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四川省南充高中2013届高三第11次月考 数学文


南充高中高2010级高三第十一次月考

数学试卷(文科)
命、审题人:尹怀前赵兴俊
A.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.a 为正实数, i 为虚数单位, A.2

a?i ? 2 ,则 a=() i
C. 2

[来源:学科网 ZXXK]

B. 3

D.1

2.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1)=() A.- e B.-1 C.1 D. e )

3.已知命题 p:?x∈R,9x2-6x+1>0;命题 q:?x∈R,sinx+cosx= 2,则( A ? p 是假命题 C.p∨q 是真命题 B. ? q 是真命题 D. ? p∧ ? q 是真命题

4.设 a、b 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题错误的是( ) A.若 a⊥α,b∥α,则 a⊥b B.若 a⊥α,b∥a,b ? β,则 α⊥β C.若 a⊥α,b⊥β,α∥β,则 a∥b D.若 a∥α,a∥β,则 α∥β

5.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注数字外完全相同,现从中 随机取 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是( 1 A. 12 1 B. 10 1 C. 5 3 D. 10 )

6.如果执行右边的程序框图,输入 x=-12,那么其输出的结 果是( A.9 ) B.3 C. 3 1 D. 9

?b≥a, ? 7.设变量 a,b 满足约束条件:?a+3b≤4, ?a≥-2. ?

若 z=a-3b 的最

1 m 小值为 m,则函数 f(x)= x3+ x2-2x+2 的极小值等于( 3 16 4 A.- 3 1 B.- 6 C.2 → → △ADB 面积之和 S△ABC+S△ACD+S△ADB 的最大值为(

) 19 D. 6

→ → )

→ →

8. 半径为 4 的球面上有 A, C, 四点, B, D 且满足AB· =0, · =0, · =0, AC AD AC AB AD 则△ABC, △ACD,

A.8

B.16

C.32

D.64 个 数

9.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一 字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( 2 7 4 9 A. B. C. D. 5 10 5 10 )

10.已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过 点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q ,且

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? QP? ? FP?FQ ,动点 P 的轨迹为 C ,已知圆 M 过定点 D ? 0,2 ? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动, QF l l 且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B 两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,则 1 ? 2 的最大值为() l2 l1

A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 3 2 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷中的横线上.) 11.已知 ? 是第二象限角,且 sin(? ? ? ) ?

3 , 则 tan ? ? ______. 5

12.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 . 13. 现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个 边长都是 a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,

a2 则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ,类比到空间,有两 4 个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,
则这两个正方体重叠部分的体积恒为. 14. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,设
2

AF ? m, BF ? n, 则 2m? n 的

最小值为

.

15. 在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点,下列命题中正确的是 _____________(写出所有正确命题 的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线. 13.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? sin 4 x ? 2 3sin x cos x ? cos4 x , (1)求该函数的最小正周期和最小值; (2)若 x ??0, ? ? , 求该函数的单调递增区间.

17. (本小题满分 12 分) 为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国 大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段, 参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序. 通过预赛,选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛. (Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (Ⅱ)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.

18. (本小题满分 12 分) 如下图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30° ,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA⊥平面 ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1. (1)证明:EM⊥BF; (2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

19. (本小题满分 12 分)

7 1 1 已知数列 {bn } 满足 bn?1 ? bn ? ,且 b1 ? , Tn 为 {bn } 的前 n 项和. 2 2 4 1 (1)求证:数列 {bn ? } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; 2 12k ? 2n ? 7 恒成立,求实数 k 的取值范围. (2)如果对于任意 n ? N * ,不等式 12 ? n ? 2Tn
20. (本小题满分 13 分) 设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1、F2,A 是 椭 圆 E 上 一 点 , a2 b2

1 AF1 ? F1 F2 ,原点到直线 AF2 的距离是 OF1 . 3
(1)求椭圆 E 的离心率 e ; (2)若 ?AF1 F2 的面积是 e ,求椭圆 E 的方程; (3)在(2)的条件下,若直线 l : y ? x ? m 与椭圆 E 交于 B、C 两点,问:是否存在实数 m 使

?BF2 C 为钝角?如果存在,求出 m 的范围;如果不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x , h( x) ? (1)求 h( x) 的最大值; (2) 若关于 x 的不等式 xf ( x) ? ?2 x ? ax ?12 对一切 x? ? 0, ??? 恒成立, 求实数 a 的取值范围;
2

ln x . x

(3) 若关于 x 的方程 f ? x ? ? x3 ? 2ex2 ? bx ? 0 恰有一解, 其中 e 为自然对数的底数, 求实数 b 的 值.

南充高中高 2010 级高三第十一次月考(文科数学)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B C D D C A 8 C 9 C 10 C

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 3 a3 11. ? 12. 8+ 3+ 713. 14. 3 ? 2 2 ; 15. ①③⑤ 4 8 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 6 题,共 75 分)
16.(本小题满分 12 分

?? ? 解: (1) y= 3 sin 2 x ? sin 4 x ? cos 4 x = 3 sin 2 x ? cos 2 x=2sin ? 2 x ? ? 6 ? ???? 4 分 ?

?

?

所以 T ? ? , ymin ? ?2 ???? 6 分 (2) 令2k? -

? 2k? ? ,k ? Z,则k? - ? x ? k? ? ,k ? Z ??? 8 分 2 6 2 6 3 ? ? 5? 4? 令 k ? 0,1 ,得到 x ?[- , ] 或 x ?[ , ] , ???? 10 分 6 3 6 3 ? 5? 与 x ? [0, ? ] 取交集, 得到 x ?[0, ] 或 x ?[ , ? ] , 3 6 ? ? ? ? 5? ? 所以,当 x ? [0, ? ] 时,函数的 递增区间是 ?0, ? 和 ? ,? ? ? 3? ? 6 ? . ???? 12 分 17.(本小题满分 12 分) 解:基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙, 丙乙甲”. ?????????????2 分 (Ⅰ)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 A ,事件 A 包含的基本事件 ? 2x ?

?

?

?

?

?

有“甲乙丙,乙甲丙” ,则

?????????????4 分

P ? A? ?

2 1 ? . 6 3
1 .??????????6 分 3

所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为

(Ⅱ)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件 B ,事件 B 包含的基本事件 有“甲乙丙,乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲”,则???????????10 分

P ? B? ?

4 2 ? . 6 3
2 .??????????12 分 3

所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为

18.(本小题满分 12 分) 解:方法一 (1)证明:∵EA⊥平面 ABC,BM?平面 ABC,∴EA⊥BM. 又∵BM⊥AC,EA∩AC=A, ∴BM⊥平面 ACFE. 而 EM?平面 ACFE. ∴BM⊥EM. ∵AC 是圆 O 的直径,∴∠ABC=90° . 又∵∠BAC=30° ,AC=4, ∴AB=2 3,BC=2,AM=3,CM=1. ∵EA⊥平面 ABC,FC∥EA,∴FC⊥平面 ABC. 又 FC=CM=1,AM=EA=3, ∴△EAM 与△FCM 都是等腰直角三角形. ∴∠EMA=∠FMC=45° . ∴∠EMF=90° ,即 EM⊥MF. ∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面 MBF. 而 BF?平面 MBF,∴EM⊥BF. ???? 5 分 (2)解:延长 EF 交 AC 的延长线于 G,连接 BG,过点 C 作 CH⊥BG,连接 FH. 由(1)知 FC⊥平面 ABC,BG?平面 ABC, ∴FC⊥BG. 而 FC∩CH=C,∴BG⊥平面 FCH. ∵FH?平面 FCH,∴FH⊥BG. ∴∠FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的二面角的平面角. 在 Rt△ABC 中,∵∠BAC=30° ,AC=4, ∴BM=AB· sin30° 3. = FC GC 1 由 = = ,得 GC=2. EA GA 3 ∵BG= BM2+MG2= ? 3?2+32=2 3, 又∵△GCH∽△GBM, GC CH GC· BM 2× 3 ∴ = ,则 CM= = =1. BG BM BG 2 3 ∴△FCH 是等腰直角三角形,∠FHC=45° .

2 . 2 ???? 12 分 方法二 (1)证明:因为 AC 是圆 O 的直径,所以∠ABC=90° ,又∠BAC=30° ,AC= 4,所以 AB=2 3,而 BM⊥AC,易得 AM=3,BM= 3.如图,以 A 为坐标原点,垂 直于 AC 的直线,AC、AE 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.由已知条件 得 A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B( 3,3,0),F(0,4,1), → → ∴平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 ∴ME=(0,-3,3),BF=(- 3,1,1). → → → → ????5 分

由ME· =(0,-3,3)· BF (- 3,1,1)=0,得ME⊥BF,∴EM⊥BF. → → (2)解:由(1)知BE=(- 3,-3,3),BF=(- 3,1,1). → → 设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z),由 n· =0,n· =0, BE BF

?- 3x-3y+3z=0, 得? ?- 3x+y+z=0.
令 x= 3得 y=1,z=2,∴n=( 3,1,2). → 由已知 EA⊥平面 ABC,所以平面 ABC 的一个法向量为AE=(0,0,3). 设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为 θ, → | 3×0+1×0+2×3| 2 则 cosθ=|cos〈n,AE〉|= = . 2 ???? 12 分 3×2 2 19.(本小题满分 12 分) 解: (1)对任意 n ? N ,都有 bn ?1 ?
*

1 1 1 1 1 bn ? ,所以 bn ?1 ? ? (bn ? ) 2 2 2 2 4

则 {bn ? } 成等比数列,首项为 b1 ? 所以 bn ?

1 2

1 1 ? 3 ,公比为 ????2 分 2 2

1 1 1 1 ? 3 ? ( ) n ?1 , bn ? 3 ? ( ) n ?1 ? ????4 分 2 2 2 2

(2)因为 bn ? 3 ? ( )

1 2

n ?1

?

1 2

1 3(1 ? n ) 1 1 1 n 2 ? n ? 6(1 ? 1 ) ? n ????6 分 所以 T ? 3(1 ? ? ? ... ? )? ? n 2 n ?1 1 2 2 2 2 2 2n 2 1? 2 12k 因为不等式 ? 2n ? 7 , (12 ? n ? 2Tn )
化简得 k ? 设 cn ?

2n ? 7 2(n ? 1) ? 7 2n ? 7 9 ? 2n ,则 cn ?1 ? cn ? ? ? n ?1 n 2 2n ?1 2n 2 n ? 5 , cn?1 ? cn , {cn } 为单调递减数列 , 当

2n ? 7 * 对任意 n ? N 恒成立 2n

?????7 分

当 1 ? n ? 5 , cn?1 ? cn , {cn } 为 单调递增数列

????9 分

1 3 ,所以, n ? 5 时, c n 取得最大值 3 ????11 分 ? c4 ? c5 ? 16 32 32 3 2n ? 7 * 所以,要使 k ? 对任意 n ? N 恒成立, k ? ????12 分 n 2 32
20.(本小题满分 13 分) 解: (1)设 F1 (?c,0) , F2 (c,0) ,∵ AF ? F1 F2 ,不妨设 A(?c, y ), ( y ? 0) , 1

b2 b2 b2 ( x ? c) ,整理可 ,从而得 A(?c, ) ,直线 AF2 的方程为 y ? ? a a 2ac 1 c b2c 2 2 得 b x ? 2acy ? b c ? 0 ,由题设,原点 O 到直线 AF2 的距离为 | OF1 | ,即 ? ,将 3 3 b 4 ? 4a 2 c 2
又∵点 A 在椭圆上,∴ y ?

2 c2 1 c ? a ? b 代入上式化简得 a ? 2b ,∴ a ? 2(a ? c ) , 2 ? , e ? . 2 2 a
2 2 2
2 2

2

2

2

????5



1 b2 2 x2 ? (2)由题设 ? 2c ? ,∴ b ? 1, c ? 1, a ? 2 ,所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 ????8 分 2 2 a 2
(3)设 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,将直线 y ? x ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1 并化简得 2

4 2 3x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 2 ? 0 ,由韦达定理知 x1 ? x 2 ? ? m , x1 x 2 ? (m 2 ? 1) , 3 3
且 ? ? (4m) ? 4 ? 3 ? 2(m ? 1) ? 0 ,∴ m ? 3 ,由题设 ?BF2 C 是钝角,
2 2

即 F2 B ? F2 C ? 0 . ∴ ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ,∴ 2x1 x2 ? (m ? 1)(x1 ? x2 ) ? m 2 ? 1 ? 0 , ∴

4 2 4 (m ? 1) ? m(m ? 1) ? m 2 ? 1 ? 0 ,∴ 3m 2 ? 4m ? 1 ? 0 , 3 3
?2? 7 ?2? 7 ,上式满足 ? 3 ? m ? 3 , ?m? 3 3

解得

??2? 7 ?2? 7 ? ? 满足条件.????13 分 故存在 m ? ? , ? ? 3 3 ? ?

21.(本小题满分 14 分)

ln x 1 ? ln x , ? x ? 0? ,所以 h? ? x ? ? , x x2 由 h?( x) ? 0 ,且 x ? 0 ,得 0 ? x ? e , 由 h?( x) ? 0 ,且 x ? 0 , x ? e ,
解: (1)因为 h ? x ? ? 所以函数 h ? x ? 的单调增区间是 (0, e] ,单调减区间是 [e, ??) , 所以当 x ? e 时, h ? x ? 取得最大值 ;

1 e

????4 分

2 (2)因为 xf ( x) ≥ ?2 x ? ax ? 12 对一切 x ? (0,??) 恒成立,

即 x ln x ? x 2 ≥ ?2 x 2 ? ax ? 12 对一切 x ? (0,??) 恒成立,

12 对一切 x ? (0,??) 恒成立, x x 2 ? x ? 12 ( x ? 3)(x ? 4) 12 ? 设 ? ( x ) ? ln x ? x ? ,因为 ? ?( x) ? , x x2 x2 故 ? (x) 在 (0,3] 上递减,在 [3,??) 上递增, ? ( x) min ? ? (3) ? 7 ? ln 3 ,
亦即 a ≤ ln x ? x ? 所以 a ≤ 7 ? ln 3 .
3 2
3 2

????8 分

(3)因为方程 f ( x) ? x ? 2ex ? bx ? 0 恰有一解, 即 ln x ? x ? x ? 2ex ? bx ? 0 恰有一解, 即

ln x ? x 2 ? 2ex ? b ? 1 恰有一解, x 1 , e

由(1)知, h(x) 在 x ? e 时, h( x ) max ?
2

而函数 k ?x? ? x ? 2ex ? b ? 1 在 (0, e] 上单调递减,在 [e,??) 上单调递增, 故 x ? e 时, k ?x?min ? b ? 1 ? e 2 , 故方程

ln x 1 ? x 2 ? 2ex ? b ? 1 恰有一解当且仅当 b ? 1 ? e 2 ? , x e 1 2 即 b ? e ? ?1. ????14 分 e


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