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高二第二学期数学期中复习——选修2-2知识点总结


高二第二学期数学期中复习——选修 2-2[B]知识点总结
一、导数及其应用
1. 函数的平均变化率:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? ?x ?x x2 ? x1 ?x
其中 ?x 是自变量的改变量,可正,可负,可零。 函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2. 导函数的概念: 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是 lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ,则称函数 ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x

y ? f ( x) 在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 y ? f ( x) 在 x 0 处的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y ' | x? x0 ,

即 f ' ( x0 ) = lim

?x?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ?x ?x?0 ?x

3. 平均变化率和导数的几何意义: 割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4. 导数的背景: 切线的斜率;瞬时速度;边际成本。 5. 常见的函数导数和积分公式有哪些? 函数 导函数 不定积分

y?c
y ? xn ? n ? N * ? y ? a x ? a ? 0, a ? 1? y ? ex

y' ?0

y ' ? nx

n ?1

x n ?1 ? x dx ? n ? 1
n

y ' ? a x ln a

ax ? a dx ? ln a
x

y ' ? ex
1 x ln a
1 x

? e dx ? e
x

x

y ? loga x

? a ? 0, a ? 1, x ? 0?
y ? ln x

y'?

y'?

? x dx ? ln x

1

1

y ? sin x
y ? cos x
6. 常见的导数和定积分运算公式有哪些?

y ' ? cos x
y ' ? ? sin x

? cos xdx ? sin x

? sin xdx ? ? cos x

若 f ? x ? , g ? x ? 均可导(可积),则有: 和差的导数运算

? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? g ( x) ?
'

'

? f ' ( x) ? g ' ( x)

? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x)

积的导数运算

特别地: ? ?Cf ? x ? ? ? ' ? Cf ' ? x ?

商的导数运算

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? 2 ? ? ? g ( x) ?
特别地: ?

'

? 1 ? ? g '( x) ?'? 2 g ? x? ? g ? x? ?

复合函数的导数 微积分基本定理

y x? ? yu? ? u x?

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a) (其中 F ' ? x ? ? f ? x ? )

和差的积分运算

? [ f ( x) ? f ( x)]dx ? ?
a 1 2

b

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a
b a

b

特别地: 积分的区间可加性

?

b

a

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx(k为常数)
b c

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中a ? c ? b)
a

c

7. 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数 f(x)的导数 f '( x ) ; ②令 f '( x ) >0,解不等式,得 x 的范围就是递增区间; ③令 f '( x ) <0,解不等式,得 x 的范围,就是递减区间。 ※求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 8. 求可导函数 f(x)的极值的步骤: ①确定函数的定义域;
2

②求函数 f(x)的导数 f '( x ) ; ③求方程 f '( x ) =0 的根; ④用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查

f '( x ) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左
负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极 值。 9. 利用导数求函数的最值的步骤:(求 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值) ①求 f ( x) 在 ?a, b? 上的极值; ②将 f ( x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值。 ※实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点; 10. 求曲边梯形的思想和步骤: 分割 ? 近似代替 ? 求和 ? 取极限(“以直代曲”的思想) 11. 定积分的性质: 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: ①

? 1dx ? b ? a
a

b

②若 f ( x) ? 0, x ? ?a, b?,则 ①推广: ②推广:

?

b

a

f ( x)dx ? 0
b b a a

?

b

a

[ f1 ( x) ? f 2 ( x) ?
c1 a

? f m ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ?
c2 c1

? ? f m ( x)
a

b

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ?

? ? f ( x)dx
ck

b

12. 定积分的取值情况: 定积分的值可能取正值, 也可能取负值, 还可能是 0。 ①当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值 取正值,且等于 x 轴上方的图形面积; ②当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值 取负值,且等于 x 轴上方图形面积的相反数; ③当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴 下方的曲边梯形面积时, 定积分的值为 0, 且等于 x 轴上 方图形的面积减去下方的图形的面积。 13. 物理中常用的微积分知识有哪些? ①位移的导数为速度,速度的导数为加速度。 ②力的积分为功。
3

二、推理与证明
1. 归纳推理的定义: 从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 2. 归纳推理的思维过程: 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

3. 归纳推理的特点: ① 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 ② 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实验检验, 因此,它不能作为数学证明的工具。 ③ 归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为进一步研究的起点, 帮助人们发现问题和提出问题。 4. 类比推理的定义: 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或 相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 5. 类比推理的思维过程: 观察、比较 联想、类推 推测新的结论

6. 演绎推理的定义是什么? 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法 则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 7. 演绎推理的主要形式:三段论 8. “三段论”的表示: ① 大前提:M 是 P; ② 小前提:S 是 M; ③ 结论:S 是 P。 其中① 是大前提,它提供了一个一般性的原理;② 是小前提,它指出了一个特殊对象;③ 是 结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。 9. 直接证明的定义及其证明方法: 直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真 实性。直接证明包括综合法和分析法。 10. 综合法的定义: 综合法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出 要证的结论。 11. 分析法的定义: 分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式 子,可称为“由果索因“。 ※叙述的形式: 要证 A, 只要证 B, B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用, 不要将它们割裂开。
4

12. 间接证明的定义: 即反证法:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的, 从而肯定原结论是正确的证明方法。 13. 反证法的一般步骤: ①假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立; ②从假设出发,经过推理论证,得出矛盾; ③从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正确。 14. 常见的“结论词”与“反义词”: 原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反义词 一个也没有 至少有两个 至多有 n-1 个 至少有 n+1 个 原结论词 对所有的 x 都成立 对任意 x 不成立 p或q p且q 反义词 存在 x 使不成立 存在 x 使成立

?p 且 ?q ?p 或 ?q

15. 反证法的思维方法:正难则反 16. 如何归缪矛盾: ①与已知条件矛盾;②与已有公理、定理、定义矛盾;③自相矛盾. 29.数学归纳法(只能证明与正整数有关的数学命题)的步骤:
? ①证明:当 n 取第一个值 n0 n0 ? N 时命题成立;

?

?

②假设当 n=k (k∈N*,且 k≥n0)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立; 由①,②可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。 ※常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

三、数系的扩充和复数
1. 复数的概念: 形如 a+bi 的数叫做复数, 其中 i 叫虚数单位, 数集 C ? ?a ? bi | a, b ? R? a 叫实部, b 叫虚部, 叫做复数集。 规定: a ? bi ? c ? di ? a=c 且 b=d,强调:两复数不能比较大小,只有相等或不相等。

?实数 (b ? 0) ? 2. 数集的关系: 复数Z ? ?一般虚数(a ? 0) ? ?虚数 (b ? 0)? ? ?纯虚数(a ? 0) ? 3. 复数的几何意义:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。 4. 复平面:
根据复数相等的定义, 任何一个复数 z ? a ? bi , 都可以由一个有序实数对 ( a, b) 唯一确定。 由于有序实数对 ( a, b) 与平面直角坐标系中的点一一对应, 因此复数集与平面直角坐标系中
5

的点集之间可以建立一一对应。 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴 叫做实轴, y 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚 数。 5. 如何求复数的模(绝对值): 与复数 z 对应的向量 OZ 的模 r 叫做复数 z ? a ? bi 的模(也叫绝对值)记作 z 或 a ? bi 。由 模的定义可知: z ? a ? bi ?

a2 ? b2

6. 复数的加、减法运算及几何意义: ① 复数的加、减法法则: z1 ? a ? bi与z2 ? c ? di ,则 z1 ? z2 ? a ? c ? (b ? d )i 。 ※复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。 ② 复数的乘法法则: (a ? bi)(c ? di) ? ? ac ? bd ? ? ? ad ? bc ? i 。 ③ 复数的除法法则:

a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i c ? di (c ? di )(c ? di ) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

(其中 c ? di 叫做实数化因子) 7. 共轭复数: 两复数 a ? bi与a ? bi 互为共轭复数,当 b ? 0 时,它们叫做共轭虚数。 8. 常见的运算规律:

(1) z ? z ;
2

(2) z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2

(3) z ? z ? z ? z ? a 2 ? b 2 ;(4) z ? z;(5) z ? z ? z ? R

(6)i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i, i 4n?4 ? 1;
(7) ?1 ? i ?
2

1? i 1? i ?1? i ? ? ?i;(8) ? i, ? ?i , ? ? ? ?i 1? i 1? i ? 2?

2

(9 ) 设 ? ?

? 1 ? 3i 2 3n?1 是 1 的立方虚根,则 1 ? ? ? ? ? 0 , ? ? ?, ? 3n?2 ? ? , ? 3n?3 ? 1 2

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