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2.4.1抛物线及其标准方程 设计


2.3.1 抛物线及其标准方程

临港一中 高二数学组

青 春 抛 物 线

抛物线的生活实例

抛球运动

复习、引题:
一个动点
M

M2
M

到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离之比 为常

数 e :

M1
F
当 0<e<1 时是椭圆

l

当 e>1 时是双曲线 当 e=1 是?

一、抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,

d

M

·
焦 点

C

·
F

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

d 为 M 到 l 的距离
即:若
MF d ? 1

,则点 M 的轨迹是抛物线.

二、标准方程的推导
y
M

如何建立坐标系呢?

·
xx

y

00

·
F

l

0

思考:抛物线是 轴对称图形吗?怎 样建立坐标系,才能 使焦点坐标和准线 方程更简捷?

y
M(x,y)
K o F

解:以过F且垂直于 l 的直
线为x轴,垂足为K.以F,K的中点 O为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设M (x, y) , FK ? p ,

l
1.建立坐标系 2.设动点坐标, 相关点的坐标. 3.列方程 4.化简,整理 5.证明(略)

则焦点 F (
依题意得

p 2

, 0 ) ,准线 l : x ? ?
p 2 p 2

p 2

(x ?

) ? y
2

2

?| x ?

|

两边平方,整理得
y
2

? 2 px( p ? 0)

这就是所求的轨迹方程.

三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是:
焦点坐标是 (
p 2

焦点到准线的距离
, 0 ) , 准线方程为

x ? ?

p 2

:

一条抛物线,由于它在坐标平面内 的位置不同,方程也不同,所以抛物线 的标准方程有四种形式.

抛物线的标准方程
抛物线的标 准方程的还 有那些形式 呢?

想 一 想 ?

其它形式的 抛物线的焦 点与准线怎 样表示呢?

四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程
y
2

焦点坐标
? p ? ,0 ? ? ? 2 ?

准线方程
x ? ? p 2

? 2 px
? 0?

?p

y

2

? ? 2 px

?p
2

? 0?

p ? ? ,0 ? ?? ? 2 ?

x ?

p 2

x

? 2 py
? 0?

?p
x
2

p? ? 0, ? ? 2 ? ?

y ? ?

p 2

? ? 2 py
? 0?

?p

p ? ? 0 ,? ? ? 2 ? ?

y ?

p 2

观察上表:抛物线的标准方程的四种不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系 是有规律的,这个规律是什么?

第一:一次项的变量如为x(或y),则x轴(或y轴) 为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上.

第二:一次项的系数的正负决定了开口方向.

根据标准方程的知识,我们可以确定抛物 线的焦点位置及准线方程.
例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,求它的 焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准 方程.

解:(1)因为p=3,所以焦点坐标是

(

3 2

,0)

, 准

线方程是

x ? ?

3 2

(2)因为焦点在y轴的负半轴上,且 ?

p 2
2

? ?2,

? p? 4

,所以所求抛物线的标准方程是 x ? ? 8 y

例2.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程.
解:(1)当抛物线的焦点在 y 轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=
9 4


A

y

O

x

(2)当焦点在 x 轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px, 得p=
2 3

2=9 ∴抛物线的标准方程为x

2

y

2 或y

=?

4 3

x 。

思考:M是抛物线y2 = 2px(p>0)上一点,若点
M 的横坐标为x0,则点M到焦点的距离是

x0 +
这就是抛 物线的焦 半径公式 !

————————————

— 2

p

y

O F

. .
M

x

四、课堂练习:
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0);
(2)准线方程 是x =
? 1 4

y2 =12x


y2 =x =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y

(3)焦点到准线的距离是2。 y2

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2 = 20x (3)2y2 +5x =0 (2) 2 2 +8y =0 (4)x
Y ? 1 X 2

焦点坐标

准线方程

(1) (2) (3)

(5,0)
1 (0,) 2 5 (-—,0) 8

x= -5
1 y= - — 2 5 x= — 8

(4)

(0,-2)

y=2

五、小结:
1.抛物线的定义:抛物线的定义反映了抛物线的本 质,灵活应用定义往往可以化繁为简、化难为易, 且思路清晰,解法简捷. 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:要抓住 标准方程的特点,注意与焦点位置,开口方向的对 应关系;

3. 不同位置的抛物线
y
y

y
y l O


F O

x
F

x

F O l

O

F

x


l

x

l

焦点位置
标准方程 焦点坐标

x轴的 正方向 y2=2px
p F( 2 ,0 )

x轴的 负方向 y2=-2px F(p ,0 ) 2 p x =

y轴的 正方向 x2=2py
p F (0, 2 y = ) p

y轴的 负方向 x2=-2py
F (0,

-

p ) 2
p

准线方程

x =

-

p 2

2

-

y =

2

2

例4、斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线 2 y ? 4 x 交于A、B两点,求线段AB的长。 解: 由抛物线方程知焦点F坐标为(1,0) 所以直线AB方程为 y ? x ? 1
?y ? x ?1 2 ?? 2 ? x ? 6x ?1 ? 0 ? y ? 4x

AB ?
? ?

1? k
1? k 2

2

x1 ? x 2

2

? x1

? x 2 ? ? 4 x1 x 2
2

36 ? 4 ? 8


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