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第8章 第9节 圆锥曲线的综合问题


2009~2013 年高考真题备选题库 第 8 章 平面解析几何 第 9 节 圆锥曲线的综合问题
考点 直线与圆锥曲线的位置关系
1. (2013 安徽,5 分)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点.若该抛物线上存在 点 C,使得∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. 解析:本题考查直线与抛物线的位置关系,圆的性质,考查考生

的转化与化归能力. 法一:设直线 y=a 与 y 轴交于点 M,抛物线 y=x2 上要存在 C 点,只要以|AB|为直径的 圆与抛物线 y=x2 有交点即可,也就是使|AM|≤|MO|,即 a≤a(a>0),所以 a≥1. 法二:易知 a>0,设 C(m,m2),由已知可令 A( a,a),B(- a,a),则 AC =(m- a, m2-a), BC =(m+ a,m2-a),因为 AC ⊥ BC ,所以 m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2 -a)(m2+1-a)=0.因为由题易知 m2≠a,所以 m2=a-1≥0,故 a∈[1,+∞). 答案:[1,+∞) 2. (2013 浙江,4 分)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物 线 C 于 A,B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点.若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于________. 解析:本题考查抛物线方程、性质,直线与抛物线的位置关系,考查数形结合思想及运 算求解能力. 法一:注意到|FQ|=2,正好是抛物线通径的一半,所以点 Q 为通径的一个端点,其坐标 为(1,± 2),这时 A,B,Q 三点重合,直线 l 的斜率为± 1.
? ?x=ty-1, 法二: 令直线 l 的方程为 x=ty-1, 由? 2 得 y2-4ty+4=0, 设 A(x1, y1), B(x2, ?y =4x, ?

y2),则 y1+y2=4t,y1y2=4,x1+x2=4t2-2,所以 xQ=2t2-1,yQ=2t,|FQ|2=(xQ-1)2+y2 Q= 4,代入解得,t=± 1 或 t=0(舍去),即直线 l 的斜率为± 1. 答案:± 1 x2 y2 3. (2013 新课标全国Ⅱ,12 分)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1 (a>b>0) a b 1 右焦点的直线 x+y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最 大值. 解:本题考查用待定系数法求椭圆方程以及直线与椭圆位置关系的问题,考查利用函数 思想求最值,体现对考生综合素质特别是对考生分析问题、解决问题以及化归与转化能力的

考查. (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
2 2 y2-y1 x1 y2 x2 y2 1 2 则 2+ 2=1, 2+ 2=1, =-1, a b a b x2-x1

b2?x2+x1? y2-y1 由此可得 2 =- =1. a ?y2+y1? x2-x1 y0 1 因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, = , x0 2 所以 a2=2b2. 又由题意知,M 的右焦点为( 3,0),故 a2-b2=3. 因此 a2=6,b2=3. x2 y2 所以 M 的方程为 + =1. 6 3

?x= 3 , ? ?x+y- 3=0, 2 2 (2)由?x y 解得? + =1, 3 ? ?6 3 ?y=- 3 ,
4 3 因此|AB|= 4 6 . 3

?x=0, 或? ?y= 3.

5 3 ?, 由题意可设直线 CD 的方程为 y=x+n?- ? 3 <n< 3? 设 C(x3,y3),D(x4,y4). y=x+n, ? ?2 2 由?x y 得 3x2+4nx+2n2-6=0. ? 6 + 3 =1 ? -2n± 2?9-n2? 于是 x3,4= . 3 因为直线 CD 的斜率为 1,所以|CD|= 2|x4-x3|= 4 3 9-n2. 9-n2.

1 8 6 由已知,四边形 ACBD 的面积 S= |CD|· |AB|= 2 9 8 6 当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 . 3 8 6 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 . 3

x2 y2 4. (2013 浙江,15 分)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2+ 2= a b 1(a>b>0)的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2

交椭圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. 解:本题考查椭圆的几何性质,直线与圆的位置关系,直线与椭圆的位置关系等基础知 识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
?b=1, ? (1)由题意得? ? ?a=2.

x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k,则 直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4,故点 O 到直线 l1 的距离 d= 所以|AB|=2 4-d2=2 4k2+3 . k2+1 1 , k +1
2

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0.
?x+ky+k=0, ? 8k 由? 2 消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故 x0=- . 2 4+k2 ?x +4y =4, ?

所以|PD|=

8 k2+1 . 4+k2

8 4k2+3 1 设△ABD 的面积为 S,则 S= |AB|· |PD|= , 2 4+k2 所以 S= ≤ 13 4k2+3+ 2 4k2+3 10 时取等号. 2 10 x-1. 2 32 32 4k2+3· 13 4k2+3 16 13 = , 13

当且仅当 k=±

所以所求直线 l1 的方程为 y=±

x2 y2 3 1 5. (2013 江西,13 分)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P(1, ),离心率 e= , a b 2 2 直线 l 的方程为 x=4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P), 设直 线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA,PB,PM 的斜率分 别为 k1,k2,k3. 问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的值;若不存在,说明理由.

解:本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系等,旨在考查考 生综合应用知识的能力. 3? 1 9 (1)由 P? ?1,2?在椭圆上得,a2+4b2=1.① 依题设知 a=2c,则 b2=3c2.② ②代入①解得 c2=1,a2=4,b2=3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)法一:由题意可设直线 AB 的斜率为 k, 则直线 AB 的方程为 y=k(x-1).③ 代入椭圆方程 3x2+4y2=12 并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 4?k2-3? 8k 2 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 .④ 4k +3 4k +3 在方程③中令 x=4 得,M 的坐标为(4,3k). 3 3 3 y1- y2- 3k- 2 2 2 1 从而 k1= ,k2= ,k3= =k- . 2 x1-1 x2-1 4-1 由于 A,F,B 三点共线,则有 k=kAF=kBF,即有 y1 y2 = =k. x1-1 x2-1

3 3 y1- y2- 1 2 2 x1+x2-2 y1 y2 3 1 3 所以 k1+k2= + = + - ?x -1+x -1?=2k- · .⑤ 2 x1x2-?x1+x2?+1 ? x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 2? 1 2 8k2 -2 4k2+3 3 ④代入⑤得 k1+k2=2k- · 2 =2k-1, 2 4?k -3? 8k2 - +1 4k2+3 4k2+3 1 又 k3=k- ,所以 k1+k2=2k3.故存在常数 λ=2 符合题意. 2 y0 法二:设 B(x0,y0)(x0≠1),则直线 FB 的方程为 y= (x-1), x0-1 3y0 令 x=4,求得 M?4,x -1?, ? ? 0 2y0-x0+1 从而直线 PM 的斜率为 k3= , 2?x0-1?

?y=x -1?x-1?, 联立? x y ? 4 + 3 =1,
0 2 2

y0

得 A?

?5x0-8, 3y0 ?, ? ?2x0-5 2x0-5?

2y0-2x0+5 2y0-3 则直线 PA 的斜率为 k1= ,直线 PB 的斜率为 k2= ,所以 k1+k2= 2?x0-1? 2?x0-1? 2y0-2x0+5 2y0-3 2y0-x0+1 + = =2k3, 2?x0-1? 2?x0-1? x0-1 故存在常数 λ=2 符合题意. 6. (2013 福建,13 分)如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点, 点 A 的坐标为(10,0),点 C 的坐标为(0,10).分别将线段 OA 和 AB 十等 分,分点分别记为 A1,A2,…,A9 和 B1,B2,…,B9 连接 OBi,过 Ai 作 x 轴的垂线与 OBi 交于点 Pi(i∈N*,1≤i≤9). (1)求证:点 Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程; (2)过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M, N, 若△OCM 与△OCN 的面积比为 4∶ 1,求直线 l 的方程. 解:本小题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求 解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想. 法一:(1)依题意,过 Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与 x 轴垂直的直线的方程为 x=i, i Bi 的坐标为(10,i),所以直线 OBi 的方程为 y= x. 10 x=i, ? ? 设 Pi 的坐标为(x,y),由? i ? ?y=10x, 1 得 y= x2,即 x2=10y. 10 所以点 Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线 E 的方程为 x2=10y. (2)依题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+10.
?y=kx+10, ? 由? 2 得 x2-10kx-100=0, ? ?x =10y,

此时 Δ=100k2+400>0,直线 l 与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M,N.
? ?x1+x2=10k, ① 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则? ?x1· x2=-100. ② ?

因为 S△OCM=4S△OCN,所以|x1|=4|x2|. 又 x1· x2<0,所以 x1=-4x2,
?-3x2=10k, ? 3 分别代入①和②,得? 解得 k=± . 2 2 ? - 4 x =- 100 , ? 2

3 所以直线 l 的方程为 y=± x+10,即 3x-2y+20=0 或 3x+2y-20=0. 2

法二:(1)点 Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线 E:x2=10y 上. 证明如下:过 Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与 x 轴垂直的直线的方程为 x=i, i Bi 的坐标为(10,i),所以直线 OBi 的方程为 y= x. 10 x=i, ? ? i2 i, ?. 由? 解得 Pi 的坐标为? i ? 10? ?y=10x, ? 因为点 Pi 的坐标都满足方程 x2=10y, 所以点 Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线 E 的方程为 x2=10y. (2)同法一. 7. (2012 辽宁,5 分)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, -2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为( A.1 C.-4 B.3 D.-8 )

1 解析:因为 P,Q 两点的横坐标分别为 4,-2,且 P,Q 两点都在抛物线 y= x2 上,所 2 以 P(4,8),Q(-2,2).因为 y′=x,所以 kPA=4,kQA=-2,则直线 PA,QA 的方程联立得
? ? ?y-8=4?x-4? ?y=4x-8 ? ,即? ,可得 A 点坐标为(1,-4). ?y-2=-2?x+2? ? ? ?y=-2x-2

答案:C 8. (2012 北京,5 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该 抛物线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60° ,则△OAF 的面积 为________. 解析: 直线 l 的方程为 y= 3(x-1), 即 x= 4 3 + 3 解得 yA= 答案: 3 9.(2009· 宁夏、海南,5 分)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与 抛物线 C 相交于 A、B 两点.若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为________. p 解析:抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),∴ =1,抛物线方程为 y2=4x. 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4, y2 1=4x1① y2 2=4x2②
2 ①-②得 y2 1-y2=4(x1-x2),

3 4 3 y+1, 代入抛物线方程得 y2- y-4=0, 3 3

16 +16 3 1 =2 3(yB<0,舍去),故△OAF 的面积为 ×1×2 3= 3. 2 2

y1-y2 ∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),∴ =1, x1-x2 ∴直线 l 的斜率为 1,且过点(2,2), ∴直线方程为 y-2=x-2,∴x-y=0. 答案:x-y=0 10. (2012 新课标全国,12 分)设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90° ,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值. 解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆 F 的半径|FA|= 2p. 由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|= 2p. 1 1 因为△ABD 的面积为 4 2,所以 |BD|· d=4 2,即 · 2p· 2p=4 2,解得 p=-2(舍去) 2 2 或 p=2. 所以 F(0,1),圆 F 的方程为 x2+(y-1)2=8. (2)因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上,所以 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90° . 1 由抛物线定义知|AD|=|FA|= |AB|, 2 所以∠ABD=30° ,m 的斜率为 当 m 的斜率为 3 3 或- . 3 3

3 3 2 3 时,由已知可设 n:y= x+b,代入 x2=2py 得 x2- px-2pb=0. 3 3 3

4 p 由于 n 与 C 只有一个公共点,故 Δ= p2+8pb=0,解得 b=- . 3 6 p |b1| 因为 m 的纵截距 b1= , =3,所以坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 2 |b| 当 m 的斜率为- 3 时,由图形对称性可知,坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 3

x2 y2 11. (2012 广东,14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离 a b 心率 e= 2 ,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3. 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交 于不同的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面 积;若不存在,请说明理由.

c 解:(1)由 e= = a

a2-b2 = a2

2 ,得 a= 3b, 3

x2 y2 椭圆 C: 2+ 2=1,即 x2+3y2=3b2, 3b b 设 P(x,y)为 C 上任意一点, 则|PQ|= x2+?y-2?2= -2?y+1?2+3b2+6,-b≤y≤b, 若 b<1,则-b>-1,当 y=-b 时,|PQ|max= -2?-b+1?2+3b2+6=3,又 b>0,得 b =1(舍去), 若 b≥1,则-b≤-1,当 y=-1 时,|PQ|max= -2?-1+1?2+3b2+6=3,得 b=1, x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 3 m2 m2 (2)法一:假设存在这样的点 M(m,n)满足题意,则有 +n2=1,即 n2=1- ,- 3 3 3 1 1 1 ≤m≤ 3.由题意可得 S△AOB= |OA|· |OB|sin ∠AOB= sin ∠AOB≤ , 2 2 2 当∠AOB=90° 时取等号,这时△AOB 为等腰直角三角形, 此时圆心(0,0)到直线 mx+ny=1 的距离为 则 2 , 2

1 2 m2 2 2 2 = ,得 m + n = 2 ,又 +n =1, 3 m2+n2 2

3 1 解得 m2= ,n2= , 2 2 即存在点 M 的坐标为( 6 2 6 2 6 2 6 2 , ),( ,- ),(- , ),(- ,- ) 2 2 2 2 2 2 2 2

1 满足题意,且△AOB 的最大面积为 . 2 m2 m2 法二: 假设存在这样的点 M(m, n)满足题意, 则有 +n2=1, 即 n2=1- , - 3≤m≤ 3, 3 3
? ?mx+ny=1, 又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由? 2 2 消去 y 得(m2+n2)x2-2mx+1-n2=0,① ?x +y =1, ?

m2 把 n2=1- 代入①整理得(3+2m2)x2-6mx+m2=0, 3 则 Δ=8m2(3-m2)≥0,

?x +x =3+2m , 所以? m ?x x =3+2m ,
1 2 2 2 1 2 2

6m



1 1 而 S△AOB= |OA|· |OB|sin ∠AOB= sin ∠AOB, 2 2

1 当∠AOB=90° ,S△AOB 取得最大值 , 2 此时 OA · OB =x1x2+y1y2=0,又 y1y2= 3-3m?x1+x2?+3m2x1x2 所以 x1x2+ = 0, 3-m2 即 3-3m(x1+x2)+(3+2m2)· x1x2=0, 3 把②代入上式整理得 2m4-9m2+9=0,解得 m2= 或 m2=3(舍去), 2 6 所以 m=± ,n=± 2 所以 M 点的坐标为( (- m2 2 1- =± , 3 2 1-mx1 1-mx2 3-3m?x1+x2?+3m2x1x2 · = , n n 3-m2

6 2 6 2 6 2 , ),( ,- ),(- , ), 2 2 2 2 2 2

6 2 1 ,- ),使得 S△AOB 取得最大值 . 2 2 2

12.(2012 安徽,13 分)如图,点 F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆 x2 y2 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭 a b a2 圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= 于 c 点 Q. (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. b2 -0 a b b2 解:(1)法一:由条件知,P(-c, ).故直线 PF2 的斜率为 kPF2= =- . a 2ac -c-c
2

2ac 2ac2 a2 因为 PF2⊥F2Q,所以直线 F2Q 的方程为 y= 2 x- 2 .故 Q( ,2a). b b c a2 由题设知, =4,2a=4,解得 a=2,c=1. c x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 a2 b2 法二:设直线 x= 与 x 轴交于点 M.由条件知,P(-c, ). c a |PF1| |F1F2| 因为△PF1F2∽△F2MQ,所以 = . |F2M| |MQ| 2c = ,解得|MQ|=2a. a2 |MQ| -c c b2 a



a ? ? c =4, 所以? 解得 a=2,c=1. ? ?2a=4, x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 a2 x- c y-2a c (2)直线 PQ 的方程为 2 = ,即 y= x+a. b a2 a -2a -c- a c 将上式代入椭圆方程得,x2+2cx+c2=0, b2 解得 x=-c,y= . a 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. x2 y2 13. (2012 福建,13 分)如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左 a b 1 焦点为 F1,右焦点为 F2,离心率 e= .过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两 2 点,且△ABF2 的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q. 试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 解:法一:(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8, 即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 所以 4a=8,a=2. 1 c 1 又因为 e= ,即 = ,所以 c=1, 2 a 2 所以 b= a2-c2= 3. x2 y2 故椭圆 E 的方程是 + =1. 4 3 y=kx+m, ? ?2 2 (2)由?x y 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. ? ? 4 + 3 =1, 因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),所以 m≠0 且 Δ=0, 即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得 4k2-m2+3=0.(*) 4km 4k 3 4k 3 此时 x0=- 2 =- ,y0=kx0+m= ,所以 P(- , ). m m m m 4k +3

2

? ?x=4, 由? 得 Q(4,4k+m). ?y=kx+m, ?

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. 设 M(x1,0),则 MP · MQ =0 对满足(*)式的 m,k 恒成立. 4k 3 因为 MP =(- -x1, ), MQ =(4-x1,4k+m), m m 由 MP · MQ =0, 16k 4kx1 12k 得- + -4x1+x2 +3=0, 1+ m m m k 整理,得(4x1-4) +x2 -4x1+3=0.(**) m 1
?4x1-4=0, ? 由于(**)式对满足(*)式的 m,k 恒成立,所以? 2 解得 x1=1. ?x1-4x1+3=0, ?

故存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. 法二:(1)同法一. y=kx+m, ? ?2 2 (2)由?x y 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. + = 1 , ? ?4 3 因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),所以 m≠0 且 Δ=0, 即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0, 化简得 4k2-m2+3=0.(*) 4km 4k 3 4k 3 此时 x0=- 2 =- ,y0=kx0+m= ,所以 P(- , ). m m m m 4k +3
? ?x=4, 由? 得 Q(4,4k+m). ?y=kx+m, ?

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. 取 k=0,m= 3,此时 P(0, 3),Q(4, 3),以 PQ 为直径的圆为(x-2)2+(y- 3)2=4, 1 3 交 x 轴于点 M1(1,0),M2(3,0);取 k=- ,m=2,此时 P(1, ),Q(4,0),以 PQ 为直径的圆 2 2 5 3 45 为(x- )2+(y- )2= ,交 x 轴于点 M3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点 M 存在,则 M 2 4 16 的坐标必为(1,0). 以下证明 M(1,0)就是满足条件的点: 4k 3 因为 M 的坐标为(1,0),所以 MP =(- -1, ), MQ =(3,4k+m),从而 MP · MQ = m m - 12k 12k -3+ +3=0, m m

故恒有 MP ⊥ MQ ,即存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. x2 y2 14. (2011 江苏,16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 + =1 4 2 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中点 P 在第一象 限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C.连接 AC,并延长交椭圆于点 B.设 直线 PA 的斜率为 k. (1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意的 k>0,求证:PA⊥PB. 解:(1)由题设知,a=2,b= 2,故 M(-2,0),N(0,- 2), 所以线段 MN 中点的坐标为(-1,- 2 ). 2

由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标原点,所 2 - 2 2 以 k= = . 2 -1 x2 4x2 (2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 + =1,解得 x 4 2 2 2 4 2 4 =± ,因此 P( , ),A(- ,- ). 3 3 3 3 3 4 0+ 3 2 于是 C( ,0),直线 AC 的斜率为 =1,故直线 AB 的方程为 x 3 2 2 + 3 3 2 -y- =0. 3 2 4 2 | - - | 3 3 3 2 2 因此,d= = . 3 12+12 x2 y2 2 (3)证明:法一:将直线 PA 的方程 y=kx 代入 + =1,解得 x=± . 4 2 1+2k2 记 μ= 2 , 1+2k2

则 P(μ,μk),A(-μ,-μk),于是 C(μ,0). 0+μk k 故直线 AB 的斜率为 = , μ+μ 2 k 2 其方程为 y= (x-μ), 代入椭圆方程并由 μ= 得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0, 2 1+2k2 μ?3k2+2? 解得 x= 或 x=-μ. 2+k2

μ?3k2+2? μk3 因此 B( , ). 2+k2 2+k2 μk3 -μk 2+k2 k3-k?2+k2? 1 于是直线 PB 的斜率 k1= = 2 2 2 =- . k μ?3k +2? 3k +2-?2+k ? 2 -μ 2+k 因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 法二:设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).设直 0-?-y1? y1 k 线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2.因为 C 在直线 AB 上,所以 k2= = = .从而 x1-?-x1? 2x1 2 y2-y1 y2-?-y1? k1k+1=2k1k2+1=2· · +1= x2-x1 x2-?-x1?
2 2 2 2 2y2 ?x2 4-4 2-2y1 2+2y2?-?x1+2y1? + 1 = = 2 2=0. 2 2 2 2 x2-x1 x2-x1 x2-x1

因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 3 15. (2009· 辽宁,12 分)已知,椭圆 C 经过点 A(1, ),两个焦点为(-1,0),(1,0). 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直 线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值. 解:(1)由题意,c=1, x2 y2 可设椭圆方程为 2+ 2=1. 1+b b 因为 A 在椭圆上,所以 1 9 + 2=1, 1+b2 4b

3 解得 b2=3,b2=- (舍去). 4 x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3 3 (2)设直线 AE 方程为 y=k(x-1)+ , 2 x2 y2 代入 + =1, 4 3 3 得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4( -k)2-12=0. 2 设 E(xE,yE),F(xF,yF). 3 因为点 A(1, )在椭圆上,所以 2 3 4? -k?2-12 2 3 xE= ,yE=kxE+ -k. 2 2 3+4k

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以-k 代 k,可得 3 4? +k?2-12 2 3 xF= ,yF=-kxF+ +k. 2 2 3+4k 所以直线 EF 的斜率 kEF= yF-yE -k?xE+xF?+2k 1 = = . 2 xF-xE xF-xE

1 即直线 EF 的斜率为定值,其值为 . 2


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