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函数与零点


《方程的根与函数的零点》教学设计
王志江 浙江省绍兴市稽山中学

一、内容和内容解析 本节课是在学生学习了 《基本初等函数 (Ⅰ) 》 的基础上, 学习函数与方程的第一课时, 本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析,得到零点的概念,从而进一步探索函数零点存 在性的判定, 这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上, 利用计算机描绘函数的图象, 通过对函数与方程的探究, 对函数有进一步的认识, 解决方程根的存在性问题, 为下一节 《用 二分法求方程的近似解》做准备. 从教材编写的顺序来看,《方程的根与函数的零点》是必修 1 第三章《函数的应用》一 章的开始, 其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法, 从中体会函数与方程之间的 联系.利用函数模型解决问题,作为一条主线贯穿了全章的始终,而方程的根与函数的零点 的关系、用二分法求方程的近似解,是在建立和运用函数模型的大背景下展开的.方程的根 与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形 结合的思想”,建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”,是本章渗透的主要数学思 想. 从知识的应用价值来看, 通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价 值,体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,体会符号化、模型化的思想,体验 从系统的角度去思考局部问题的思想. 基于上述分析,确定本节的教学重点是:了解函数零点的概念,体会方程的根与函数零 点之间的联系,掌握函数零点存在性的判断. 二、目标和目标解析 1.通过对二次函数图象的描绘,了解函数零点的概念,渗透由具体到抽象思想,领会 函数零点与相应方程实数根之间的关系, 2.零点知识是陈述性知识,关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的 作用,沟通函数与方程的关系。 3.通过对现实问题的分析,体会用函数系统的角度去思考方程的思想,使学生理解动 与静的辨证关系.掌握函数零点存在性的判断. 4.在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值,发展学生对变 量数学的认识,体会函数知识的核心作用. 三、教学问题诊断分析 1.零点概念的认识.零点的概念是在分析了众多图象的基础上,由图象与 轴的位置

关系得到的一个形象的概念, 学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有 零点,但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出,所以在概念的接受上有一点的障碍. 2.零点存在性的判断.正因为 f(a)·f(b)<0 且图象在区间[a,b]上连续不断,是 函数 f(x)在区间[a,b]上有零点的充分而非必要条件,容易引起思维的混乱就是很自然的 事了.

3.零点(或零点个数)的确定.学生会作二次函数的图象,但是要作出一般的函数图象 (或图象的交点) 就比较困难, 而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的 零点问题.这样就在零点(或零点个数)的确定上给学生带来一定的困难. 基于上述分析,确定本节课的教学难点是:准确认识零点的概念,在合情推理中让学生 体会到判定定理的充分非必要性,能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点. 四、教学支持条件分析 考虑到学生的知识水平和理解能力,教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型, 从激励学生探究入手,讲练结合,直观演示能使教学更富趣味性和生动性. 通过让学生观察、讨论、辨析、画图,亲身实践,在函数与方程的联系中体验数形结 合思想、 转化思想的意义和价值, 发展学生对变量数学的认识, 体会函数知识的核心作用. 五、教学过程设计 (一)引入课题 问题引入:求方程 3x2+6 x-1=0 的实数根。 变式:解方程 3x5+6x-1=0 的实数根. (一次、二次、三次、四次方程的解都可以通 过系数的四则运算,乘方与开方等运算来表示,但高于四次的方程不能用公式求解。大家课 后去阅读本节后的“阅读与思考”,还有如 lnx+2x-6=0 的实数根很难下手,我们寻求新的 角度——函数来解决这个方程的问题。) 设计意图: 从学生的认知冲突中, 引发学生的好奇心和求知欲, 推动问题进一步的探究。 通过简单的引导,让学生课后自己阅读相关内容,培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门 见山的提出函数思想解决方程根的问题,点明本节课的目标。 (二)新知探究 1、零点的概念 问题 1 求方程 x2-2x-3=0 的实数根,并画出函数 y=x2-2x-3 的图象; 方程 x2-2x-3=0 的实数根为-1、3。函数 y=x2-2x-3 的图象如右图所示。

问题 2 观察形式上函数 y=x2-2x-3 与相应方程 x2-2x-3=0 的联系。 函数 y=0 时的表达式就是方程 x2-2x-3=0。 问题 3 由于形式上的联系,则方程 x2-2x-3=0 的实数根在函数 y=x2-2x-3 的图象 中如何体现? y=0 即为 x 轴,所以方程 x2-2x-3=0 的实数根就是 y=x2-2x-3 的图象与 x 轴的交 点横坐标。

设计意图: 以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台, 观察方程和函数形式上的联系, 从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。 初步提出零点的概念:-1、3 既是方程 x2-2x-3=0 的根,又是函数 y=x2-2x-3 在 y =0 时 x 的值,也是函数图象与 x 轴交点的横坐标。-1、3 在方程中称为实数根,在函数中 称为零点。 问题 4 函数 y=x2-2x+1 和函数 y=x2-2x+3 零点分别是什么? 函数 y=x2-2x+1 的零点是-1。函数 y=x2-2x+3 不存在零点。 设计意图:应用定义,加深对概念的理解。 提出零点的定义:对于函数 的零点.(zero point) ,把使 成立的实数 叫做函数

2、函数零点的判定: 研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点, 也就是研究函数的图象与 x 轴的交点情 况。 问题 5 如果把函数比作一部电影, 那么函数的零点就像是电影的一个瞬间, 一个镜头。 有时我们会忽略一些镜头, 但是我们仍然能推测出被忽略的片断。 现在我有两组镜头 (右图) , 哪一组能说明他的行程一定曾渡过河?

第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河,而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。 设计意图:从现实生活中的问题,让学生体会动与静的关系,系统与局部的关系。 问题 6 将河流抽象成 x 轴,将前后的两个位置视为 A、B 两点。请问当 A、B 与 x 轴怎 样的位置关系时,AB 间的一段连续不断的函数图象与 x 轴一定会有交点?

A、B 两点在 x 轴的两侧。

设计意图:将现实生活中的问题抽象成数学模型,进行合情推理,将原来学生只认为 静态的函数图象,理解为一种动态的过程。 问题 7 A、B 与 x 轴的位置关系,如何用数学符号(式子)来表示? A、B 两点在 x 轴的两侧。可以用 f(a)·f(b)<0 来表示。 设计意图:由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息 的能力。体验语言转化的过程。 问题 8 满足条件的函数图象与 x 轴的交点一定在(a,b)内吗?即函数的零点一定在 (a,b)内吗?

一定在区间(a,b)上。若交点不在(a,b)上,则它不是函数图象。 设计意图:让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时,需要一定修正。加强学生对函 数动态的感受,对函数的定义有进一步的理解。 通过上述探究,让学生自己概括出零点存在性定理: 一般地,我们有: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有 f(a)·f(b) <0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0, 这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. (三)新知应用与深化 例题 1 观察下表,分析函数 -2 -109 -1 -10 0 -1 8 在定义域内是否存在零点? 1 2 107

分析:函数

图象是连续不断的,又因为

,所以在区

间 (0, 1) 上必存在零点。 我们也可以通过计算机作图 (如右图) 帮助了解零点大致的情况。

设计意图: 初步应用零点的存在性定理来判断函数零点的存在性问题。 并引导学生探索 判断函数零点的方法,通过作出 x, 的对应值表,来寻找函数值异号的区间,还可以

借助计算机来作函数的图象分析零点问题。而且对函数有一个零点形成直观认识. 例题 2 求函数 分析:用计算器或计算机作出 x, 的零点个数.

的对应值表和图象。

由表可知,f (2)<0,f (3)>0,则 有零点。结合函数 的单调性,进而说明

,这说明函数

在区间(2,3)内

零点是只有唯一一个.

设计意图:学生应用例题 1 方法来解决例题 2 的零点存在性问题,并结合函数的单调 性,从图象的直观上去判断零点的个数问题。 练习:判断下列函数是否存在零点,指出零点所在的大致区间? ① f(x)=2xln(x-2)-3; ②f(x)= 2x+2x-6. (四)总结归纳设计 通过引导让学生回顾零点概念、 意义与求法, 以及零点存在性判断, 鼓励学生积极回答, 然后老师再从数学思想方面进行总结. (五)目标检测设计 必作题: 1.教材 P92 习题 3.1(A 组)第 2 题; 2.求下列函数的零点: (1) (2) ;

(3)

(4)

3.求下列函数的零点,图象顶点的坐标,画出各自的简图,并指出函数值在哪些区间 上大于零,哪些区间上小于零:

(1) 4.已知 (1)

(2)



. 为何值时,函数的图象与 轴有两个零点; 的值.

(2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求

选做题:设函数



(1)利用计算机探求



时函数

的零点个数;

(2)当

时,函数

的零点是怎样分布的?


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