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2015-2016高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的相关概念学案 新人教A版选修2-2


3.1 3.1.1

数系的扩充和复数的概念 数系的扩充和复数的相关概念

1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件.

基 础 梳 理 1.复数的概念及代数表示 (1)复数的定义: 把集合 C={a+bi|a,b∈R|}中的数,即形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.其中 i 叫做虚数单位,满足 i =

-1. (2)复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,
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a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部.
(3)复数集 全体复数所构成的集合叫做复数集.记作 C={a+bi|a,b∈R}. 想一想:为了解决方程 x =2 在有理数范围内无根的问题,数系从有理数扩充到实数; 那么怎样解决方程 x +1=0 在实数系中无根的问题? 解析:设想引入新数 i,使 i 是方程 x +1=0 的根,即 i·i=-1,那么方程 x +1=0 就有解 x=i 了. 2.两个复数相等的充要条件 (1)在复数集 C={a+bi|a,b∈R}中任取两个复数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),规 定 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d. (2)当两个复数不全是实数时,不能比较大小,只可判定相等或不相等,但两个复数都
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是实数时,可以比较大小. 想一想:由 3>2 能否推出 3+i>2+i?两个实数能比较大小,那么两个复数能比较大小 吗? 解析:由 3>2 不能推出 3+i>2+i,当两个复数都是实数时,可以比较大小,当两个复 数不全是实数时,不能比较大小. 3.复数的分类: (1)复数 a+bi 实数(b=0), ? ? ? (a,b∈R)? ?纯虚数(a=0), ? 虚数( b ≠0) ? ?非纯虚数(a≠0). ? ? (2)集合表示:

想一想:(1)复数 z=a+bi(a,b∈R),当 b=0 时,z 是什么数? (2)复数 z=a+bi(a,b∈R),当 a=0 且 b≠0 时,z 是什么数? (1)解析:当 b=0 时,z=a 为实数. (2)解析:当 a=0,b≠0 时,z=bi 为纯虚数.

自 测 自 评 1.复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数是 a=0 的(A) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若 a+bi(a,b∈R)为纯虚数,则 a=0,b≠0. ∴a+bi(a,b∈R)为纯虚数是 a=0 的充分不必要条件. 2.下列说法正确的是(A) A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0,那么这两个复数相等 B.若 a,b∈R 且 a>b,则 ai>bi C.如果复数 x+yi 是实数,则 x=0,y=0 D.复数 a+bi 不是实数
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解析: 由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等, 即它们的实部 差与虚部差都为 0.故选 A. 3.如果 C,R,I 分别表示复数集,实数集和纯虚数集,其中 C 为全集,则(D) A.C=R∪I C.R=C∩I B.R∪I={0} D.R∩I=?

基 础 巩 固 1.设 C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集 U=C,那么下列结论正确的是(D) A.A∪B=C C.A∩?UB=? B.?UA=B D.B∪?UB=C
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2.以 2i- 5的虚部为实部,以 5i+2i 的实部为虚部的新复数是(A) A.2-2i C.- 5+ 5i B.2+i D. 5+ 5i
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解析:2i- 5的虚部为 2, 5i+2i =-2+ 5i 的实部为-2,所以新复数为 2-2i. 3.下列说法正确的是(A) A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0,那么这两个复数相等 B.若 a,b∈R 且 a>b,则 ai>bi C.如果复数 x+yi 是实数,则 x=0,y=0 D.复数 a+bi 不是实数 解析: 由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等, 即它们的实部 差与虚部差都为 0. 4.已知复数 z=m (1+i)-m(m+i)(m∈R),若 z 是实数,则 m 的值为________. 解析:z=m +m i-m -mi=(m -m)i,∴m -m=0,∴m=0 或 1. 答案:0 或 1 能 力 提 升 5.如果关于 x 的方程 x -2x-a=0 的一个根是 i,那么复数 a(D) A.一定是实数 B.一定是纯虚数 C.可能是实数,也可能是虚数
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D.一定是虚数,但不是纯虚数 解析: 因为 i 是方程 x -2x-a=0 的根, 故代入整理得: a=x -2x=i -2i=-1-2i, 故选 D. 6.已知集合 M={1,2,(m -3m-1)+(m -5m-6)i},N={-1,3},M∩N={3},则 实数 m 的值为(B) A.4 C.-1 或 4 B.-1 D.-1 或 6
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解析: 由 M∩N={3}得 3∈M, 故(m -3m-1)+(m -5m-6)i=3, 因此得?
? ?m=4或m=-1, ?m=6或m=-1. ?

?m -3m-1=3, ? ? ?m -5m-6=0,
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解得?

所以 m 的值为-1,故选 B. 7.若 log2(x -3x-2)+ilog2(x +2x+1)>1,则实数 x 的取值范围是________. 解析:∵log2(x -3x-2)+ilog2(x +2x+1)>1,
? ?log2(x -3x-2)>1, ∴? ∴x=-2. 2 ?log2(x +2x+1)=0, ?
2 2 2 2 2

答案:-2 8.复数 z=cos?

?π +θ ?+sin?π +θ ?i,且 θ ∈?-π ,π ?,若 z 是实数,则 θ 的 ? ?2 ? ? 2 2? ?2 ? ? ? ? ?

值为________;若 z 为纯虚数,则 θ 的值为________.

?π ? ?π ? 解析:z=cos? +θ ?+sin? +θ ?i=-sin θ +icos θ .当 z 是实数时,cos θ = ?2 ? ?2 ?
? ?-sin θ =0 π ? π π? ? π π? 0.∵θ ∈?- , ?,∴θ =± ;当 z 为纯虚数时? ,又 θ ∈?- , ?,∴ 2 2 2 ? ? ? 2 2? ?cos θ ≠0 ?

θ =0. π 答案:± 2 0

9.已知关于实数 x,y 的方程组
?(2x-1)+i=y-(3-y)i, ? ? ? ?(2x+ay)-(4x-y+b)i=9-8i

有实数解,求实数 a,b 的值. 解析:由(2x-1)+i=y-(3-y)i 得
?2x-1=y, ? 5 ? 解得 x= ,y=4. 2 ?1=-(3-y), ? ? ? ?2x+ay=9, ?5+4a=9, 由 2x+ay-(4x-y+b)i=9-8i,得? 即? ?4x-y+b=8, ? ? ?10-4+b=8. 4

解得 a=1,b=2. 10.已知复数 z= 别是: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数.
? ?a -5a-6=0, 解析:(1)由题意得即? 2 ?a -1≠0, ?
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a2-7a+6 2 +(a -5a-6)i(a∈R),试求实数 a 分别取什么值时,z 分 a2-1

即?

?a=-1或a=6, ? ? ?a≠±1,
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故当 a=6 时,z 为实数.

? ? ?a -5a-6≠0, ?a≠-1, (2)依题意有? 2 所以? 且 a≠6, ?a -1≠0, ?a≠±1 ? ?

所以 a≠±1 且 a≠6.故当 a∈R 且 a≠±1,6 时,z 为虚数.

a -5a-6≠0, ? ? 2 (3)依题意有?a -7a+6 =0, 2 ? ? a -1
所以?
? ?a≠-1且a≠6, ?a=6. ?

2

所以不存在实数 a 使 z 为纯虚数.

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