当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量


高中数学必修 4 知识点总结
第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 则? ??

?

?

?

?

C

a
?

?
b

? ?x 1

x2 y ,1 ? y2

?.

a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

19、向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?a ? ? a ;

②当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时,? a ? 0 . ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a , 有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基

?

?

?

?

?

?

底) 22、分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ? ??2 时,点 ? 的坐标是 ?

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? 时,就为中点公式。) (当 ? ? 1 , ?. 1? ? ? ? 1? ?

23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 . ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反
2 向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b . 2

?

?

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? , 则 a ? x ? y , 或 a ? 2

?

?

? ?

?

?

x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则

a ? b ? 1 x 2 x?

1

. y2 0y ?

设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

c o?s?

a ?b a b

?

x1 x2? x12 ? y
2 1

y1 y2
2 x ? 2y



2 2

第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
2 2 2 ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? )

⑵ cos 2? ? cos

2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

?升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? 2 , sin ? ? . ?降幂公式 cos 2 ? ? 2 2
⑶ tan 2? ?

,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2
? (后两个不用判断符号,更加好用)

26、半角公式 :
α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

?x ? ? ) ? B 27、 合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为 “一个三角函数, 一个角, 一次方” 的 y ? A sin(
形式。 ? sin ? ? ? cos ? ?

?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

? . ?

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角 公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差, 倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ?
o o o o o

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4
; cos

? 30o ? ;问: sin 12 2
?(

?
12

?



③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?
4

??);

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常 化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的 代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用 降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式

1 ? cos? 常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:
1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 1 ? tan ? 1 ? tan ?





(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;
2 tan ? ?
; 1 ? tan ? ?
2

; ; ; = ; (其中

tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ? a sin ? ? b cos ? ?
=

tan ? ?

; )

1 ? cos ? ?

; 1 ? cos ? ?



(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值 与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ? ; 。

tan ? ? cot ? ?


相关文章:
数学必修4_第二章_平面向量知识点
数学必修4_第二章_平面向量知识点_高一数学_数学_高中教育_教育专区。平面向量知识点数学必修 4 第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1....
高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修 4 知识点归纳新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/ 平面向量 新疆源头学子 小屋 http:// ...
高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量 2
高中数学必修 4 知识点总结第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:...
高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修4平面向量知识点总结_数学_高中教育_教育专区。2012 级高中数学必修 4 知识点总结 第二章 平面向量 1、向量:既有 ,又有 的量. 数量:只有大小,没...
高中数学必修4之平面向量知识点大总结(典藏版)
高中数学必修4平面向量知识点大总结(典藏版)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 4平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1 向量的概念: ?...
高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结
高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结_数学_高中教育_教育专区。平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 ??? ? ? 1.向量:既有...
高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师)
高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师)_数学_高中教育_教育专区。《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带...
高中数学必修四第二章向量的知识点重点复习
高中数学必修四第二章向量的知识点重点复习_数学_高中教育_教育专区。向量的知识...高中数学第二章平面向量... 7页 免费 高中数学必修4知识点总结... 4页 免...
高中数学必修4平面向量知识点总结及常见题型
高中数学必修4平面向量知识点总结及常见题型_数学_高中教育_教育专区。高效,集中,重点高中必修 4 平面向量知识点归纳及常见题型 一.向量的基本概念与基本运算 1 向...
第七讲高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师)
第七讲高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师)_数学_高中教育_教育专区。【基本概念与公式】 平面向量复习 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有...
更多相关标签: