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高中数学排列组合相关公式


排列组合公式——熊雄

排列定义:从 n 个不同的元素中,取 r 个不重复的元素,按次序排列,称为从 n 个中取 r 个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。 组合定义: 从 n 个不同元素中取 r 个不重复的元素组成一个子集, 而不考虑其元 素的顺序,称为从 n 个中取 r 个的无重组合。组合的个数用 C(n,r)表示。 一、排列组合部分是中

学数学中的难点之一,原因在于

(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要 较强的抽象思维能力; (2)限制条件有时比较隐晦, 需要我们对问题中的关键性词(特别 是逻辑关联词和量词)准确理解; (3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方 案时需要的思维量较大; (4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们 搞清概念、原理,并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用

1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在 第 2 类办法中有 m2 种不同的方法,?,在第 n 类办法中有 mn 种不同 的方法,那么完成这件事共有:
N ? m1 ? m2 ? ? ? mn

种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做
1

第 2 步有 m2 种不同的方法,?,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么 完成这件事共有:
N ? m1 ? m2 ??? mn

种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立, 任何一种方法都可以独立地完成这件 事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段, 不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事 ,即采取分步还是分类 ,或是分步与分 类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素 总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常 用的解题策略

具体情况分析
一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素 占了这两个位置. 1 先排末位共有 C3 1 然后排首位共有 C4 1 3 1 C4 A4 C3 最后排其它位置共有 A43 1 1 3 C3 A4 ? 288 由分步计数原理得 C4
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需 先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位 置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中 间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?

二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的
2

排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也 看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内 部进行自排。 由分步计数原理可得共有 A55 A22 A22 ? 480 种不同的排法
甲 乙 丙 丁

要求某几个元素必须排在一起的问题 ,可以用捆绑法来解决问题 .即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

练习题:某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的 情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能 连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A 5 5 种,第二步将 4 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 A 6 4 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A 5 种 5 A6
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 端

练习题:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增 加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中, 且两个新 节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题 ,可先把这几个元 素与其他元素一起进行排列 ,然后用总排列数除以这几 3 个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是: A 7 7/ A3 4 (空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7 种方
4 法,其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法,则共有 A 7 种

方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次 插入共有 方法
定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 空模型处理
3

练习题:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身 高逐渐增加,共有多少排法?
5 C10

五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步 :把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把 第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理 共有 7 6 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素 的位置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m 种
n

练习题: 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加 了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法 的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯, 下电梯的方法 78 六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所 以固定一人 A 4 ! 4 并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有(8-1) 种排法即 7 !
C D E F G H B A A B C D E F G H A

一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆 形排列共有

1 m An n

练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120

七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多
4

少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排. 1 个特殊元素有 A 2 4 种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 A 4 种,
2 1 5 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A 5 5 种,则共有 A 4 A 4 A 5 种

前 排

后 排

一般地 , 元素分成多排的排列问题 , 可归结为一排考虑 , 再分段研 究.

练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人 就座规定前排中间的 3 个座位不能坐, 并且这 2 人不左右相 邻,那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共 有多少不同的装法. 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C52 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有 A 4 4 种方法, 根据分步计数原理装球的方法共有 C52 A 4 4
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

练习题:一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成 四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个? 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有 A 2 2 种排法,再
2 2 2 2 排小集团内部共有 A 2 2 A 2 种排法,由分步计数原理共有 A 2 A 2 A 2

种排法.
1524
小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。

5

练习题: 1.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩 5 4 画不在两端,那么共有陈列方式的种数为 A 2 2 A5 A4 2. 5 男生和5女生站成一排照像 ,男生相邻 , 女生也相邻的排法有 5 5 A2 2 A5 A5 种 十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分 配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形 成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额 分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种 分法共有 C96 种分法。

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板, 插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中,所有分法数为 C n ?1
m ?1

练习题: 1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? 3 C103 2 . x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数

C94

十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为 不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种? 解:这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰 法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个 1 2 C5 ,和为偶数的取法 偶数的取法有 C53 ,只含有 1 个偶数的取法有 C5
1 2 3 C5 ? C5 共有 C5 。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的取法
1 2 3 C5 ? C5 ?9 共有 C5

6

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出 它的反面,再从整体中淘汰.

练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部 书记至少有一人在内的 抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法? 解: 分三步取书得 C62C42C22 种方法,但这里出现重复计数的现象 ,不 妨记 6 本书为 ABCDEF,若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该 分 法 记 为 (AB,CD,EF), 则 C62C42C22 中 还 有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有 A 3 3 种取法 , 而这些分法仅是 (AB,CD,EF) 一种分法 , 故共 2 2 2 3 有 C6 C4 C2 / A 3 种分法。
平均分成的组,不管它们的顺序如何 ,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 A n ( n 为均分的 组数)避免重复计数。
n

练习题: 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分 5 4 2 C84C4 / A2 法?( C13 ) 2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分 在同一组,有多少种不同的 分组方法 (1540) 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排到 该年级的两个班级且每班安 2 2 / A2 ? 90 ) 排 2 名,则不同的安排方案种数为______( C42C22 A 6 十三. 合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞, 现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法 解:10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员。 选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C32C32 种,只会唱的 5
1 1 2 C3C4 种,只会唱的 5 人中只有 2 人中只有 1 人选上唱歌人员 C5

7

人选上唱歌人员有 C52C52 种,由分类计数原理共有
1 1 2 C32C32 ? C5 C3C4 ? C52C52 种。

解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做 到标准明确。分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

练习题: 1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会, 若这 4 人 中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有 34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只 船, 这 3 人共有多少乘船方法. (27) 本题还有如下分类标准: *以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其 中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种? 解: 把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不 亮的灯有 C53 种
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒 模型等,可使问题直观解决

练习题:某排共有 10 个座位,若 4 人就坐,每人左右两边都有空位, 那么不同的坐法有多少种?(120) 十五.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子, 现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球, 并且恰好 有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法 解:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C52 种还剩下 3 球 3 盒序号 不能对应,利用实际操作法,如果剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号 盒 3 号球装 4 号盒时,则 4,5 号球有只有 1 种装法,同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理
8

有 2C52 种

5
3 号盒

3
4 号盒

4
5 号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果

练习题: 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别 人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种? (9) 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不 同的着色方法有 72 种
1 3 2 5 4

十六. 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除 分析:先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13 依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取 若干个组成乘积, 1 3 5 ? C52 ? C5 ? C54 ? C5 所有的偶因数为: C5 练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线 解:我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 4 C8 ? 12 ? 58 ,每个四面体有 3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连成 3? 58 ? 174 对异
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题 面直线 逐一解决,然后依据问题分解后的结构 ,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成 ,从而得到 问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

9

十七.化归策略 例 17. 25 人排成 5×5 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不 在同一列,不同的选法有多少种? 解:将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉, 1 1 1 C2C1 种。再 如此继续下去.从 3×3 方队中选 3 人的方法有 C3 从 5×5 方阵选出 3×3 方阵便可解决问题.从 5×5 方队中选 取 3 行 3 列有 C53C53 选法所以从 5×5 方阵选不在同一行也不
1 1 1 C2C1 选法。 在同一列的 3 人有 C53C53C3

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简 要的问题, 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法, 从而进下一步解决原来的问题

练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路, 从 A 走到 B 的最短路径有多少种?( C73 ? 35 )

B

A
十八.数字排序问题查字典策略 例 18.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数? 解: N ? 2 A55 ? 2 A44 ? A33 ? A22 ? A11 ? 297
数字排序问题可用查字典法 , 查字典的法 应从高位向低位查 , 依次求出其符合要求 的个数,根据分类计数原理求出其总数。

练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些 数字从小到大排列起来,第 71 个数是 3140

10

十九.树图策略 例 19. 3 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求 后 , 球 仍 回 到 甲 的 手 中 , 则 不 同 的 传 球 方 式 有 ______
N ? 10
对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用 公式进行运算,树图会收到意想不到的结果

练习: 分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中 i 号人不坐 i 号椅 ( i ? 1,2,3,4,5 )的不同坐法有多少种? N ? 44 二十.复杂分类问题表格策略 例 20.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字 母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种 不同的取法 解: 红 1 1 1 2 2 3
黄 兰 取法 1 3
1 1 C5 C4

2 2
1 2 C5 C4

3 1
1 3 C5 C4

1 2
1 C 52 C 3

2 1
C 52 C 32

1 1
3 1 C5 C2

一些复杂的分类选取题 ,要满足的条件比较多 , 无从入手,经常出现重复遗 漏的情况 ,用表格法 ,则分类明确 ,能保证题中须满足的条件 ,能达到好的效 果.

二十一:住店法策略 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重 复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素 看作“店”,再利用乘法原理直接求解. 例 21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军 的可能的种数有 . 分析:因同一学生可以同时夺得 n 项冠军,故学生可重复排列,将七 名学生看作 7 家“店”,五项冠军看作 5 名“客”,每个“客”有 7 种住宿法,由乘法原理得 7 5 种.
11

二项式定理
定义:一般地,对于任意正整数 n ,上面的关系式也成立,即有

?a ? b?

n

0 n 1 n ?1 n 2 n?2 2 k n?k k n n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ?n ? N * ?
n

注: (1)公式左边叫做二项式,右边叫做 ? a ? b ? 的二项展开式
(2)定理中的 a, b 仅仅是一种符号,它可以是任意的数或式子什么的,只要是两项相加 的 n 次幂,就能用二项式定理展开

公式特征:
(1) 项数:共有 n ? 1项 (2) 指数规律: ① 各项的次数都等于二项式的系数 n (关于 a 与 b 的齐次多项式) ② 字母 a 按降幂排列,次数由 n 递减到 0;字母 b 按升幂排列,次数由 0 递增到 n (3) 二项式展开式的通项: Tk ?1 ? Cn a
k 0 1 2 n?k

b k , k ? 0,1, 2,?, n
k n k

(4) 二项式系数:依次为 Cn , Cn , Cn ,?Cn ?, Cn 。这里 Cn ( k ? 0,1, 2,?, n )称为二 项式系数

1 ? ? 例 1 求?2 x ? ? 的展开式 x? ?

6

例 2 (1)求 (1 ? 2 x) 7 的展开式的第 4 项的系数和第 4 项的二项式系数
1? ? 3 (2) ? x ? ? 的展开式中 x 的系数和中间项 x ? ?
9

例 3 求 ( x ? a)12 的展开式中的倒数第 4 项

12


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