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高二数学


分布列
A1.已知随机变量 ξ 的概率分布列如下:
ξ P 1 2 3 2 2 32 ) 2 B. 10 3 1 C. 9 3 1 D. 10 3 3 2 33 4 2 34 5 2 35 6 2 36 7 2 37 8 2 38 9 2 39 10 m

则 P(ξ=10)等于( 2 A. 9 3

2.某产品 40

件,其中有次品数 3 件,现从中任取 2 件,则其中至少有一件次品的概率 是( ) A.0.146 2 B.0.153 8 C.0.996 2 D.0.853 8

3.已知离散型随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ P 则其数学期望 E(ξ)等于( A.1 B.0.6 ) C.2+3m D.2.4 ) 1 0.5 3 m 5 0.2

1 4.已知随机变量 X 服从二项分布 X~B(6, ),则 P(X=2)等于( 3 13 A. 16 4 B. 243 13 C. 243 80 D. 243 )

5.投掷 3 枚硬币,至少有一枚出现正面的概率是( 3 A. 8 1 B. 2 5 C. 8 ) 1 013 C. 1 024 7 D. 8

1 6.若 ξ~B(10, ),则 P(ξ≥2)=( 2 11 A. 1 024 501 B. 512

507 D. 512

7.有 5 粒种子,每粒种子发芽的概率均为 98%,在这 5 粒种子中恰有 4 粒发芽的概率 是( ) A.0.984×0.02
4 C.C4 5×0.98 ×0.02

B.0.98×0.24
4 D.C4 5×0.98×0.02

8.将一枚硬币连掷 5 次,如果出现 k 次正面的概率等于出现 k+1 次正面的概率,那么 k 的值等于( A.0 C.2 ) B.1 D.3

9.某校组织一次冬令营活动,有 8 名同学参加,其中有 5 名男同学,3 名女同学,为了 活动的需要, 要从这 8 名同学中随机抽取 3 名同学去执行一项特殊任务, 记其中 X 名男同学.

(1)求 X 的分布列; (2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.

10.一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他在各个交通岗遇到 1 红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 . 3 (1)设 ξ 为这名学生在途中遇到的红灯次数,求 ξ 的分布列; (2)设 η 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求 η 的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

B1、已知正数 a, b, c 满足: 5c ? 3a ? b ? 4c ? a, c ln b ? a ? c ln c ,则

b 的取值范围是 a

2、设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f ?( x ) 是 f(x)的导函数,当 0<f(x)<1; 当 x∈ (0, π ) 且 x≠ x ??0, ? ? 时, 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为

? ? ( x ? ) f ?( x) ? 0 , 时 , 则函数 y=f(x)-sinx 2 2
D. 8

A .2 B .4 C.5

3 如图 4,在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P, AP ? 3 且 AP AC = .

.

4、设点 P 在曲线 y ?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为( 2



( A) 1 ? ln 2

(B)

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D ) 2(1 ? ln 2)

5.已知数列 { an } 满足首项为 a1 ? 2 , an?1 ? 2an , ( n ? N* ) .设 bn ? 3log2 an ? 2

( n ? N* ) ,数列 { cn } 满足 cn ? anbn .
(Ⅰ)求证:数列 { bn } 成等差数列; (Ⅱ)求数列 { cn } 的前 n 项和 Sn

6. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ( 1 , 0,离心率 , A, B 是椭圆 ) e? 2 a b 2

上的动点. (Ⅰ)求椭圆标准方程; (Ⅱ)若直线 OA 与 OB 的斜率乘积 kOA ? kOB ? ?

1 ,动点 P 满足 OP ? OA ? ? OB , 2

(其中实数 ? 为常数) 。问是否存在两个定点 F1 , F2 ,使得 PF 1 ? PF 2 为定值?若 存在,求 F1 , F2 的坐标,若不存在,说明理由.

7. (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x)? ( 2 ? a )( x? 1) ?

x 2, x ln .( a 为常数, e 为自 g ( x)? e ? x?1

然对数的底, e ? 2.71828 ) (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上无零点,求 a 的最小值; (Ⅲ)若对任意给定的 x0 ? ? 0 , 1 ) ? ,在 ? 0, e? 上总存在两个不同的 xi (i ? 1, 2,使得

? ?

1? 2?

f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

答案 1.已知随机变量 ξ 的概率分布列如下:

ξ P

1 2 3

2 2 32 )

3 2 33

4 2 34

5 2 35

6 2 36

7 2 37

8 2 38

9 2 39

10 m

则 P(ξ=10)等于( 2 A. 9 3

2 1 B. 10C. 9 3 3

1 D. 10 3

2 2 2 1 解析 P(ξ=10)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)-P(ξ=3)-?-P(ξ=9)=1- - 2-?- 9= 9. 3 3 3 3 2.某产品 40 件,其中有次品数 3 件,现从中任取 2 件,则其中至少有一件次品的概率 是( ) A.0.146 2 B.0.153 8C.0.996 2 D.0.853 8

37×36 C2 37 解析 所求的概率为 1- 2 =1- =0.146 2. C40 40×39 3.已知离散型随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ P 则其数学期望 E(ξ)等于( A.1 B.0.6C.2+3m 解析 ∵0.5+m+0.2=1,∴m=0.3. ∴E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4. 1 4.已知随机变量 X 服从二项分布 X~B(6, ),则 P(X=2)等于( 3 13 4 13 A. B. C. 16 243 243 2 1 2 80 解析 P(X=2)=C2 ( )4· ( )= . 6· 3 3 243 5.投掷 3 枚硬币,至少有一枚出现正面的概率是( 3 A. 8 1 5 B. C. 2 8 7 D. 8 ) 80 D. 243 ) ) D.2.4 1 0.5 3 m 5 0.2

1 7 解析 P(至少有一枚正面)=1-P(三枚均为反面)=1-( )3= . 2 8

1 1.若 ξ~B(10, ),则 P(ξ≥2)=( 2 11 A. 1 024 501 B. 512

) 1 013 C. 1 024 507 D. 512

1 1 10 1 013 1 1 10 C 解析 由 ξ~B(10, )可知, P(ξ≥2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)=1-C0 . 10( ) -C10( ) = 2 2 2 1 024 2.有 5 粒种子,每粒种子发芽的概率均为 98%,在这 5 粒种子中恰有 4 粒发芽的概率

是(

) A.0.984×0.02
4 C.C4 5×0.98 ×0.02

B.0.98×0.24
4 D.C4 5×0.98×0.02

解析 由于 5 粒种子,其发芽是相互独立的,每粒种子相当于一次试验,共做了 5 次试
4 验,故所求概率为 P=C4 5(0.98) ×0.02.

3.将一枚硬币连掷 5 次,如果出现 k 次正面的概率等于出现 k+1 次正面的概率,那么 k 的值等于( A.0 C.2 ) B.1 D.3

1 15 k+1 1 5 解析 事件 A=“正面向上”发生的次数 ξ~B(5, ),由题设 Ck ( ) ,∴k+k 5( ) =C5 · 2 2 2 +1=5,∴k=2. 4.某校组织一次冬令营活动,有 8 名同学参加,其中有 5 名男同学,3 名女同学,为了 活动的需要, 要从这 8 名同学中随机抽取 3 名同学去执行一项特殊任务, 记其中 X 名男同学. (1)求 X 的分布列; (2)求去执行任务的同学中有男有女的概率. 思路分析 由题目可知,总的选派人数为 3 人,但需分男同学与女同学,并且 X 需按男 同学的多少进行计算,故本题为超几何分布. 解析 C3 1 3 (1)X 的可能取值为 0,1,2,3,且 X 服从超几何分布,因此:P(X=0)= 3= ,P(X C8 56

2 C1 15 5C3 =1)= 3 = , C8 56 1 C2 C3 5 5C3 15 5 P(X=2)= 3 = ,P(X=3)= 3= . C8 28 C8 28

∴X 的分布列为 X P 0 1 56 1 15 56 2 15 28 3 5 28

15 (2)由上面的分布列,可知去执行任务的同学有男有女的概率为 P(X=1)+P(X=2)= + 56 15 45 = . 28 56 5.一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他在各个交通岗遇 1 到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 . 3 (1)设 ξ 为这名学生在途中遇到的红灯次数,求 ξ 的分布列; (2)设 η 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求 η 的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

解析

1 (1)将遇到每个交通岗看做一次试验,遇到红灯的概率都是 ,且每次试验结果相 3

1 1 2 6-k 互独立,故 ξ~B(6, ).所以 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=Ck6· ( )k· ( ) (k=0,1,2,?,6). 3 3 3 (2)η=k(k=0,1,2,?,5)表示前 k 个路口没有遇上红灯,但在第 k+1 个路口遇上红灯, 2 1 2 其概率为 P(η=k)=( )k·,η=6 表示一路没有遇上红灯,故其概率为 P(η=6)=( )6.所以 η 的 3 3 3 分布列为 η P 0 1 3 1 12 · 33 2 1 22 · ( ) 3 3 3 1 23 · ( ) 3 3 4 1 24 · ( ) 3 3 5 1 25 · ( ) 3 3 6 2 ( )6 3

2 665 (3)所求概率即 P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-( )6= . 3 729 1、已知正数 a, b, c 满足: 5c ? 3a ? b ? 4c ? a, c ln b ? a ? c ln c ,则

b 的取值范围是 a

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b c ln b ≥a ?c lnc 可化为: ? ? ? 4 。 【解析】条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ?c c a ?b ? ? ec ?c



a b =x,y = ,则题目转化为: c c

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 已知 x ,求 的取值范围。 ,y 满足 ? x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x 。求出 y =e x 的切 ,y )所在平面区域(如图) 线的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0? , 则

y0 ex0 ? m m = =e ? ,要使它最小,须 m =0 。 x0 x0 x0



y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e 。此时,点 P ? x0,y0 ? 在 y =e x 上 A, B 之间。 x

? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y 当( x ?? ? y =7 x ? =7 , ,y )对应点 C 时, ? x ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x
∴ ∴

y 的最大值在 C 处,为 7。 x b y 的取值范围为 ? e, 7? ,即 的取值范围是 ? e, 7? 。 a x

2、设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f ?( x ) 是 f(x)的导函数,当 0<f(x)<1; 当 x∈ (0, π ) 且 x≠ x ??0, ? ? 时, 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8

? ? ( x ? ) f ?( x) ? 0 , 时 , 则函数 y=f(x)-sinx 2 2
(湖南文 9)

【答案】B【解析】由当 x∈(0,π ) 且 x≠

? ? 时 , ( x ? ) f ?( x) ? 0 ,知 2 2

? ?? ?? ? x ? ?0, ?时,f ?( x) ? 0, f ( x)为减函数; x ? ? ,? ? 时,f ?( x) ? 0, f ( x)为增函数 ? 2? ?2 ?
又 x ??0, ? ? 时,0<f(x)<1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,在同一坐标系 中作出 y ? sin x 和 y ? f ( x) 草图像如下,由图知 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 4 个.
y

1

y ? f ( x)
?2?

o
?1

2?

x

y ? sin x
3 如图 4, 在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P, AP ? 3 且 AP AC = 【答案】18 【解析】设 AC (湖南 15) .

BD ? O ,则 AC ? 2( AB ? BO) , AP AC = AP 2( AB ? BO) ?
2

2 AP AB ? 2 AP BO ? 2 AP AB ? 2 AP( AP ? PB) ? 2 AP ? 18 .
.

.5、设点 P 在曲线 y ?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为( 2



( A) 1 ? ln 2
函数 y ?

(B)

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D ) 2(1 ? ln 2)

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 函数 y ? e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? 2 2 2
设函数 g ( x) ?

1 x 1 1 ? ln 2 e ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? 2 2 2

由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2dmin ? 2(1 ? ln 2) 17.解: (Ⅰ)由已知可得, an ? a1qn?1 ? 2n , ……………2 分

bn ? 3log2 2n ? 2

……………3 分 ……………4 分 ……………5 分 ……………6 分 ① ② ……………7 分 …………8 分

?bn ? 3n ? 2 ? bn?1 ? bn ? 3,

?{bn } 为等差数列,其中 b1 ? 1, d ? 3 .
(Ⅱ) cn ? anbn ? (3n ? 2) ? 2n

Sn ? 1? 2 ? 4 ? 22 ? 7 ? 23 ? ...... ? (3n ? 2) ? 2n

2Sn ? 1? 22 ? 4 ? 23 ? 7 ? 24 ? ...... ? (3n ? 5) ? 2n ? (3n ? 2) ? 2n?1
①-② 得

?Sn ? 2 ? 3[22 ? 23 ? 24 ? ...... ? 2n ] ? (3n ? 2) ? 2n?1
? 2 ? 3? 4(1 ? 2n?1 ) ? (3n ? 2) ? 2n?1 1? 2
……………10 分

…………9 分

? ?10 ? (5 ? 3n) ? 2n?1
∴ Sn ? 10 ? (5 ? 3n) ? 2n?1

……………11 分 ……………12 分

?c ? 1 ? 20. 解: (I)有题设可知: ? c 2 ∴a ? 2 ? ? 2 ?a

……………2 分

又 b2 ? a 2 ? c 2 ,∴ b 2 ? 1,∴椭圆标准方程为 (II)设 P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),

x2 ? y2 ? 1 2
则由 OP ? OA ? ? OB 得

(x,y)=(x1,y1)+ ? (x2,y2)=(x1+ ? x2,y1+ ? y2), ……………5 分 即 x=x1+ ? x2,y=y1+ ? y2. (6 分) 因为点 A、B 在椭圆 x2+2y2=2 上,
2 2 2 所以 x1 +2y2 (7 分) 1=2,x2+2y2=2,
2 2 2 2 2 故 x2+2y2=(x2 1+ ? x2+2 ? x1x2)+2(y1+ ? y2+2 ? y1y2)

2 2 2 =(x2 (x2 1+2y1)+ ? 2+2y2)+2 ? (x1x2+2y1y2)

=2+2 ? +2 ? (x1x2+2y1y2). (8 分)
2

设 kOA,kOB 分别为直线 OA,OB 的斜率, y1y2 1 由题设条件知 kOA· kOB= =- , x1x2 2 因此 x1x2+2y1y2=0, (9 分)所以 x2+2y2=2+2 ? . 即
2

x2 y2 ? ? 1 (10 分) 2 ? 2? 2 1 ? ? 2

所以 P 点是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点, 2 ? 2? 2 1 ? ? 2

设该椭圆的左、右焦点为 F1,F2, 则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值.(11 分)又因 c= 1 ? ?
2 2

2

因此两焦点的坐标为 F1(- 1 ? ? ,0),F2( 1 ? ? ,0). 所以存在两个定点 F1(- 1 ? ? ,0),F2( 1 ? ? ,0).使得|PF1|+|PF2| ? 2 2 ? 2?
2 2 2

(12 分)
' 21. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ? 2ln x( x ? 0) 则 f ( x) ? 1 ?

2 . x

' ' 令 f ( x) ? 0 得 x ? 2 ;令 f ( x) ? 0 得 0 ? x ? 2

故 f ( x) 的单调递减区间为 ? 0, 2? ,单调递增区间为 ? 2, ?? ?

……………2 分

(Ⅱ)∵函数 f ( x) ? 0 在区间 ? 0, ? 上不可能恒成立,故要使函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上无 零点, 只要对 ?x ? (0, ) , f ( x) ? 0 恒成立。 即对 ?x ? (0, ) ,a ? 2 ? 分

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

1 2

1 2

2 ln x 恒成立。 ……3 x ?1

2 2 ? ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ln x ? ? 2 2 ln x 1 ' x ? 令 l ( x) ? 2 ? ( x ? (0, ) )则 l ( x) ? x 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2 x ?1 2
再令 m( x) ? 2 ln x ?

…4 分

2 2 2 ?2(1 ? x) 1 ? 2 ,则 m ' ( x) ? ? 2 ? ,∵ x ? (0, ) ,∴ m' ( x) ? 0 2 x 2 x x x

故函数 m( x) 在区间 ? 0, ? 上单调递减,∴ m( x) ? m( ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0

? ?

1? 2?

1 2

即 l ' ( x) ? 0 ,∴函数 l ( x) 在区间 ? 0, ? 上单调递增,∴ l ( x) ? l ( ) ? 2 ? 4 ln 2 故只要 a ? 2 ? 4 ln 2 函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上无零点,所以 amin ? 2 ? 4ln 2

? ?

1? 2?

1 2

…5 分

? ?

1? 2?

…6 分

(Ⅲ)∵ g ' ( x) ? e x ?1 ,当 x ? ? 0,1? , g ' ( x) ? 0 ,∴函数 g ( x) 在区间 ? 0,1? 上是增函数。 ∴ g ( x) ? ? 2, e? …7 分当 a ? 2 时, f ( x) ? ?2ln x ,不符题意

' 当 a ? 2 时, f ( x ) ?? 2 ? a ?

2 (2 ? a ) x ? 2 ? x x

2 2 ' ?e 时, f ( x) ? 0 ,由题意有 f ( x) 在 ? 0, e? 上不单调,故 0 ? 2?a 2?a 2 ∴a ? 2? ① …8 分 e
当x? 当 x 变化时, f ( x), f ( x) 变化情况如下:
'

x

2 ? ? ? 0, ? ? 2?a ?

2 2?a

? 2 ? , e? ? ? 2?a ?

f ' ( x)

?
单调递减

0

+

f ( x)

最小值

单调递增

又因为 x ? 0 时, f ( x) ? ??

f(

2 2 ) ? a ? 2 ln , f (e) ? (2 ? a)(e ? 1) ? 2 2?a 2?a

…9 分

所 以 , 对 于 给 定 的 x0 ? ? 0,1? , 在 在 ? 0, e? 上 总 存 在 两 个 不 同 的 xi (i ? 1, 2) , 使 得

f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,当且仅当满足下列条件

2 ? )?2 2 ?f( ? 2 ② (2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? e ③ 即 a ? 2 ln ? 2?a 2?a ? ? f (e) ? e
令 h(a ) ? a ? 2 ln

…10 分

2 2 , a ? (??, 2 ? ) 2?a e

h' (a) ?

a ,令 h' (a) ? 0 ,则 a ? 0 a?2

故 a ? (??, 0) 时, h' (a) ? 0 ,函数 h(a) 单调递增

2 a ? (0, 2 ? ) 时, h' (a) ? 0 ,函数 h(a) 单调递减 e 2 所以对任意的 a ? (??, 2 ? ) , h(a) ? h(0) ? 0 ? 2 e
由③得 a ?

…11 分

4?e 4?e? ? ④, 由①④当 a ? ? ??, 在 ? 0, e? 上总存在两个不同的 xi (i ? 1, 2) , ? 时, 1? e 1? e ? ?
……………12 分

使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立


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