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高中数学综合检测试题(必修1-5)


高中数学综合检测试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.函数 y ?

x ?1 的定义域为
B. ? ??,1? C. ?1, ?? ? D. ?1, ?? ?

A. ? ??,1?

2.直线 3x ? y ? 0 的倾斜角为 A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

3. 已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? , 集合 A ? ?2, 4,6,8? , ? ?1,2,3,6,7? , A ? ? B ? 则 B U A. ?2,4,6,8? B. ?1,3,7? C. ?4,8? D. ?2,6?

?

?

4.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们所有比赛 甲 乙 得分的情况用如图 1 所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员得分的 6 8 9 0 5 7 8 5 7 9 1 1 3 5 平均数分别为 4 2 5 A.14、12 B.13、12 C.14、13 D.12、14 图1

5.在边长为 1 的正方形 ABCD 内随机取一点 P ,则点 P 到点 A 的距离小于 1 的概率为 A.

? 4

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

D. 1 ?

? 8

6.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 1 ,则 a-b 等于
?

A.1

B. 3

C.2

D.3

7.有一个几何体的三视图及其尺寸如图 2 所示 (单位:cm) ,则该几何体的表面积为 ... A. 12? cm B. 15? cm
2

5

5

6

6

主视图
2

侧视图

C. 24? cm D. 36? cm

2

2

俯视图 第 1 页 共 10 页

图2

?1? 8.若 2 ? x ? 3 , P ? ? ? , Q ? log 2 x , R ? x , 则 P , Q , R 的大小关系是 ?2?
A. Q ? P ? R B. Q ? R ? P C. P ? R ? Q D. P ? Q ? R

x

9.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? ? ? 0, ? ? 如图 3 所示,则函数 f (x) 的解析式是 A. f ( x) ? 2sin ?

? ?

??

? 的图像 2?
1

y

? ? ? 10 x? ? 6 ? ? 11

O

11? 12

x

B. f ( x) ? 2sin ?

? ? ? 10 x? ? 6 ? ? 11
? ?

图3

C. f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?
? 6 ? ? 6 ?

D. f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

? ?

10.一个三角形同时满足:①三边是连续的三个自然数;②最大角是最小角的 2 倍,则这个 三角形最小角的余弦值为 A.

3 7 8

B.

3 4

C.

7 4

D.

1 8

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 圆心为点 ? 0, ?2 ? , 且过点 ? 4, 的圆的方程为 1?
x 2



开始 输入 x

12.如图 4,函数 f ? x ? ? 2 , g ? x ? ? x ,若输入的 x 值为 3, 则输出的 h ? x ? 的值为
2

f ( x) ? g ( x)
. 是 h( x ) ? f ( x ) 输出 h( x) 结束 图4 否

13.若函数 f ? x ? ? ? a ? 2? x ? ? a ?1? x ? 3 是偶函数,则函 数 f ? x ? 的单调递减区间为 .

h( x ) ? g ( x )

? x ? y ? 2≥0, ? 14.设不等式组 ? x ? 3 y ? 6≥0, 表示的平面区域为 D,若直 ? x ? y≤0 ?
线 kx ? y ? k ? 0 上存在区域 D 上的点,则 k 的取值范围是 第 2 页 共 10 页



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 成等差数列. (1)求角 B 的大小; (2)若 sin ? A ? B ? ?

2 ,求 sin A 的值. 2

16. (本小题满分 12 分) 某校在高二年级开设了 A , B , C 三个兴趣小组,为了对兴趣小组活动的开展情况进 行调查,用分层抽样方法从 A , B , C 三个兴趣小组的人员中,抽取若干人组成调查 小组,有关数据见下表(单位:人) 兴趣小组 小组人数 24 36 48 抽取人数

A B C
(1)求 x , y 的值;

x
3

y

(2)若从 A , B 两个兴趣小组抽取的人中选 2 人作专题发言,求这 2 人都来自兴趣小 组 B 的概率.

17. (本小题满分 14 分) 如图 5,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. (1)求证: PB ? 平面 ACE ; (2)若四面体 E ? ACD 的体积为

P

E

2 ,求 AB 的长. 3
B

A C 图5

D

第 3 页 共 10 页

18. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? n2 . (1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? bn ? ? 的前 n 项和. ? an ?

19. (本小题满分 14 分) 直线 y ? kx ? b 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A 、 B 两点,记△ AOB 的面积为 S (其中 O 为 坐标原点) . (1)当 k ? 0 , 0 ? b ? 2 时,求 S 的最大值; (2)当 b ? 2 , S ? 1 时,求实数 k 的值.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ?1 ? 3a ? a?R ? 在区间 ??1,1? 上有零点,求实数 a 的取值范
2

围.

第 4 页 共 10 页

参考答案
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 A 6 B 7 C 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
2 11. x ? ? y ? 2 ? ? 25 (或 x2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 ) 2

12.9 14. ? ,? 2

13. ? 0,??? (或 ?0,??? )

?1 ? ?2 ?

三、解答题 15.本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力.满分 12 分. 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? , 由角 A , B , C 成等差数列,得 2B ? A ? C . 解得 B ?

?
3



(2)方法 1:由 sin ? A ? B ? ? 所以 C ?

2 2 2 ,即 sin ?? ? C ? ? ,得 sin C ? . 2 2 2

?
4

或C ?

由(1)知 B ?

?
3

3? . 4

,所以 C ?

?
4

,即 A ?

5? . 12

所以 sin A ? sin

5? ?? ? ? ? sin ? ? ? 12 ?4 6?

? sin

?
4

cos

?
6

? cos

?
4

sin

?
6

?

2 3 2 1 ? ? ? 2 2 2 2 2? 6 . 4 2 , 2

?

方法 2:因为 A , B 是△ ABC 的内角,且 sin ? A ? B ? ? 所以 A ? B ?

?
4

或 A? B ?

由(1)知 B ?

?
3

3? . 4

,所以 A ? B ?

3? 5? ,即 A ? . 4 12

第 5 页 共 10 页

以下同方法 1. 方法 3:由(1)知 B ?

?
3

,所以 sin ? A ?

? ?

??

2 . ?? 3? 2

即 sin A cos

?
3

? cos A sin

?
3

?

2 . 2



1 3 2 . sin A ? cos A ? 2 2 2

即 3 cos A ? 2 ? sin A . 即 3cos A ? 2 ? 2 2 sin A ? sin A .
2 2

因为 cos A ? 1 ? sin A ,
2 2
2 2 所以 3 1 ? sin A ? 2 ? 2 2 sin A ? sin A .

?

?

即 4sin A ? 2 2 sin A ? 1 ? 0 .解得 sin A ?
2

2? 6 . 4

因为角 A 是△ ABC 的内角,所以 sin A ? 0 . 故 sin A ?

2? 6 . 4

16.本小题主要考查统计与概率等基础知识,考查数据处理能力.满分 12 分. 解: (1)由题意可得,

x 3 y ? ? , 24 36 48

解得 x ? 2 , y ? 4 . (2)记从兴趣小组 A 中抽取的 2 人为 a1 , a2 ,从兴趣小组 B 中抽取的 3 人为 b1 , b2 ,

b3 ,则从兴趣小组 A , B 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 ? a1, a2 ? ,

? a1, b1 ? ,? a1 , b2 ? ,? a1, b3 ? ,? a2 , b1 ? ,? a2 , b2 ? ,? a2 , b3 ? ,?b1, b2 ? ,?b1, b3 ? ,?b2 , b3 ?
共 10 种. 设选中的 2 人都来自兴趣小组 B 的事件为 X ,则 X 包含的基本事件有 ? b1 , b2 ? ,

?b1, b3 ? , ?b2 , b3 ? 共 3 种.
所以 P ? X ? ?

3 . 10
第 6 页 共 10 页

故选中的 2 人都来自兴趣小组 B 的概率为

3 . 10

17.本小题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识,考查空间想象能力、推理 论证能力和运算求解能力.满分 14 分. P (1)证明:连接 BD 交 AC 于点 O ,连接 EO , 因为 ABCD 是正方形,所以点 O 是 BD 的中点. 因为点 E 是 PD 的中点, 所以 EO 是△ DPB 的中位线. 所以 PB ? EO . 因为 EO ? 平面 ACE , PB ? 平面 ACE , 所以 PB ? 平面 ACE . B (2)解:取 AD 的中点 H ,连接 EH , 因为点 E 是 PD 的中点,所以 EH ? PA . 因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 EH ? 平面 ABCD . 设 AB ? x ,则 PA ? AD ? CD ? x ,且 EH ? 所以 VE ? ACD ? A O O H C D

E

1 1 PA ? x . 2 2

1 S ?ACD ? EH 3 1 1 ? ? ? AD ? CD ? EH 3 2 1 1 1 2 ? ?x?x? x ? x 3 ? . 6 2 12 3

解得 x ? 2 . 故 AB 的长为 2. 18. 本小题主要考查等差数列、 等比数列等基础知识, 考查运算求解能力和推理论证能力. 满 分 14 分. 解: (1)因为数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n?1 . 因为数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? n2 .
2 所以当 n≥2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 , 2

当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 1 ? 2 ?1 ? 1 , 所以数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2n ? 1.

第 7 页 共 10 页

(2)由(1)可知,

bn 2n ? 1 ? n?1 . an 2

设数列 ? 则

? bn ? ? 的前 n 项和为 Tn , ? an ?
① ②

3 5 7 2n ? 3 2n ? 1 ? ? ? ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 4 8 2 2 1 1 3 5 7 n2 ? 3n? 2 1 Tn ? ? ? ? ? ? ? n ?1 ? n , 即 2 2 4 8 16 2 2 1 1 1 1 1 2n ? 1 ①-②,得 Tn ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? n ? 2 ? 2 2 4 8 2 2n Tn ? 1 ?

?1? 1? ? ? 2 ? 1? ? ? 1 1? 2
? 3?
所以 Tn ? 6 ? 故数列 ?

n ?1

?

2n ? 1 2n

2n ? 3 , 2n

2n ? 3 . 2n ?1

? bn ? 2n ? 3 ? 的前 n 项和为 6 ? n ?1 . 2 ? an ?

19.本小题主要考查直线与圆、基本不等式等基础知识,考查运算求解能力.满分 14 分. 解: (1)当 k ? 0 时,直线方程为 y ? b , 设点 A 的坐标为 ( x1,b) ,点 B 的坐标为 ( x2,b) ,
2 2 2 由 x ? b ? 4 ,解得 x1, ? ? 4 ? b , 2

所以 AB ? x2 ? x1 ? 2 4 ? b .
2

b 所以 S ? ? AB ?

1 2

? b 4 ? b2 b2 ? 4 ? b2 ≤ ? 2. 2
当且仅当 b ? 4 ? b2 ,即 b ?

2 时, S 取得最大值 2 .
2 k 2 ?1


(2)设圆心 O 到直线 y ? kx ? 2 的距离为 d ,则 d ? 因为圆的半径为 R ? 2 , 所以

AB 2k 4 . ? R2 ? d 2 ? 4 ? 2 ? 2 k ?1 k 2 ?1
第 8 页 共 10 页

于是 S ?

2k 4k 1 2 AB ? d ? ? ? 2 ?1, 2 k 2 ?1 k 2 ?1 k ?1

即 k 2 ? 4 k ? 1 ? 0 ,解得 k ? 2 ? 3 . 故实数 k 的值为 2 ? 3 , 2 ? 3 , ?2 ? 3 , ?2 ? 3 . 20.本小题主要考查二次函数、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力,以及分类讨 论的数学思想方法.满分 14 分. 解法 1:当 a ? 0 时, f ? x ? ? x ?1,令 f ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 ,是区间 ??1,1? 上的零点. 当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ??1,1? 上有零点分为三种情况: ①方程 f ? x ? ? 0 在区间 ??1,1? 上有重根, 令 ? ? 1 ? 4a ? ?1 ? 3a ? ? 0 ,解得 a ? ? 当a ? ? 当a ?

1 1 或a ? . 6 2

1 时,令 f ? x ? ? 0 ,得 x ? 3 ,不是区间 ??1,1? 上的零点. 6

1 时,令 f ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 ,是区间 ??1,1? 上的零点. 2

②若函数 y ? f ? x ? 在区间 ??1,1? 上只有一个零点,但不是 f ? x ? ? 0 的重根, 令 f ?1? f ? ?1? ? 4a ? 4a ? 2? ≤ 0 ,解得 0 ? a ≤

1 . 2

③若函数 y ? f ? x ? 在区间 ??1,1? 上有两个零点,则

?a ? 0, ?a ? 0, ? ? 2 2 ?? ? ?12a ? 4a ? 1 ? 0, ?? ? ?12a ? 4a ? 1 ? 0, ? ? 1 1 ? ? ? 1, ? 1, 或 ?? 1 ? ? ?? 1 ? ? 2a 2a ? ? ? f ?1? ? 0, ? f ?1? ? 0, ? ? ? f ?- 1? ? 0. ? f ?- 1? ? 0. ? ?
解得 a ?? . 综上可知,实数 a 的取值范围为 ?0, ? . 2 解法 2:当 a ? 0 时, f ? x ? ? x ?1,令 f ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 ,是区间 ??1,1? 上的零点.
2 2 当 a ? 0 时, f ? x ? ? ax ? x ?1 ? 3a 在区间 ??1,1? 上有零点 ? x ? 3 a ? 1 ? x 在区

? 1? ? ?

?

?

间 ??1,1? 上有解 ? a ?

1? x 在区间 ??1,1? 上有解. x2 ? 3
第 9 页 共 10 页

问题转化为求函数 y ?

1? x 在区间 ??1,1? 上的值域. x2 ? 3

设 t ? 1 ? x ,由 x?? ?1,1? ,得 t ??0, 2? .且 y ? 而y?

t

?1 ? t ?

2

?3

? 0.

t

?1 ? t ?

2

?3

?

1 . 4 t ? ?2 t

设 g ?t ? ? t ?

4 ,可以证明当 t ? ? 0, 2? 时, g ? t ? 单调递减. t

事实上,设 0 ? t1 ? t2 ? 2 , 则 g ? t1 ? ? g ? t2 ? ? ? t1 ?

? ?

4? ? 4 ? ? t1 ? t2 ?? t1t2 ? 4 ? , ? ? ? t2 ? ? ? t1 ? ? t2 ? t1t2

由 0 ? t1 ? t2 ? 2 ,得 t1 ? t2 ? 0 , 0 ? t1t2 ? 4 ,即 g ?t1 ? ? g ?t2 ? ? 0 . 所以 g ? t ? 在 t ? ? 0, 2? 上单调递减. 故 g ? t ? ? g ? 2? ? 4 . 所以 y ?

1 1 ? . g ?t ? ? 2 2
? 1? ? ?

故实数 a 的取值范围为 ?0, ? . 2

第 10 页 共 10 页


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