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2.3解三角形的实际应用举例 教案(北师大版必修五)


§ 3解三角形的实际应用举例 ●三维目标 1.知识与技能 能够运用正、余弦定理等知识解决一些测量问题.了解测量的方法和意义. 2.过程与方法 采用启发与尝试的方法, 让学生在温故知新中学会正确识图、 画图、 想图. 帮 助学生逐步构建知识框架. 3.情感、态度与价值观 进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能 力. ●重点难点 重点:运用正、余弦定理等知

识方法解决一些测量和几何有关的实际问题. 难点:掌握解三角形的实际应用问题的一般步骤. ●教学建议 问题 1:我们在初中已经学习了哪些测量距离的方法? 设计意图: 引导学生回忆复习已经学习的一些测量距离方法:应用全等三角 形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量的方法. 师生活动: 可以画出测量方法的简明示意图,老师可以指这些方法的一些局 限. 问题 2:对于例 2 的实际情景作一分析,研究如测量两个不可能到达点之间 的测量问题. 设计意图:如何通过可测量的距离解决不可到达点之间的测量问题. 师生活动: 分析研究如何得到测量方法,关键是在于把未知条件转化成可以 测量的距离,如何把实际问题转化为解三角形问题. ●教学流程 通过引导学生认识实际问题中的有关术语、理解正、余弦定理在实际中的应用 ? ? 通过例1及变式训练,使学生掌握测量距离问题 通过例2及变式训练,使学生掌握测量高度问题 ? ? 通过例3及变式训练,使学生掌握测量角度问题 归纳整理,进行课堂小结,整体认识所学知识 ? 完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈、矫正 (对应学生用书第 41 页) 1.掌握测量距离、高度、角度等问题中,正、 课标解读 余弦定理的应用(重点). 2.了解测量的方法和意义(难点). 3.提高应用数学知识解决实际问题的能力. 实际问题中的有关术语 名称 仰角 与俯角 定义 在视线和水平线所成角中,视线在水平线上方 的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角,如图. 图示 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角, 如图, B 点的方位角为 α. 从指定方向线到目标方向线所成的小于 90° 的水平角, 方向角 如南偏西 60° ,指以正南方向为始边,顺时针方向向 西旋转 60° ,如图,∠ABC 为北偏东 60° 或东偏北 30° . (对应学生用书第 41 页) 测量距离问题 某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25° 方向,从 A 出发有一条南偏东 35° 走向 的公路,在 C 处测得与 C 相距 31 km 的公路上的 B 处有一人正沿此公路向 A 走 去,走 20 km 后到达 D,此时测得 CD 的距离为 21 km,求此人在 D 处距 A 还有 多远? 【思路探究】 画出实际问题的示意图,结合正弦定理、余弦定理求解. 【自主解答】 如图所示,∠CAD=25° +35° =60° . 在△BCD 中,由余弦定理的推论得 BC2+BD2-CD2 cos B= 2BC· BD 312+202-212 23 = =31. 2×31×20 12 3 ∴sin B= 1-cos2B= 31 . 在△ABC 中,由正弦定理得 12 3 31× 31 BCsin B AC= sin A = =24. 3 2 由余弦定理得 BC2=AC2+AB2-2AC· ABcos A, 即 312=AB2+242-2· AB· 24cos 60° , ∴AB2-24AB-385=0. 解得 AB=35 或 AB=-11(舍). ∴AD=AB-BD=15(km)

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