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2015步步高理科数学1.3


§ 1.3

简单的逻辑联结词、全称量词与存在 量词

1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.

2.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用“?”表示; 含有全称量词的命题叫做全称命题. (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用“?” 表示;含有存在量词的命题叫做特称命题. 3.含有一个量词的命题的否定

1.判断下面结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)命题 p∧q 为假命题,则命题 p、q 都是假命题. (2)已知命题 p:?n0∈N, ( × ( × ( √ ( × ( √ ) ) ) ) ) )

2 n 0 >1 000,则綈 p:?n∈N, 2 n 0 ≤1 000.

(3)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题. (4)命题“?x∈R,x2≥0”的否定是“?x∈R,x2<0”. (5)若命题 p、q 至少有一个是真命题,则 p∨q 是真命题.

2.命题 p:?x∈R,sin x<1;命题 q:?x∈R,cos x≤-1,则下列结论是真命题的是(

A.p∧q C.p∨綈 q 答案 B

B.綈 p∧q D.綈 p∧綈 q

解析 p 是假命题,q 是真命题, ∴綈 p∧q 是真命题. 3.(2013· 重庆)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为 A.对任意 x∈R,都有 x <0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0 答案 D 解析
2 2

(

)

因为“?x∈M,p(x)”的否定是“?x∈M,綈 p(x)”,故“对任意 x∈R,都有

x ≥0”的否定是“存在 x0∈R,使得 x2 0<0”. 4.(2013· 湖北)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范 围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表 示为 A.(綈 p)∨(綈 q) C.(綈 p)∧(綈 q) 答案 A 解析 “至少有一位学员没有落在指定范围”=“甲没有落在指定范围”或“乙没有落 B. p∨(綈 q) D.p∨q ( )

在指定范围”=(綈 p)∨(綈 q). 5.若命题“?x∈R,x2-mx-m<0”是假命题,则实数 m 的取值范围是________. 答案 [-4,0] 解析 “?x∈R,x2-mx-m<0”是假命题,则“?x∈R,x2-mx-m≥0”是真命题.即 Δ=m2+4m≤0, ∴-4≤m≤0.

题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断 π? π 命题 p:将函数 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位得到函数 y=sin? ?2x-3?的图象;命 3 π π x+ ?cos? -x?的最小正周期为 π,则命题“p∨q”“p∧q”“綈 p”为真 题 q:函数 y=sin? 6 ? ? ?3 ? 例1 命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.0 ( )

思维启迪 先判断命题 p、q 的真假,然后利用真值表判断 p∨q、p∧q、綈 p 的真假. 答案 B π 解析 函数 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位后, 3 π 2π? ? ?? ? 所得函数为 y=sin? ?2?x-3??=sin?2x- 3 ?, ∴命题 p 是假命题. π π x+ ?cos? -x? 又 y=sin? ? 6? ?3 ? π? ?π ? π?? =sin? ?x+6?cos?2-?x+6?? π? 1 1 ? π? =sin2? ?x+6?=2-2cos?2x+3?, 2π ∴其最小正周期为 T= =π, 2 ∴命题 q 真. 由此,可判断命题“p∨q”真,“p∧q”假,“綈 p”为真. 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈 p”形式命题真假的判断步骤: (1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题 p、q 的真假; (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈 p”形式命题的真假. (1)若命题 p:函数 y=x2-2x 的单调递增区间是[1,+∞),命题 q:函数 y=x 1 - 的单调递增区间是[1,+∞),则 x A.p∧q 是真命题 C.綈 p 是真命题 B.p∨q 是假命题 D.綈 q 是真命题 ( )

(2)“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的________条件. 答案 (1)D (2)必要不充分 解析 (1)因为函数 y=x2-2x 的单调递增区间是[1,+∞), 所以 p 是真命题; 1 因为函数 y=x- 的单调递增区间(-∞,0)和(0,+∞), x 所以 q 是假命题. 所以 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,綈 p 为假命题,綈 q 为真命题,故选 D. (2)若命题“p 或 q”为真命题,则 p、q 中至少有一个为真命题. 若命题“p 且 q”为真命题,则 p、q 都为真命题, 因此“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的必要不充分条件. 题型二 全(特)称命题的否定 写出下列命题的否定,并判断其真假: 1 (1)p:?x∈R,x2-x+ ≥0; 4 例2

(2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0∈R,x2 0+2x0+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x0,使 x3 0+1=0. 思维启迪 否定量词,否定结论,写出命题的否定;判断命题的真假. 1 解 (1)綈 p:?x0∈R,x2 0-x0+ <0,假命题. 4 (2)綈 q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)綈 r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题. (4)綈 s:?x∈R,x3+1≠0,假命题. 思维升华 (1)对全(特)称命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定. ②对原命题的结论进行否定. (2)判定全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合 M 中的每个元素 x,证明 p(x)成立; 要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个 x=x0,使 p(x0)成立. (1)已知命题 p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))· (x2-x1)≥0,则綈 p 是( A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 (2)命题“存在实数 x,使 x>1”的否定 是 .. A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x ,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 答案 (1)C (2)C 解析 (1)綈 p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0. (2)利用特称命题的否定是全称命题求解. “存在实数 x,使 x>1”的否定是“对任意实数 x,都有 x≤1”.故选 C. 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用 例3 (1)(2013· 山西名校联考)已知 p:?x∈R,mx2+1≤0,q:?x∈R,x2+mx+1>0,若 ( B.m≤-2 D.-2≤m≤2 ) ( ) )

p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围为 A.m≥2 C.m≤-2 或 m≥2

(2)已知命题 p:“?x∈[0,1],a≥ex”;命题 q:“?x∈R,使得 x2+4x+a=0”.若命题 “p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是__________.

思维启迪 利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题,可先求出各命题为真时参数的范 围,再利用逻辑联结词的含义求参数范围. 答案 (1)A (2)[e,4] 解析 (1)依题意知,p,q 均为假命题.当 p 是假命题时,mx2+1>0 恒成立,则有 m≥0;当 q 是 假 命 题 时 , 则 有 Δ = m2 - 4≥0 , m≤ - 2 或 m≥2. 因 此 由 p , q 均 为 假 命 题 得 ? ?m≥0 ? ,即 m≥2. ?m≤-2或m≥2 ? (2)若命题“p∧q”是真命题,那么命题 p,q 都是真命题.由?x∈[0,1],a≥ex, 得 a≥e;由 ?x∈R,使 x2+4x+a=0,知 Δ=16-4a≥0,a≤4,因此 e≤a≤4. 思维升华 以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然后 依据“p∧q”“p∨q”“綈 p”形式命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可. (1)已知命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“?x∈R,使 x2+2ax+2 -a=0”,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是 A.{a|a≤-2 或 a=1} B.{a|a≥1} C.{a|a≤-2 或 1≤a≤2} D.{a|-2≤a≤1} (2)命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为________. 答案 (1)A (2)[-2 2,2 2] 解析 (1)由题意知,p:a≤1,q:a≤-2 或 a≥1, ∵“p 且 q”为真命题,∴p、q 均为真命题,∴a≤-2 或 a=1. (2)因题中的命题为假命题,则它的否定“?x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题,也就是常见的 “恒成立”问题,因此只需 Δ=9a2-4×2×9≤0,即-2 2≤a≤2 2. ( )

借助逻辑联结词求解参数范围

典例:(12 分)已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在 R 上单调递减;q:函数 f(x)=x2-2cx 1 ? +1 在? ?2,+∞?上为增函数,若“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求实数 c 的取值范围. 思维启迪 (1)p、q 都为真时,分别求出相应的 a 的取值范围;(2)用补集的思想,求出綈 p、 綈 q 分别对应的 a 的取值范围;(3)根据“p 且 q”为假、“p 或 q”为真,确定 p、q 的真假. 规范解答 解 ∵函数 y=cx 在 R 上单调递减,∴0<c<1.[2 分] 即 p:0<c<1,∵c>0 且 c≠1,∴綈 p:c>1.[3 分] 1 1 ? 又∵f(x)=x2-2cx+1 在? ?2,+∞?上为增函数,∴c≤2. 1 1 即 q:0<c≤ ,∵c>0 且 c≠1,∴綈 q:c> 且 c≠1.[5 分] 2 2

又∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, ∴p 真 q 假或 p 假 q 真.[6 分] ①当 p 真,q 假时, 1 ? ? ? 1 ? {c|0<c<1}∩?c|c>2且c≠1?=?c|2<c<1?.[8 分] ? ? ? ? 1? ? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩?c|0<c≤2?=?.[10 分] ? ? ? 1 ? 综上所述,实数 c 的取值范围是?c|2<c<1?.[12 分] ? ?

第一步:求命题 p、q 对应的参数的范围. 第二步:求命题綈 p、綈 q 对应的参数的范围. 第三步:根据已知条件构造新命题,如本题构造新命题 “p 且 q”或“p 或 q”. 第四步:根据新命题的真假,确定参数的范围. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.

温馨提醒 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来,然 后转化为集合交、并、补的基本运算. 答题时,可依答题模板的格式进行,这样可使答题思路清晰,过程完整.老师在阅卷时,便 于 点 查 找 得 分 .

方法与技巧

1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且”,要结合语句的含 义理解. 2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,对照否定结构去写,并注意 与否命题区别;否定的规律是“改量词,否结论”. 失误与防范 1.p∨q 为真命题,只需 p、q 有一个为真即可;p∧q 为真命题,必须 p、q 同时为真.

2.p 或 q 的否定:非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q. 3.命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p, 则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题, 它既否定其 条 件 , 又 否 定 其 结 论 ; “ 命 题 的 否 定 ” 即 “ 非 p” , 只 是 否 定 命 题 p 的 结 论 .

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题 π π 1. 设命题 p: 函数 y=sin 2x 的最小正周期为 ; 命题 q: 函数 y=cos x 的图象关于直线 x= 对 2 2 称.则下列判断正确的是 A.p 为真 C.p∧q 为假 答案 C 解析 p 是假命题,q 是假命题,因此只有 C 正确. 2. (2013· 四川)设 x∈Z, 集合 A 是奇数集, 集合 B 是偶数集. 若命题 p: ?x∈A,2x∈B, 则( A.綈 p:?x∈A,2x∈B C.綈 p:?x?A,2x∈B 答案 D 解析 命题 p:?x∈A,2x∈B 是一个全称命题,其命题的否定綈 p 应为?x∈A,2x?B,选 D. 3.已知命题 p:所有有理数都是实数;命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命 题的是 A.綈 p∨q B.p∧q C.綈 p∧綈 q D.綈 p∨綈 q 答案 D 解析 不难判断命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,从而上述叙述中只有綈 p∨綈 q 为真 命题. 4.已知命题 p:若 a>1,则 ax>logax 恒成立;命题 q:在等差数列{an}中(其中公差 d≠0),m +n=p+q 是 an+am=ap+aq 的充分不必要条件(m,n,p,q∈N*). 则下面选项中真命题是 A.綈 p∧綈 q B.綈 p∨綈 q ( ) ( ) B.綈 p:?x?A,2x?B D.綈 p:?x∈A,2x?B ) B.綈 q 为假 D.p∨q 为真 ( )

C.綈 p∨q 答案 B 解析

D.p∧q

对于命题 p,如图所示,作出函数 y=ax(a>1)与 y=logax(a>1)在(0,+∞)上的图象,显然 当 a>1 时,函数 y=ax 的图象在函数 y=logax 图象的上方,即当 a>1 时,ax>logax 恒成立, 故命题 p 为真命题. 对于命题 q,由等差数列的性质,可知当公差不为 0 时,m+n=p+q 是 an+am=ap+aq 的充要条件,故命题 q 为假命题. ∴命题綈 p 为假,綈 q 为真,故綈 p∨綈 q 为真. 5.下列命题中,真命题是 π? A.?x0∈? ?0,2?,sin x0+cos x0≥2 B.?x∈(3,+∞),x2>2x+1 C.?x0∈R,x2 0+x0=-1 π ? D.?x∈? ?2,π?,tan x>sin x 答案 B 解析 对于选项 A, π π 0, ?,sin x+cos x= 2sin?x+ ?≤ 2, ?x∈? ? 2? ? 4? ∴此命题为假命题; 对于选项 B,当 x∈(3,+∞)时,x2-2x-1=(x-1)2-2>0, ∴此命题为真命题; 1?2 3 对于选项 C,?x∈R,x2+x+1=? ?x+2? +4>0, ∴此命题为假命题; π ? 对于选项 D,当 x∈? ?2,π?时,tan x<0<sin x, ∴此命题为假命题.故选 B. 6.下列结论正确的个数是
2 ①命题 p:“?x0∈R,x2 0-2≥0”的否定为綈 p:“?x∈R,x -2<0”;

(

)

(

)

②若綈 p 是 q 的必要条件,则 p 是綈 q 的充分条件; 2?M ?2?N ③“M>N”是“? ?3? >?3? ”的充分不必要条件.

A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 对于①,易知①是正确的;对于②,由“綈 p 是 q 的必要条件”知,q 可推知綈 p, 则 p 可推知綈 q(注:互为逆否的两个命题的真假性一致),因此 p 是綈 q 的充分条件,② 2?M ?2?N 正确;对于③,由 M>N 不能得到? ?3? >?3? ,因此③是错误的.故选 C. 二、填空题 b 7.若命题 p:关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>- },命题 q:关于 x 的不等式(x-a)(x a -b)<0 的解集是{x|a<x<b},则在命题“p∧q”、“p∨q”、“綈 p”、“綈 q”中,是真 命题的有________. 答案 綈 p、綈 q 解析 依题意可知命题 p 和 q 都是假命题,所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“綈 p” 为真、“綈 q”为真. 8.下列结论: ①若命题 p:?x∈R,tan x=1;命题 q:?x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧綈 q”是假命 题; a ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; b ③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”.其中 正确结论的序号为________. 答案 ①③ 解析 ①中命题 p 为真命题,命题 q 为真命题, 所以 p∧綈 q 为假命题,故①正确; ②当 b=a=0 时,有 l1⊥l2,故②不正确; ③正确.所以正确结论的序号为①③. 9.写出下列命题的否定,并判断真假: (1)q:?x∈R,x 不是 5x-12=0 的根; (2)r:有些质数是奇数; (3)s:?x0∈R,|x0|>0. 解 (1)綈 q:?x0∈R,x0 是 5x-12=0 的根,真命题.

(2)綈 r:每一个质数都不是奇数,假命题. (3)綈 s:?x∈R,|x|≤0,假命题. 1 ? 1 1 10.已知 c>0,设命题 p:函数 y=cx 为减函数.命题 q:当 x∈? ?2,2?时,函数 f(x)=x+x>c 恒成立.如果“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 c 的取值范围. 解 由命题 p 为真知,0<c<1,

1 5 由命题 q 为真知,2≤x+ ≤ , x 2 1 1 要使此式恒成立,需 <2,即 c> , c 2 若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题, 则 p、q 中必有一真一假, 1 当 p 真 q 假时,c 的取值范围是 0<c≤ ; 2 当 p 假 q 真时,c 的取值范围是 c≥1. 1 ? ? 综上可知,c 的取值范围是?c|0<c≤2或c≥1?. ? ? B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 1.下列命题中的假命题是 A.?x∈R,2x 1>0


(

)

B.?x∈N*,(x-1)2>0 C.?x∈R,lg x<1 D.?x∈R,tan x=2 答案 B 解析 A 正确;对于 B,当 x=1 时,(x-1)2=0,错误; 对于 C,当 x∈(0,1)时,lg x<0<1,正确; 对于 D,?x∈R,tan x=2,正确. ex 1 2.设有两个命题,p:不等式 + x>a 的解集为 R;q:函数 f(x)=-(7-3a)x 在 R 上是减函 4 e 数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,那么实数 a 的取值范围是 7 A.1≤a<2 B.2<a≤ 3 7 C.2≤a< D.1<a≤2 3 答案 A ex 1 解析 记 A={a|不等式 + x>a 的解集为 R}; 4 e B={a|f(x)=-(7-3a)x 在 R 上是减函数}. ex 1 由于函数 y= + x的最小值为 1,故 A={a|a<1}. 4 e 又因为函数 f(x)=-(7-3a)x 在 R 上是减函数, 故 7-3a>1,即 a<2,所以 B={a|a<2}. 要使这两个命题中有且只有一个真命题,a 的取值范围为[(?RA)∩B]∪[(?RB)∩A], 而(?RA)∩B=[1,+∞)∩(-∞,2)=[1,2), (?RB)∩A=[2,+∞)∩(-∞,1)=?, 因此[(?RA)∩B]∪[(?RB)∩A]=[1,2),故选 A. ( )

二、填空题 3.已知命题 p:“?x∈R,?m∈R,4x-2x 1+m=0”,若命题綈 p 是假命题,则实数 m 的


取值范围是__________. 答案 (-∞,1]

解析 若綈 p 是假命题,则 p 是真命题, 即关于 x 的方程 4x-2· 2x+m=0 有实数解, 由于 m=-(4x-2· 2x)=-(2x-1)2+1≤1,∴m≤1. 4. 设 p: 关于 x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x<0}; q: 函数 y= ax2-x+a的定义域为 R.若 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,则实数 a 的取值范围是________________. 1? 答案 ? ?0,2?∪[1,+∞) 解析 根据指数函数的单调性,可知命题 p 为真命题时,实数 a 的取值集合为 P =

{a|0<a<1}, 对于命题 q:函数的定义域为 R 的充要条件是 ax2-x+a≥0 恒成立. 当 a=0 时,不等式为-x≥0,解得 x≤0,显然不成立; 当 a≠0 时,不等式恒成立的条件是 ?a>0, ? 1 ? ,解得 a≥ . 2 2 ?Δ=?-1? -4a×a≤0 ? 1 所以命题 q 为真命题时,a 的取值集合为 Q={a|a≥ }. 2 由“p∨q 是真命题,p∧q 是假命题”,可知命题 p,q 一真一假, 1 1 当 p 真 q 假时,a 的取值范围是 P∩(?RQ)={a|0<a<1}∩{a|a< }={a|0<a< }; 2 2 1 当 p 假 q 真时,a 的取值范围是(?RP)∩Q={a|a≤0 或 a≥1}∩{a|a≥ }={a|a≥1}. 2 1? 综上,a 的取值范围是? ?0,2?∪[1,+∞). 5.已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 x2 0+2ax0+2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围. 解 由 2x2+ax-a2=0 得(2x-a)(x+a)=0, a ∴x= 或 x=-a, 2 a? ∴当命题 p 为真命题时? ?2?≤1 或|-a|≤1,∴|a|≤2. 又“只有一个实数 x0 满足不等式 x2 0+2ax0+2a≤0”, 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∴命题“p 或 q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p 或 q”为假命题,∴a>2 或 a<-2.

即 a 的取值范围为{a|a>2 或 a<-2}.


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