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2015-2016学年高中数学 第三章 三角恒等变换质量评估检测(含解析)新人教A版必修4


第三章

质量评估检测

时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.sin75°cos30°-cos75°sin30°的值为( ) 1 A.1 B. 2 2 3 D. 2 2 解析:sin75°cos30°-cos75°s

in30°=sin(75°-30°) 2 =sin45°= . 2 答案:C 2 2.已知 sinα = ,则 cos(π -2α )=( ) 3 C. A.- C. 5 3 1 B.- 9

1 5 D. 9 3 2 解析:cos(π -2α )=-cos2α =-(1-2sin α ) 1 ?2?2 =2×? ? -1=- . 9 ?3? 答案:B π? π? 2? 2? 3.函数 y=cos ?x- ?+sin ?x+ ?-1 是( ) 12 ? ? ? 12? A.周期是 2π 的奇函数 B.周期是 π 的偶函数 C.周期是 π 的奇函数 D.周期是 2π 的偶函数 π? π? 2? 2? 解析:y=cos ?x- ?+sin ?x+ ?-1 ? 12? ? 12? π? π? ? ? 1+cos?2x- ? 1-cos?2x+ ? 6? 6? ? ? = + -1 2 2 π? π? ? ? cos?2x- ?-cos?2x+ ? 6? 6? ? ? = 2 π π π π cos2xcos +sin2xsin -cos2xcos +sin2xsin 6 6 6 6 = 2 sin2x = . 2 2π ∴T= =π ,且 sin(-2x)=-sin2x.故选 C. 2 答案:C π? 12 ?3π ? ? 4.已知 cosα = ,α ∈? ,2π ?,则 cos?α + ?=( 4? 13 ? 2 ? ?

)
1

A. C.

5 2 13

7 2 B. 13

17 2 7 2 D. 26 26

12 5 ? 3π ? 解析:∵cosα = ,α ∈? ,2π ?,∴sinα =- , 13 13 ? 2 ? π? 2 17 2 ? ∴cos?α + ?= (cosα -sinα )= . 4? 2 26 ? 答案:C π π 5.sin - 3cos 的值为( ) 12 12 A.0 B.- 2 C.2 D. 2 π π ?π π ? ? π? 解析:sin - 3cos =2sin? - ?=2sin?- ?=- 2. 12 12 ?12 3 ? ? 4? 答案:B 2 6.y=(sinx-cosx) -1 是( ) A.最小正周期为 2π 的偶函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 2 2 解析:y=sin x-2sinxcosx+cos x-1=-sin2x. 答案:D 2 4 4 7.已知 cos2θ = ,则 sin θ +cos θ 的值为( ) 3 13 11 A. B. 18 18 7 C. D.-1 9 4 4 2 2 2 2 2 解析:sin θ +cos θ =(sin θ +cos θ ) -2sin θ cos θ 1 1 11 2 2 =1- sin 2θ =1- (1-cos 2θ )= . 2 2 18 答案:B 5 4 8.已知 α 和 β 都是锐角,且 sinα = ,cos(α +β )=- ,则 sinβ 的值为( ) 13 5 33 16 A. B. 65 65 56 63 C. D. 65 65 12 3 π 解析:由题意得 cosα = ,sin(α +β )= (因为 <α +β <π ),所以 sinβ = 13 5 2 3 12 ? 4? 5 56 sin[(α +β )-α ]=sin(α +β )cosα -cos(α +β )sinα = × -?- ?× = . 5 13 ? 5? 13 65 答案:C cos20° 9. 的值等于( ) cos35° 1-sin20° A.1 B.2 C. 2 D. 3
2

cos 10°-sin 10° cos10°+sin10° 2sin55° = = = 2. cos35°?cos10°-sin10°? cos35° cos35° 答案:C 10.在△ABC 中,A=15°,则 3sinA-cos(B+C)的值为( ) 2 3 A. B. 2 2 解析: C.2 D. 2 解析:∵A+B+C=π , ∴原式= 3sinA-cos(π -A)= 3sinA+cosA =2sin(A+30°)=2sin(15°+30°)= 2. 答案:D 11.设向量 a=(1,cosθ )与 b=(-1,2cosθ )垂直,则 cos2θ 等于( ) 2 1 A. B. 2 2 C.0 D.-1 解析:利用向量垂直及倍角公式求解. a=(1,cosθ ),b=(-1,2cosθ ). 2 ∵a⊥b,∴a·b=-1+2cos θ =0, 1 2 2 ∴cos θ = ,∴cos2θ =2cos θ -1=1-1=0. 2 答案:C 2 12 .已知方程 x + 4ax + 3a + 1 = 0(a > 1) 的两根均为 tanα , tanβ ,且 α , β ∈ ?-π ,π ?,则 tanα +β 的值是( ) ? 2 2? 2 ? ? 1 A. B.-2 2 4 1 C. D. 或-2 3 2
? ?tanα +tanβ =-4a 解析:由题意知:? , ?tanα ·tanβ =3a+1 ? tanα +tanβ -4a 4 ∴tan(α +β )= = = , 1-tanα tanβ 1-3a-1 3 α +β 2tan 2 4 tan(α +β )= = , 3 2α +β 1-tan 2 α +β 1 α +β ∴tan = 或 tan =-2. 2 2 2 由 a>1,可得 tanα +tanβ =-4a<0, tanα ·tanβ =3a+1>0, ∴tanα <0,tanβ <0, ? π π? 结合 α ,β ∈?- , ?, ? 2 2? ? π ? α +β ∈?-π ,0?, ∴α ,β ∈?- ,0?, ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? α +β α +β ∴tan <0,故 tan =-2,故选 B. 2 2 3

2

2

答案:B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ?π ? 3 13.已知 sin? -x?= ,则 sin2x 的值为________. 4 ? ? 5 π ? ? ?π ? 解析:sin2x=cos? -2x?=cos2? -x? ?2 ? ?4 ? π 7 ? 2? =1-2sin ? -x?= . ?4 ? 25 7 答案: 25 14.函数 y=sinx(sinx+ 3cosx)(x∈R)的最大值是________. 解析:y=sinx(sinx+ 3cosx) 1-cos2x 3 2 =sin x+ 3sinxcosx= + sin2x 2 2 π? 3 1 ? = +sin?2x- ?≤ . 6? 2 2 ? 3 答案: 2 tanx ? π? 15.已知 tan?x+ ?=2,则 的值为________. 4 tan2x ? ? π tanx+tan 4 ? π? 解析:由 tan?x+ ?= =2, 4? π ? 1-tanxtan 4 1 得 tanx= , 3 2tanx 3 tanx 1 4 4 tan2x= = × = . 2 = ,故 1-tan x 4 tan2x 3 3 9 4 答案: 9 3 ? π? ?5π ? ? 2?π 16.已知 sin?x+ ?= ,则 sin? -x?+sin ? -x?=________. 6 6 ? ? 3 ? ? ?3 ? 5 π π ? ? ? 2? 解析:sin? -x?+sin ? -x? ? 6 ? ?3 ? 5 π π ?π ?? ? ? ?? 2? =sin?π -? -x??+cos ? -? -x?? ?? ? ? 6 ?? ?2 ?3 π π ? ? ? 2? =sin?x+ ?+1-sin ?x+ ? 6? 6? ? ? = 3 1 2+ 3 +1- = . 3 3 3

2+ 3 答案: 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) sin4α ?π ? ?π ? 1 ?π ? 已知 sin? +α ?sin? -α ?= ,α ∈? ,π ?,求 的值. 2 1+cos α ?4 ? ?4 ? 6 ?2 ? ?π ? ?π ? 1 解析:∵sin? +α ?sin? -α ?= , ?4 ? ?4 ? 6
4

?π ? ?π ? 1 ∴sin? +α ?cos? +α ?= , ?4 ? ?4 ? 6 π 1 1 ? ? sin? +2α ?= ,即 cos2α = .(5 分) 3 ?2 ? 3 ?π ? 又 α ∈? ,π ?,2α ∈(π ,2π ), ?2 ?
∴sin2α =- 1-cos α =-
2

2 2 ?1?2 1-? ? =- . 3 3 ? ? 2×?-



1 1+ 3 1+ 2 π? ? π ? tanα =1, ? 18. (本小题满分 12 分)已知 α ∈?0, ?, 求 tan2α 和 sin?2α + ?的值. 2? 3? 2 ? ? 1 解析:∵tanα = , 2 1 2× 2 2tanα 4 ∴tan2α = = = .(4 分) 2 1-tan α 1 ? ?2 3 1-? ? ?2? ? π? ∵α ∈?0, ?,∴2α ∈(0,π ). 2? ? 4 ? π? 又 tan2α = >0,∴2α ∈?0, ?, 2? 3 ? 4 3 ∴sin2α = ,cos2α = .(8 分) 5 5 π? π π ? ∴sin?2α + ?=sin2α ·cos +cos2α ·sin 3? 3 3 ? 4 1 3 3 4+3 3 = × + × = .(12 分) 5 2 5 2 10

sin4α 2sin2α ·cos2α = = 2 1+cos α 1+cos2α 1+ 2

? 2 2? 1 ?× ? 3 ? 3

4 2 =- .(10 分) 15

?π π ? 19.(本小题满分 12 分)已知角 α ∈? , ?,且(4cosα -3sinα )(2cosα -3sinα ) ?4 2? =0. π? ? (1)求 tan?α + ?的值; 4? ? ?π ? (2)求 cos? -2α ?的值. 3 ? ? 解析:∵(4cosα -3sinα )(2cosα -3sinα )=0, ?π π ? 又 α ∈? , ?,∴4cosα -3sinα =0, ?4 2? 4 4 3 ∴tanα = ,sinα = ,cosα = ,(2 分) 3 5 5 π 4 tanα +tan +1 4 3 π? ? (1)tan?α + ?= = =-7. 4? π 4 ? 1-tanα tan 1- 4 3 (6 分)
5

(2)cos2α =2cos α -1=-

2

7 , 25

24 sin2α =2sinα cosα = , 25 π π π ? ? cos? -2α ?=cos cos2α +sin sin2α 3 3 ?3 ? 1 ? 7? 3 24 24 3-7 = ×?- ?+ × = .(12 分) 2 ? 25? 2 25 50 π? ? 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=tan?2x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; ? π? ?α ? (2)设 α ∈?0, ?,若 f? ?=2cos2α ,求 α 的大小. 4? ? ?2? π π 解析:(1)由 2x+ ≠ +kπ ,k∈Z,得 4 2 π kπ x≠ + ,k∈Z, 8 2 π kπ 所以 f(x)的定义域为{x∈R|x≠ + ,k∈Z}. 8 2 (4 分) π f(x)的最小正周期为 .(6 分) 2 α π? ? ? ? (2)由 f? ?=2cos2α ,得 tan?α + ?=2cos2α , 4? ?2? ? π ? ? sin?α + ? 4? ? 2 2 即 =2(cos α -sin α ), π ? ? cos?α + ? 4? ? sinα +cosα 整理得 =2(cosα +sinα )(cosα -sinα ). cosα -sinα (8 分) ? π? 因为 α ∈?0, ?,所以 sinα +cosα ≠0. 4? ? 1 1 2 因此(cosα -sinα ) = ,即 sin2α = .(10 分) 2 2 π π ? ? ? ? 由 α ∈?0, ?,得 2α ∈?0, ?. 4? 2? ? ? π π 所以 2α = ,即 α = .(12 分) 6 12 21.(本小题满分 12 分)设 f(x)=6cos x- 3sin2x. (1)求 f(x)的最大值及最小正周期; ?4 ? (2)若锐角 α 满足 f(α )=3-2 3,求 tan? α ?的值. ?5 ? 1+cos2x 解析:(1)f(x)=6× - 3sin2x 2 =3+3cos2x- 3sin2x 1 ? 3 ? =2 3? cos2x- sin2x?+3 2 2 ? ?
2

6

π? ? =2 3cos?2x+ ?+3,(4 分) 6? ? 2π 故 f(x)的最大值为 2 3+3.最小正周期 T= =π . 2 (6 分) π? ? (2)由 f(α )=3-2 3,得 2 3cos?2α + ?+3=3-2 3, 6? ? π? ? 故 cos?2α + ?=-1.(8 分) 6? ? π π π 7π π 又由 0<α < ,得 <2α + < ,故 2α + =π , 2 6 6 6 6 5 解得 α = π .(10 分) 12 π ?4 ? 从而 tan? α ?=tan = 3.(12 分) 5 3 ? ? ? π? ? 3π ? 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2cos?x- ?+2sin? -x?. 3? ? ? 2 ? (1)求函数 f(x)的单调减区间; (2)求函数 f(x)的最大值并求 f(x)取得最大值时的 x 的取值集合; π? 6 ? (3)若 f(x)= ,求 cos?2x- ?的值. 3? 5 ? π π 解析:f(x)=2cosxcos +2sinxsin -2cosx 3 3 =cosx+ 3sinx-2cosx

? π? = 3sinx-cosx=2sin?x- ?. 6? ? π π 3 (1)令 2kπ + ≤x- ≤2kπ + π (k∈Z), 2 6 2 2π 5π ∴2kπ + ≤x≤2kπ + (k∈Z), 3 3 2 π 5π ? ? ∴单调递减区间为?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z). 3 3 ? ? (4 分) π π 2π (2)f(x)取最大值 2 时,x- =2kπ + (k∈Z),则 x=2kπ + (k∈Z). 6 2 3 2π ∴f(x)的最大值是 2,取得最大值时的 x 的取值集合是{x|x=2kπ + ,k∈Z}.(8 3
分) 6 ? π? 6 (3)f(x)= 即 2sin?x- ?= , 6? 5 5 ? π ? ? 3 ∴sin?x- ?= . 6? 5 ? π? π? ? 2? ∴cos?2x- ?=1-2sin ?x- ? 3? 6? ? ? ?3?2 7 =1-2×? ? = .(12 分) ?5? 25

7


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