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任意角的三角函数2


第一章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(2)
学习目的: 1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式; 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值; 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 学习重点:正弦、余弦、正切线的概念。 学习难点:正弦、余弦、正切线的利用。 课堂探究: 一、复习引入: 1.三角函数的定义及定义域、值域: 练习 1 已知角 ? 的终边上一点 P ( ? 3 , m ) ,且 s in ? ?
2m 4
2 2 2 2 解:由题设知 x ? ? 3 , y ? m ,所以 r ? | O P | ? ( ? 3 ) ? m ,得 r ?

,求 c o s ? , s in ? 的值。
3? m
2



从而 s in ? ?

2m 4

?

m r

?

m 3? m
3
2

,解得 m ? 0 或 1 6 ? 6 ? 2 m ? m ? ? 5 .
2

当 m ? 0 时, r ?
cos ? ? x r

3, x ? ?



? ? 1, ta n ? ?
5 时, r ? 2

y x

? 0 ;
3

当m ?
cos ? ? x r

2,x ? ?


15 3

? ?

6 4

, ta n ? ?

y x

? ?



当 m ? ? 5 时, r ? 2 2 , x ? ? 3 ,
cos ? ? x r ? ? 6 4 , ta n ? ? y x ? 15 3



2.三角函数的符号: 练习 2:已知 sin ? ? 0 且 ta n ? ? 0 , (1)求角 ? 的集合; (2)求角
?
2

终边所在的象限; (3)试判断 ta n

?
2

, s in

?
2

cos

?
2

的符号。

3.诱导公式: 练习 3:求下列三角函数的值: (1) c o s
9? 4

, (2) ta n ( ?

1 1? 6

),

(3) s in

9? 2



二、讲解新课: 当角的终边上一点 P ( x , y ) 的坐标满足 x ? y ? 1 时,有三角函数正弦、余弦、正切
2 2

值的几何表示——三角函数线。 1.单位圆:圆心在圆点 O ,半径等于单位长的圆叫做单位圆。 2.有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 3.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P ( x, y) , 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A (1, 0 ) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向
1

延长线交与点 T .
y y P A
M

T

P

o
(Ⅱ)
y
T

A
x

o

M

x

(Ⅰ)
y

T

M

A

M

A
x

o
P

x

o
(Ⅳ) T P

(Ⅲ)

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 O M ? x , M P ? y ,于是有
s in ? ?
ta n ? ?

y r
y x

?
?

y 1

? y ? MP ,
? AT OA ? AT .

cos ? ?

x r

?

x 1

? x ? OM ,

MP OM

我们就分别称有向线段 M P , O M , A T 为正弦线、余弦线、正切线。 说明: ①三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦 线在 x 轴上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单 位 圆内,一条在单位圆外。 ②三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向 垂 足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 ③三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向 的 为负值。 ④三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。 4.例题分析: 例 1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1)
?
3

; (2)

5? 6

; (3) ?

2? 3



(4) ?

1 3? 6



解:图略。 例 2 利用三角函数线比较下列各组数的大小: 1?
sin 2? 3

与 sin

4? 5

2? tan

2? 3

与 tan S2

4? 5

3? cot

2? 3

与 cot

4? 5

解: 如图可知:
2? 3 4? 5

S1 B P2 P1 o A T2 T1

sin

? sin

M2 M1

S1

2

tan cot

2? 3 2? 3

? tan ? cot

4? 5 4? 5

例 3 利用单位圆寻找适合下列条件的 0?到 360?的角 1? 解: 1? P2 o sin?≥ y P1 x 210? 30?≤?≤150? 30? ? ? ? 90?或 210? ? ? ? 270? o
1 2

2? tan? ? 2?

3 3

y 30? T x

A

例 4 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围。 (1) s in x ? ?
1 2


1 2

(2) c o s x ? 且cos x ?
1 2

1 2



(3) 0 ? x ? ? , s in x ? (4) | c o s x |? 解: (1) (3) (5)
?
3 7? 6 ? x ? 5? 6 ? 2 k? ? x ? 1 2

; (5) s in x ?
1 2


1 1? 6

且 ta n x ? ? 1 .
?
6 ? 2 k? ? x ? ?

? 2 k? ? x ?

(2) ? ? 2 k? , k ? Z ;
?
6 ?

?
6

? 2 k? , k ? Z ;

(4) ? ,k ? Z ;
3? 4

?
2

? k? ? x ?

?
6

?
2

? k? , k ? Z ;

?
2

? 2 k? , k ? Z .

三、巩固与练习 四、小 结: 本节课学习以下内容: 1.三角函数线的定义; 2.会画任意角的三角函数线; 3.利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。 五、课后作业: 补充:1.利用余弦线比较 c o s 6 4 , c o s 2 8 5 的大小; 2.若
?
4 ?? ?
? ?

?
2

,则比较 s in ? 、 c o s ? 、 ta n ? 的大小;

3.分别根据下列条件,写出角 ? 的取值范围: (1) c o s ? ?
3 2



(2) ta n ? ? ? 1 ;

(3) s in ? ? ?

3 2



3


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