 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ? x ? ? B 成立,则 等价于在区间 D 上的 f ? x ?min ? B . 如已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解 集不是空集,求实数 a 的取值范围______(答: a ? 1 ) (3). 恰成立问题 若不等式 f ? x ? ? A 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等 式 f ? x ? ? A 的解集为 D; 若不等式 f ? x ? ? B 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等 式 f ? x ? ? B 的解集为 D. ***(IB 模块)12.含绝对值不等式的性质: a、b 同号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ;

(6)若 n ? N * ,求证:

(n ? 1)2 ? 1 ? (n ? 1) ?
(7)已知 | a |?| b | ,求证:

n2 ? 1 ? n ;

|a|?|b| |a|?|b| ? ; |a ?b| |a?b| 1 1 1 (8)求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 。 2 3 n 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? …… ? 2 2 3 n 1 1 1 ? 1? ? ? …… ? 1? 2 2 ? 3 ? n ? 1? n
? 1?1? ? 2? 1 1 1 1 1 ? ? ? …… ? ? 2 2 3 n?1 n

1 ?2 n

三角函数
1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个 位置旋转到另一个位置所的图形 .按逆时针方向旋转所形成 的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条 射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角 .射线的起始位 置称为始边,终止位置称为终边. 2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原 点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边在第 几象限,就说这个角是第几象限的角 .如果角的终边在坐标 轴上,就认为这个角不属于任何象限. 3. 终边相同的角的表示: (1) ? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ,注意:相等的角的终边一定相同, 终边相同的角不一定相等. 如与角 ?1825 的终边相同,且绝对值最小的角的度数是 5 __,合__弧度.(答: ?25 ; ? ? ) 36 (2) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ? Z) . ( 3 ) ? 终 边 与 ? 终 边 关 于 x 轴 对 称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . ( 4 ) ? 终 边 与 ? 终 边 关 于 y 轴 对 称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . ( 5 ) ? 终 边 与 ? 终 边 关 于 原 点 对 称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (6) ? 终边在 x 轴上的角可表示为: ? ? k? , k ? Z ;

a、b 异号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b |

? || a | ? | b ||?| a ? b | .

如设 f ( x) ? x2 ? x ? 13 ,实数 a 满足 | x ? a |? 1 ,求证: | f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1) ***(IB 模块)13.绝对值不等式的解法: (1)分段讨论法(最后结果应取各段的并集 ) :如 解 3 1 不等式 | 2 ? x |? 2? | x ? | (答: x ? R ) ; 4 2 (2)利用绝对值的定义; (3)数形结合; 如解不等式 | x | ? | x ? 1|? 3 (答: (??, ?1) (2, ??) ) (4)两边平方: 如若不等式 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 对 x ? R 恒成立, 则实数 a 4 的取值范围为______。 (答: { } ) 3 ***(IB 模块)14.证明不等式的方法:比较法、分析 法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:作差(商)后通过 分解因式、 配方、 通分等手段变形判断符号或与 1 的大小, 然后作出结论。). 如(1)已知 a ? b ? c ,求证: - 64 -

高中数学基础知识与基本题型(理)

? 终边在 y 轴上的角可表示为: ? ? k? ?

?
2

,k ? Z ;

(3)函数 y ? 1 ? 2cos x ? lg(2sin x ? 3) 的定义域是 _______(答: (2k? ? ? ,2k? ? 2? ](k ? Z ) )
3 3

? 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ?
如 ? 的终边与

k? ,k ? Z . 2

?
6

的终边关于直线 y ? x 对称,则 ? =

(4) x ? [0, ],sin x ? cos x 的范围是 2
?? ? (5)求函数y ? 1 ? 2 cos? ? x ?的定义域和值域。 ?2 ?

?

____________.(答: 2k? ?

?
3

, k ?Z )

4、 ? 与 ? 的终边关系:

2

?? ? (∵ 1 ? 2 cos ? ? x ?) ? 1 ? 2 sin x ? 0 ?2 ?

∴sin x ?
∴2k? ?

2 ,如图: 2

5? ? ? x ? 2k? ? ? k ? Z ?, 0 ? y ? 1? 2 4 4

由“两等分各象限、一二三四”确定. ? 如若 ? 是第二象限角,则 是第_____象限角. 2 (答:一、三) 5. 弧 长 公 式 : l ?| ? | R , 扇 形 面 积 公 式 : 1 弧度(1rad) ? 57.3 . 如已知扇形 AOB S ? 1 lR ? 1 | ? | R 2 , 2 2 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面 积.(答:2 cm2 ) 6、任意角的三角函数的定义:设 ? 是任意一个角,P ,它与原点的 ( x, y) 是 ? 的终边上的任意一点(异于原点) y x 距离是 r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,那么 sin ? ? ,cos ? ? , r r
tan ? ? y , ? x ? 0 ? ,三角函数值只与角的大小有关,而与终边 x

8. 同角三角函数的基本关系式: sin x sin 2 x ? cos2 x ? 1, ? tan x cos x 同角三角函数的基本关系式的主要应用是, 已知一个角 的三角函数值,求此角的其它三角函数值 .在运用平方关系 解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能 地压缩角的范围, 以便进行定号; 在具体求三角函数值时, 一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的 范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此 三角函数值的绝对值. sin ? ? tan ? 如( 1) 函数 y ? 的值的符号为 ____ (答: cos ? ? cot ? 大于 0) ; (2) 若 0 ? 2 x ? 2? , 则使 1 ? sin 2 2 x ? cos2 x 成立的 x ? 3 的取值范围是____(答: [0, ] ; [ ?,?] ) 4 4 m?3 4 ? 2m ? (3)已知 sin ? ? ,cos? ? ( ? ? ? ? ) ,则 m?5 m?5 2 5 ; tan ? =____(答: ? ) 12 tan ? (4)已知 ? ?1 , tan ? ? 1 sin ? ? 3cos ? 则 =____; sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 = sin ? ? cos ? _________ 5 13 (答: ? ; ) ; 3 5 (5)已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于 a a A、 ? B、 1 ? a2 1 ? a2
1 ? a2 1 ? a2 D、 (答:B) ; a a (6) 已知 f (cos x) ? cos3x , 则 f (sin30 ) 的值为______

上点 P 的位置无关. 如 ( 1 ) 已 知 角 ? 的 终 边 经 过 点 P(5 , - 12) , 则 7 sin ? ? cos? 的值为__.(答: ? ) ; 13 2m ? 3 (2)设 ? 是第三、四象限角,sin ? ? ,则 m 的 4?m 3 取值范围是_______(答: (-1, ) ) ; 2 | sin ? | cos ? ? ?0 , 试 判 断 ( 3 ) 若 sin ? | cos ? | cot(sin ? ) ? tan(cos? ) 的符号(答:负) 提醒: 三角函数符号规律记忆口诀: 一全正, 二正弦, 三两切,四余弦; 7. 三 角 函 数 线 的 特 y T 征是: 正弦线 MP“站在 x B S 轴上(起点在 x 轴上)”、 余 P 弦 线 OM“ 躺 在 x 轴 上 α ( 起点是原点 )” 、正切线 x O M A AT“ 站在点 A(1,0) 处 ( 起 点是 A)”. 提 醒 : 三角 函 数线 (也可三角函数图像)对由角范围研究三角函数值的范围 有重要意义,三角函数线的重要应用是比较三角函数值的 大小和解三角不等式. ? 如(1)若 ? ? ? ? 0 ,则 sin? ,cos? , tan ? 的大小关系 8 为_____.(答: tan? ? sin? ? cos? ); (2)若 ? 为锐角,则 ? ,sin ? , tan ? 的大小关系为 _______ (答: sin ? ? ? ? tan ? ) ;

C、 ?

(答:-1). 特别提醒: (1)在运用公式时,要注意公式及其变式的结构 特点及适用条件. (2)利用平方关系时要注意符号的选取,取决于角 所在的象限 (3)在需要的情况下, x 2 ? y 2 ? 1,
? x ? cos A . 可考虑换元 ? ? y ? sin A

如p2 ? q2 ? m, x 2 ? y 2 ? n,(m ? n), ______
则px ? qy的最小值为__ .(答: mn ).
- 65 -

高中数学基础知识与基本题型(理)
k 9.三角函数诱导公式( ? ? ? ) 的本质是:奇变偶不 2 2 ? 1 , tan( ? ? ) ? ,那么 5 4 4 ? 3 ) ; tan(? ? ) 的值是_____(答: 4 22 ? ? 1 (2)已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , 2 2 9 ? 2 490 ) ; sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ? ) 的值(答: 2 3 729 (3)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , 3 cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系为______(答: 5 3 4 3 y ? ? 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 5 5 5 (2)三角函数名互化(切割化弦),

如(1)已知 tan(? ? ? ) ?

变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) ,符号看象限(看原函 数,同时可把 ? 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角 的三角函数值, 其一般步骤: (1) 负角变正角, 再写成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ;(2)转化为锐角三角函数. 9? 7? 如 (1) (答: cos ? tan(? ) ? sin 21? 的值为________ 4 6

2 3 ? ) ; 2 3
(2)已知 sin(540 ? ? ) ? ?
4 ,则 cos(? ? 270 ) ? ______, 5

? ? 2 若 ? 为第二象限角,则 [sin(180 ? ? ) ? cos(? ? 360 )] ? ?

tan(180 ? ? )

4 3 ______.(答: ? ; ? ) 5 100 10、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: 提醒: (1)公式之间的联系是怎样的? (2) 熟悉公式的各种变形及公式的范围, tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 tan ? tan ? ? .

如(1)求值 sin50 (1 ? 3 tan10 ) (答:1) ; (2)已知 sin ? cos? ? 1, tan(? ? ? ) ? ? 2 ,求 tan(? ? 2? ) 的
1 ? cos 2? 3

如(1)下列各式中,值为 A、 sin15 cos15

1 的是 2

? sin 2 12 12 tan 22.5 C、 1 ? tan 2 22.5
B、 cos 2
1 ? cos 30 (答:C) ; 2 (2) 命题 P: 命题 Q: tan A ? tan B ? 0 , tan( A ? B) ? 0 , 则P是Q的 ( ) A、充要条件 B、充分不必要条件 C、 必要不充分条件 D、 既不充分也不必要条件 (答: C) ; 3 (3)已知 sin(? ? ? )cos? ? cos(? ? ? )sin? ? ,那么 5 7 ) ; cos 2? 的值为____(答: 25

?

?

D、

1 值(答: ) 8 (3)公式变形使用以及逆用 如 tan? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan? tan ? ) 1 sin α = tan α ·cos α ,sin α cos α= 2 sin 2α, 2 sin ? ? 1 c? os ? ? ? tan 1 ? cos ? sin ? 2 ? 1 ? tan x 等. tan( ? x ) ? 4 1 ? tan x 如(1)已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____(答:

?

2 ) ; 2
(2)设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ?

3 tan A tan B ,

1 3 ? 的值是______(答:4) ; sin10 sin80 (5)已知 tan1100 ? a ,求 tan 500 的值(用 a 表示)甲求
(4)

1 ? a2 a? 3 ,乙求得的结果是 ,对甲、乙求 2a 1 ? 3a 得的结果的正确性你的判断是______(答:甲、乙都对) 11. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思 路是:一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注 意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心! 第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代 数式的结构特点.基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标 角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,
得的结果是
2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?
???
2 ? ??

3 , sin A cos A ? ,则此三角形是____三角形(答:等边) 4 1 ? 2? 4? = (答: ? ) (3)cos cos cos 8 7 7 7 1 ? cos 2? (4)三角函数次数的降升(降幂公式: , cos 2 ? ? 2 1 ? cos 2? 与升幂公式: 1 ? cos2? ? 2cos2 ? , sin 2 ? ? 2 1 ? cos2? ? 2sin 2 ? ). 利用倍角公式或半角公式,可对三角式中某些项进行 ?? ? 升降幂处理 ( 1± sin α 可化为 1 ? cos ? ? ? ? ,再用升次公 ?2 ? 式) ;
?? ?? ? ? ? ? 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? , 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? 等 . 2 2? 2 2? ? ?
2

2

从右到左为升幂,这种变形有利用根式的化简或通分、 约分;从左到右是降幂,有利于加、减运算或积和(差) 互化.

1 1 1 1 3 ? ? cos 2? 为 如(1)若 ? ? ( ? , ? ) ,化简 2 2 2 2 2
_____ (答: sin

? ??
2



?

?

? ? ? ? 等) , 2 2

??

?
2

?

) ;

(2)函数 f ( x ) ? 5sin x cos x ? 5 3 cos2 x

- 66 -

高中数学基础知识与基本题型(理)
5 3( x ? R ) 的单调递增区间为_________(答: 2 ? 5? [ k? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) 12 12 (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同). sin ? ? tan ? 如 (1) (答: ; sin ? ) tan ? (cos? ? sin ? ) ? cot ? ? csc? ?

(2)求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin 2

?
2

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2 ;

和余弦函数 y ? cos x 图象的作图方法:五点法:先取横坐 ? 3? 标分别为 0, , ? , , 2? 的五点,再用光滑的曲线把这五 2 2 点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的 图象. 14 、 正 弦 函 数 y ? sin x( x ? R) 、 余 弦 函 数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 R. (2)值域:都是 ? ?1,1? ,对 y ? sin x ,

2 1 4 2 2cos x ? 2cos x ? 2 (答: 1 cos 2 x ) (3)化简: ? ? 2 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4 (6)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? sec2 x ? tan 2 x ? tan x ? cot x

? k ? Z ? 时, y 取最大值 1; 2 3? 当 x ? 2k? ? 对 y ? cos x , ? k ? Z ? 时,y 取最小值-1; 2 当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时, y 取最大值 1,
当 x ? 2k? ? 当 x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1. 如(1) 若函数 y ? a ? b sin(3x ? 小值为 ?

?

? tan ? ? sin ? ? 4 2

等) ,如已知 tan ? ? 2 ,求

?
6

) 的最大值为

3 ,最 2

3 ). 5 (7)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 sin x cos x ”的内存联 系――“知一求二”,
sin 2 ? ? sin ? cos? ? 3cos2 ? (答:

1 1 , 则 a ? __,b ? _ (答:a ? , b ? 1 或 b ? ?1 ) ; 2 2

特别提醒: (1)

?
4

?x与

?
4

? x 互余,都与 2 x 存在“倍

半”关系, (2) sin x ? cos x与sin x cos x 存在“平方”关系 如(1)若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? __(答: t2 ?1 ? ),特别提醒:这里 t ?[? 2, 2] ; 2 (2) 若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 , 求 tan ? 的值( . 答: 2

4? 7 ) ; 3 sin 2? ? 2sin 2 ? ? ? ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 (3)已知 1 ? tan ? 4 2 ?
sin ? ? cos? 的值(答: 1 ? k ). 12 、 辅 助 角 公 式 中 辅 助 角 的 确 定 :

? ? ( 2 ) 函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [? , ] )的值 2 2 域是____(答:[-1, 2]) ; ( 3 ) 若 2? ? ? ? ? ,则 y ? cos ? ? 6 sin? 的最大值和 最小值分别是____ 、_____(答:7;-5) ; ? (4)函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ? ) ? 3 sin 2 x 3 ? sin x cos x 的最小值是_____, 此时 x =__________ (答: ? 2; k? ? (k ? Z ) ) ; 12 1 (5)己知 sin ? cos ? ? ,求 t ? sin ? cos? 的变化范围 2 1 (答: [0, ] ) ; 2 (6)若 sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 2cos? ,求 y ? sin 2 ? ? sin 2 ?
的最大、最小值(答: ymax ? 1 , ymin ? 2 2 ? 2 ). 特别提醒 :在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖 掘正余弦函数的有界性了吗? ( 3)周期性:① y ? sin x 、 y ? cos x 的最小正周期都 是 2 ? ;② f ( x) ? Asin(? x ? ? ) 和 f ( x) ? Acos(? x ? ? ) 的最 2? 小正周期都是 T ? . |? | ?x 如(1)若 f ( x) ? sin ,则 3 ; f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (2003) =___(答:0) (2) 函数 f ( x) ? cos4 x ?2sin x cos x ? sin 4 x 的最小正周 期为____(答: ? ) ; ? ? (3) 设函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) ,若对任意 x ? R 都有 2 5 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立, 则 | x1 ? x2 | 的最小值为____ (答: 2) ( 4)奇偶性与对称性:正弦函数 y ? sin x( x ? R) 是奇 函 数 , 对 称 中 心 是 ? k? ,0?? k ? Z ? , 对 称 轴 是 直 线
x ? k? ?

a sin ? ? b cos? ? a ? b sin ?? ? ? ?,
2 2

a ?b 重要作用.特别地,
2 2

(cos s? ?

a

,sin ? ?

b a ? b2
2

) 在求最值、化简时起着

?? ? sin ? ? cos? ? 2 sin ? ? ? ? 4? ?
sin ?? 3 c? o? s

?? ? 2 ? in ? ? s? 3? ?

如(1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取 值范围是___________.(答:[-2,2]) ; tan x 的 (2) 当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, 3 值是______(答: ? ); 2 (3) 如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ? ) 是奇函数, 则 tan ? = (答:-2); 3 1 (4)求值: ? ? 64sin 2 20? ? sin 2 20? cos2 20? _____(答:32) 13、 正弦函数和余弦函数的图象: 正弦函数

?
2

? k ? Z ? ;余弦函数 y ? cos x( x ? R) 是偶函数,对

y ? sin x
- 67 -

? ? ? 称中心是 ? k? ? ,0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ? 2 ? ?

高中数学基础知识与基本题型(理) (正 (余 )弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点). ? 5? ? 如 (1) 函数 y ? sin ? (答: ? 2 x ? 的奇偶性是______ 2 ? ? 偶函数) ; (2)已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin3 x ? 1(a, b 为常数) ,且 ; f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ? ______(答:-5) 提醒:相邻的两对称轴、两零点的距离是半个周期 (5)单调性: 应平移 |

? | 个单位, ?

? ?? ? y ? sin x在 ? 2k? ? ,2k? ? ? ? k ? Z ? 上单调递增, 2 2? ? ? 3? ? ? 在 ? 2k? ? ,2k? ? ? ? k ? Z ? 单调递减; 2 2 ? ? y ? cos x 在 ? 2k? ,2k? ? ? ?? k ? Z ? 上 单 调 递 减 , 在

?2k? ? ? ,2k? ? 2? ?? k ? Z ? 上单调递增 . 特别提醒 ,别忘了
k ?Z ! 15、形如 y ? Asin(? x ? ? ) 的函数:
1 ( 1)几个物理量 :A―振幅; f ? ―频率(周期的 T 倒数) ; ? x ? ? ―相位; ? ―初相; (2)函数 y ? Asin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值 确定; ? 由周期确定; ? 由图象上的特殊点确定,

? 如( 1) 函数 y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 的图象经过怎样的变 4 ? 换才能得到 y ? sin x 的图象?(答: y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 向 4 ? ? 上平移 1 个单位得 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象,再向左平移 4 8 个单位得 y ? 2sin 2 x 的图象,横坐标扩大到原来的 2 倍得 1 y ? 2sin x 的 图 象 , 最 后 将 纵 坐 标 缩 小 到 原 来 的 即 得 2 ; y ? sin x 的图象) x ? (2) 要得到函数 y ? cos( ? ) 的图象,只需把函数 2 4 x ? ; y ? sin 的图象向___平移____个单位(答:左; ) 2 2
( 3 ) 若函数 f ? x ? ? cos x ? sin x ? x ? ?0,2? ?? 的图象与 直线 y ? k 有且仅有四个不同的交点,则 k 的取值范围是 (答: [1, 2) ) ( 4)研究函数 y ? Asin(? x ? ? ) 性质的方法:类比于 研究 y ? sin x 的性质,只需将 y ? Asin(? x ? ? ) 中的 ? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? Asin(? x ? ? ) 的单调区间 时,要特别注意 A 和 ? 的符号,通过诱导公式先将 ? 化正. 函数 y=Asin ??x+? ? 是奇函数 ? ? ? k? ? k ? Z ? . 函数 y ? f ( x ) ? Asin ?? x ? ? ? 是偶函数

看最值定 A: A ?

2? T 可通过移图,最值点,初始零点(距原点最近且在图 像递增段上的零点)来确定 ? ?? ( x1 )? ? ? 0 ? 如图列出? ? ?? ( x2 ) ? ? ? 2 ?

最大值 ? 最小值 ,看周期定 ? : 2

??

? f (0) ? ? A ? ? ? k? ?

?
2

? k ? Z? .
?

函数 y=Acos ??x+? ? 是奇函数 ? ? ? k? ? 函数 y ? A cos ?? x ? ? ? 是偶函数 ? ? ? k?
若f ? x0 ? ? ? A,则x ? x0为对称轴(过最值点)

? k ? Z? . 2 ? k ? Z?

解条件组求?、?值
如 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0 , ? | ? |? ) 的 图 象 如 图 所 示 , 则 f ( x) = _____ ( 答 : 2 15 ? ; f ( x) ? 2sin( x ? ) ) 2 3 ( 3 ) 函 数 y ? Asin(? x ? ? ) 图 象 的 画 法 : ① “ 五 点 ? 3? 法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X =0, , ? , , 2? 求出相应的 2 2 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变 换法:这是作函数简图常用方法. ( 4)函数 y ? Asin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象 间的关系: ①函数 y ? sin x 的图象纵坐标不变, 横坐标向左 ( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的 图象;②函数 y ? sin ? x ? ? ? 图象的纵坐标不变,横坐标变 为原来的
1 ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;③函数 ? 纵坐标变为原来的 A 倍, y ? sin ?? x ? ? ? 图象的横坐标不变,

即 ? x0 ? ? ? k? ?

(k ? Z ) 2 若f ? x0 ? ? 0,则? x0, 0?为对称点,反之也对

?

即? x0 ? ? ? k? (k ? Z )
在当 x ? I ( I ? R) ,求 y ? Asin ?? x ? ? ? 的值域时可借 助单位圆(三角函数线)与三角函数图像. 注:①三角函数的性质一般是化为 y ? Asin(? x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0 )在用公式求解(不是所有的周期函数都 有最小正周期,如常函数 f(x)=c(c 为常数)是周期 函数,其周期是异于零的实数,但没有最小正周期) ② y=Asin ??x+? ? ? B 的值域为 [? A ? B, A ? B] 而 非 [? A ? B, A ? B] 如 (1) 函数 y ? sin( ?2 x ?
[ k? ?

?
3

(答: ) 的递减区间是______

5 ? ; ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) 12 12 x ? (2) y ? log 1 cos( ? ) 的递减区间是_______(答: 3 4 2

得到函数 y ? Asin(? x ? ? ) 的图象; ④函数 y ? Asin(? x ? ? ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上 (k ?0) 或向下( k ? 0 ) , 得 到 y ? Asin ?? x ? ? ? ? k 的 图 象 . 要 特 别 注 意 , 若 由 则向左或向右平移 y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象,

3 3? ; [ 6k? ? ? ,6k? ? ]( k ? Z ) ) 4 4 (3)函数 y ? 2cos x(sin x ? cos x) 的图象的对称中心和

对 称 轴 分 别 是 __________ 、 ____________ ( 答 : k? ? k? ? ; ( ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? (k ?Z )) 2 8 2 8 - 68 -

高中数学基础知识与基本题型(理) ( 4) 已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) 为偶函数, ? 求 ? 的值.(答: ? ? k? ? ( k ? Z ) ) 6 (5)设函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0 ? ? 它的周期是 ? , , ? ? ? ? ) 的图象关于直线 x ? 2? 对称, 2 2 3 1 则 A、 f ( x )的图象过点(0, ) 2 5? 2? B、 f ( x) 在区间 [ , ] 上是减函数 12 3 5? C、 f ( x )的图象的一个对称中心是( ,0) 12 D、 f ( x) 的最大值是 A(答:C) ;

三角函数图象几何性质
y= ωx + φ yA ?tan( A tan( ? x ?) ?)
O y x

x3

x4 x =x 1 x =x 2

邻中心|x3-x4|= T/2 无穷对称中心: 由y=0或 y无意义确定

邻渐近线|x1-x2|=T 无对称轴 任意一条y轴的垂线与正切 函数图象都相交,且相邻两 交点的距离为一个周期!

?? ? ( 6) 对于函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 给出下列结论: 3? ? ? ①图象关于原点成中心对称; ②图象关于直线 x ? 成轴对 12 ? 称;③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 个单位 3 ? 得到;④图像向左平移 个单位,即得到函数 y ? 2cos2 x 12 的图像.其中正确结论是_______(答:②④) ; (7)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1
的交点中,距离最近两点间的距离为

17. 三角形中的有关公式: (1)内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三 角函数问题的特殊性,解题可不能忘记!任意两角和与第 三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余 .锐 角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值
? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第三边的

平方. (2)正弦定理: a ? b ? c ? 2R (R 为三角形外 sin A sin B sin C 接圆的半径). 注 意 : ① 正 弦 定 理 的 一 些 变 式 : ; i a ? ? ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C

?
3

,那么此函数的周

期是_______(答: ? ) 16、正切函数 y ? tan x 的图象和性质: ? (1) 定义域:{x | x ? ? k? , k ? Z } .遇到有关正切函数 2 问题时,你注意到正切函数的定义域了吗? ( 2) 值域是 R, 在上面定义域上无最大值也无最小值; (3) 周期性: 是周期函数且周期是 ? , 它与直线 y ? a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期 ? .绝对值或平方对 三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式 加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周 期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变, 其它不定 . 如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x
? cos x 的周期为

? ii ? sin A ?

a b c ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ;



? ,而 2

? 1 ? y ?| 2sin(3x ? ) ? |, y ?| 2sin(3x ? ) ? 2 | , 6 2 6 y ?| tan x | 的周期不变;
k? ,0) 2 ? k ? Z ? ,特别提醒:正(余)切型函数的对称中心有两类:一

(4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 (

类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点, 但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处. ( 5 ) 单 调 性 : 正 切 函 数 在 开 区 间

? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数 . 但 要注意在整个 2 ? 2 ? 三角函数图象几何性质 定义域上不具有单调性 .如下图: y=Asin(ωx+φ) y
O x

x3

x4
邻中心轴相距

y ? Asin(?x= ? ? 1) Tx
4

x =x 2

邻中心|x3-x4|=T/2
无穷对称中心: 由y=0确定

邻轴|x1-x2|=T/2
无穷对称轴:

②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定 理,则务必注意可能有两解. (3)余弦定理: 2 2 2 常选用余 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等, 2bc 弦定理鉴定三角形的形状或求角. (4)面积公式:S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c)(其 2 2 2 中 r 为 三 角 形 内 切 圆 半 径 ) . 如 ?ABC 中 , 若 判断 ?ABC 的形状 (答: sin 2 Acos2 B ? cos2 Asin 2 B ? sin 2 C , 直角三角形). 特别提醒 : ( 1)求解三角形中的问题时,一定要注意 A ? B ? C ? ? 这个特殊性: A? B C (2) A ? B ? ? ? C ,sin( A ? B) ? sin C ,sin ? cos ; 2 2 求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定 理、余弦定理实现边角互化. 解斜三角形的常规思维方法是: ①已知两角和一边 (如 A、 B、 C) , 由 A+B+C = π 求 C, 由正弦定理求 a、b. ②已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边; 再应用正弦定理先求较短边所对的角, 然后利用 A+B+C = π,求另一角. ③已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正 弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由正弦定理或余弦定 理求 c 边,要注意解可能有多种情况. ④已知三边 a、 b、 c, 应余弦定理求 A、 B, 再由 A+B+C = π,求角 C. (2)与三角形有关的结论 ①在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? A ? B ②在非直角△ABC 中, tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C

由y=A或-A确定

- 69 -

高中数学基础知识与基本题型(理) ③在 ?ABC 中,
A B B C C A tan ? tan ? tan ? tan ? tan ? tan ? 1 2 2 2 2 2 2

④∠A, ∠B, ∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60° . ⑤△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成等比数列. - - ⑥若 k≥2 且 sin2k 1α+cos2k 1α=1,则 sinα=1,cosα=0 或 sinα=0,cosα=1, 若 sin2kα+cos2kα=1,则 sinα=± 1,cosα=0 或 sinα=0,cosα=± 1. 如 ( 1 ) ?ABC 中 , A 、 B 的 对 边 分 别 是 a、b , 且

A ? 60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的 ?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定(答:C) ; ( 2) 在 ?ABC 中, A>B 是 sin A ? sin B 成立的 _____ 条件(答:充要) ; ( 3 ) 在 ?ABC 中 , ( 1 ? tan A)( 1 ? tan B ) ? 2 , 则 1 ; log2 sinC =_____(答: ? ) 2 (4)在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边, 若 (a ? b ? c)(sin A ? sin B ? sin C ) ? 3a sin B , 则 ?C =____
(答: 60 ) ; ( 5) 在 ?ABC 中,若其面积 S ?

某一个三角函数(要注意选择,其标准有二:一是此三角 函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三 角函数值). 如 ( 1 ) 若 ? , ? ? (0,? ) , 且 tan ? 、 tan ? 是 方 程 3? 则求 ? ? ? 的值______ (答: ) ; x2 ? 5x ? 6 ? 0 的两根, 4 (2) ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, ? ; 4sin B ? 3cos A ? 1 ,则 ?C =____(答: ) 3 (3)若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? sin? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 , 2? 求 ? ? ? 的值(答: ). 3 20.最值常见类型 ①二次型 y ? a sin 2 x ? b sin x y ? a sin x cos x ? b(cos x ? sin x) ② y ? Asin(? x ? ? ) 型:

a 2 ? b2 ? c2 ,则 ?C 4 3

=____(答: 30 ) ; ( 6)在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,这个三角形的面积

y ? a sin 2 x ? b cos2 x ? c sin x cos x , y ? a sin x ? b cos x a sin x ? b a sin x ? b ③y? ,y? ④ c sin x ? d c cos x ? d a sin x ? b cos x , y? c sin x ? d cos x a sin 2 x ? b sin x cos x ? c cos2 x 探究: y? p sin 2 x ? ? q sin x cos x ? r cos2 x
已知: sin 2 30 ? ? sin 2 90 ? ? sin 2 150 ? ? 3

2 39 ) ; 3 (7)在△ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边, 1 B?C = , b2 ? c2 的最大值为 a ? 3,cos A ? , 则cos 2 3 2 1 9 (答: ; ) ; 3 2 (8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 ? (答: 0 ? C ? ) ; 6 (9)设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,若 ?C ? 75 , 且 ?AOB, ?BOC, ?COA 的 面 积 满 足 关 系 式
为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径是_______ (答: . S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ?A (答: 45 )
(2)若a 2 ? b2 ? c2 ,求 cos 2 A ? cos 2B的值。 2 A? B (10)?ABC中, 2sin2 ? cos 2C ? 1()求角 1 C; 2 解( 1 )由已知式得: 1 ? cos? A ? B ? ? 2 cos 2 C ? 1 ? 1 又A ? B ? ? ? C, 1 ∴2cos2 C ? cos C ? 1 ? 0 ∴cos C ? 或 cos C ? ?(舍) 1 2 又0 ? C ? ?,∴C ?

2 3 sin 5 ? sin 65 ? sin 125 ? 2
2 ? 2 ? 2 ?

通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题: 3 _________________________________= ( * ) 并 给 出 2 ( * )式的证明.一般形式: 3 sin2 ? ? sin 2 (? ? 60 ) ? sin 2 (? ? 120 ) ? 2 证明 左边 = 1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 120 ) 1 ? cos(2? ? 240 ) ? ? 2 2 2 3 1 ? ? [cos 2? ? cos(2? ? 120 ) ? cos(2? ? 240 )] 2 2 3 1 ? ? [cos 2? ? cos 2? cos120 ? sin 2? sin120 2 2 ? cos2cos240 ? sin 2? sin 240 ]
3 1 1 ? [cos 2? ? cos 2? ? 2 2 2 3 1 1 ? ? [cos 2? ? cos 2? ? 2 2 2 ? 3 1 sin 2? ? cos 2? ? 2 2 3 1 sin 2? ? cos 2? ? 2 2 3 sin 2? ] 2 3 sin 2? ] 2

?
3

=

3 ? 右边 ,∴原式得证.(将一般形式写成 2

1 2 c得: 2 ? 3 2 2 2 s i 2nA ? 2 s2B in ? C s i?n s ?i n 3 4 3 1 ? c o sA 2? ? 1 cB os ?2 4 3 ∴cos 2 A ? cos 2 B ? ? 4 18、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的 (2)由正弦定理及a 2 ? b2?
- 70 -

3 , 2 3 sin2 (? ? 240? ) ? sin 2 (? ? 120? ) ? sin 2 ? ? 等均正确,其证明过 2 sin2 (? ? 60 ) ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? 60 ) ?

程可参照给分.)





1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集 N*(或

高中数学基础知识与基本题型(理) 它的有限子集{1,2,3,…,n} )的特殊函数,数列的通项 公式也就是相应函数的解析式。 n 如(1)已知 an ? 2 ( n ? N * ) ,则在数列 {an } 的 n ? 156 1 最大项为__(答: ) ; 25 an (2)数列 {an } 的通项为 an ? ,其中 a, b 均为正 bn ? 1 数,则 an 与 an ? 1 的大小关系为___(答: an ? an ?1 ) ; (3)已知数列 {an } 中, an ? n2 ? ? n ,且 {an } 是递增 数列,求实数 ? 的取值范围(答: ? ? ?3 ) ; (4)一给定函数 y ? f ( x ) 的图象在下列图中,并且对 任意 a1 ? (0,1) , 由关系式 an ?1 ? f (an ) 得到的数列 {an } 满足
an ?1 ? an ( n ? N ) ,则该函数的图象是
*

图象了解 Sn 的增减变化及最值等问题。当 d=0 时, {an } 是 常数列,Sn=na1,此时,若 a1≠0,则 Sn 是关于 n 的一次式;若 a1=0,则 Sn=0。 1 3 如(1)数列 {an } 中, an ? an ?1 ? ( n ? 2, n ? N * ) , an ? , 2 2 15 前 n 项和 Sn ? ? ,则 a1 =_, n =_(答: a1 ? ?3 , 2 ; n ? 10 ) (2)等差数列 {an } 中,若 S p ? q, Sq ? p , ( p ? q) 则

S p ? q ? __ .(答: ?( p ? q) )
(3)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 ,求数列

{| an |} 的前 n 项和 Tn (答:
2 * ? ?12n ? n ( n ? 6, n ? N ) ). Tn ? ? 2 * ? ? n ? 12n ? 72( n ? 6, n ? N ) (4) 等差中项: 若 a, A, b 成等差数列, 则 A 叫做 a 与 b a?b 的等差中项,且 A ? 。 2 提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及 到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 S n ,其中 a1 、 d 称作为基

( )

(答:A)

A

B C D 2.等差数列的有关概念: (1)等差数列的判断方法: 定义法: an ?1 ? an ? d (d为常数) 或 an ?1 ? an ? an ? an ?1 (n ? 2) 。 公式法:①通项 an ? an ? b ; ②前 n 项和 Sn ? An2 ? Bn .
a1 ? a2 ? n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为等差数列. ? an

如设 {an } 是等差数列,求证:以 bn ?

提醒:解答题多用定义法. (2)等差数列的通项: an ? a1 ? (n ? 1)d 或 an ? am ? (n ? m)d . 通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d 是 n 的一次函数,以(n,an)
an ? a1 n?1 是相应直线的斜率.当 d>0 时,数列递增;当 d<0 时,数列 递减;当 d=0 时,{an}为常数数列.

本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其 余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数 成等差,可设为…, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d …(公差为 ;偶数个数成等差,可设为…, d) a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,…(公差为 2 d ). (3)任何两个数都有等差中项. 3.等差数列的性质: (1)当公差 d ?0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率

n( n ? 1) d d d ? n2 ? (a1 ? )n 是 2 2 2 关于 n 的二次函数且常数项为 0. 提醒:可设等差数列的通项公式为 an ? an ? b ,前 n 和
为公差 d ; 前 n 和 Sn ? na1 ? 公式 Sn ? An2 ? Bn . (2) 若公差 d ? 0 , 则为递增等差数列, 若公差 d ? 0 , 则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3) 当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq , 特别地, 当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . 如 ( 1 ) 等 差 数 列

为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上. 公差 d=

提醒: m ? n 时 d ?

am ? an ,可用来快速求公差. m?n

如(1)等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? __________(答: 2n ? 10 ) ; (2)首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数, 8 则公差的取值范围是______(答: ? d ? 3 ) 3 (3)等差数列 {an } 中,若 a p ? q, aq ? p( p ? q ) ,则

{a n }





(答:27) ; Sn ? 18, an ? an ?1 ? an ? 2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____ (2) 在等差数列 {an } 中,a10 ? 0, a11 ? 0 , 且 a11 ?| a10 | ,

S n 是其前 n 项和,则
A、 S1, S2 B、 S1, S2 C、 S1, S2 D、 S1, S2

S10 都小于 0, S11 , S12
S19 都小于 0, S20 , S21

都大于 0 都大于 0 都大于 0 都大于 0 (答:B)

a p ? q ? __ (答:0)
(3)等差数列的前 n 和: n(a1 ? an ) n( n ? 1) Sn ? d. , Sn ? na1 ? 2 2 从 函 数 的 角 度 理 解 , Sn ? na1 ?

S5 都小于 0, S6 , S7 S20 都小于 0, S21 , S22

(4) 若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan } 、

n( n ? 1) d 变 形 为 2

? Sn ? {a p ? nq }( p, q ? N * ) {kan ? pbn } ( k 、p 是非零常数)、 、 ? ?、 ?n?

d 2 d n ? n(a1 ? ) ,当 d≠0 时是 n 的二次函数(缺常数 2 2 S 项) , 它的图象是过原点的抛物线上的一群孤立点.点 (n, n ) n Sn ?

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , …也成等差数列, 而 {a an } 成等比数列;
若 {an } 是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等差数列. 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它 的前 3n 和为 .(答:225) ( 5 ) 在 等 差 数 列 {an } 中 , 当 项 数 为 偶 数 2n 时 ,

n ? N * )在一条直线上,此时,可以应用相应二次函数的
- 71 -

高中数学基础知识与基本题型(理)

S a 项数为奇数 2n ? 1 时, S偶-S奇 ? nd , 奇 ? n (n ? 2, n ? N * ) ; S欧 an ?1
; S奇 ? S偶 ? a中 , S2n ?1 ? (2n ? 1) ? a中 ( 这 里 a中 即 an )

S奇 : S偶 ? (k ? 1) : k 。
如(1)在等差数列中,S11=22,则 a6 =______(答: 2) ; (2)项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80, 偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数(答:5;31). (6) 若等差数列 {an } 、{bn } 的前 n 和分别为 An 、Bn , 且

a1 n a q ( n ? N *) 的图象是函数 y ? 1 q n ( n ? N ) 的图 q q a 象上的一群孤立点. 很明显, 若 1 >0,当 q>1 时, 数列递增; q 当 0<q<1 时,数列递减. a 提醒: q n ? m ? n 可用来求公比. am
此 an ? 如设等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , a2an ?1 ? 128 ,前 求 n 和公比 q . (答:n ? 6 ,q ? n 项和 Sn ? 126 ,

An a an (2 (2 nn ? ?1) 1)a an A Ann n ?1 ?1 ? f ( n) ,则n ? ? ? ? 22 ??f (2 f (2 n? n1) ? 1) . Bn bn bn (2 (2 nn? ?1) 1)b bn B B n 22 nn ?1 ?1
如设 {an } 与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和分

1 或 2) 2

别为 S n 和 Tn , 若

a Sn 3n ? 1 , 那么 n ? ___________ (答: ? Tn 4n ? 3 bn

? na1 (q ? 1) ? ? (3) 等比数列的前 n 和:Sn ? ? a (1 ? q n ) a ? a q n ? 1 ? 1 (q ? 1) 1? q ? ? 1? q

如 (1) 等比数列中,q =2, S99=77, 求 a3 ? a6 ? 44) ;
10 n

? a99(答:

6n ? 2 ) 8n ? 7 (7)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所 有非负项之和;“首负”的递增等差数列中, 前 n 项和的最小 值是所有非正项之和。

k (2) ? ( ? C n ; ) 的值为__________(答:2046) n ?1 k ? 0

? ? an ? 0 ? ? ? an ? 0 ? ?或? ? 确定出前多 法一:由不等式组 ? ? an ? 1 ? 0 ? ? an ? 1 ? 0 ? ? ? ? ?

提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及 到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 S n ,其中 a1 、 q 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出 其余 2 个,即知 3 求 2; (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数 a a 成等比,可设为 …, 2 , , a , aq, aq 2 …(公比为 q ) ;但偶 q q a a 数个数成等比时,不能设为… 3 , , aq, aq 3 ,…,因公比不 q q 一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 q 2 . 如 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等 比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第 三个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4, 8,16) 特别提醒: 等比数列前 n 项和公式有两种形式, 为此在 求等比数列前 n 项和时,首先要判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式, 当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q 和 q ? 1 , q ? 1 两种情形讨论求解. (4)等比中项:若 a , A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。 提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才 存在等比中项,且有两个 ? ab . 如已知两个正数 a, b(a ? b) 的等差中项为 A,等比中项 为 B,则 A 与 B 的大小关系为______(答:A>B) 5.等比数列的性质: (1) 当 m ? n ? p ? q 时, 则有 am an ? a p aq , 特别地, 当 m ? n ? 2 p 时,则有 am an ? a p 2 .

少项为非负(或非正) ; 法二: 因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数, 故可转 化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N * 。 上述两种方法是运用了哪种数学思想?(函数思想) ,由此 你能求一般数列中的最大或最小项吗? 如(1)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数 列前多少项和最大?并求此最大值。 (答: 前 13 项和最大, 最大值为 169) ; (2)若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 ,

a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n
是 (答:4006) . (8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺 次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原 两等差数列公差的最小公倍数. 提醒: 公共项仅是公共的项, 其项数不一定相同,即研究 an ? bm . 4.等比数列的有关概念: (1)等比数列的判断方法: a 定义法: n ? 1 ? q(q为常数) ,其中 q ? 0, an ? 0 或 an

an ? 1 a ? n (n ? 2) . an an ? 1
公式法:①通项 an ? kq n ;② q ? 1 时,前 n 项和可写成
Sn ? k (1 ? q n )

如(1)在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, , a4a7 ? ?512 如(1)一个等比数列 {an } 共有 2n ? 1 项,奇数项之积 a ? a ? 124, a a ? ? 512 a ,公比 q 是整数,则 =___ (答: 512) ; 3 8 4 7 10 5 为 100,偶数项之积为 120,则 an ?1 为____(答: ) ; (2)各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 , 6 ( 2 ) 数 列 {an } 中 , S n =4 an ?1 +1 ( n ? 2 ) 且 a1 =1 , 若 ? 则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? log3 a10= (答:10) . bn ? an ?1 ? 2an ,求证:数列 {bn } 是等比数列。 (2) 若 {an } 是等比数列,则 {| an |} 、 提醒:解答题多用定义法. (2)等比数列的通项: an ? a1q n ?1 或 an ? am q n ? m 。 当 q>0 且 q≠1 时 , y ? q x ( x ? R) 是 指 数 函 数 , 而 a y ? 1 q x ( x ? R) 是一个不为 0 的常数与指数函数的积,因 q - 72 -

{a p ? nq }( p, q ? N * ) 、 {kan } 成等比数列;
{ 若 {an }、 则 {anbn } 、 {bn } 成等比数列, an } 成等比数列; bn

若 {an } 是 等 比 数 列 , 且 公 比 q ? ?1 , 则 数 列

高中数学基础知识与基本题型(理) …也是等比数列。 当 q ? ?1 , 且n Sn , S2n ? Sn , S3 n ? S2 n , 为偶数时, 数列 Sn , S2n ? Sn , S3 n ? S2 n , …是常数数列 0, 它不是等比数列. 如 ( 1 ) 已 知 a ? 0 且 a ? 1 , 设 数 列 { xn } 满 足 (2) 数列 {an } 满足 求 an 解:(i)令 n ? 1时,a1 ? 14

1 1 a1 ? 2 a2 ? 2 2

?

1 an ? 2n ? 5 , 2n

loga xn ?1 ? 1 ? loga xn ( n ? N *) ,且 x1 ? x2 ?
则 x101 ? x102 ?

? x100 ? 100 , ? x200 ?
. (答: 100a100 ) ;

( 2 ) 在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,若 则 S 20 的值为______ (答: 40) S30 ? 13 S10 , S10 ? S30 ? 140 , (3)若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为递增数列; 若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为递减数列; 若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 ,则 {an } 为递减数列; 若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为递增数列; 若 q ? 0 ,则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列.

1 1 1 (ii) a1 ? 2 a2 ? ? n an ? 2n ? 5 …① 2 2 2 1 1 1 a1 ? 2 a2 ? ? n ?1 an ?1 ? 2n ? 3 ② 2 2 2 1 1 ①-②得: n ? 2( n ? 2)即an ? n ? 1 ( n ? 2) 2 an 2
? ?14, n ? 1 ? an ? ? ? n ?1 ,n ? 2 ? ?2

提醒: (1)用 an ? Sn ? Sn ?1 求数列的通项公式时,你 注意到此等式成立的条件了吗?(只有 n ? 2 时,才有 an ? Sn ? Sn ?1 ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ;注意验证 a1 是否包 含在后面 an 的公式中,若不符合要单独列出) ; (2) 一般地当已知条件中含有 an 与 S n 的混合关系时, 常需运用关系式 an ? Sn ? Sn ?1 ,先将已知条件转化为只含

?a1 n a q ? 1 ? aq n ? b ,这里 1? q 1? q a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ? 0 ,这是等比数列前 n 项和公式的
(4) 当 q ? 1 时, Sn ? 一个特征,据此很容易根据 S n ,判断数列 {an } 是否为等比 数列。 如 若 {a n } 是 等 比 数 列 , 且 S n ? 3 n ? r , 则 r = (答:-1) (5) Sm ? n ? Sm ? q m Sn ? Sn ? q n Sm . 如设等比数列 {a n } 的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,若

an 或 S n 的关系式,然后再求解。
如 数列 {an } 满足 a1 ? 4, Sn ? Sn ? 1 ?
5 an ?1 ,求 an (答: 3

? ? 4, n ? 1 ) an ? ? n ?1 ? ?3 4 , n ? 2 ⑶ 已 知 a1 a2 an ? f (n) 求 an , 用 作 商 法 :
? f (1),( n ? 1) ? 。 an ? ? f ( n) ,( n ? 2) ? ? f ( n ? 1) 如 数 列 {an } 中 , a1 ? 1, 对 所 有 的 n ? 2 都 有
a1a2a3 an ? n2 ,则 a3 ? a5 ? ______(答:

Sn?1 , Sn , Sn ? 2 成等差数列,则 q 的值为_____(答:-2)
(6) 在 等 比 数 列 {an } 中 , 当 项 数 为 偶 数 2n 时 ,
S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时, S奇 ? a1 ? qS偶 .

(7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数 列 {an } 是非零常数数列, 故常数数列 {an } 仅是此数列既成等 差数列又成等比数列的必要非充分条件。 如设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) , 关于数列
{an } 有下列三个命题:

61 ) 16

⑷若 an ?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法:

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ?
如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,

? (a2 ? a1 ) ? a1 ( n ? 2) 。

①若 an ? an ?1 (n ? N ) ,则 {an } 既是等差数列又是等 比数列;

b ? R ? ,则 {an } 是等差数列; ②若 Sn ? a n ? bn ? a 、
2

an ? an ? 1 ?

1 n?1 ? n

( n ? 2) , 则 an =________ ( 答 :

③若 Sn ? 1 ? ? ? 1 ? , 则 {an } 是等比数列. 这些命题中,
n

an ? n ? 1 ? 2 ? 1 )

真命题的序号是 (答:②③) **6.数列的通项的求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公 式。 1 1 1 1 如 已知数列 3 ,5 ,7 ,9 , 试写出其一个通项公 4 8 16 32 1 式:__________(答: an ? 2n ? 1 ? n ? 1 ) 2 ⑵已知 S n (即 a1 ? a2 ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差
? ? S1 ,( n ? 1) 法: an ? ? 。 ? ? Sn ? Sn ?1 ,( n ? 2) 如 (1) 已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 ( Sn ? 1) ? n ? 1 , ? ? 3, n ? 1 求 an .(答: an ? ? ) ; n ? ?2 , n ? 2

⑸已知

an ? 1 ? f ( n) 求 an ,用累乘法: an ? a2 ? a1 ( n ? 2) 。 a1

an ?

an an ? 1 ? ? an ? 1 an ? 2

如已知数列 {an } 中, 前 n 项和 S n , 若 S n ? n 2an , a1 ? 2 , 求 an (答: an ?

4 ) n( n ? 1)

⑹已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数 列) 。特别地, (1)形如: an ?1 ? pan ? q (为 p,q 为常数且 p ? 1 )的数 列 (Ⅰ)可化为 an ? 1 ? 比数列求出 an ?

q q ? p(an ? ) ,利用等 p?1 p?1

q 的表达式,进而求出 an p?1

(Ⅱ)可由 an ?1 ? pan ? q 得 an ? p an ? 1 ? q 两式 - 73 -

高中数学基础知识与基本题型(理) 相减可得: an ?1 ? an ? p(an ? an ?1 ) ,利用 这种类型还有如: an ? 1 ? 化成为

{an ?1 ? an } 成等比数列求出 an ?1 ? an ,再利用迭代
或迭加求出 an (Ⅲ)

man 可采用取倒数方法转 pan ? q

an ? 1 a a q ? n ? ,先用累加法求 n 再求 an pn ?1 pn pn ?1 pn
n ?1

1 m 1 m 形式解决;又如已知数列 {an } 中 ? ? an ? 1 q an p

a1 ? 2 且 an ? 12 ? an ,求数列 {an } 的通项公式可采用两边取
对数方法即 2lg an ?1 ? lg an 则数列 {lg an } 是以 lg 2 为首项,

如 已 知 a1 ? 1, an ? 3an ?1 ? 2 , 求 an ( 答 :
an ? 2 3

; ?1)

(2)形如 an ? kan ?1 ? bn ( k , b 为常数)也可通过类 似方式来求得 an . 更一般地,递推数列 an=kan-1+f(n) (k≠0,k≠1) (f (n)为等比或等差) ) 还可由 an=kan-1+b 派生出 an+1=kan+b,两式相减得: an+1-an=k(an- an-1)依据等比数列的定义求出其通项 公式(这是二阶线性递归数列 an+1+pan+qan-1=0 的解 法) ,从而形如 an ? 2 ? pan ?1 ? qan 的数列可变形为

an ? 2 ? ? an ?1 ? ? (an ?1 ? ? an ) 就是 an ? 2 ? (? ? ? )an ?1 ? ?? an 则可从 ? ? ? ? p , ??

? ?q 解得 ?、? 于是 {an ?1 ? ? an } 是公比为 ? 的等比
数列. 如(1)数列 {an } 中 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 2 ? 数列 {an } 的通项公式。 解:在 an ? 2 ?
an ? 2 ? an ? 1
2 1 an ? 1 ? an 两边减去 an ? 1 得 3 3 1 ? ? ( an ? 1 ? an ) 3 2 1 an ? 1 ? an 求 3 3

3 1 n ?1 数列,? an ? 1 ? an ? ( ? ) 3 令上式 n ? 1、 再把个 n ? 1 等式累加得: 2、 3、 、 (n ? 1) , 1 1 2 1 an ? a1 ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )n ? 2 3 3 3 1 n ?1 1 ? (? ) 3 1 3 = = [1 ? ( ? )n ?1 ] 1 4 3 1? 3 ? an ? 1 ? 3 [1 ? (? 1 )n ?1 ] . 4 3

? {an?1 ? an } 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,以 ? 1 为公比的等比

1 为公比的等比数列。 2 (7)猜想—归纳—证明(数学归纳法) 与自然数有关的命题常用数学归纳法证明,证明步骤 与格式的规范是数学归纳法的一个特征,其步骤是: (1) 验证命题对于第一个自然数 n=n0 (k≥n0)时成立; (2)假设 n =k 时成立,从而证明当 n=k+1 时命题也成 立, (3)得出结论。 注: (1)数学归纳法是一种完全归纳法,其中两步在 推理中的作用是:第一步是递推的基础,第二步是递 推的依据,二者缺一不可。 (2)在运用数学归纳法时,要注意起点 n,并 非一定取 1,也可能取 0,2 等值,要看清题目 . (3)第二步证明的关键是要运用归纳假设,特 别要弄清由 k 到 k+ 1 时命题变化情况 .证明时要 一凑假设,二凑结论; 7.数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和 公式,特别声明 :运用等比数列求和公式,务必检查其公 比与 1 的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式: 1 , 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? n( n ? 1) 2 1 , 12 ? 22 ? ? n2 ? n( n ? 1)(2n ? 1) 6 n( n ? 1) 2 13 ? 23 ? 33 ? ? n3 ? [ ] . 2 n 如( 1 ) 等比数列 {an } 的前 n 项和 S n = 2 -1,则

4n ? 1 ) ; 3 (2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二 进制即“逢 2 进 1”,如 (1101)2 表示二进制数,将它转换成
2 2 2 a1 ? a2 ? a3 ? 2 =_____(答: ? an

十进制形式是 1 ? 23 ? 1 ? 22 ? 0 ? 21 ? 1 ? 20 ? 13 ,那么将二进制
(111 11)2 转换成十进制数是_______(答: 22005 ? 1 )
2005个 1

( 2 ) 已 知 a1 ? 1, an ? 3an ?1 ? 2n , 求 an ( 答 : ; an ? 5 3n ?1 ? 2n ?1 ) (3)形如 an ?

(2)分组求和法 :在直接运用公式法求和有困难时, 常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和. 如求: Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ?

( ?1)n ? n ) ? ( ?1) n(2 n ? 1)(答:

an ? 1 ( an ?1 ? an ? pan ?1an ) kan ?1 ? b

( p 为常数且 p ? 0 )的递推数列都可以用倒数法求通项。 1 1 1 ? p 求出 可化为 ? 的表达式,再求 an . an an ? 1 an 如 ( 1 ) 已 知 a1 ? 1, an ?
an ? 1 ) ; 3n ? 2

(3)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和 有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用 倒序相加法, 发挥其共性的作用求和 (这也是等差数列前 n 和公式的推导方法). 0 1 2 n 如①求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1) 2n ; ②已知 f ( x ) ?

an ? 1 , 求 an ( 答 : 3an ?1 ? 1

x2 ,则 1 ? x2

7 1 1 1 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? _(答: ) 2 3 4 2
0 1 一般地, Sn ? a1Cn ? a2Cn ? n ,( {an}为等 ? an ?1Cn

(2) 已知数列满足 a1 =1 , an ?1 ? an ? anan ?1 , 求 an (答: an ?
1 ) n2

差数列)可通过此法来求. 提醒:观察通项、 注意首项、 点清项数; (4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列 的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位 - 74 -

高中数学基础知识与基本题型(理) 相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法) :两边同 乘以公比错位相减(但要区分公比是否为 1). 如 ( 1 ) 设 {a n } 为 等 比 数 列 ,
2n ) n?1 8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题 (1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题 . 但在求解过程中,务必“卡手指”,细心计算“年限”.对于“森 林木材”既增长又砍伐的问题, 则常选用“统一法”统一到“最 后”解决. (2)利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利) 本利和计算模型:若每期存入本金 p 元,每期利率为 r ,则
n 期后本利和为: Sn ? p(1 ? r ) ? p(1 ? 2r ) ?

Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ?

? 2an ?1 ? an ,已知 T1 ? 1 , T2 ? 4 ,

①求数列 {an } 的首项和公比; ②求数列 {Tn } 的通项公式(答: . ①1, q ? 2 ;② Tn ? 2n ?1 ? n ? 2 ) ; (2) 设函数 f ( x ) ? ( x ? 1)2,g( x ) ? 4( x ? 1) , 数列 {an } 满足: a1 ? 2, f (an ) ? (an ? an ?1 ) g(an )(n ? N ? ) , ①求证:数列 {an ? 1} 是等比数列; ② 令 h( x ) ? (a1 ? 1) x ? (a2 ? 1) x 2 ?
h( x ) 在点 x ?

p(1 ? nr )

? (an ? 1) x n ,求 函数

8 8 8 处的导数 h?( ) , 并比较 h?( ) 与 2n2 ? n 的 3 3 3 8 8 n 大小。 (答: ①略; ② h?( ) ? ( n ? 1) 2 ? 1 , 当 n ? 1 时, h?( ) 3 3 8 8 2 2 = 2n ? n ; 当 n ? 2 时, 当 n ? 3 时, h?( ) < 2n ? n ; h?( ) > 3 3

n( n ? 1) ;②复利问题:按揭贷 ? p( n ? r ) (等差数列问题) 2 款的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向银行借款) p
元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一 年)后为第一次还款日,如此下去,分 n 期还清。如果每 期利率为 r (按复利) ,那么每期等额还款 x 元应满足:

2n2 ? n ) (5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差” 的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法 求和. 常用裂项形式有: 1 1 1 ? ? ① ; n( n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ); ② n( n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 ③ 2 ? 2 ? ( ? ), k k ?1 2 k ?1 k ?1
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? k k ? 1 ( k ? 1)k k 2 ( k ? 1)k k ? 1 k

p(1 ? r )n ? x(1 ? r )n ?1 ? x(1 ? r )n ? 2 ? 数列问题). n ? 1 ? ?1 ? r ?n ? ?1 ? r ? ? 1 ??x ? x? 1 ? ?1 ? r ? ? r ? ? ?
∴x ? pr ? 1 ? r ?
n

? x(1 ? r ) ? x (等比

?1 ? r ?

n

?1

p——贷款数,r——利率,n——还款期数

平面向量
1、向量有关概念: (1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量 和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向 量就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 。 如 已 知 A ( 1,2 ) , B ( 4,2 ) , 则 把 向 量 AB 按 向 量



1 1 1 1 ? [ ? ] n( n ? 1)( n ? 2) 2 n( n ? 1) ( n ? 1)( n ? 2)

n 1 1 ? ? ; ( n ? 1)! n ! ( n ? 1)! 2 ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? . n ? n?1 1 2 ? ? ? 2( n ? n ? 1) n n ? n?1 1 1 1 ? ? ? ? 如(1)求和: 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1) n (答: ) ; 3n ? 1 1 (2)在数列 {an } 中, an ? ,且 Sn ? 9 , n ? n?1 则 n=_____(答:99) ; (3)等差数列{an}的公差 d(d≠0) ,则 1 1 1 1 1 .{ ?( ? ) } 的求和也可 an an ? p an an ? p pd an ? an ? k
⑤ 用此法. (6)通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特 征,再运用分组求和法求和。 如(1)求数列 1× 4,2× 5,3× 6,…, n ? (n ? 3) ,… n( n ? 1)( n ? 5) 前 n 项和 S n = (答: ) ; 3 (2)求和: 1 1 1 (答: 1? ? ? ? ? 1? 2 1? 2? 3 1? 2? 3? ? n - 75 -

a ? (?1,3) 平移后得到的向量是_____(答: (3,0) )
(2)零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 , 注意零向量的方向是任意的; (3)单位向量:给定一个非零向量 a ,与 a 同向且长

a ; |a| (4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相 等向量,相等向量有传递性; (5)平行向量(也叫共线向量) :如果向量的基线互
度为 1 的向量叫向量 a 的单位向量. a 的单位向量是 相平行或重合则称这些向量共线或平行,记作: a ∥ b ,规 定零向量和任何向量平行。 提醒 :①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一 定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念: 两个平行向量的基线平行或重合 , 但两条直线平行不包含 两条直线重合;③平行向量无传递性! (因为有 0 ); ④三点 A、B、C 共线 ? AB、AC 共线; (6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向 量。 a 的相反向量是- a 。 如下列命题: (1)若 a ? b ,则 a ? b 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终 点相同。

高中数学基础知识与基本题型(理) (3)若 AB ? DC ,则 ABCD 是平行四边形。 (4)若 ABCD 是平行四边形,则 AB ? DC 。 (5)若 (6)若 a / / b, b / / c ,则 a / / c 。其 a ? b, b ? c ,则 a ? c 。 中正确的是_______(答: (4 ) (5) ) 2、向量的表示方法: (1) 几何表示法: 用带箭头的有向线段表示, 如 AB , 注意起点在前,终点在后; (2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 它们的夹角为 ? ,我们把数量 | a || b | cos? 叫做 a 与 b 的数 量积(或内积或点积) ,记作: a ? b,即a ? b = a b cos? 。 规定:零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个 实数,不再是一个向量。 如(1)△ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 , 则 AB ? BC ? _______(答:-9) ; 1 1 (2)已知 a ? (1, ), b ? (0, ? ), c ? a ? kb, 2 2
?? ? ?? ? ?? ?

a , b , c 等; (3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x
轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基底,则平面 内的任一向量 a 可表示为 a ? xi ? y j ? ? x, y ? ,称 ? x , y ? 为 向量 a 的坐标,a = ? x , y ? 叫做向量 a 的坐标表示。 如果向 量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 提醒:向量的起点不在原点,那么向量的坐标与向量的终 点坐标就不相同. 如(04 年上海卷.文 6)已知点 A(-1,5)和向量 a ? (2,3) , 若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为 . (5,4) 3.平面向量的基本定理 :如果 e1 和 e2 是同一平面内的 两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a ,有且只 有一对实数 ?1 、 ? 2 ,使 a = ?1 e1 + ?2 e2 , e1 , e2 称为一 组基底. 注:这为我们用向量解决问题提供了一种方向:把参与的 向量用一组基底表示出来,使其关系容易沟通 如 (1) 若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1,2) , 则 c ? ______ 1 3 (答: a ? b ) ; 2 2 (2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) B. e1 ? ( ?1,2), e2 ? (5,7) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10)

d ? a ? b , c 与 d 的夹角为

? ,则 k 等于____(答:1) ; 4

(3)已知 a ? 2, b ? 5, a b ? ?3 ,则 a ? b 等于____ (答: 23 ) ; (4)已知 a , b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则

a与a ? b 的夹角为____(答: 30 )
(3) b 在 a 上的投影为 | b | cos? ,它是一个实数,但 不一定大于 0。 如已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向 ? 12 量 b 上的投影为______(答: ) 5 (4)a ? b 的几何意义: 数量积 a ? b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积。 (5)向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其 夹角为 ? ,则: ①a ? b ? a?b ? 0; ②当 a , b 同向时,
2 2 2
? ?

? ?

a?b ? a b , 特 别 地 ,

当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a?a ? a , a ? a ;

b 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为 当 ? 为锐角时, a ? b ? 0 ,且 a、 b 锐角的必要非充分条件;当 ? 为钝角时, a ? b ? 0 ,且 a、
不反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要非充分条件; 提醒: (1)若 a ? b ? 0 则 ? a , b ? 为锐角或者 0 角若 a ? b ? 0 则 ? a , b ? 为钝角或者 π 角. (2) a ? b ? a b 可以用来证明 a // b . ③非零向量 a , b 夹角 ? 的计算公式: cos? ? ④ | a ? b |?| a || b | 。 如(1)已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的 4 夹角为锐角,则 ? 的取值范围是______(答: ? ? ? 或 3 1 ? ? 0且? ? ) ; 3 (2)已知 ?OFQ 的面积为 S ,且 OF ? FQ ? 1 ,若
?? ? ?? ? 1 3 ?S? ,则 OF , FQ 夹角 ? 的取值范围是___(答: 2 2 ? ? ; ( , )) 4 3
? ?

1 3 D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? ) (答:B) ; 2 4 (3)已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC , AC 上的中
线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC 可用向量 a , b 表示为_____(答: 2 4 a? b) ; 3 3 (4) 已知 ?ABC 中, 点 D 在 BC 边上, 且 CD ? 2 DB ,
CD ? r AB? s AC ,则 r ? s 的值是___(答:0)
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?

a?b a b



4、 实数与向量的积: 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量, 记作 ? a , 它的长度和方向规定如下: ?1? ? a ? ? a , ? 2? 当

? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同,当 ? <0 时, ? a 的

?

?a ? 0 , 方向与 a 的方向相反, 当 ? =0 时, 注意: ? a ≠0。 5、平面向量的数量积:
( 1 ) 两 个 向 量 的 夹 角 : 对于 非 零 向 量 a , b , 作

OA ? a, OB ? b ,?AOB ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 称为向量 a , b 的
夹角,当 ? =0 时,a ,b 同向,当 ? = ? 时,a ,b 反向, 当? =

?? ? ?? ?

? 时, a , b 垂直。 2

提醒: ①向量的夹角要求这两个向量同起点.②角的问题 (如 三角形内角)可转化为向量的夹角来解. (2)平面向量的数量积:如果两个非零向量 a , b , - 76 -

高中数学基础知识与基本题型(理) (3) 已知 a 、 b 均为单位向量, 它们的夹角为
? ?

60o, 那么 | a ? 3 b |?

?

?

答案: 13

A. 1 B . 2 C. 5 D. 6 (7)已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与 △ABC 的关系为 ( D ) A .P 在△ ABC 内部 B. P 在△ ABC 外部 C .P 在 AB 边所在直线上 D. P 是 AC 边的一个三等分点 (2)坐标运算: 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则: ①向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。如 (1)已知点 A(2,3), B(5,4) , C (7,10) ,若

(4) (04 年全国卷二.理 9)已知平面上直线 l 的方向 4 3 向量 e ? ( ? , ), 点 O(0,0) 和 A(1, ?2) 在 l 上的射影分别是 5 5 O′和 A′,则 O?A? ? ? e ,其中 ? =(D ). 11 11 A. B. ? C.2 D.-2 5 5 (5)设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知 ( DB ? DC ? 2 DA) ? (AB-AC)=0 则△ABC 的形状是(B) A .直角三角形 B. 等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .等边三角形 (6)已知 a ? (cos x,sin x ), b ? (cos y,sin y ), a 与 b 之间 有关系式 ka ? b ? 3 a ? kb , 其中

k ? 0 ,①用 k 表示 a ? b ;②求 a ? b 的最小值,并求此时 a k2 ? 1 ( k ? 0) ;②最小 与 b 的夹角 ? 的大小(答:① a ? b ? 4k 1 值为 , ? ? 60 ) 2 6、向量的运算: (1)几何运算: ①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四 边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还
可利用“三角形法则”: 设 AB ? a, BC ? b , 那么向量 AC 叫 做 a 与 b 的和,即 a ? b ? AB ? BC ? AC ; 提醒:平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起 点相同,三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接 . 可推广到 A1 A2 ? A2 A3 ? ? An ?1 An ? A1 An (据此,可根据 需要在一个向量的两个端点之间任意插点) ② 向 量 的 减 法 : 用 “ 三 角 形 法 则 ” : 设 AB ? a, AC ? b, 那么a ? b ? AB ? AC ? CA ,由减向量的终点 指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起 点相同,指向被减向量(用向量的减法来引进新的起点或者 消去不必要的起点)。向量加减运算的运算结果非 0,在移 项时要注意. 容易得出: | a |-| b |≤| a

AP ? AB ? ? AC (? ? R) ,则当 ? =____时,点 P 在第一、 1 三象限的角平分线上(答: ) ; 2 1 (2)已知 A(2,3), B(1,4), 且 AB 2
? (sin x,cos y) ,x , y ? ( ?

? ?

?
6

或?

) ; 2 (3)已知作用在点 A(1,1) 的三个力 (答: (9,1) )

?

则 x? y ? , ), 2 2

(答:

F1 ? (3,4), F2 ? (2, ?5), F3 ? (3,1) ,则合力 F ? F1 ? F2 ? F3

的终点坐标是

②实数与向量的积: ? a ? ? ? x1 , y1 ? ? ? ? x1 , ? y1 ? 。 ③若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? , 即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐 标减去起点坐标。 1 如设 A(2,3), B(?1,5) ,且 AC ? AB , AD ? 3 AB , 3 11 则 C、D 的坐标分别是__________(答: (1, ),( ?7,9) ) ; 3 ④平面向量数量积: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 。如已知向量 a =(sinx,cosx), b =(sinx,sinx), c =(-1,0) 。 (1) ? 若 x= ,求向量 a 、 c 的夹角; 3 1 3? ? (2) 若 x∈ [ ? 函数 f ( x ) ? ? a ? b 的最大值为 , , ], 8 4 2 1 求 ? 的值(答: (1)150 ;(2) 或 ? 2 ? 1 ) ; 2 ⑤向量的模: | a |?

b |≤| a |+| b |. 如(1)化简:① AB ? BC ? CD ? ___; ② AB ? AD ? DC ? ____;
③ ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? _____ (答:① AD ;② CB ;③ 0 ) ; (2)若正方形 ABCD 的边长为 1,

?

x 2 ? y 2 , a ?| a |2 ? x 2 ? y 2 。

2

距离的求法:转化为向量的数量积: ︱ a ︱= a ? aa ?
x12 ? y12

AB ? a, BC ? b, AC ? c , 2 2) 则 | a ? b ? c | =_____ (答: ; (3)若 O 是 ABC 所在平面内一点,且满足
则 ABC 的形状为____ (答: OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA , 直角三角形) ; (4)若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, ?ABC 所在平 面内有一点 P, 满足 PA ? BP ? CP ? 0 , 设 的值为___(答:2) ; (5) 若点 O 是 △ABC 的外心, 且 OA ? OB ? CO ? 0 , 则 △ABC 的内角 C 为____(答: 120 ) ;

如已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么

| a ? 3b | =_____(答: 13 ) ;
⑥两点间的距离:若 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则

| AP | | PD |

??, 则?

| AB |?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2



如如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ?xOy ? 60 ,平面 上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若 OP ? xe1 ? ye2 ,其中 e1 , e2 分别为与 x 轴、y 轴同方向的单 位向量,则 P 点斜坐标为 ( x , y ) 。

b 满足: (6) (04 年全国卷二.文 9) 已知向量 a 、 | a |=1,
| b |=2,| a ? b |=2,则| a ? b |=( D ). - 77 -

高中数学基础知识与基本题型(理) _____时,A,B,C 共线(答:-2 或 11) (4) (04 年上海卷.理 6) 已知点 A(1, ?2) ,若向量 AB 与 . a ? (2,3) 同 向 , | AB | = 2 13 , 则 点 B 的 坐 标 为 B(5,4) 证明平行问题通常是取得对应的线段来构造向量,然后 证明向量平行 9、向量垂直的充要条件:

(1) 若点 P 的斜坐标为 (2 , -2 ) , 求 P 到 O 的距离| PO|; (2)求以 O 为圆心,1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中 的方程。 (答: (1)2; (2) x 2 ? y 2 ? xy ? 1 ? 0 ) ; 7、向量的运算律:

? ? a ? ? ?? ? a , (1) 交换律: a?b ? b?a, a?b ? b ? a ;

? ? ?

? ? ? a ? ? b ? ? ? a ? b? ? a ? ? ? b? ;
(3)分配律:

(2)结合律:

a ? b ? c ? a ? b ? c, a ? b ? c ? a ? b ? c

?

?



a ? b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b | ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
特别地 (
AB AB ? AC AC )?( AB AB ? AC AC )。

? a ? b? ? c ? a ? c ? b ? c 。
如下列命题中:
? ? ? ? ?

? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a, ? ? a ? b ? ? ? a ? ? b



① a? ( b ? c ) ? a? b ? a? c ; ② a ? ( b? c ) ? ( a ? b ) ? c ; ③ ( a ? b )2 ?| a |2 ?2 | a | ? | b | ? | b |2 ; ④ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; ⑤若 a ? b ? c ? b, 则 a ? c ; ⑥ a ? a ;⑦
2 2
2 2
? ? ? ? ? ?

? ?

如 (1)已知 OA ? (?1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 3 (答: ) ; m? 2 (2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB, ?B ? 90? ,则点 B 的坐标是________ (答:(1,3) 或(3,-1) ) ; (3)已知 n ? (a, b), 向量 n ? m ,且 n ? m ,则 m 的 坐标是________ (答: (b, ?a )或( ?b, a ) ) (2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!如(1) 按向量 a 把 (2, ?3) 平移到 (1, ?2) ,则按向量 a 把点 ( ?7,2) 平移到点______(答: (-8,3) ) ; ( 2) 函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后,所得函 数的解析式是 y ? cos2 x ? 1 , 则 a =________ (答: (?
? ?

?

? ?

? ?

?

? ?

?

?

a?b a
2
2

?

b a



⑧ (a ? b) ? a ? b ; ⑨ (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b 。 其中正确的是______ (答: ①⑥⑨) 提醒: ( 1) 向量运算和实数运算有类似的地方也有区 别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘 以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不 能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记 两向量不能相除 (相约); (2)向量的 “乘法”不满足结合律, 即 a(b ? c ) ? (a ? b)c ,为什么? 8、向量平行(共线)的充要条件: (1) 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个 实数 ? ,使得 b ? ? a . 实数 λ 是唯一存在的,当 a 与 b 同向时, λ>0;当 a 与 b 异向时,λ<0。|λ|=
? ? ? ? ? ? ?

2

2

,1) ) 4 证明垂直问题通常是取得对应的线段来构造向量,然后证
明向量垂直 10.向量中一些常用的结论: (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量, 要注意运用;

?

b同 (2)|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | ,特别地,当 a、
向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b |
|| a | ? | b ||?| a ? b | ;

? || a | ? | b ||?| a ? b | ;
?
| a ? b |?| a | ? | b |

b 反 向 或 有 0 当 a、

?

b 不共线 ? || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 当 a、 (这些和实数比较类似).

(3) 在 ?ABC 中, ①若 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? ,

|a| |b|
?

?

|λ|的大小由 a 及 b 的模确定。因此,当 a , b 确定时,λ 的 符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中 λ 的几何意义。 (2) 若 a =( x1 , y1 ),b=( x2 , y2 ) ,则

?

?

? x ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 ? 则其重心的坐标为 G ? 1 , ?。 3 3 ? ? 如若⊿ABC 的三边的中点分别为 (2, 1) 、 (-3, 4) 、 (-1, 2 4 -1) ,则⊿ABC 的重心的坐标为_______(答: ( ? , ) ) ; 3 3 1 ② PG ? ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心,特 3
别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的重心; ③ PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心;

a / / b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? (a ? b)2 ? (| a || b |)2 .
(3) a ∥ b ? (a ? b)2 ? (| a || b |)2 如(1)若向量 a ? ( x,1), b ? (4, x ) , 当 x =_____时 a 与 b 共线且方向相同(答:2) ;
?

u ? a ? 2b , v ? 2a ? b , (2) 已知 a ? (1,1), b ? (4, x ) ,
且 u / / v ,则 x=______(答:4) ; (3)设 PA ? (k ,12), PB ? (4,5), PC ? (10, k ) ,则 k= - 78 -

AB AC ? )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的 | AB | | AC | 内心(是 ?BAC 的角平分线所在直线);
④向量 ? ( ⑤ | AB | PC ? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P 是?ABC 的内心; ( 3 )向量 PA、 PB、 PC 中三终点 A、B、C 共线 ? 存

高中数学基础知识与基本题型(理) 在实数 ?、? 使得 PA ? ? PB ? ? PC 且 ? ? ? ? 1 . 如平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 已知两点 A(3,1) ,
B( ?1,3) ,若点 C 满足 OC ? ?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且
?? ?

满足 3 x ? 2 y ? 5 ? 0 ( 1 ? x ? 3 ),则

y 的最大值、最小值 x

?? ?

?? ?

?1 ? ?2 ? 1 ,则点 C 的轨迹是_______(答:直线 AB)

2 分别为______(答: , ?1 ) 3 3、直线的方程: (1)点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ,则直线

方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,它不包括垂直于 x 轴的直线。

直线和圆
1、直线的倾斜角: (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相 交的直线 l , 如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线 l 重合时所转的最小正角记为 ? ,那么 ? 就叫做直线的倾 斜角。当直线 l 与 x 轴重合或平行时,规定倾斜角为 0; (2)倾斜角的范围 ? 0, ? ? 。 如 (1) 直线 x cos? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的范围是____ ? 5? (答: [0, ] [ ,? ) ) ; 6 6 ( 2 )过点 P (? 3,1), Q(0, m) 的直线的倾斜角的范围 ? 2? (答: m ? ?2或m ? 4 ) ? ? [ , ], 那么m 值的范围是______ 3 3 2、直线的斜率: (1)定义:倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正 切值叫这条直线的斜率 k ,即 k =tan ? ( ? ≠90°);倾斜角 为 90° 的直线没有斜率; (2)斜率公式:经过两点 P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 的直 线的斜率为 k ?

(2) 斜截式: 已知直线在

y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,

则直线方程为 y ? kx ? b ,它不包括垂直于 x 轴的直线。 (3)两点式:已知直线经过 P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 两 点, 则直线方程为

y ? y1 x ? x1 , 它不包括垂直于坐标 ? y2 ? y1 x2 ? x1

轴的直线。 (4)截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a , b , x y 则直线方程为 ? ? 1 ,它不包括垂直于坐标轴的直线和 a b 过原点的直线。 (5)一般式:任何直线均可写成 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)的形式。 如(1)经过点( 2,1)且方向向量为 v =(-1, 3 )的 直线的点斜式方程是___________ (答:y ? 1 ? ? 3( x ? 2) ) ; (2) 直线 (m ? 2) x ? (2m ? 1) y ? (3m ? 4) ? 0 , 不管 m 怎样变化恒过点______ (答: ; (3) 若曲线 y ? a | x | ( ?1, ?2) ) 与 y ? x ? a(a ? 0) 有 两 个 公 共 点 , 则 a 的 取 值 范 围 是 _______(答: a ? 1 ) 提醒: (1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用 于斜率不存在的直线,还有截距式呢?) ; (2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线 两截距相等 ? 直线的斜率为-1 或直线过原点;直线两截距 互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原点;直线两截距 绝对值相等 ? 直线的斜率为 ?1 或直线过原点。 如过点 A(1,4) ,且纵横截距的绝对值相等的直线共有 ___条(答:3) 4.设直线方程的一些常用技巧: (1)知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b ; (2)知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (它 不适用于斜率为 0 的直线); (3)知直线过点 ( x0 , y0 ) ,当斜率 k 存在时,常设其方 程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,当斜率 k 不存在时,则其方程为

y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? ; x1 ? x2

(3)直线的方向向量 a ? (1, k ) ,直线的方向向量与直 线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线: k AB ? kBC 。 提醒: (1)直线的倾斜角 α 一定存在,但斜率不一定 存在。 (2)直线的倾斜角与斜率的变化关系:若直线存在 斜率 k, 而倾斜角为 α, 则 k=tanα.当倾斜角是锐角是, 斜率 k 随着倾斜角 α 的增大而增大。当 α 是钝角时, k 与 α 同增减. (3)斜率的求法: ? ? ? 依据倾斜角: k ? tan ? ? ? ? , , 2 ? ? ? 牢记图像

x ? x0 ;
( 4 )与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 ; Ax ? By ? C1 ? 0 ( C ? C1 ) ( 5 )与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为

K O
依据两点的坐标: k ?

α

Bx ? Ay ? C1 ? 0 .
( 6 ) 已 知 直 线 l1 : A1x+B1y+C1=0 , 直 线 l2 : A2x+B2y+C2=0,则方程 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 表 示过 l1 与 l2 交点的直线系(不含 l2).不仅可以建立直线方 程还可解决直线过定点问题. 提醒: ( 1)求直线方程的基本思想和方法是恰当选择 方程的形式,利用待定系数法求解。 (2)求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应 写成一般式. (3)求一个角的平分线所在的直线方程的方法: - 79 -

y2 ? y1 ? x1 ? x2 ? x2 ? x1

依据直线方程:化为斜截式 当已知 k,求倾斜角 α 时: k≥0 时,α=arctank;k<0 时,α=π+arctank。 (4) 直线l 的方向向量之一: a ? ? 1,k ? (你知道如何由直线的方向向量来求斜率吗?) 如 (1) 两 条 直 线 斜 率 相 等 是 这 两 条 直 线 平 行 的 ____________条件 (答: 既不充分也不必要) ; (2) 实数 x , y
?

高中数学基础知识与基本题型(理) 法一、利用角的平分线所在的直线的方向向量 ①由顶点坐标(含线段端点)或直线方程求得角两边 的方向向量 v1、 v2 ; ②求出角平分线的方向向量 v ?
v1 v1 ? v2 v2

f ( x, y ) ? f ( x1 , y1 ) ? f ( x2 , y2 ) =0 所表示的直线与 l 的关系
是____(答:平行) ; (6) 直线 l 过点 ( 1, 0) , 且被两平行直线 3 x ? y ? 6 ? 0 和 3 x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段长为 9,则直线 l 的方程是 ________(答: 4 x ? 3 y ? 4 ? 0和x ? 1 ) 7.对称是平面几何的基本变换,有关对称的一些结论 ① 点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的对称点 分别是 (a, -b) , (-a, b) , (-a, -b) , (b, a) ② 如何求点 A (a,b)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点 A? ? ? ? AA? ⊥l 点A、A? 关于直线l 对称 ? ? ? ? AA 中点在 l上

③由点斜式或点向式得出角平分线方程。 {直线的点向式方程:过 P( x0 , y0 ) ,其方向向量为
x ? x0 y ? y0 } ? a b 法二、利用点到直线的距离公式:设 P ( x, y ) 为角平分 线所在直线上的任意一点, 通过 P ( x, y ) 到两边距离相

v(a , b) ,其方程为

等而得. 5、点到直线的距离及两平行直线间的距离: ( 1 ) 点 P ( x0 , y0 ) 到 直 线 Ax ? By ? C ? 0 的 距 离

d?

; A2 ? B 2 ( 2 ) 两 平 行 线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间 的 距 离 为

Ax0 ? By0 ? C

。 A2 ? B 2 提醒: (1)公式要求直线方程为一般式. (2)求平行直线间的距离时,一定要把 x、y 项系数 化成对应相等的系数. 6 、 直 线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 直 线

d?

C1 ? C 2

· kl ? ?1 ? k AA n ?? AA n 中点坐标满足 l 方程 ? 点关于直线 y ? ? x ? b 的对称点是什么? ③ 直线 Ax+By+C=0 关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的 对称的直线方程分别是什么,关于点(a,b)对称的 直线方程又是什么?你能用哪些方法来求一条直线关 于另一条直线的对称直线? ④ 如何处理与光的入射与反射问题? 8、圆的方程:
⑴圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 。
2 2

⑵圆的一般方程:
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2+E2-4F ? 0) ,

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的位置关系:
( 1 ) 平 行 ?

A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ( 斜 率 ) 且

; B1C2 ? B2C1 ? 0 (在 y 轴上截距)

(2)相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ; (3)重合 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? B2C1 ? 0 。 提醒: (1)

特 别 提 醒 : 只 有 当 D2+E2-4F ? 0 时 , 方 程 D E x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 才表示圆心为 ( ? , ? ) ,半径 2 2 1 D 2 ? E 2 ? 4F 的 圆 ( 二 元 二 次 方 程 为 2 Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是什 么? ( A ? C ? 0, 且 B ? 0 且 D2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 ) ; 在圆的标准方程 ( x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) 中有 三 个参数 a , b, r ;在圆的一般方程

A1 B1 C1 A B A B C 、 1 ? 1、 1 ? 1 ? 1 ? ? A2 B2 C2 A2 B2 A2 B2 C2

仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件!为什么? (2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有 可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都 是指不重合的两条直线; (3)直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与直线

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 垂直 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 。
如 ( 1 ) 设 直 线

l1 : x ? my ? 6 ? 0



l2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,当 m =_______时 l1 ∥ l 2 ;当

m =________时 l1

? l 2 ;当 m ? _________时 l1 与 l 2 相交;
1 ; 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 中, 也有三个参数 D, E , F 。 所以 说三个互相独立的条件确定一个圆。在平面几何中也是熟 悉的事实:不共线的三点唯一地确定一个圆。 确定一个圆,包括确定圆的位置和大小两个方面。圆 心确定圆的位置,半径确定圆的大小。又称圆心是圆的定 位条件,半径是圆的定形条件。 ? x ? a ? r cos ? **(IB 模块)⑶圆的参数方程: ? (? 为 ? y ? b ? r sin ?
参数) ,其中圆心为 (a, b) ,半径为 r 。

当 m = _________ 时 l1 与 l 2 重 合 ( 答 : - 1 ;

; m ? 3且m ? ?1 ;3) (2)已知直线 l 的方程为 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ,则与 l 平 行 , 且 过 点 ( —1 , 3 ) 的 直 线 方 程 是 ______ ( 答 : ; 3x ? 4 y ? 9 ? 0 ) (3)两条直线 ax ? y ? 4 ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0 相交于第 一象限,则实数 a 的取值范围是____(答: ?1 ? a ? 2 ) ; (4)设 a , b, c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边 的 边 长 , 则 直 线 sin A x ? ay ? c ? 0 与 ; bx ? sin B y ? sin C ? 0 的位置关系是____(答:垂直) ( 5 )已知点 P1 ( x1 , y1 ) 是直线 l : f ( x, y ) ? 0 上一点,

? x ? a ? r cos? 在参数方程 ? 中,当 ? 为参数, t 为常量 ? y ? b ? r sin? ( t ? 0) 时表示一个圆,? 有几何意义;而当 t 为参数,? 为 常量时,表示一条直线, t 也有几何意义。 圆 的 参 数 方 程 的 主 要 应 用 是 三 角 换 元 :
x 2 ? y 2 ? r 2 ? x ? r cos? , y ? r sin? ; x 2 ? y 2 ? t ? x ? r cos? , y ? r sin? (0 ? r ? t ) 。
⑷ A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为 直 径 端 点 的 圆 方 程

? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0
过两圆交点的圆系方程 设圆 C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ,

P2 ( x2 , y2 )

是 直 线

l

外 一 点 , 则 方 程

- 80 -

高中数学基础知识与基本题型(理) 圆 C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 有公共点,则经过圆 C1 和 圆

x sin? ? y ? 1 ? 0(? ? R,? ?
____(答:相离) ;

?
2

? k? , k ? z ) 的位置关系为

C2

的 公 共 点 的 圆 系 方 程 为 :

( x2 ? y2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ) ? ? ( x2 ? y2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ( 其 中 ? 为 参 数 ,
)在有些问题中需检验圆 ? ? R, ? ? ?1 ,方程不包括圆 C 2 。 当 ? ? ?1 时, 该方程是一条直线的方程, C 2 是否也为所求; 此直线就是两圆的公共弦所在直线。 3. 过直线与圆的交点的圆系方程 设 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 与 圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 有 公 共 点 , 则 过 其 交 点 的 圆 系 方 程 为 ( x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ) ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 。 如(1)圆 C 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 关于直线 y ? ? x 对称,
2 2

(2)若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 1 ? 0 切于点 ; P ( ?1,2) ,则 ab 的值____(答:2) (3)直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ?15 ? 0 所截 得的弦长等于 (答: 4 5 ) ; (4)一束光线从点 A(- 1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是 (答:4) ; (5)已知 M (a, b)(ab ? 0) 是圆 O : x 2 ? y 2 ? r 2 内一点,现 有以 M 为中点的弦所在直线 m 和直线 l : ax ? by ? r 2 ,则 A . m / / l ,且 l 与圆相交 B . l ? m ,且 l 与圆相交 C. 且 l 与圆相离 D. 且 l 与圆相离 (答: l ?m, m / /l , C) ; ( 6 ) 已 知 圆 C : x 2 ? ( y ? 1)2 ? 5 , 直 线 L : mx ? y ? 1 ? m ? 0 。①求证:对 m ? R ,直线 L 与圆 C 总 有两个不同的交点;②设 L 与圆 C 交于 A、B 两点,若 AB ? 17 ,求 L 的倾斜角;③求直线 L 中,截圆所得的 弦最长及最短时的直线方程. (答:② 60 或 120 ③最 长: y ? 1 ,最短: x ? 1 ) 10、 圆与圆的位置关系 (用两圆的圆心距与半径之间的 关系判断) :已知两圆的圆心分别为 O1,O2 ,半径分别为 (2)当 r1 , r2 ,则( 1 )当 |O1O2 ?? r1 ? r2 时,两 圆外离; (3)当 r1 ? r2 <|O1O2 ?? r1 ? r2 |O1O2 ?? r1 ? r2 时,两圆外切; 时,两圆相交; (4)当 |O1O2 ??? r1 ? r2 | 时,两圆内切; (5) 当 0 ? |O1O2 ??? r1 ? r2 | 时,两圆内含。

则圆 C 的方程为____________(答: x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ) ; (2)圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴均相切的圆 的标准方程是__________ (答: ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 或 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ) ;
2 2

? x ? r cos? ( 3 ) 已 知 P ( ?1, 3) 是 圆 ? ( ? 为参数, ? y ? r sin? 0 ? ? ? 2? ) 上的点,则圆的普通方程为 ________,P 点对 应的 ? 值为_______, 过 P 点的圆的切线方程是___________ 2? (答: x 2 ? y 2=4 ; ; x ? 3y ? 4 ? 0 ) ; 3 (4)如果直线 l 将圆:x2+y2-2x-4y=0 平分,且不过第四象 限,那么 l 的斜率的取值范围是____(答:[0,2]) ; 2 (5)方程 x2+y -x+y+k=0 表示一个圆,则实数 k 的取值 1 范围为____(答: k ? ) ; 2 ? x ? 3cos? (6) 若 M ? {( x , y ) | ? ( ? 为参数,0 ? ? ? ? )} , ? y ? 3sin? N ? ?( x, y ) | y ? x ? b? ,若 M N ? ? ,则 b 的取值范围
是_________(答: -3,3 2 ? ?) 8 、 点 与 圆 的 位 置 关 系 : 已 知 点 M ? x0 , y0 ? 及 圆

?

C: ? x - a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0? ,
2 2

(1)点 M 在圆 C 外

? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 ;
2 2

(2)点 M 在圆 C 内 ?

CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 ;
2 2

(3)点 M 在圆 C 上

? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 。
2 2

x2 y2 ? ? 1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2, a 2 b2 P 是双曲线右支上任意一点, 则分别以线段 PF1、 A1A2 为直 径的两圆位置关系为 (答:内切) 特别提醒:圆系方程有哪些? (04 年上海卷.文理 8)圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴 交 于 两 点 A(0, ?4), B(0, ?2) , 则 圆 C 的 方 程 为 . 两圆相交弦所在直线方程的求法:圆 C1 的方程为: x2+y2+D1x+E1y+C1=0.圆 C2 的方程为: x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把两式相减 得相交弦所在直线方 程为: (D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0 注意:两圆相切要区分内切还是外切. 11、圆的切线与弦长: (1)切线:①过圆 x 2 ? y 2 ? R2 上一点 P ( x0 , y0 ) 圆的切线
如双曲线 方程是: xx0 ? yy0 ? R2 ,过圆 ( x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? R2 上一点 圆 的 切 线 方 程 是 : P ( x0 , y0 )
( x ? a )( x0 ? a ) ? ( y ? a )( y0 ? a ) ? R2 ,一般地,如何求圆的

如点 P(5a+1,12a)在圆(x-1) +y2=1 的内部,则 a 的取值范 1 围是______(答: | a |? ) 13 9、直线与圆的位置关系:直线 l : Ax ? By ? C ? 0 和圆



C: ? x ? a ? ? ? y ? b? ? r
2 2

2

? r ? 0? 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来
判断: ( 1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组 的解的情况) : ? ? 0 ? 相交; ? ? 0 ? 相离; ? ? 0 ? 相 切; (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小) : d ? r ? 相离; 设圆心到直线的距离为 d , 则 d ? r ? 相交; d ? r ? 相切。 提醒:判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。 如 ( 1 ) 圆

切线方程?(抓住圆心到直线的距离等于半径) ; ②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方 程,再根据相切的条件,运用几何方法(抓住圆心到直线 的距离等于半径)来求;③过两切点的直线(即“切点弦”) 方程的求法:先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的 圆,该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程; ③ 切 线 长 : 过 圆
2 2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

( ( x ? a ) ? ( y ? b) ? R )外一点 P ( x0 , y0 ) 所引圆的切线的 长为 x0 2 ? y0 2 ? Dx0 ? Ey0 ? F (或 ( x0 ? a )2 ? ( y0 ? b)2 ? R2 ) ;

2 x2 ? 2 y2 ? 1





线 - 81 -

高中数学基础知识与基本题型(理) 如设 A 为圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 上动点,PA 是圆的切线,且 |PA|=1 , 则 P 点 的 轨 迹 方 程 为 __________ ( 答 : 如已知点 Q(2 2,0) 及抛物线 y ?
x2 上一动点 P (x,y), 4

( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ) ; (2)弦长问题:①圆的弦长的计算:常用弦心距 d , 1 弦长一半 a 及圆的半径 r 所构成的直角三角形来解: 2 1 2 2 ②过两圆 C1 : f ( x, y ) ? 0 、 r ? d ? ( a )2 ; C2 : g( x , y ) ? 0 交 2 点的圆(公共弦)系为 f ( x, y) ? ? g( x, y) ? 0 ,当 ? ? ?1 时,方 程 f ( x, y) ? ? g( x, y) ? 0 为两圆公共弦所在直线方程.。 12.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面 几何性质的作用(如半径、 半弦长、 弦心距构成直角三角形, 切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)! 圆心在过切点垂直于切线的直线上 垂径定理:弦的垂直平分线过圆心(弦的中点与圆心 的连线垂直弦所在的直线) 弦心距的 d、半径 r、弦长 l 的关系是什么? 12.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的 求法。
(04 年全国卷三. 文 16)设 P 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点, 则点 P 到直线 3 x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为 . 点评:通过参数法,将几何问题转化为三角值域研究 . 也可设切线 3 x ? 4 y ? C ? 0 ,由 d ? r 求出 C,最后由两平 | C1 ? C 2 | 行线间距离公式 d ? 求出最小值. A2 ? B 2 注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解

则 y+|PQ|的最小值是_____(答:2) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在 原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程) : x2 y 2 ( 1 )椭圆 :焦点在 x 轴上时 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) a b x ? a cos ? (参数方程,其中 ? 为参数) , ? y ? b sin ?

?

y 2 x2 ? =1( a ? b ? 0 ) 。 a 2 b2 方 程 Ax2 ? By 2 ? C 表 示 椭 圆 的 充 要 条 件 是 什 么 ? (ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B) 。
焦点在 y 轴上时
x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取 3? k 2?k 1 1 值范围为____(答: (?3, ? ) (? ,2) ) ; 2 2 (2)若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是

如(1)已知方程

____, x 2 ? y 2 的最小值是___(答: 5,2 ) (2)双曲线:焦点在 x 轴上: 轴上:

x2 y 2 ? ? 1 ,焦点在 y a 2 b2

y 2 x2 ? =1( a ? 0, b ? 0 ) 。方程 Ax2 ? By 2 ? C 表示 a 2 b2 双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号) 。
x2 y 2 如(1)双曲线的离心率等于 5 ,且与椭圆 ? ? 1 有 9 4 2 x2 公共焦点,则该双曲线的方程_______(答: ? y 2 ? 1 ) ; 4 (2)设中心在坐标原点 O, 焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,

圆锥曲线
1.圆锥曲线的定义: (1)定义中要重视“括号”内的限制条件: 椭圆中, 与两个定点 F 1 , F 2 的距离的和等于常数 2a , 且此常数 2a 一定要大于 F1F2 ,当常数等于 F1F2 时,轨迹 是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1F2 时,无轨迹; 双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等 于常数 2a ,且此常数 2a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义中的“绝 对值 ”与 2a < F1F2 不可忽视 。若 2a = F1 F2 ,则轨迹是以 F1 , F 2 为端点的两条射线, 若 2a ﹥ F1F2 , 则轨迹不存在。 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 抛物线定义中, 定点和定直线是焦点和准线, 要注意定 点不在定直线上,否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直 线. 如 ①已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条件的平面 上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A. PF1 ? PF2 ? 4 B. PF1 ? PF2 ? 6 C. PF1 ? PF2 ? 10 D. PF1 2 ? PF2 2 ? 12 (答:C) ; ②方程 ( x ? 6)2 ? y 2 ? ( x ? 6)2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是 _____(答:双曲线的左支) (2)抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此 点到准线距离间的关系,要善于运用定义对它们进行相互 转化。 - 82 -

离心率 e ? 2 的双曲线 C 过点 P(4, ? 10) ,则 C 的方程为 _______(答: x2 ? y 2 ? 6 ) (3)抛物线: 开口向右时 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 开口向左时 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , 开口向上时 x2 ? 2 py( p ? 0) , 开口向下时 x2 ? ?2 py( p ? 0) 。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后 再判断) : (1)椭圆:由 x 2 , y 2 分母的大小决定,焦点在分母大 的坐标轴上。如已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴 m ?1 2 ? m

3 (1, ) ) 2 (2)双曲线:由 x 2 , y 2 项系数的正负决定,焦点在系 数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符 号决定开口方向。 特别提醒: (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位 置,焦点 F1 , F2 的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决

上的椭圆,则 m 的取值范围是__(答: (??, ?1)

定椭圆、 双曲线标准方程的类型, 而方程中的两个参数 a, b , 确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形 条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,a 最大, a2 ? b2 ? c2 ,在双曲线中,c 最大, c2 ? a2 ? b2 。 4.圆锥曲线的几何性质:

高中数学基础知识与基本题型(理)

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )为例) : a 2 b2 ①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ; ②焦点:两个焦点 (?c,0) ; ③对称性: 两条对称轴 x ? 0, y ? 0 , 一个对称中心 (0,0) , 四个顶点 (?a,0),(0, ?b) , 其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; c ④离心率: e ? ,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越 a 圆; e 越大,椭圆越扁。
(1)椭圆(以 如①若椭圆 __(答:3 或
x2 y 2 10 ,则 m 的值是 ? ? 1 的离心率 e ? 5 m 5

25 ) ; 3 ②以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积

2 x0 y2 ? 0 ?1 2 a b2 6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线 与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有 ? ? 0 ,当直 线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一 个交点,故 ? ? 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是 必要条件;? ? 0 ? 直线与抛物线相交, 但直线与抛物线相 交不一定有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线 与抛物线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线与抛物 线相交的充分条件,但不是必要条件。 如①若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不

(3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ?

同的交点,则 k 的取值范围是_______(答:(②直线 y ? kx ? 1 与椭圆

15 ,-1)) ; 3

最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__(答: 2 2 ) x2 y 2 (2)双曲线(以 : ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )为例) a 2 b2 ①范围: x ? ?a 或 x ? a, y ? R ; ②焦点:两个焦点 (?c,0) ; ③对称性: 两条对称轴 x ? 0, y ? 0 , 一个对称中心 (0,0) , 两个顶点 ( ? a,0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别 地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程 可设为 x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ; c ④离心率: e ? ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? a

e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越大,开口越大; b ⑥两条渐近线: y ? ? x 。 a 如 ①双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的
离心率等于______(答:

13 13 或 ) ; 2 3

②双曲线 ax2 ? by 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 a : b = 1 (答:4 或 ) ; 4 x2 y 2 ③设双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a>0,b>0 )中,离心率 e ∈ a b ? ? [ 2 ,2],则两条渐近线夹角 θ 的取值范围是__ (答: ; [ , ]) 3 2 (3)抛物线(以 y 2 ? 2 px( p ? 0) 为例) : ①范围: x ? 0, y ? R ; p ②焦点:一个焦点 ( ,0) ,其中 p 的几何意义是:焦点 2 到准线的距离; ③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有对称中心,只有一 p 个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 x ? ? ; 2 c ⑤离心率:e ? , 抛物线 ? e ? 1 。 如设 a ? 0, a ? R , a 则抛物线 y ? 4ax2 的焦点坐标为________(答: (0, 1 ) ) ;
16a

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点, 则m 5 m 的取值范围是_______(答:[1,5)∪(5,+∞) ) ; x2 y 2 ? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B ③过双曲线 ? 1 2 两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答:3) ; (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线 与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线与抛物线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线 与双曲线相离; ? ? 0 ? 直线与抛物线相离。 特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点 时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲 线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如 果直线与抛物线的轴平行时 ,直线与抛物线相交 ,也只有一 个交点; x2 y 2 (2) 过双曲线 2 ? 2 =1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双 a b 曲线只有一个公共点的情况如下: ①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时, 有 两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条 切线,共四条; ②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时, 有 两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切 线,共四条; ③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另 一渐近线平行的直线,一条是切线; ④P 为原点时不存在这样的直线; (3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有 一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如(1)过点 (2,4) 作直线与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共 点,这样的直线有______(答:2) ;
(2)过点(0,2)与双曲线
x2 y 2 ? ? 1 有且仅有一个公共点 9 16

x y ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的关系: a 2 b2 2 x 2 y0 ? 2 ?1; (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? 0 2 a b 2 x y2 ? 0 ?1; (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 0 2 a b2
5、 点 P( x0 , y0 ) 和椭圆

2

2

? ? 4 4 5? ? 的直线的斜率的取值范围为______(答: ?? , ? ; ?) 3 3 ? ? ? ? y2 (3)过双曲线 x 2 ? ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 2 A、 B 两点, 若 AB ? 4, 则满足条件的直线 l 有____条 (答:

3) ; (4)对于抛物线 C: y 2 ? 4 x ,我们称满足 y0 2 ? 4 x0 的 点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部, 若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部, 则直线 l : y0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C 的位置关系是_______ (答:相离) ; (5) 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 - 83 -

高中数学基础知识与基本题型(理) Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q ,则
1 1 ? ? p q

(5)已知双曲线的离心率为 2,F1、F2 是左右焦点,P 为双曲线上一点,且 ?F1PF2 ? 60 , S?PF1F2 ? 12 3 .求该双 曲线的标准方程(答:

_______(答:1) ; ( 6 ) 求椭圆 7 x2 ? 4 y 2 ? 28 上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0

8 13 ) ; 13 (7) 直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x2 ? y 2 ? 1 交于 A、 B 两点。 ①当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上? ②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点?(答:①
的最短距离(答:

x2 y 2 ? ?1 ) ; 4 12 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则 ∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影分别为

??

3, 3 ;② a ? ?1 ) ;

?

A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点, 则 A, O, C 三点共线。 10、 弦长公式: 若直线 y ? kx ? m 与圆锥曲线相交于两 点 A 、 B ,且 x1 , x2 分 别为 A 、 B 的横 坐标,则 AB =

7、焦半径计算方法:利用抛物线的定义,椭圆及双曲 线利用两点间的距离公式 如*(1)已知抛物线方程为 y 2 ? 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物线的焦点的距离等于 ____; (2) 若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4, 则点 M 的坐标为_____(答: 7,(2, ?4) ) ;
x2 y 2 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是 25 9 它到右焦点距离的两倍, 则点 P 的横坐标为_______ (答: 25 ) ; 12

1 ? k 2 x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB =
1? 1 y1 ? y2 ,若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ty ? n , k2

(3)点 P 在椭圆

则 AB = 1 ? t 2 y1 ? y2 。 特别地, 焦点弦 (过焦点的弦) : 焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦 点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 如 (1) 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A (x1, y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于_______ (答:8) ; (2)过抛物线 y 2 ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两 点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则 ΔABC 重心的横坐标 为_______(答:3) ; 11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦 达定理”或“点差法”求解。 在椭圆

(4) 抛物线 y 2 ? 2 x 上的两点 A、 B 到焦点的距离和是 5, 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为______(答:2) ; 8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构 成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求 解。设椭圆或双曲线上的一点 P( x0 , y0 ) 到两焦点 F1 , F2 的距 离 分 别 为 r1 , r2 , 焦 点 ?F1PF2 的 面 积 为 S , 则 在 椭 圆

x2 y 2 2b 2 ? 2 ? 1 中, ① ? = arccos( ? 1) ,且当 r1 ? r2 即 P 为 2 a b r1r2
短轴端点时, ? 最大为 ?
S ? b2 tan
max

x2

= arccos

b ?c ;② a2
2 2

?
2

a 2 b2 b2 x 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 0 ; a y0
在双曲线

?

y2

? 1 中, 以 P( x0 , y0 )

? c | y0 | ,当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时, Smax 的

最大值为 bc;对于双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点三角形有: a 2 b2

? 2b 2 ? ① ? ? arccos ?1 ? ?; r1r2 ? ? 1 ? ② S ? r1r2 sin ? ? b 2 cot 。 2 2
如(1)短轴长为 5 ,离心率 e ?
2 的椭圆的两焦点为 3

x2 y 2 ? ? 1 中, 以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直 a 2 b2 b2 x 线 的 斜 率 k ? 2 0 ; 在 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 中 , 以 a y0

P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k ?
如(1)如果椭圆

p 。 y0

x2 y 2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分, 36 9 那么这条弦所在的直线方程是 (答: ; x ? 2y ? 8 ? 0 )
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相 a 2 b2 交于 A、 B 两点, 且线段 AB 的中点在直线 L: x-2y=0 上,
(2) 已知直线 y=-x+1 与椭圆 则此椭圆的离心率为_______(答:

F1 、 F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则 ?ABF2 的周

长为________(答:6) ; (2)设 P 是等轴双曲线 x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 右支上一点, F1、F2 是左右焦点,若 PF2 ? F1F2 ? 0 ,|PF1|=6,则该双曲线 的方程为
2

(答: x2 ? y 2 ? 4 ) ;
2

2 ) ; 2
x2 y 2 ? ? 1 上有 4 3

x y ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上 (3)椭圆 ? 9 4
→ → 的动点,当PF2 · PF1 <0 时,点 P 的横坐标的取值范围是

(3)试确定 m 的取值范围,使得椭圆

6 ,F1、F2 2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线与双曲线的左支交于 A、 B 两 点 , 且 AB 是 AF2 与 BF2 等 差 中 项 , 则 AB =
(4)双曲线的虚轴长为 4,离心率 e= __________(答: 8 2 ) ; - 84 -

? 2 13 2 13 ? 不同的两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称 (答: ; ? , ?) 3 5 3? 5 13 , ? )) __________(答: (? ; 13 ? ? ? 5 5 特别提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的 必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了 检验 ? ? 0 ! 12.你了解下列结论吗?
2 2 2 2 (1)双曲线 x 2 ? y2 ? 1 的渐近线方程为 x 2 ? y2 ? 0 ;

a

b

a

b

高中数学基础知识与基本题型(理)
2 2 (2) 以 y ? ? b x 为渐近线 (即与双曲线 x 2 ? y2 ? 1 共渐近线)

作 MN⊥AB, 垂足为 N, 在 OM 上取点 P, 使 | OP |?| MN | , 求点 P 的轨迹。(答: x2 ? y 2 ? a | y | ); (2)若点 P ( x1 , y1 ) 在圆 x2 ? y 2 ? 1 上运动,则点
1 2 (3) 过抛物线 x2 ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是________(答: x2 ? 2 y ? 2 ); 注意: ①如果问题中涉及到平面向量知识, 那么应从已 知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子 或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行 “摘帽子或 x2 y 2 脱靴子”转化。如已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦 a b 点分别是 F1(-c,0) 、F2(c,0) ,Q 是椭圆外的动点,

a

a

b

的双曲线方程为 x 2 ? y2 ? ? (? 为参数, ? ≠0)。如与双曲线
a b

2

2

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3) 的双曲线方程 9 16

(答:y 2 ? 2 x ? 1(| x |? ) ) ; Q( x1 y1, x1 ? y1 ) 的轨迹方程是____

为_______(答:

4x2 y 2 ? ?1) 9 4 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方

程可设为 mx2 ? ny 2 ? 1 ; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的
2b 2 b2 ,焦准距(焦点到相应准线的距离)为 ,抛 a c 物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

弦)为

(6)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1, y1), B( x2, y2) ,则

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