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利用构造法解决高考数学中数列通项问题的研究


利 用构 造 法 解决 高 考 数 学 中数 列 通项 问题 的研 究 
路 杨 利  ( 安康学院, 陕西 安康 7 2 5 0 0 0 )  

l   平 移法构 造 新数 列 
1 . 1 利 用 平 移 向 量 为 常 量  例 1 在数列 { n   } 中, 若 a   一1 , a   +   一2 a   +3 , (   ≥1 ) , 则 数列 的 通 项 a   一(   )   解 :由 题 意 得 Ⅱ   +   一2 a   +3   ( 1 )   则 设 存 在 z满 足 等 式 a   +   + z一 2 ( n   +- z ) , 与( 1 )   相 比较 可 得 z 一3 , 即 口   +   +3 —2 ( 口   +3 ) .   所 以数 列 { a   +3 ) 是以n   +3 —4为 首 项 , 以 2为 公  比的 等 比数 列 , 即a   +3 —4 ×2 一  一2   所 以数 列 { n   } 的通 项 公 式 为 a   一2   一3 .   方法总结 : 对于形如 a   +   一k a   +b的 线 性 递 推 式 ,   首先将原数列甲移 - z构 造 新 数 列 a   +z使 之 成 为 公 比  为 k的 等 比数 列 , 即  十  +l z —k ( 口   + ) , 在 与 原 递 推  式n   一k a   +b比 较 求 得 平 移 量 z, 再 求 出新 数 列 n   +z 的通 项 , 从而求得原数列 { 。   ) 的通 项 公 式 .  
1 . 2 平 移 向 量 为 变量 

n  1_ 1  

,  一 1 , 2 , 3 …求数列 { n   ) 的通 项 公 式 .  


解: 因为 a n + l 一丽 3 a n

所 以  一 号 + 击( 此 处  

再 次 出现 线 性 递 推 式 ,   可 见 平 移 法是 一个 十 分 重 要 的 方 法 )  
所 以 
一  



an

÷ × (  一   ) ,  

又 因 为  一1 一  ,  

所 以 {   1 — 1 ) 是 以 _ 詈 _ 为 首 项 , 以 ÷ 为 公 比 的 等 比  
数列.   所以  


an

1 一 了 2 ×  一 导  
的式 子 , 即分  

所 以 n   一 南 ?  
方法总结 : 对于形如 n   一k X   子 是 关 于 数 列 一 般 项 的单 项 式 , 而分母 是多项式 , 考 虑  到 函 数 倒 数 关 系  1 — 1 
一  

例 2 设数列 { n   } 的前  项的 和 s   一÷ n   一÷ ×  
2   +÷ ,  一 1 , 2 , 3 …求数列 n  与 通 项 “  的 表 达 式 .  

解: 因为 S n 一÷ 口   ÷ ×2   +÷ 
所以 a 1 一÷ n l 一÷ ×2   +÷ , 即a l 一2  
因为 n   一s   一s  1 (  ≥2 )   由   题  设  得 :  

1   +  ) , 所以 有   a




 

+  , 令  一   , 则数列 { c   } 可 以化 为 形 如 a n + l   =k a   +6 , 然 后采用线性递推问题解法计算.  
一 

a  

3 利 用 取 对 数 法 构 造 新 数 列 
例 4 数列 { 口   ) 各 项 都 为 正数 , 且满 足 n 。 一1 , n   + ,  
一  

( 了 4   n   ~   1 × 2 n + 2 + 了 2 ) 一 ( 了 4   n   一 了 1 × 2   + 号 )  
所以 口   一4 a 一   +2   , 两边 同时 除 以 2  得  U   n 一2 ×  
+1  

( 4 -a n  

EN ,  

( 1 )证 明 口   <a   + l <2 ,  ∈ N.   ( 2 )求 n   .  

解 :( 1 )用 数 学 归 纳 法证 明  令b   一   , 则b   一2 b   +1 此 式为线性递推式 , 使  用平移法求得 b   一2   一1从 而 求 得 n   一2   ×b   +2   一  
2  × ( 2   ~2 ) +2  一 4 … 2  

a . 当  一1 时, G 0 — 1 , a l 一÷n o ( 4  a 。 ) 一号, 所以  
n   <n   +   <2 , 命 题成立 ;   b .假 设  —k时 有 n  1 <n   <2 , 则  一 + 1时 ,  
1  
n^ - a k+ 1 一  
^ 1

所 以数 列 { n  ) 的通项公式为 n   一4 … 2(  ≥ 1 ) .  

方法 总 结 : 本 题在 解 决过 程 中充 分利 用 n  一   c   ≥z  得到形如 a n +   =k a   +b ×  “ 的递推式 , 两 

( 4一 ^ 1 )一 1

口  ( 4一 吼 ) 一2  

( 口   一  一 n   ) -_ 1   (

边 同 时 除以C n + l , 得到   并一  × 鲁+ 6 的 递 推式, 再  
( 4一 Ⅱ  l 一口 ^ )  

口  一 口   ) ( n   +   + a h ) 一 {( n  一 n   )  

令d   一   L  ̄ n, 转化 为 d   +   一k   ×d   +b 形 的线性 递推式 ,   利用平移法求得 d   , 再进 一步求 出原 数列 { n   ) 的 通 项  公式. 实 际上 使 用 了指 数项 , 化 为 平 移 量 为 常 量 时 的  情形.  

而 a   一 1   n   < : 0 , 4 一Ⅱ ^1 一a ^ < : O  

所以Ⅱ ^ -a   + l <O  

因 为   +   一 丢 吼 ( 4 - a k ) 一  [ 4 一 (   一 2 ) z ] < 2  
所以n =k +1 时, 命题正确.  
由Ⅱ , b知 , 对 一 切  ∈N 时 , 有 口   <n   <2 .  

2 取 倒 数 法 构 造 新 数 列 
例3   已知 数 列 { ‰ )的 首 项 n 1一 _ o, n   + 1 一 

( 下转 第 5 3页 )  

2 0 1 2年第 4 期  任 意 一 点 与 原 点 和 坐 标 轴 上  的 垂 足 围 成 的 三 角 形 面 积 等 
1  

数 学 教 育 研 究 

?  5 3  ?  

A.等 于 2  

B . 等 于 寻  
D .无 法确 定 

于÷ I  I , 所以 
1  

C .等 于  a  

S △ M —S △   一÷ l   k   l
‘ .

解 :延 长 B C交 y 轴 于 E, 作 DF垂 直 z 轴 于 F,  
图 5  

。点 F是 AB 边 的 中 点 ,  


因为 反 比例 函 数  一   (   为常数 , 且  ≠ O ) 的 任 意 一 
点 与 原 点 和 坐 标 轴 上 的 垂 足 围 成 的 三 角 形 面 积 等 于 
所以 S A C D E   S  ̄D O F   1  
, ,
‘ .

S △   , F —S △   ) F 一   _ I 矗 1 .  
S△   一 S△   一 S△∞ E— S△A O B— S△脚   S△肿 F  

1  

’OD :DB一 1 :  



?

’ Sz  ̄ a m 一 △  

. .

2,SAD o t ;S△f l O F一 1 :9  

. .



÷l  l ,  


S △   —S △   一÷ I k f  

. .四边形 O E B F的面积一S △ B O E +s △   一÷ l   k   I
志l ,  

- . . S A a  ̄ c — s △ 一一 s  一 号  一   1   一 4   I  


+÷ J  I —f k I ,.  是 一2 .  
点评 : 本 题 的 难 点 是 根 据 点 F 是 AB 边 的 中 点 利 



‘△ O B C 的 面积 等 于 3 , . ‘ .4 k 一3 ,I . .k 一   o.  

用 等 底 同高 面积 相 等 和 反 比例 函 数 . ) , 一k  ( k为 常 数

点评 : 本 题 的 难 点 是 根 据 点 F 是 AB 边 的 中 点 利 
, 

用 等 底 同高 面 积相 等 和 反 比 例 函 数 y一 鱼 (  为 常数 ,   且女 ≠0 ) 的 任 意 一 点 与 原 点 和 坐 标 轴 上 的 垂 足 围 成 的 

三角形面积等于÷ J k I , 直接求 .  
例 5   ( 2 0 1 0无锡 ) 如 图  6 , 已 知 梯 形 AB c O 的 底 边 

且 ≠O ) 的 任 意 一 点 与 原 点 和 坐 标 轴 上 的 垂 足 围 成 的 

三角形面积等于÷ 1 k 1 , 直接求 k .  
3 结 论 巧 用 的 反 思 或 启 示 
反 比例 函数 一 个 结 论 在 一类 反 比 例 函 数 题 中 的 巧  用 能 够 体 现 出 多题 一 解 ; 说 明 试 题 中 考 察 的 知 识 点 本  质是共同的 , 平时学习和做题时 , 要 重 视 试 题 内 在 规 律  图6  
的把握 , 寻 找解题规 律 , 强化试 题解 题后结论 的反思 ,   能提高解决问题的能力.  

A O 在 z轴 上 , B C∥ A O, AB  
上A o, 过 点 C 的 双 曲 线 y—  
交 OB 于 D, 且 OD :DB  
Z  

1:2 , 若 △O BC 的 面 积 等  于3 , 则 k的 值 (   )  


[ 责任 编校



蓓]  

( 上接 封 三 )  
1  

即 | o g l 0   _ l 0 g   。 ( ÷ )   所 以 2 - a .2 × (   1 )   一 ( ÷ )  
故 有 。   一 2 一 ( 告)   E N .  
方 法总结 : 运用这种方 法 的题型 , 一 般 满 足 这 样 的  条件 : 若数列 { a   ) 且n   >0 , 满足 a   =A 口 :。 , 其 中 A>  0 , q ∈R, 将a   一An : 一 l 两边取对数 得到 l o g   。 a   一l o g   。 A   +q l o g   o n   一  , 再 继 续 变 形 通 过 构 造 特 殊 数 列 —— 等 差 
1  

( 2 )由 口  1 一÷ 口  ( 4一 口   )可 得 到 口  一 2  
士  F  

因为 a   <2 ( 由第 一 问得 )  
故 a   一2 -x / — 4 -2 — a . + , , 即2 一口   一  F  

两边 取对数得 l 0 g 1 o ( 2 一n   ) 一÷ { l o g 。 。 2 +l o g l 。 ( 2  
一a   + 1 ) }  

即 l o g 1 0 ( 2 ~口   + 1 ) 一2 l o g 1 9 ( 2 -a   ) 一l o g 1 0 2  

变形 为 l o g l 0 ( 2 一a   + 1 ) 一l o gl 0   2 —2 [ 1 o g l 0 ( 2 一a   )  


数列或 等比数列 , 将 问 题 转 化 为 等 差 数 列 或 等 比数 列 
的 问题 来处 殚 .  

l o g】 0 2 ]  
所 以数 列 { l o g 1 。 ( 2 一a   ) ~l o g 1 o   2 } 是以 l o g l 。 ( 2 一  

n o ) 一l o g   o 2即 一 l o g , o   2为 首 项 , 以 2为 公 比 的 等 比 数  列, 所以得到 l o g l o ( 2 一n   ) 一l o g l 0 2 =2 ” ( 一l o g 1 0 2 ) .  

[ 责任编 校

钱骁 勇]  


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