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2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.7 对数与对数函数


§2.7

对数与对数函数

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.对数的概念与运算

对数的 定义 如果ab=N(a>0且a≠1),那么数b叫做以a为底N logaN 其中a叫做对数的 的对数,记作b=_______. 底数 ,N叫做________ 真数 . ______

①对数的真数大于零,底数大于零且不等于1; 对数的 0 ,即log 1=0; ②1的对数为_____ a 基本性 1 ,即log a=1; ③底数的对数为_____ a 质 log N a ④对数恒等式:______=N(a>0且a≠1,N>0).
a

对数的运 算性质

如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 logaM+logaN ①loga(MN)=_________________. M ②loga =logaM-logaN. N nlogaM ③logaMn=________________.
logcb ①换底公式:logab=__________ , logca

(其中 a>0 且 a≠1,c>0 且 c≠1,b>0). 换底公式 1 -1 ②常用结论:loga =__________ , a logab· logba=1, logaa=1 , logablogbclogca=____________ m loganbm= logab. n

2.对数函数 (1)对数函数的定义 函数 y = logax(a>0且 a≠1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象与性质
y=logax 图象 (0,+∞) 定义域:____________ (1,0) 值域:R 过点_______,即x=1时,y=0 当x>1时,y<0;当0<x<1时, 当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0 y>0 增函数 (0,+∞)上的__________ (0,+∞)上的减函数 a>1 0<a<1

性质

思考探究

1.应用对数运算性质时应注意什么问题?
提示:应注意等式两边范围是否相同,即要保证每个对数在

原定义域中都有意义.
2.函数y=logax与y=ax的交点一定在y=x上吗? 提示:不一定.当0<a<1时,y=logax与y=ax的图象交点一定在 y=x上.而当a>1时,y=ax与y=logax的图象有可能不相交.

课前热身
1 1 - 1. (2011· 高考四川卷改编)计算?lg4- lg 25 ?÷ ? ? 100 2= (

)

A. 1 C. 10

B.2 D.-20

答案:D

2. (2012· 高考大纲全国卷)已知 x=ln π, y= log52, z= e 2, 则( ) B. z< x< y D. y< z< x



1

A. x< y< z C. z< y< x

解析:选 D.∵ x= ln π>ln e,∴ x>1. 1 ∵ y= log52<log5 5,∴ 0<y< . 2 1 1 1 1 1 - ∴ z= e 2= > = ,∴ <z<1. 2 e 4 2 综上可得,y<z<x.

3.函数y=loga(ax+1)为增函数,则实数a的取值范围是( A.0<a<1

)

B.a>1
C.a>2 D.0<a<1或a>1 答案:D

3 4. 若 loga <1(a>0, 且 a≠1), 则实数 a 的取值范围是________. 4
3 答案:0<a< 或 a>1 4 5.函数 y=log3(9-x2)的定义域为 A,值域为 B,则 A∩B= ________.

答案:(-3,2]

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 对数式的化简与求值

这类问题主要用到对数的恒等式和对数的运算法则. 务必注意化简前后的等价性. 同时还要注意对数式与指数式 之间的相通性.

例1

求下列各式的值:
3 2

1 (1)lg 5(lg 8+ lg 1 000)+(lg 2 ) + lg + lg 0.06; 6 ?1- log63? 2+? log62? · log618 (2) ; log64 (3)log2( 2+ 3- 2- 3).

【思路分析】 将对数式变形 → 运用运算法则化简 → 得结果

【解】

(1)原式= lg 5(3lg 2+3)+ 3(lg 2)2- lg 6+lg 6- 2

= 3lg 5· lg 2+ 3lg 5+ 3(lg 2)2-2 = 3lg 2(lg 5+ lg 2)+ 3lg 5-2 = 3(lg 2+ lg 5)- 2=1.

6 1-2log63+? log63? +? log6 ? · log6?6×3? 3 (2)原式= log64 1-2log63+? log63?2+? 1- log63??1+ log63? = log64 1-2log63+? log63?2+ 1-? log63? 2 = log64 2? 1- log63? log66- log63 log62 = = = = 1. 2log62 log62 log62 1 (3)原式= log2( 2+ 3- 2- 3)2 2 1 = log2(4-2 ?2+ 3?×?2- 3?) 2 1 1 1 = log2(4-2)= log22= . 2 2 2
2

【名师点评】 如lg 2+lg 5=1.

正用法则展开,逆用法则合并:

考点2

对数函数图象及应用

指数函数与对数函数互为反函数,紧紧抓住反函数这一要领,
才能揭示两种函数的概念、图象与性质的区别与联系.数形 结合是这类问题的主要解决方法.参考本节教材对数函数图 象与指数函数图象间的关系.

1b a 1 设 a , b , c 均为正数,且 2 = log a , ( ) = log1b, 例2 2
2 2

1 ( )c= log2c,则 ( 2 A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. b<a<c

)

1x 【思路分析】 作 y=2 ,y= ( ) 、y=log2x、y= log1x 的图象, 2 2
x

找其交点.

【解析】

1x 在同一坐标系中分别作出函数 y=2 , y= ( ) ,y= 2
x

log1x, y= log2x 的图象如图所示.
2

1x a,b,c 的值分别为函数 y=2 和 y= log x;y= ( ) 和 y=log1x; 2 2 2
x 1

1x y= ( ) 和 y= log2x 的图象交点的横坐标, 观察图象可知 a<b<c. 2

【答案】

A

1x 【思维升华】 图象特征是关键.y= ( ) 与 y=2x 关于 y 轴对 2 称,y=log2x 与 y= log1x 关于 x 轴对称,y=2x 与 y= log2x,
2

1x y=( ) 与 y=log1x 都关于 y=x 对称. 2 2

考点3

对数函数性质及应用

无论讨论函数的性质,还是利用函数的性质,首先要分清其 底数 a ∈ (0,1) 还是 a ∈ (1 ,+ ∞) ,其次再看定义域.如果将函 数变换,务必保证等价性.

例3 已知函数 f(x)= loga1- mx是奇函数(a>0, a≠1). x-1
(1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在区间 (1,+∞)上的单调性并加以证明.

【思路分析】

(1)由f(-x)=-f(x)待定m.

(2)用单调性定义证明,注意对a的讨论.

【解】 (1)∵ f(x)是奇函数, ∴ f(- x)=- f(x)在其定义域内恒成立, 1+ mx 1- mx 即 loga =- loga , - x- 1 x-1 ∴ 1- m2x2= 1- x2 恒成立, ∴ m=-1 或 m= 1(舍去 ),∴ m=- 1. x +1 (2)由 (1)得 f(x)= loga (a>0,a≠ 1), x -1 任取 x1, x2∈ (1,+∞ ). x +1 设 x1<x2,令 t(x)= , x -1

x1+1 x2+1 则 t(x1)= , t(x2)= , x1-1 x2-1 x1+1 x2+1 2? x2-x1? ∴ t(x1)- t(x2)= - = , x1-1 x2-1 ?x1- 1??x2-1? ∵ x1>1, x2>1,x1<x2,∴x1- 1>0, x2-1>0,x2- x1>0. x1+1 x2+1 x1+1 x2+1 ∴ t(x1)>t(x2), 即 > , ∴当 a>1 时, loga >loga , x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 即 f(x1)>f(x2),∴f(x)在(1,+∞)上是减函数; x1+1 x2+1 当 0<a<1 时, loga <loga , x1-1 x2-1 即 f(x1)<f(x2), ∴ f(x)在 (1,+∞ )上是增函数.

【误区警示】

第 (1) 问易忽视对条件 f( - x) =- f(x) 在定义域

内恒成立的转化;错用f(0)=0或者f(-1)+f(1)=0.
第(2)问易忽视对a的讨论.

跟踪训练 (2011· 高考天津卷 )已知 a=5 log23.4 , b= 5 log43.6 1 ? log30.3 ? c= 5 ,则( ) ? ? A. a>b>c B.b>a>c C. a>c>b D. c>a>b 10 10 解析:选 C.∵- log30.3= log3 >1,且 <3.4, 3 3 10 ∴ log3 <log33.4<log23.4. 3 10 10 ∵ log43.6<1, log3 >1,∴ log43.6<log3 . 3 3 10 log 3.4 log 3.6 log ∵ y= 5x 为增函数,∴ 5 >5 3 3 >5 , 1 ? log 0.3 log 3.6 log 3.4 ? 即5 > 5 >5 ,故 a>c>b. ? ?
2 4 2 3 4



方法感悟
方法技巧

1.对数的运算常有两种解题思路:
(1)将对数的和、差、积、商、幂转化为对数真数的 积、商、幂; (2)将式子化为最简单的对数的和、差、积、商、幂,合并同 类项后再进行运算,解题过程中,要抓住式子的特点,灵活

使用运算法则.

2.指数式与对数式的等价转换是解决有关指数、对数问题的 有效方法. 3.指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互 为反函数,要能从概念、图象与性质三个方面理解它们之间 的联系与区别.

失误防范 1.对数函数的图象与性质要根据底数的取值来定,当底数不 确定时要注意讨论.

2.对数函数的定义域是研究对数函数很容易忽略的地方.
3.对数函数化简时要用到对数运算,注意法则成立的条件,

切不可出现类似“logax2=2logax”的错误.

考向瞭望把脉高考
命题预测
近两年高考对对数和对数函数的考查基本稳定,主要考查对 数函数的性质,利用性质比较大小和解不等式,难度不大,

试题以选择题、填空题为主,试题巧而易,解答题常与导数
融汇,要求能力较高. 在2012年的高考中,上海卷考查了对数不等式的解法,反函

数的求法等基础知识,同时考查运算能力和化归与转化思想,
难度中等. 预测2014年高考,还是以对数和对数函数的基础知识为主, 不要求加深难度.特别关注解答题与导数的综合.

典例透析 例
函数 y= 1 log0.5? 4x-3? 3 B.( ,+∞ ) 4 的定义域为 ( )

3 A. ( , 1) 4

3 C. (1,+∞ ) D. ( , 1)∪ (1,+∞ ) 4 【解析】 要使函数有意义,则 log0.5(4x-3)>0,
3 ∴ 0<4x-3<1,∴ <x<1. 4

【答案】

A

【名师点评】

本题用具体的对数的复合函数考查求函数定

义域的方法、对数函数的性质及运算能力,属于容易题,其 编制目的在于提醒学生注重基本知识、基本方法,这是考生 最易出错的地方.

知能演练轻松闯关

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