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高中数学人教版选修2-2教学设计:3.1.2《复数的几何意义》教案


§3.1.2 复数的几何意义
教学目标: 知识与技能:理解复数与从原点出发的向量的对应关系 过程与方法:了解复数的几何意义 情感、态度与价值观:画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往 能起到启迪解题思路的作用 教学重点:复数与从原点出发的向量的对应关系. 教学难点:复数的几何意义。 教具准备:多媒体、实物投影仪。 教学设想:复数 z=a+bi(a、b∈

R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复 数 z=a+bi(a、b∈R),由复数相等的定义可知,可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定. 教学过程: 学生探究过程: 1.若 A( x, y) , O (0, 0) ,则 OA ? ? x, y ? 2. 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

??? ?

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 3. 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即

AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)

讲授新课: 复平面、实轴、虚轴: 复数 z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应 y Z(a,b) 关系这是因为对于任何一个复数 z=a+bi(a、b∈R),由复数 b 相等的定义可知,可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定, 如 z=3+2i 可以由有序实数对(3,2)确定,又如 z=-2+i 可 以由有序实数对(-2,1)来确定;又因为有序实数对(a, b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,如有序实数对 o x a (3,2)它与平面直角坐标系中的点 A,横坐标为 3,纵坐标 为 2,建立了一一对应的关系 由此可知,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一 一对应的关系. 点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a,b)表示,这个建立了直 角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 在复平面内的原点(0,0)表示实数 0,实轴上的点(2,0)表示实数 2,虚轴上的点(0,-1)

表示纯虚数-i,虚轴上的点(0,5)表示纯虚数 5i 非纯虚数对应的点在四个象限,例如点(-2,3)表示的复数是-2+3i,z=-5-3i 对应的点 (-5,-3)在第三象限等等. 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 复数 z ? a ? bi ???? ? 复平面内的点 Z (a, b)
一一对应

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个 点,有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法. 1.复平面内的点 Z (a, b) ???? ? 平面向量 OZ
一一对应

??? ?

2. 复数 z ? a ? bi ???? ? 平面向量 OZ
一一对应

??? ?

例 1. (2007 年辽宁卷)若 ? ? ?

?3 5 ? π, π ? ,则复数 (cos? ? sin ? ) ? (sin ? ? cos? )i 在复 ?4 4 ?

平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解:选 B . 例 2. (2003 上海理科、文科)已知复数 z1=cosθ -i,z2=sinθ +i,求| z1·z2|的最大值和 最小值. [解] | z1 ? z 2 |?| 1 ? sin ? cos? ? (cos? ? sin ? )i |

? (1 ? sin ? cos? ) 2 ? (cos? ? sin ? ) 2 1 ? 2 ? sin 2 ? cos2 ? ? 2 ? sin 2 2? . 4 3 故 | z1 ? z 2 | 的最大值为 , 最小值为 2 . 2

例 3. (2004 北京理科) 满足条件 | z ? i| ?|3 ? 4i| 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 ( A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 解:选 C. 巩固练习: 课后作业:课本第 106 页 习题 3. 1 A 组 4,5,6 B 组 1,2 教学反思: 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即



? 复平面内的点 Z (a, b) 复数 z ? a ? bi ????
一一对应

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个 点,有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.

1. (2000 广东,全国文科、理科,江西、天津理科)在复平面内,把复数 3 ? 3i 对

应的向量按顺时钟方向旋转 (A)2 3

? ,所得向量对应的复数是: ( B ) 3 (B) ? 2 3i (C) 3 ? 3i (D)3+ 3i
)

2. (1992 全国理科、文科)已知复数 z 的模为 2,则│z-i│的最大值为:( D

(A)1 (B)2 (C) (D)3 3. (2003 北京理科)若 z ? C 且 | z ? 2 ? 2i |? 1, 则 | z ? 2 ? 2i | 的最小值是( B ) A.2 B.3 C.4 D.5 4. (2007 年上海卷)若 a , b 为非零实数,则下列四个命题都成立: ①a ?

1 ?0 a

2 2 ② ? a ? b ? ? a ? 2ab ? b 2

③若 a ? b ,则 a ? ?b

2 ④若 a ? ab ,则 a ? b 则对于任意非零复数 a , b ,上述命题仍然成立的序号是 _____ 。

4.②,④ 5.(2005 上海文科)在复数范围内解方程 | z | ? ( z ? z )i ?
2

3?i ( i 为虚数单位) 。 2?i

【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力,可根据复数的代数形式进行处 理. 【解】原方程化简为 z
2

? ( z ? z )i ? 1 ? i ,
2 2

设 z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x +y +2xi=1-i, ∴x +y =1 且 2x=-1,解得 x=∴原方程的解是 z=2 2

1 3 且 y=± , 2 2

1 3 ± i. 2 2

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