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2014学年浙江省宁波地区十校高三下学期模拟联考数学试题


浙江省宁波地区十校 2015 届高三下学期模拟联考 (数学理)
数学(理科)试题卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试卷和答题纸规定的位置上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题

纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式:

? sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高. 1 锥体的体积公式 V ? sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3 1 台体的体积公式 V ? h s1 ? s1s2 ? s2 其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高. , 3
柱体的体积公式 V

?

?

球的表面积公式 S 球的体积公式 V

? 4? R2 .
4? 3 R ,其中 R 表示球的半径. 3

?

第 I 卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
2 2 1.条件 p : x ? 4 x ? 5 ? 0 是条件 q : x ? 6 x ? 5 ? 0 的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分又非必要条件 2.已知直线 m 和平面 ? 、 ? ,则下列结论一定成立的是 A.若 m // ? , ? // ? ,则 m // ? B.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m // ? C.若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? D.若 m ? ? , ? // ? ,则 m ? ? 3.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,项数为偶数,所有奇数项的和为 15 ,所有偶数项的和为 25 , 则这个数列的项数为 A.10 B.20
2 2

C.30

D.40

4. 直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 所得劣弧所对的圆心角的大小为 A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

5. 双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x2 ? 1 有且仅有一个公共点,则双曲线的离 2 a b

心率为

A. 5

B.

5 2 ? ? ?

C. 5

D.

5 4

6.设两个向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? cos2 ? ) 和 b ? ? m, 若 a ? 2b ,则 ? 的取值范围是 A. ? ?

?

?

?

m ? ? sin ? ? ,其中 ?,m,? 为实数, 2 ? 3? ? ?2, ? ? ? 2? ? ?3 ?

? 3 ? ,2 ? 2 ? ?

B. ? ?2, ? 2

? ?

3? ?

C.

D. ? , 2 ? ?2 ?

7.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则 是 A. ? 0, ??? B. ?

sin A ? cos A ? tan C 的取值范围 sin B ? cos B ? tan C

? 5 ?1 ? ? 2 , ?? ? ? ? ?

C. ? 0,

? ? ?

5 ?1 ? ? 2 ? ?

D. ?

? 5 ?1 5 ? 1? ? 2 , 2 ? ? ? ?

8.已知函数 f ? x ? ? ?

? ? log a ? x ? 1? , ?1 ? x ? 1 (a ? 0, a ? 1) ,若 x1 ? x2 ,且 ? ? f ? 2 ? x ? ? a ? 1, 1 ? x ? 3

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 ? x2 与 2 的大小关系是
A.恒大于 2 B.恒小于 2 C.恒等于 2 非选择题部分(共 110 分) D.与 a 相关.

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分, 共 36 分. 9.全集 U ? R , A ? ?x | ?2 ? x ? 1 ? , B ? ?x | ?1 ? x ? 3? , 则 A ? B ? ______ ,

B ? ?? U A? ? _________.

10.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的体积等于_______,全面积为_________.

?x ? , 11. 若 f ? x ? ? ? 2 2 ? ?x ,
的解集为_____.

x?0 x?0

,则 f

? f ? ?1?? ? _____

, f

? f ? x ?? ? 1

? 3x ? y ? 0 ? ? 12.已知点 A(3, 3) , O 为坐标原点,点 P( x, y) 满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 , ? y?0 ? ?

??? ? ??? ? OA ? OP ? 的最大值是 则满足条件点 P 所形成的平面区域的面积为_____, ??? | OA |

__.

13.设 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点, F1 , F2 为其左、右焦点,且 ?PF1F2 的面积为 6, 16 9

则 PF2 ? PF 1 ? ______. 14.设二次函数 f ? x ? ? ax2 ? 4x ? c 的值域为 ?0, ??? ,且 f ?1? ? 4 , 则u ?

???? ? ????

a c ? 2 的取值范围是____________. c ?4 a ?4
2

15.设 f ? x ? 是周期为 4 的周期函数,且当 x ? ? ?1,3? 时,

? ? m 1 ? x2 , ?1 ? x ? 1 f ? x? ? ? ,若函数 g ? x ? ? 3 f ? x ? ? x 有且仅有五个零点, 1 ? x ? 2 , 1 ? x ? 3 ? ? 则正实数 m 的取值范围是______.
三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 15 分) 已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ? AB ? AC ? 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (I)求 ? 的取值范围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin ?
2

??? ?

??? ?

?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

17.(本小题满分 15 分)

ABC 内的射影 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,点 A 1 在平面
D 在线段 AC 上, ?ACB ? 900 , BC ? 1, AC ? CC1 ? 2 .
(I)证明: AC1 ? A 1B ; (II)设直线 AA1 与平面 ABC 所成角为 60 , 求二面角 A1 ? AB ? C 的平面角的余弦值. 18.(本小题满分 15 分) 已知动点 P ? x, y ? 到直线 l : x ? ?2 的距离是它到定点 F ? ?1,0 ? 的距离的 2 倍. (I)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (II)过 F ? ?1,0 ? 作与 x 轴垂直的直线与轨迹 C 在第三象限的交点为 Q ,过 F ? ?1,0 ? 的动直 线与轨迹 C 相交于不同的两点 A, B ,与直线 l 相交于点 M ,记直线 QA, QB, QM 的斜率依 次为 k1 , k2 , k3 ,试证明:
0

k1 ? k2 为定值. k3

19.(本小题满分 15 分) 已 知 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 1 , 点 ? an , an?1 ? 在 直 线 y ? 2 x ? 1 上 . 数 列 ?bn ? 满 足

b1 ? a1 , bn ? an (

1 1 1 . ? ??? ) ( n ? 2 且 n? N* ) a1 a2 an ?1 1 ? bn a ; ? n ( n ? 2 且 n? N* ) bn ?1 an ?1

(I)(i)求 ?an ? 的通项公式 ;(ii) 证明

(II)求证: ?1 ?

? ?

1 ?? 1? ? 1 ? 10 ??1 ? ???1 ? ? ? . b1 ?? b2 ? ? bn ? 3

20. (本小题满分 14 分) 设 二 次 函 数 y ? f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? b ? c ? , f ?1? ? 0 , 且 存 在 实 数 m 使 得

f ? m? ? ?a .
(I)求证:(i) b ? 0 ; (ii) f ? m ? 3? ? 0 ; (II) 函数 y ? g ? x ? ? f ? x ? ? bx 的图象与 x 轴的两个交点间的距离记为 d , 求 d 的取值范围.

2015 年宁波市高三“十校联考” 数学(理科)试题参考答案
一.选择题:本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 A

答案 A D A C A A D 二、填空题:本大题共 7 小题, 前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分, 共 36 分 9. (1) A ? B ? ? ?2,3? 10. (1) (2) B ? ?CU A? ? ? ??, ?2? ? ??1, ??? 11.(1)

8 , 3

(2) 2(3 ? 2 ? 5)

1 , 2

(2) ??, ? 2 ? ? ? 4, ?? ?

?

?

12. (1) 3 , (2) 3

13. 5

14.

1 7 ?u? 2 4

15.

15 ?m? 7 3

三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 16.(I)因为 0 ? AB ? AC ? 6 ,所以 0 ?| AB | ?| AC | cos? ? 6 ,------2 分

??? ? ???? ?

? ???? ??? ? ???? 1 ??? 6 AB ? AC sin ? ? 3 ,所以 AB ? AC ? ,----------5 分 2 sin ? 6 cos ? cos ? ? ? ? 6 ,即 0 ? ? 1 ,由于 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? ? .---7 分 所以 0 ? sin ? sin ? 4 2 ?π ? ?π ? (II) f (? ) ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 3 cos 2? ? 1 ? cos ? ? 2? ? ? 3 cos 2? ?4 ? ?2 ?
又因为 S ?ABC ?

? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin(2? ? ) ? 1 ----------------11分 3 ? ? ? ? 2? 由 ? ? ? 可知: ? 2? ? ? , 4 2 6 3 3 ? ? 5? 所以 2? ? ? ,即 ? ? 时, f ?? ?max ? 3 ------------13 分 3 2 12 ? ? ? 2? ? ? ,即 ? ? 时, f ?? ?min ? 2 .----------15 分. 3 6 4
17. (I) 证明: 因为 A1D ? 平面 ABC ,A1D ? 平面 A 1 AC , 所以二面角 A1 ? AC ? B 为直二面角, BC ? AC , 所以 BC ? 平面 ACC1 A1 ,----------2 分 所以 BC ? AC1 , 平行四边形 ACC1 A1 中, AC ? CC1 ? 2 , 所以 ACC1 A1 为菱形,所以 AC ? AC1 ,------4 分 1 所以 AC1 ? 平面 CBA1 ,----------6 分 而 A1B ? 平面 CBA1 , 所以 AC1 ? A 1 B .------------7 分 (II) (解法一)由于 A1D ? 平面 ABC ,

ABC 所成的角,故 ?A1 AD ? 60 ,------------------9 分 所以 ?A 1 AD 即为直线 AA 1 与平面
0

作 DK ? AB 于 K ,连结 A1K ,则 A1K ? AB ,所以 ?A 1KD 即为二面角 A 1 ? AB ? C 的平 面角,-------------------------------11 分
0 Rt ?A1 AD 中, A 1D ? A 1 Asin 60 ? 3 --------12 分

Rt ?AKD 中, DK ? AD sin ?CAB ?

1 ------13 分 5

Rt ?A1KD 中, tan ?A1 KD ?
所以 cos ?A1 KD ?

A1 D ? 5 A1 D ? 15 ,---------14 分 DK

1 4
1 -------------15 分 4

即二面角 A1 ? AB ? C 的平面角的余弦值为 (解法二)由于 A1D ? 平面 ABC ,

ABC 所成的角,故 所以 ?A 1 AD 即为直线 AA 1 与平面

?A1 AD ? 60 0 , AD ? DC ? 1 , DA1 ? 3 -----------------9 分
在平面 ABC 内,过点 D 作 AC 的垂线 Dy ,则 Dy, DA, DA1 两 两垂直,建立空间直角坐标系如图, 则 A ?1,0,0 ? , B ? ?1,1,0? , A1 0, 0, 3 --------11 分 所以 AB ? ? ?2,1,0 ? , AA1 ? ?1, 0,

?

??? ?

????

?

? ?? 3 ? ,平面 A AB 的一个法向量为 m ? ?
1

3, 2 3,1

?

平面 ABC 的一个法向量为 n ? ? 0,0,1? -------13 分

?

?? ? ?? ? m?n 1 cos m, n ? ?? ? ? ---------------------14 分 m n 4
即二面角 A1 ? AB ? C 的平面角的余弦值为

1 -------------15 分 4

18.(I)作 PN ? 直线 l 于 N ,则由题意可知: PN ? 2 PF ,---------1 分 由于 PN ? x ? 2 , PF ? 所以 x ? 2 ?

? x ? 1?

2

? y 2 -------------------------------3 分

2?

? x ? 1?

2

化简得动点 P 的轨 ? y2 ,

迹 C 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1---6 分 2
2? ?, 2 ? ?

(II)易得 Q ? ?1, ?

? ? ?

(1) 当动直线 AB 的斜率 k ? 0 时,

A ? 2, 0 , B
此时 k1 ? ?

?

? ?

2, 0 , M ? ?2, 0 ?

?

2 2 ? 1 , k2 ? ? ?1 2 2

k3 ? ?

k ? k2 2 ,此时, 1 ? 2. -------------------8 分 2 k3

(2) 当动直线 AB 的斜率 k ? 0 时,设直线 AB 的方程为 x ? ty ? 1, (其中 tk ? 1 ) 令 x ? ?2 得, y ? ? ,所以 M ? ?2, ? ? ,所以 k3 ? ? 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? ty1 ? 1 , x2 ? ty2 ? 1

1 t

? ?

1? t?

1 t

2 --------10 分 2

2 2 y1 ? 2 ? 2 ? 1? 1 ? 1 ,k ?1? 1 ? 1 k1 ? 2 x1 ? 1 ty1 t t 2t y1 2t y2 y1 ?
所以 k1 ? k2 ?

2 1 1 1 ? ? ( ? ) -----------------12 分 t 2t y1 y2
x2 ? y 2 ? 1可得: ? t 2 ? 2 ? y 2 ? 2ty ? 1 ? 0 2

把 x ? ty ? 1, 代入方程

所以 y1 ? y2 ?

2t ?1 1 1 , y1 ? y2 ? 2 , 所以 ? ? ?2t ------------14 分 t ?2 t ?2 y1 y2
2

所以 k1 ? k2 ?

2 k ?k 2 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ? 2 ,所以 1 2 ? 2. 成立.--------15 分 t t k3 2t y1 y2

19.(I)因为点 ? an , an?1 ? 在直线 y ? 2 x ? 1 上,所以 an?1 ? 2an ? 1 , 所以 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,所以 an ?1 ? 2
n?1

? a1 ?1? ? 2n

所以 an ? 2n ? 1----------------------4 分 (II)因为 bn ? an (

1 1 1 ? ??? ) a1 a2 an ?1

所以

bn 1 1 b 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ??? ? , , n ?1 ? an a1 a2 an ?1 an?1 a1 a2 an?1 an bn?1 bn 1 1 ? bn 1 ? bn a ? ? ? ? n 成立.-----8 分 ,所以 an?1 an an an bn ?1 an ?1 1 ? bn a ? n bn ?1 an ?1

所以有

(III)由(I) 、(II)可知, b1 ? a1 ? 1 , b2 ? a2 ? 3 , n ? 2 时,

? 1 ?? 1? ? 1 ? 1 ? b1 1 ? b2 1 ? b3 1 ? bn ? ? ? Tn ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? b1 b2 b3 bn ? b1 ?? b2 ? ? bn ?
? a 1 ? b1 1 ? b2 1 ? b3 1 ? bn 1 ? b1 a2 a3 ? ? ? ? bn ?1 ? ? ? ? n ? bn?1 b1b2 b3 b4 bn ?1 b1b2 a3 a4 an ?1 b (1 ? b1 )a2 bn?1 1 1 1 1 ? ? 2 ? n ?1 ? 2( ? ? ? ? ? ) -------------10 分 b1b2 an?1 a1 a2 an?1 an an ?1
1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? n 3 2 ?1 2 ?1 a1 a2 an ?1 an

?

又因为

2k ?1 ? 1 2k ?1 (2k ?1 ? 1) ? (2 k ? 1) 1 1 ? ? ? 2 ? 所以 ? ak 2k ? 1 (2k ? 1) ? 2 k ?1 ? 1? (2k ? 1) ? 2 k ?1 ? 1? (2k ? 1) ? 2 k ?1 ? 1?
? 2( 1 1 ? k ?1 ) (其中 k ? 2,3, 4,?, n )---------------13 分 2 ?1 2 ?1
k

所以 Tn ?

1 2

1 1 1 1 ? ??? ? a1 a2 an?1 an

?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? 1 ? 2 ?? 2 ? 3 ? ? ? 3 ? 4 ? ??? ? n ? n?1 ?? ? 2 ?1 2 ?1 ?? ?? 2 ? 1 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ?
1 ? 2 5 ? 1 ? 1? 2? 2 ? n?1 ? ? 1 ? ? 3 3 ? 2 ?1 2 ?1 ?
所以有 ?1 ?

? ?

1 ?? 1? ? 1? 10 ??1 ? ???1 ? ? ? Tn ? 成立.-------------15 分. b1 ?? b2 ? ? bn ? 3

20.(I) (i)因为 f ?1? ? a ? b ? c ? 0 ,且 a ? b ? c ,所以 a ? 0, c ? 0 ,且 a ? c ? ?b , 因为存在实数 m 使得 f ? m? ? ?a ,即存在实数 m, 使 am ? bm ? c ? a ? 0 成立,
2

所以 ? ? b ? 4a ? a ? c ? ? 0 ,即 b ? 4ab ? b ? 4a ? b ? ? 0 ---------2 分
2 2

因为 4a ? b ? 3a ? a ? b ? 3a ? c ? 0 ,所以 b ? 0 .-------------------4 分 (ii)由题意可知 f ? x ? ? 0 的两根为 1, 所以可设 f ? x ? ? a ? x ?

c , a

? ?

c c? ? ? x ? 1? ,其中 a ? 0 , a ? 0 ,---------5分 a?

因为 f ? m? ? ?a ,所以 a ? m ?

? ?

c? c? ? ? ? m ? 1? ? ?a ,即 ? m ? ? ? m ? 1? ? ?1 ? 0 a? a? ?

c ? m ? 1 ,-------------------------6分 a c b c 由于 a ? c ? ?b ? 0 , a ? 0, c ? 0 ,所以 ? 1 ? ? ? 0 ,即 ? ?1 a a a c c 又因为 a ? b ? ?a ? c ,所以 ? ?2 ,所以 ?2 ? ? ?1 -----------7分 a a c 所以 m ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 2 ? 1 a
所以必有 所以 f ? m ? 3? ? f ?1? ? 0 ,即 f ? m ? 3? ? 0 成立.----------8分. (II) 由(I)可知 ?2 ?

c ? ?1 , a
2

因为 y ? g ? x ? ? f ? x ? ? bx ? 0 ? ax ? 2bx ? c ? 0 ,

? ? 4b 2 ? 4ac ? 4 ? b 2 ? ac ? ? 0 ,所以函数 y ? g ? x ? ? f ? x ? ? bx 的图象与 x 轴必有两个
交点,记为 ? x1 ,0? , ? x2 ,0? ,则 d ? x1 ? x2 , x1 ? x2 ? ?

2b c , x1 ? x2 ? , a a
2

d ? ? x2 ? x1 ? ? ? x1 ? x2 ?
2 2

2

4b 4c 4(a ? c) 4c ? 4 x1 x2 ? 2 ? ? -------10分 ? a2 a a a

2

?? c ? 2 c ? ?? c 1 ? 2 3 ? c ? 4 ?? ? ? ? 1? ? 4 ?? ? ? ? ? (其中 ?2 ? ? ?1 )---------12分 a ?? a ? a ? ? ? ? ? ?? a 2 ? 4 ?
所以 4 ? d ? 12 ,所以 2 ? d ? 2 3 ------------------------------14分.
2


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