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2013-2014学年高一数学上学期第二次阶段考试试题新人教A版


2013-2014 学年高一数学上学期第二次阶段考试试题新人教 A 版

一、选择题(每题有且只有一个正确答案,共 12 题,每题 5 分) 1、设全集 U ? ?0,1,2,3,4?,集合 A ? ?0,1,2,3?, B ? ?2,3,4?,则集合 (痧 U A) A. ?0? B. ?0,1? C. ?0,1,4? ) B.空间两条直线 D.两条平行直线 )

( U B) ? (

)

D. ?0,1,2,3,4?

2、下列四个条件中,能确定一个平面的是( A. 一条直线和一个点 C. 空间任意三点

3、已知直线 l ∥平面 ? ,直线 a ? ? ,则 l 与 a 的位置关系必定是( A. l 与 a 无公共点 C. l 与 a 相交, B. l 与 a 异面 D. l ∥ a

4、斜二测画法的直观图(如图)所表示的水平放置的平面图形中最长的边是( A.AB C.AC B.BC
B y'

)

D.不能确定 ) B. 1 ? b ? a D. 1 ? a ? b
O' A C x'

5、如果 loga 3 ? logb 3 ? 0 ,则( A. 0 ? a ? b ? 1 C. 0 ? b ? a ? 1

6、对于不重合的两个平面 ? , ? ,给定下列条件: ①存在平面 ? ,使得 ? , ? 都垂直于 ? ;②存在平面 ? ,使得 ? , ? 都平行于 ? ; ③ ? 内有不共线的三点到 ? 的距离相等; ④存在异面直线 l , m ,使得 l ∥ ? , l ∥ ? , m ∥ ? , m ∥ ? 其中,可以确定平面 ? , ? 平行的条件有 A.1 个
x

( C.3 个 ) C.(0,1)

) D. 4 个

B.2 个

7、函数 f ( x) ? 2 ? 3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0)

D.(1,2)

8 、 一 个 盛 满 水 的 三 棱 锥 P ? ABC 容 器 中 , 不 久 发 现 三 侧 棱 上 各 有 一 个 洞 D, E, F , 且

P D: D A ? PE : E? B 23 A. 29

C:F F ?P 2 : ,若仍用此容器盛水,最多可保住存水的( 1 ) 19 23 31 B. C. D. 27 27 35

9、一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高 9 厘米,则此 球的半径为( )厘米
1

A. 9

B. 10

C. 11

D.12

10 、 已 知 函 数 y ? f ( x), x ? R 是 偶 函 数 . 当 x ? 0 时 , f ( x ) 为 增 函 数 . 对 于 x1 ? 0,

x2 ? 0 , 有

x1 ? x2 ,则
A. f (? x1 ) ? f (? x2 ) C. f (? x1 ) ? f (? x2 )

(

) B. f (? x1 ) ? f (? x2 ) D.无法比较

11、空间四边形 ABCD 中, AB ? CD , AD ? BC , AB ? AD , M , N 分别为对角线 AC , BD 的 中点,则 MN 与( A. AC , BD 都垂直 C. AC , BD 都不垂直 ) B. AC , BD 之一垂直 D. AC , BD 是否垂直,无法确定 )

12、下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13、函数 y ? ( )

1 2

x2 ?4 x

的单调减区间是 ___________

14、已知三条直线 a , b, c 及平面 ? , ? ,则下列命题中,正确的命题序号是_____________. ①.若 b ? ? , a ∥ b ,则 a ∥ ? ③.若 a ? ? , b ? ? ,则 a ∥ b 15、若函数 y ? ②.若 a ∥ ? , ? ? ? ? b ,则 a ∥ b ④.若 a ? ? , b ? ? , l ? a , l ? b ,则 l ? ? 实数 a 的取

2x ? 3 的定义域为 R ,则 ax 2 ? 4ax ? 5

值范围是 __________ 16、若某几何体的三视图(单位:cm)如上图所 何体的体积是________ cm .
3

示,则此几

2

三、解答题(共六题,共 70 分,写出解题过程) 17、证明:二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 在区间 ? ? ?,?

? ?

b? 上是增函数。 2a ? ?

18、已知集合 A ? x | x ? 5x ? 4 ? 0 , B ? x | x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 0 ,
2

?

?

?

?

C ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1?,且 C ? ?
(1)若 A C ? ? ,试求实数 m 的取值范围; (2)若 B ? A ,试求实数 a 的取值范围。

F,G 19、 如图, 已知四边形 ABCD 是空间四边形, E 是 AB 的中点,
CF CG 1 ? ? .设平面 EFG AD ? H , CB CD 3 (1)若 AD ? ? AH . 求 ? 的值; (2)试判断四边形 EFGH 的形状;并给出证明
B

A 分别是 BC , CD 上的点,且 H

E D G F C

20、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD , AD ? CD , DB 平分 ?ADC , E 是 PC 的中点, AD ? CD ? 1 , DB ? 2 2 (I) 求证: PA ∥平面 BDE ; (II)求证: AC ? 平面 PBD ; (Ⅲ)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正弦值.

21、已知函数 f ( x) ?

a x ?1 , (a ? 0且a ? 1) ax ?1
3

(1)求函数 f ( x) 的定义域和值域。 (2)判断 f ( x) 与 f (? x) 的关系。 (3)讨论函数 f ( x) 的单调性。 22、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形.已知

AB ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60 .
(Ⅰ)求证:平面 PAD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积

4

2013—2014 学年第一学期第二次阶段考试 高一数学参考答案 一、选择题: 1~5 C D A B D

6~10 B B C D C

11~12 A B

二、13、 ?4,??? 三、17、

14、③.

15、 ?0, ? 4

? 5? ? ?

16、18

证明:设 x1 , x 2 ? ? ? ?,?

? ?

b? ,且 x1 ? x 2 ,则 2a ? ?
2 2

? a( x1 ? x 2 ) ? b( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 )?a( x1 ? x 2 ) ? b?
2 2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ax1 ? bx1 ? c ? (ax2 ? bx2 ? c)

b b? ? ? x1 , x 2 ? ? ? ?,? ? ,? x1 ? x2 ? ? a 2a ? ?

a ? 0,

?a( x1 ? x2 ) ? ?b,

?a( x1 ? x2 ) ? b ? 0 f ( x1 ) ? f ( x2 ),
b? 是增函数。 2a ? ?

x1 ? x2 ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,
即 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在 ? ? ?,? 18、 解:由已知 A ? ?x | 1 ? x ? 4?,

? ?

?m ? ?2 A C ? ? 而 C ? ? ,? m ? 1 ? 2m ? 1, m ? ?2. ? ? 或 ?m ? 1 ? 4

?m ? ?2 ,? m ? 5 或 ? 2 ? m ? 0. ? ?2 m ? 1 ? 1
(2)令 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? 2a ,
2
2

B ? A ? ?1, 4?

方程 x ? (a ? 2) x ? 2a ? 0 在 ?1,4? 内有两个实根。

?(a ? 2)2 ? 8a ? 0 ?? ? 0 ? ? a?2 ?a ? 1, a?2 ? ?4 ? ?4 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? a ? 4 为所求 即? 解得: ?a ? 4, ?? 2 2 ?0 ? a ? 6, ? f (1) ? 0 ?1 ? a ? 2 ? 2a ? 0 ? ? ? f (4) ? 0 ? ? ? ?16 ? 4a ? 8 ? 2a ? 0
19、 A

H E D G B F C
5

20、 (I)

证明:设 AC∩BD=H,连结 EH. 在△ADC 中,因为 AD=CD,且 DB 平分∠ADC,所以 H 为 AC 的中点. 又 由题设,E 为 PC 的中点, 故 EH∥PA. 又 EH ? 平面 BDE 且 PA ? 平面 BDE,所以 PA∥平面 BDE. (II)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥AC. 由(I)可得,DB⊥AC. 又 PD∩ DB=D,故 AC⊥平面 PBD。 (Ⅲ)解:由 AC⊥平面 PBD 可知,BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影,所以∠CBH 为直线 BC 与平面 PBD 所成的角. 由 AD⊥CD,AD=CD=1, DB ? 2 2 ,可得

DH ? CH ?

2 3 2 , BH ? . 2 2 BC ? 5

3 2 CH 3 10 sin ?CBH ? ? 2 ? 在 Rt△BHC 中, BC 10 5

3 10 所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正弦值为 10

21、

6

解 : (1) ax =

a x ? 0,? f ( x)的定义域为R a x ? 0, 解得:-1 ? y ? 1, 值域为( ? 1,1)

1? y , 1? y

1 ?1 a? x ?1 a x 1? ax (2)f (? x) ? ? x ? ? ? ? f ( x) a ?1 1 ?1 1? ax ax
(3) f ( x) ? ax ?1? 2 2 ? 1? x x a ?1 a ?1
x1

设x1 ? x2 , 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ?

2 2 ? 1 ? x21 a ?1 a ?1 x1 x2 x2 x1 ? x2 2(a ? a ) 2a ( a ? 1) ? x1 ? x1 x21 x21 (a ? 1)(a ? 1) (a ? 1)(a ? 1) x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0 a x2 ? 0, a x2 ? 0



从而,当a ? 1时,0 ? a x1 ? x2 ? 1,? a x1 ? x2 ? 1 ? 0 当0 ? a ? 1时,a x1 ? x2 ? 1,? a x1 ? x2 ? 1 ? 0 此时f ( x1 ) ? f ( x2 ) 综上,当a ? 1时, f ( x)在R上是增函数 当0 ? a ? 1时, f ( x)在R上是减函数.
22、(Ⅰ)证明:在 ?PAD 中,由题设 PA ? 2, AB ? 2, PD ? 2 2 可得

PA 2 ? AD 2 ? PD 2 于是 AD ? PA .在正方形 ABCD 中, AD ? AB .又 PA ? AB ? A ,所以
AD ? 平面 PAB ,又 AD ? 平面 PAD ,∴平面 PAD ? 平面 PAB .
(Ⅱ)解:由题设, BC // AD ,所以 ?PCB (或其补角)是异面直线 PC 与 AD 所成的角.由(Ⅰ) 知 AD ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 AD ? PB ,因而 BC ? PB ,于是 ?PBC 是直角三角形。 又 AB ? 2, PA ? 2, ?PAB ? 60 ,∴ ?PAB 为正三角形, ∴ PB ? 2 ,∴在 Rt ?PBC , ?PCB ? 45 。 所以异面直线 PC 与 AD 所成的角为 45 . (Ⅲ)因底面 ABCD 是正方形,则四棱锥 P ? ABCD 的体积是三棱锥 P ? ABD 的体积的 2 倍。而 三棱锥 P ? ABD 的体积为
0

1 V锥P ? ABD ? V锥D? PAB ? S 3

1 2 3 ? AD ? ? 3 ? 2 ? PAB 3 3
7

故四棱锥 P ? ABCD 的体积是

4 3 3

8


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