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【步步高】(人教A版,文科)2015届高三数学第一轮大练习复习学案:2.6 对数与对数函数


§ 2.6

对数与对数函数

1.对数的概念 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x= loga N,其中__a__ 叫做对数的底数,__N__叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 M ①loga

(MN)=loga M+loga N;② loga =loga M-loga N; N n n ③loga Mn =nloga M (n∈R);④ loga m M = loga M. m (2)对数的性质 ①aloga N=__N__;② loga aN=__N__(a>0 且 a≠1). (3)对数的重要公式 ①换底公式:logb N= ②loga b= 1 ,推广 loga b· logb c· logcd=loga d. logb a loga N (a,b 均大于零且不等于 1); loga b

3.对数函数的图象与性质

1

4. 反函数 指数函数 y=a 与对数函数 y=loga x 互为反函数,它们的图象关于直线__y=x__对称.
x

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 log2 (log3 x)=log3 (log2 y)=0,则 x+y=5. (2)2log5 10+log5 0.25=5. (3)已知函数 f(x)=lg x,若 f (ab)=1,则 f (a2 )+f (b2 )=2. (4)log2 x2 =2log2 x. (5)当 x>1 时,loga x>0. (6)当 x>1 时,若 loga x>logb x,则 a<b. 2.(2013· 课标全国Ⅱ)设 a=log3 6,b=log5 10,c= log7 14,则 A.c>b>a C.a>c>b 答案 解析 D a=log3 6=1+ log3 2=1+ 1 , log2 3 B.b>c>a D.a>b>c ( ( ( ( ( ( √ × √ × × × ( ) ) ) ) ) ) )

1 , log2 5 1 c=log7 14=1+ log7 2=1+ ,显然 a>b>c. log2 7 b=log5 10=1+log5 2=1+ 3.(2013· 浙江)已知 x,y 为正实数,则 A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y B.2lg(x+y)=2lg x· 2lg y
2

(

)

lg y C.2lg x· =2lg x+2lg y

D.2lg(xy)=2lg x· 2lg y

答案 解析

D 2
lg x

· 2

lg y

=2

lg x+ lg y

=2lg(xy). 故选 D. 4.函数 f (x)=log5 (2x+1)的单调增区间是________. 1 答案 (- ,+∞) 2 1 解析 函数 f (x)的定义域为(- ,+∞), 2 令 t=2x+1(t>0). 因为 y=log5 t 在 t∈(0,+∞)上为增函数, 1 t=2x+1 在(- ,+∞)上为增函数, 2

1 所以函数 y=log5 (2x+1)的单调增区间是(- ,+∞). 2 1? 5. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在[0, +∞)上为增函数, f? 则不等式 f ( log1 x x)>0 ?3?=0,
8

的解集为________________. 1 答案 ?0, ?∪(2,+∞) ? 2? 解析 ∵f (x)是 R 上的偶函数,

∴它的图象关于 y 轴对称. ∵f (x)在[0,+∞)上为增函数, ∴f (x)在(-∞,0]上为减函数, 1 1 由 f? ?=0,得 f?- ?=0. ?3? ? 3? 1 1 ∴f ( log1 x )>0? log1 x <- 或 log1 x > 3 3
8 8 8

1 ?x>2 或 0<x< , 2 1 ∴x∈?0, ?∪(2,+∞). ? 2?

题型一 例1

对数式的运算 ( )

(1)若 x=log4 3,则(2x-2-x)2 等于 9 5 10 4 A. B. C. D. 4 4 3 3 ? ?log2 x,x>0, 1 (2)已知函数 f(x)=? -x 则 f(f (1))+f (log3 )的值是 2 ?3 +1,x≤0, ? A.5 B.3 C.-1 D. 7 2

(

)

3

思维启迪

(1)利用对数的定义将 x=log4 3 化成 4x=3;

(2)利用分段函数的意义先求 f(1),再求 f(f (1)); 1 f (log3 )可利用对数恒等式进行计算. 2 答案 解析 (1)D (2)A

(1)由 x=log4 3,得 4x=3,即 2x= 3, 3 2 32 4 2- x= ,所以(2x-2- x)2 =( )= . 3 3 3 (2)因为 f(1)=log2 1=0,所以 f (f(1))=f(0)=2. 1 1 1 因为 log3 <0,所以 f (log3 )=3-log3 +1 2 2 2 =3log3 2+1=2+1=3. 1 所以 f (f (1))+f (log3 )=2+3=5. 2 思维升华 在对数运算中,要熟练掌握对数式的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公

式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式. 1 ? ?? ?x,x≥4, 已知函数 f (x)=? 2 则 f (2+log2 3)的值为________.

?f ?x+1?,x<4, ?

答案 解析

1 24 因为 2+log2 3<4,

所以 f (2+log2 3)=f (3+log2 3), 而 3+log2 3>4, 1 1 1 所以 f (3+log2 3)=( )3+log2 3= ×( )log2 3 2 8 2 1 1 1 = × = . 8 3 24 题型二 例2 对数函数的图象和性质 ( )

(1)函数 y=2log4 (1-x)的图象大致是

(2)已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 a=f (log4 7),

4

b=f (log 1 3),c=f (0.2-0.6 ),则 a,b,c 的大小关系是
2

(

)

A.c<a<b C.b<c<a 思维启迪

B. c<b<a D.a<b<c (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象;

(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小,利用函数的单调性或中间值可达到目的. 答案 解析 (1)C (2)B (1)函数 y=2log4 (1-x)的定义域为(-∞,1),排除 A、 B;

又函数 y=2log4 (1-x)在定义域内单调递减,排除 D. 选 C. (2)log 1 3=-log2 3=- log4 9,
2

b=f (log 1 3)=f (-log4 9)=f(log4 9),
2

5 1? 3 5 log4 7<log4 9,0.2- 0.6 =? ?5?-5= 125> 32 =2>log4 9, 又 f (x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数, 且在(-∞,0]上是增函数, 故 f (x)在[0,+∞)上是单调递减的, ∴f (0.2
- 0.6

)<f(log 1 3)<f(log4 7),即 c<b<a.
2

思维升华 式等;

(1)函数的单调性是函数最重要的性质,可以用来比较函数值的大小,解不等

(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系,充分利用函数图象解题也体现了数形结合的 思想. 1?-0.8 (1)已知 a=21.2 ,b=? ?2? ,c=2log5 2,则 a,b,c 的大小关系为( A.c<b<a C.b<a<c B. c<a<b D.b<c<a )

(2)已知函数 f(x)=loga (x+b) (a>0 且 a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1), 则 a=________, b=________. 答案 解析 (1)A (2)2 2 1 (1)b=? ?- 0.8 =20.8 <21.2 =a, ?2?

c=2log5 2= log5 22 <log5 5=1<20.8 =b, 故 c<b<a. (2)f (x)的图象过两点(-1,0)和(0,1). 则 f (-1)=loga (-1+b)=0 且 f(0)=loga (0+b)=1, ? ? ?b-1=1 ?b=2 ∴? ,即? . ? b= a ?a=2 ? ?

5

题型三 例3

对数函数的应用

已知函数 f (x)=loga (3-ax).

(1)当 x∈[0,2]时,函数 f (x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f (x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如果 存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 思维启迪 f (x)恒有意义转化为“恒成立”问题,分离参数 a 来解决;探究 a 是否存在,

可从单调性入手. 解 (1)∵a>0 且 a≠1,设 t(x)=3-ax,

则 t(x)=3-ax 为减函数, x∈[0,2]时,t(x)最小值为 3-2a, 当 x∈[0,2]时,f (x)恒有意义, 即 x∈[0,2]时,3-ax>0 恒成立. 3 ∴3-2a>0. ∴a< . 2 3 又 a>0 且 a≠1,∴a∈(0,1)∪?1, ?. ? 2? (2)t(x)=3-ax,∵a>0,∴函数 t(x)为减函数, ∵f (x)在区间[1,2]上为减函数, ∴y=loga t 为增函数, ∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为 3-2a,f(x)最大值为 f(1)=loga (3-a), 3 a< ? 3 - 2 a >0 2 ? ∴? ,即 , ?loga ?3-a?=1 3 ? a= 2

? ? ?

故不存在这样的实数 a,使得函数 f (x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1. 思维升华 解决对数函数综合问题时,无论是讨论函数的性质,还是利用函数的性质

(1)要分清函数的底数是 a∈(0,1),还是 a∈(1,+∞); (2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义 域上进行; (3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误. 已知 f (x)=log4 (4 -1). (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; 1 (3)求 f(x)在区间[ ,2]上的值域. 2 解 (1)由 4x-1>0,解得 x>0,
x
x
x

因此 f (x)的定义域为(0,+∞). (2)设 0<x1 <x2 ,则 0< 4 1 -1< 4 2 -1,
6

因此 log4 ( 4 x1 -1)<log4 ( 4 x 2 -1),即 f(x1 )<f(x2 ), 故 f (x)在(0,+∞)上递增. 1 (3)f (x)在区间[ ,2]上递增, 2 1 又 f ( )=0,f(2)=log4 15, 2 1 因此 f (x)在[ ,2]上的值域为[0 ,log415]. 2

利用函数性质比较幂、对数的大小

典例:(15 分)(1)设 a=0.50.5 ,b=0.30.5 ,c=log0.3 0.2,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c C.b<a<c B.a<b<c D.a<c<b

)

A.a>b>c C.a>c>b

B.b>a>c D.c>a>b

(3)已知函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,且当 x∈(-∞,0)时,f (x)+xf ′(x)<0 成立,a= (20.2 )· f(20.2),b=(logπ 3)· f(logπ 3),c=(log3 9)· f (log3 9),则 a,b,c 的大小关系是( A.b>a>c C.c>b>a 思维启迪 的大小; (2)化成同底的指数式,只需比较 log2 3.4、log4 3.6、- log3 0.3=log3 中间值或数形结合进行比较; (3)先判断函数 φ(x)=xf (x)的单调性,再根据 2 ,logπ 3,log3 9 的大小关系求解. 解析 (1)根据幂函数 y=x0.5 的单调性,可得 0.30.5 <0.50.5 <10.5 =1,即 b<a<1;
0.2

)

B. c>a>b D.a>c>b (1)利用幂函数 y=x
0.5

和对数函数 y=log0.3 x 的单调性,结合中间值比较 a,b,c 10 的大小即可,可以利用 3

根据对数函数 y=log0.3 x 的单调性,可得 log0.3 0.2>log0.3 0.3=1,即 c>1. 所以 b<a<c.

方法一

在同一坐标系中分别作出函数 y=log2 x,y= log3 x,y=

log4 x 的图象,如图所示. 由图象知: log2 3.4>log3 10 >log4 3.6. 3

7

方法二 ∴log3

∵log3

10 10 >log3 3=1,且 <3.4, 3 3

10 <log3 3.4<log2 3.4. 3 10 ∵log4 3.6<log4 4=1,log3 >1, 3 10 ∴log4 3.6<log3 . 3 10 ∴log2 3.4>log3 >log4 3.6. 3

(3)因为函数 y=f (x)关于 y 轴对称,所以函数 y=xf(x)为奇函数. 因为[xf(x )]′=f (x)+xf ′(x),且当 x∈(-∞,0)时, [xf(x )]′=f (x)+xf ′(x)<0,则函数 y=xf(x)在(-∞,0)上单调递减; 因为 y=xf (x)为奇函数,所以当 x∈(0,+∞)时,函数 y=xf (x)单调递减. 因为 1<20.2 <2,0<logπ 3<1,log3 9=2, 所以 0<logπ 3<2 <log3 9, 所以 b>a>c,选 A. 答案 (1)C (2)C (3)A (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方
0.2

温馨提醒 法.

(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而 底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选 0 或 1.

方法与技巧 1.对数函数的定义域及单调性 在对数式中,真数必须是大于 0 的,所以对数函数 y=loga x 的定义域应为{x|x>0}.对数 函数的单调性和 a 的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按 0<a<1 和 a>1 进 行分类讨论. 2.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性. 3. 多个对数函数图象比较底数大小的问题, 可通过图象与直线 y=1 交点的横坐标进行判定. 失误与防范 1.在运算性质 loga Mα=α loga M 中,要特别注意条件,在无 M>0 的条件下应为 loga Mα= αloga |M|(α∈N+ ,且 α 为偶数)

8

2.指数函数 y=ax (a>0,且 a≠1)与对数函数 y=loga x(a>0,且 a≠1)互为反函数,应从概念、 图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别. 3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底 数的取值

A组 一、选择题 1.函数 y= 2-x 的定义域是 lg x

专项基础训练

( B.{x|0<x<1 或 1<x<2} D.{x|0<x<1 或 1<x≤2}

)

A.{x|0<x<2} C.{x|0<x≤2} 答案 D

?2-x≥0 ? 解析 要使函数有意义只需要?x>0 ?lg x≠0 ?
解得 0<x<1 或 1<x≤2, ∴定义域为{x|0<x<1 或 1<x≤2}. 2.函数 y=lg|x-1|的图象是



(

)

答案 解析

A ∵y=lg|x-1|= ?
? ?lg?x-1?,x>1 ? lg?1-x?,x<1 ?

.

∴A 项符合题意. 3.已知 x=ln π,y=log5 2,z= e A.x<y< z C.z<y<x 答案 解析 D
? 1 2

,则 B. z<x<y D.y<z<x

(

)

∵x=ln π>ln e,∴x>1. 1 ∵y=log5 2<log5 5,∴0<y< . 2
9

∵z=e

?

1 2



1

1 1 1 > = ,∴ <z<1. 2 2 e 4

综上可得,y<z<x.

4.

A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) 答案 C

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

?a>1 或-1<a<0. 5.函数 f (x)=loga (ax-3)在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是 A.(1,+∞) 1? C. ? ?0,3? 答案 解析 D 由于 a>0,且 a≠1,∴u=ax-3 为增函数, B.(0,1) D.(3,+∞) ( )

∴若函数 f (x)为增函数,则 f(x)=loga u 必为增函数, 因此 a>1.又 y=ax-3 在[1,3]上恒为正, ∴a-3>0,即 a>3,故选 D. 二、填空题 6.

x+ 1 ? ?3 ,x≤0, 7.已知函数 f(x)=? 则使函数 f(x)的图象位于直线 y=1 上方的 x 的取值范围是 ? log2 x,x>0, ?

________________. 答案 解析 {x|-1<x≤0 或 x>2} 当 x≤0 时,3x+1 >1?x+1>0,∴-1<x≤0;

当 x>0 时,log2 x>1?x>2,∴x>2.

10

综上所述,x 的取值范围为-1<x≤0 或 x>2. 2 1+a 8.若 log2 a <0,则 a 的取值范围是____________. 1+a 1 ? 答案 ? ?2,1? 2 1+a 解析 当 2a>1 时,∵log2 a <0=log2 a 1, 1+a 2 1+ a 2 ∴ <1. ∵1+a>0,∴1+a <1+a, 1+ a 1 ∴a2 -a<0,∴0<a<1,∴ <a<1. 2 1+a2 当 0<2a<1 时,∵log2 a <0=log2 a 1, 1+a 2 1+ a ∴ >1. ∵1+a>0,∴1+a2 >1+a, 1+ a ∴a2 -a>0,∴a<0 或 a>1,此时不合题意. 1 综上所述,a∈? ,1?. ?2 ? 三、解答题 9.已知函数 f (x)=loga (x+1)-loga (1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集. 解 (1)要使函数 f(x)有意义.
? ?x+1>0, 则? 解得-1<x<1. ?1-x>0, ?

故所求函数 f (x)的定义域为{x|-1<x<1}. (2)由(1)知 f (x)的定义域为{x|-1<x<1}, 且 f (-x)=loga (-x+1)-loga (1+x) =-[loga( x+1)-loga (1 -x)]=-f (x), 故 f (x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f (x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数, x+1 所以 f (x)>0? >1,解得 0<x<1. 1-x 所以使 f (x)>0 的 x 的解集是{x|0<x<1}. 1 1 10.设 x∈[2,8]时,函数 f(x)= loga (ax)· loga (a2 x)(a>0,且 a≠1)的最大值是 1,最小值是- , 2 8 求 a 的值. 1 由题意知 f (x)= (loga x+1)(loga x+2) 2 1 1 32 1 = (log 2 ax+3loga x+2) = (loga x+ ) - . 2 2 2 8 解

11

1 3 当 f (x)取最小值- 时,loga x=- . 8 2 又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1). ∵f (x)是关于 loga x 的二次函数, ∴函数 f (x)的最大值必在 x=2 或 x=8 时取得. 1 32 1 1 若 (loga 2+ ) - =1,则 a=2- , 2 2 8 3

= 2?[2,8],舍去. 1 32 1 1 若 (loga 8+ ) - =1,则 a= , 2 2 8 2 1 3 此时 f (x)取得最小值时,x=( )- 2 2 =2 2∈[2,8],符合题意, 1 ∴ a= . 2 B 组 专项能力提升 2 ? 1.设 f (x)=lg? ?1-x+a?是奇函数,则使 f (x)<0 的 x 的取值范围是 A.(-1,0) C.(-∞,0) 答案 解析 A B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

(

)

由 f (x)是奇函数可得 a=-1, 1+x ∴f (x)=lg ,定义域为(-1,1). 1-x 1+x 由 f (x)<0,可得 0< <1,∴-1<x<0. 1-x 2.设函数 f (x)定义在实数集上,f (2-x)=f (x),且当 x≥1 时,f (x)=ln x,则有( 1 1 A.f ( )<f (2)<f ( ) 3 2 1 1 B.f ( )<f (2)<f( ) 2 3 1 1 C.f ( )<f ( )<f (2) 2 3 1 1 D.f (2)<f ( )<f ( ) 2 3 答案 解析 C 2-x+x 由 f (2-x)=f (x)知 f(x)的图象关于直线 x= =1 对称,又当 x≥1 时,f(x)= 2 )

ln x,所以离对称轴 x=1 距离大的 x 的函数值大, 1 1 1 1 ∵|2-1|>| -1|>| -1|,∴f( )<f( )<f(2). 3 2 2 3 3.设函数 f(x)=loga x (a>0,且 a≠1),若 f (x1 x2 ?x2 ________.
015 ) =8,则 2 2 f(x2 1 ) +f ( x2 ) +?+f ( x2 015) =

12

答案 解析

16 f (x1 x2 ?x2 015)=loga (x1 x2 ?x2 015 )=8,

2 2 2 f (x1)+f (x2 )+?+f(x2 015) 2 2 =loga x 2 1+loga x 2 +?+loga x 2 015

=loga (x1 x2 ?x2 015 ) =2loga (x1 x2 ?x2 015)=16. 4.设 f (x)=|lg x|,a,b 为实数,且 0<a<b. (1)求方程 f(x)=1 的解; a+b (2)若 a,b 满足 f(a)=f (b),求证:a· b=1, >1. 2 a+b (3)在(2)的条件下,求证:由关系式 f (b)=2f( )所得到的关于 b 的方程 g(b)=0,存在 2 b0 ∈(3,4),使 g(b0 )=0. (1)解 由 f(x)=1 得,lg x=± 1, 1 所以 x=10 或 . 10 (2)证明 结合函数图象,由 f(a)=f (b)可判断 a∈(0,1),b∈(1,+∞),

2

从而-lg a=lg b,从而 ab=1. 1 1 +b 2 · b a+ b b b 1 又 = > =1(因 ≠b). 2 2 2 b a+ b 2 (3)证明 由已知可得 b=( ), 2 1 得 4b=a2 +b2 +2ab,得 2 +b2 +2-4b=0, b 1 2 g(b)= 2 +b +2-4b, b 因为 g(3)<0,g(4)>0,根据零点存在性定理可知,函数 g(b)在(3,4)内一定存在零点,即存 在 b0 ∈(3,4),使 g(b0 )=0. 5.已知函数 y=log 解 函数 y=log
1 2 1 2

(x -ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,求 a 的取值范围. (x -ax+a)是由函数 y=log 1 t 和 t=x -ax+a 复合而成.
2
2 2

2

因为函数 y=log 1 t 在区间(0,+∞)上单调递减,
2

a 而函数 t=x -ax+a 在区间(-∞, )上单调递减, 2 a 2 故函数 y=log 1 (x -ax+a)在区间(-∞, ]上单调递增. 2
2

2

又因为函数 y=log

1 2

(x2 -ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,

13

a ? ? 2≤2, 所以? ? ?? 2?2 - 2a+a≥0, 解得?

?a≥2 2, 即 2 2≤a≤2( 2+1). ?2- 2a+a≥0,

14


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