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第五节 数列的综合应用


第五节
[考纲传真]

数列的综合应用

能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并

能用相关知识解决相应的问题. 【复习指导】 1.熟练把握等差数列与等比数列的基本运算. 2.掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想,如“函数与方程”、“数形 结合”、“分类讨论”、“等价转化”等. 3.注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法.

知识点 1

数列应用题常见模型

1.等差模型:一般地,如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是 等差模型,增加(或减少)的量就是公差. 2.等比模型:一般地,如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时, 该模型是等比模型,这个固定的数就是公比. 3.递推模型:如果能建立该数列任意一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项) 间的递推关系式,并求出初始项,那么可考虑通过建立递推模型求解. 知识点 2 解答数列应用题的步骤

1.审题——仔细阅读材料,认真理解题意. 2.建模——将已知条件翻译成数学 (数列)语言,将实际问题转化成数学问 题,弄清该数列的结构和特征. 3.求解——求出该问题的数学解. 4.还原——将所求结果还原到原实际问题中.

必会结论

银行储蓄中的计算公式: (1)复利公式:按复利计算的一种储蓄,本金为 p 元,每期利率为 r,存期为 n,则本利和 S=p(1+r)n. (2)单利公式:利息按单利计算,本金为 p 元,每期利率为 r,存期为 n,则 本利和 S=p(1+nr). (3)产值模型:原来产值的基础数为 N,平均增长率为 r,对于时间 x 的总产 值 y=N(1+r)x.

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)银行储蓄的单利公式是等差数列模型.( (2)银行储蓄的复利公式是等比数列模型.( ) )

(3) 数列 {an} 的通项公式 an = n2 - 2an + 1 ,若数列 {an} 是递增数列,则 a≤1.( )

(4)数列{an}是正项等比数列,bn=logaan(a>0 且 a≠1),则数列{bn}是等差数 列.( ) (1)√ (2)√ (3)× (4)√

【答案】

2.(教材改编)一个蜂巢里有 1 只蜜蜂,第 1 天,它飞出去找回了 5 个伙伴; 第 2 天,这 6 只蜜蜂又飞出去,各自找回了 5 个伙伴??,如果这个找伙伴的过 程继续下去,第 6 天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有________只蜜蜂( A.55 986 B.46 656 C.216 D.36 )

【解析】 六天蜜蜂的总数组成等比数列{an},则 a1=6,公比 q=6,则 a6 =66=46 656. 【答案】 B

3.若互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,c,a,b 成等比数列,且 a+3b +c=10,则 a=( A.4 【解析】 B.2 ) C.-2 D.-4

由 c,a,b 成等比数列可将公比记为 q,三个实数 a,b,c,待

定为 cq,cq2,c.由实数 a,b,c 成等差数列得 2b=a+c,即 2cq2=cq+c,又等

比数列中 c≠0,所以 2q2-q-1=0,解一元二次方程得 q=1(舍去,否则三个实 1 a 5 数相等)或 q=-2,又 a+3b+c=a+3aq+q=-2a=10,所以 a=-4. 【答案】 D

4.在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是第一象限的两 个点, 若 1, x1, x2,4 依次成等差数列, 而 1, y1, y2,8 依次成等比数列, 则△OP1P2 的面积是________. 【解析】 根据等差、等比数列的性质,可知 x1=2,x2=3,y1=2,y2=4.

∴P1(2,2),P2(3,4).∴S△OP1P2=1. 【答案】 1

等差数列与等比数列的综合应 用

1.(2016· 合肥模拟)已知{an}为等差数列且公差 d≠0,其首项 a1=20,且 a3, a7,a9 成等比数列,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( A.-110 【解析】 B.-90 C.90 D.110 )

由 a3,a7,a9 成等比数列,则 a3a9=(a7)2, 化简可得 2a1d+20d2=0, 10×9 则 S10=10a1+ 2 ×(-2)=110.

即(a1+2d)(a1+8d)=(a1+6d)2, 由 a1=20,d≠0,解得 d=-2. 【答案】 D

2.(2016· 福州模拟)设数列{an}是以 3 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是 以 1 为首项,2 为公比的等比数列,则 ba1+ba2+ba3+ba4=( A.15 【解析】 B.60 C.63 D.72 )

数列{an}是以 3 为首项,1 为公差的等差数列,

则 an=3+(n-1)×1=n+2,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn=2n-1, 则 ba1+ba2+ba3+ba4=b3+b4+b5+b6=22+23+24+25=60.

【答案】

B

等差数列、等比数列综合问题的解题策略 1.分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问 题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确 定解题的顺序. 2.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则 要看其是否有等于 1 的可能, 在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一 个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.

数列的实际应用 (2016· 长沙模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该 企业第一年年初有资金 2 000 万元, 将其投入生产, 到当年年底资金增长了 50%. 预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底 上缴资金 d 万元, 并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资 金后的剩余资金为 an 万元. (1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式; (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元,试确定企业 每年上缴资金 d 的值(用 m 表示). 【解】 (1)由题意得:a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,

3 5 a2=a1(1+50%)-d=2a1-d=4 500-2d, ? 3 an+1=an(1+50%)-d=2an-d.

3 3?3 3 ? ?3? (2)由(1)得 an=2an-1-d=2?2an-2-d?-d =?2?2an-2-2d-d ? ? ? ? =? 3 ?3?2 ? ?3?n-2? ?3? ? ?2? ? + ? + =?2?n-1a1-d?1+2+? ?2? ? ? ? ? ? ?

?3? ??3? ? ?3? 整理得:an=?2?n-1(3 000-d)-2d??2?n-1-1?=?2?n-1(3 000-3d)+2d. ? ? ?? ? ? ? ? ?3? 由题意,am=4 000,即?2?m-1(3 000-3d)+2d=4 000. ? ?

??3?m ? ??2? -2?×1 000 1 000?3m-2m+1? ?? ? ? 解得 d= = . 3 3m-2m ? ?m ?2? -1 ? ? 故该企业每年上缴资金 d 的值为 剩余资金为 4 000 万元. 1 000?3m-2m+1? 时,经过 m(m≥3)年企业的 3m-2m

解答数列实际应用问题的步骤 1.确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、 等比数列模型、简单的递推数列模型,基本特征见下表:

数列模型 等差数列 等比数列 简单递推 数列

基本特征 均匀增加或者减少 指数增长,常见的是增产率问题、存款复利问题 指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为 20%,每年年 底要拿出 a(常数)作为下年度的开销,即数列{an}满足 an+1= 1.2an-a

2.准确求解模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解 方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确. 3.给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问 题的答案,在解题中不要忽视了这一点. [变式训练] (2016· 泰安模拟)现有一根 n 节的竹竿, 自上而下每节的长度依次构成等差数 列,最上面一节长为 10 cm,最下面的三节长度之和为 114 cm,第 6 节的长度是 首节与末节长度的等比中项,则 n=________. 【答案】 16

数列与其他知识的交汇问题 ●命题角度 1 数列与函数的交汇问题

1. (2016· 南京模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f(3+x)=f(x),

f(2)=-5,数列{an}满足 a1=-1,且 Sn=2an+n(其中 Sn 为{an}的前 n 项和),则 f(a4)+f(a5)=________. 【解析】 ∵函数 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)且 f(0)=0,

又∵f(3+x)=f(x), ∴f(x)是以 3 为周期的周期函数,∴f(2)=f(-1)=-5, ∵a1=-1, 且 Sn=2an+n, ∴a2=-3,∴a3=-7, a4=-15,∴a5=-31, ∴f(a4)+f(a5)=f(-15)+f(-31)=f(0)+f(-1)=0+f(2)=-5. 【答案】 -5

2.(2014· 四川高考)设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的图像上(n∈N*). (1)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图像上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; 1 (2)若 a1=1, 函数 f(x)的图像在点(a2, b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2-ln 2,
?an? 求数列?b ?的前 n 项和 Tn. ? n?

【解】

(1)由已知,b7=2a7,b8=2a8=4b7,有 2a8=4×2a7=2a7+2.

n?n-1? 解得 d=a8-a7=2.所以 Sn=na1+ 2 d=-2n+n(n-1)=n2-3n. (2)函数 f(x)=2x 在(a2,b2)处的切线方程为 y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2), 1 1 1 它在 x 轴上的截距为 a2-ln 2.由题意知,a2-ln 2=2-ln 2,解得 a2=2. an n 所以 d=a2-a1=1,从而 an=n,bn=2n,b =2n.
n

n-1 n 1 2 3 所以 Tn=2+22+23+?+ n-1 +2n, 2

1 2 3 n 2Tn=1+2+22+?+ n-1. 2
n+1

1 1 1 n 1 n 2 因此,2Tn-Tn=1+2+22+?+ n-1-2n=2- n-1-2n= 2 2 2n 1-n-2 所以 Tn= . 2n


-n-2 2n

●命题角度 2

数列与不等式的交汇问题

3.(2014· 广东高考)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn 满足
2 2 * S2 n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,n∈N .

(1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式;

1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+ <3. a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1? 【解】 (1)令 n=1 代入得 a1=2(负值舍去).

2 2 * 2 (2)由 S2 n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0,n∈N 得[Sn-(n +n)](Sn+3)=0.

又已知各项均为正数,故 Sn=n2+n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n, 当 n=1 时,a1=2 也满足上式, 所以 an=2n,n∈N*.

(3)证明:k∈N*,4k2+2k-(3k2+3k)=k2-k=k(k-1)≥0, ∴4k2+2k≥3k2+3k,∴ 1 ? 1? 1 =3? k-k+1?. ? ? ∴ 1 1 ? 1 1 1 1?1 1 1 1 + +?+ ≤3?1-2+2-3+?+n-n+1? a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1? ? ? ∴不等式成立. 1 1 1 1 = = 2 ≤ 2 ak?ak+1? 2k?2k+1? 4k +2k 3k +3k

1 ? 1 1? =3?1-n+1?<3. ? ?

数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 1.数列与函数的交汇问题 (1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图像研 究数列问题. (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范 围、公式、求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数的内在联 系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列, 因此掌握递推数列的常见解法有 2.数列与不等式的交汇问题 (1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的 不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式. (2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到. (3)比较方法:作差或者作商比较. 助于该类问题的解决.


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