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2015年高考文科数学试题分类汇编(20个类型)


2015 年高考文科书序试题分类汇编(20 个专题) 目录
专题一 集合......................................................................................................................................................

................ 2 专题二 函数...................................................................................................................................................................... 4 专题三 三角函数............................................................................................................................................................ 11 专题四 解三角形............................................................................................................................................................ 17 专题五 平面向量............................................................................................................................................................ 20 专题六 数列.................................................................................................................................................................... 23 专题七 不等式................................................................................................................................................................ 35 专题八 复数.................................................................................................................................................................... 41 专题九 导数及其应用 .................................................................................................................................................... 43 专题十 算法初步............................................................................................................................................................ 51 专题十一 常用逻辑用语 ................................................................................................................................................ 55 专题十二 推理与证明 .................................................................................................................................................... 56 专题十三 概率统计........................................................................................................................................................ 59 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 ............................................................................................................ 73 专题十五 点、线、面的位置关系 ................................................................................................................................ 90 专题十六 平面几何初步 ................................................................................................................................................ 90 专题十七 圆锥曲线与方程 ............................................................................................................................................ 94 专题十八 几何证明选讲 .............................................................................................................................................. 105 专题十九 不等式选讲 ................................................................................................................................................ 109 专题二十 坐标系与参数方程 .......................................................................................................................................111

专题一 集合
1.(15 年北京文科)若集合 ? ? x ?5 ? x ? 2 , ? ? x ?3 ? x ? 3 ,则 ? ? ? ? ( A. x ?3 ? x ? 2 【答案】A

?

?

?

?



?

?

B. x ?5 ? x ? 2

?

?

C. x ?3 ? x ? 3

?

?

D. x ?5 ? x ? 3

?

?

考点:集合的交集运算. 2.(15 年广东文科) 若集合 ? ? ??1,1? , ? ? ??2,1, 0? ,则 ? ? ? ? ( A. ?0, ?1? 【答案】C 【解析】 试题分析: ? ? ? ? ?1? ,故选 C. 考点:集合的交集运算. 3.(15 年广东文科)若集合 ? ? B. ?0? C. ?1? ) D. ??1,1?

?? p, q, r , s ? 0 ? p ? s ? 4, 0 ? q ? s ? 4, 0 ? r ? s ? 4且p, q, r , s ? ?? ,

F ? ?? t , u , v, w ? 0 ? t ? u ? 4, 0 ? v ? w ? 4且t , u , v, w ? ?? ,用 card ? ? ? 表示集合 ? 中的元素个数,则

card ? ? ? ? card ? F ? ? (
A. 50 【答案】D

) B. 100 C. 150 D. 200

考点:推理与证明. 4.(15 年安徽文科)设全集 U ? ?1 , 2? , B ? ?2,, ,,,,, 2 3 4 5 6? , A ? ?1 3 4? ,则 A ? ?CU B? ? ( (A) ?1 ,,, 2 5 6? 【答案】B 【解析】 试题分析:∵ CU B ? ? 1,5,6? 考点:集合的运算.
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)

(B) ?1?

(C) ?2?

(D) ?1 ,,, 2 3 4?

∴ A ? ?CU B? ? ? 1?

∴选 B

5.(15 年福建文科)若集合 M ? x ?2 ? x ? 2 , N ? ?0,1, 2? ,则 M ? N 等于( A. ?0? 【答案】D B. ?1? C. ?0,1, 2? D ?0,1?

?

?



考点:集合的运算. 6.(15 年新课标 1 文科)

7.(15 年新课标 2 文科) 已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2? , B ? ?x | 0 ? x ? 3? ,则 A ? B ? ( A. ? ?1,3? B. ? ?1,0? C. ? 0, 2 ? D. ? 2,3?



【答案】A

考点:集合运算. 8.(15 陕西文科) 集合 M ? {x | x 2 ? x} , N ? {x | lg x ? 0} ,则 M ? N ? ( A. [0,1] 【答案】 A B. (0,1] C. [0,1) D. (??,1] )

考点:集合间的运算. 16.(15 年江苏) 已知集合 A ? ? 1,2,3?, B ? ?2,4,5?,则集合 A ? B 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】

2, 3} ? {2, 4, 5} ? {1, 2, 3, 4,, 5} 5个元素 试题分析: A ? B ? {1,
考点:集合运算

专题二 函数
1.(15 年北京文科)下列函数中为偶函数的是( A. y ? x sin x
2

) C. y ? ln x D. y ? 2
?x

B. y ? x cos x
2

【答案】B 【解析】 试题分析:根据偶函数的定义 f (? x) ? f ( x) ,A 选项为奇函数,B 选项为偶函数,C 选项定义域为 (0, ??) 不 具有奇偶性,D 选项既不是奇函数,也不是偶函数,故选 B. 考点:函数的奇偶性.

2.(15 年北京文科) 2?3 , 3 2 , log 2 5 三个数中最大数的是 【答案】 log 2 5 【解析】 试题分析: 2?3 ? 考点:比较大小.

1



1 1 ? 1 , 3 2 ? 3 ? 1 , log 2 5 ? log 2 4 ? 2 ? 3 ,所以 log 2 5 最大. 8

3.(15 年广东文科)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A. y ? x 2 ? sin x 【答案】A 【解析】 B. y ? x 2 ? cos x C. y ? 2 x ?



1 2x

D. y ? x ? sin 2 x

试题分析:函数 f ? x ? ? x ? sin x 的定义域为 R ,关于原点对称,因为 f ?1? ? 1 ? sin1 , f ? ? x ? ? 1 ? sin1 ,
2

所以函数 f ? x ? ? x ? sin x 既不是奇函数,也不是偶函数;函数 f ? x ? ? x ? cos x 的定义域为 R ,关于原点对
2 2

称,因为 f ? ? x ? ? ? ? x ? ? cos ? ? x ? ? x 2 ? cos x ? f ? x ? ,所以函数 f ? x ? ? x ? cos x 是偶函数;函数
2

2

1 1 1 的定义域为 R ,关于原点对称,因为 f ? ? x ? ? 2? x ? ? x ? x ? 2 x ? f ? x ? ,所以函数 x 2 2 2 1 f ? x ? ? 2 x ? x 是偶函数;函数 f ? x ? ? x ? sin 2 x 的定义域为 R ,关于原点对称,因为 2 f ? x ? ? 2x ?

f ? ? x ? ? ? x ? sin ? ?2 x ? ? ? x ? sin 2 x ? ? f ? x ? ,所以函数 f ? x ? ? x ? sin 2 x 是奇函数.故选 A.
考点:函数的奇偶性. 4.(15 年安徽文科)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( (A)y=lnx 【答案】D (B) y ? x ? 1
2

) (D)y=cosx

(C)y=sinx

考点:1.函数的奇偶性;2.零点. 5.(15 年安徽文科)函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d 的图像如图所示,则下列结论成立的是(
3 2

)

(A)a>0,b<0,c>0,d>0 (C)a<0,b<0,c<0,d>0 【答案】A

(B)a>0,b<0,c<0,d>0 (D)a>0,b>0,c>0,d<0

考点:函数图象与性质. 6.(15 年安徽文科) lg 【答案】-1 【解析】

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5 1 ? 2 lg 2 ? ( ) ?1 ? 2 2



试题分析:原式= lg 5 ? lg 2 ? 2 lg? 2 ? lg 5 ? lg 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ?1 考点:1.指数幂运算;2.对数运算. 7. (15 年安徽文科)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y ? 2a 与函数 y ?| x ? a | ?1 的图像只有一个交点,则

a 的值为
【答案】 ? 【解析】



1 2

试题分析:在同一直角坐株系内,作出 y ? 2a与y ? x ? a ? 1 的大致图像,如下图:由题意,可知

2a ? ?1 ? a ? ?

1 2

考点:函数与方程. 8.(15 年福建文科)下列函数为奇函数的是( A. y ? 【答案】D 【解析】 试题分析:函数 y ? )

x

B. y ? e x C. y ? cos x D. y ? e x ? e? x

x 和 y ? ex 是非奇非偶函数; y ? cos x 是偶函数; y ? ex ? e? x 是奇函数,故选 D.

考点:函数的奇偶性. 9.(15 年福建文科)若函数 f ( x) ? 2 数 m 的最小值等于_______. 【答案】 1 【解析】 试题分析:由 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 得函数 f ( x ) 关于 x ? 1 对称,故 a ? 1 ,则 f ( x) ? 2 得 f ( x ) 在 [1, ??) 递增,故 m ? 1 ,所以实数 m 的最小值等于 1 . 考点:函数的图象与性质. 10.(15 年新课标 2 文科)如图,长方形的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记
x ?1 x ?a

(a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f ( x) 在 [m, ??) 单调递增,则实

,由复合函数单调性

?BOP ? x ,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ? x ? ,则的图像大致为(



A.

B.

C.

D.

【答案】B

考点:函数图像 11.(15 年新课标 2 文科)设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? ( )

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是 1 ? x2

A. ? ,1? 【答案】A 【解析】

?1 ? ?3 ?

B. ? ??, ? ? ?1, ?? ?

? ?

1? 3?

C. ? ? , ?

? 1 1? ? 3 3?

D. ? ??, ? ? ? ? , ?? ?

? ?

1? ?1 3? ? 3

? ?

试题分析:由 f ( x) ? ln(1? | x |) ?

1 可知 f ? x ? 是偶函数,且在 ? 0, ?? ? 是增函数,所以 1 ? x2 1 f ? x ? ? f ? 2 x ? 1? ? f ? x ? ? f ? 2 x ? 1 ? ? x ? 2 x ? 1 ? ? x ? 1 .故选 A. 3

考点:函数性质 12.(15 年新课标 2 文科)已知函数 f ? x ? ? ax ? 2x 的图像过点(-1,4),则 a=
3



【答案】-2 【解析】 试题分析:由 f ? x ? ? ax ? 2x 可得 f ? ?1? ? ?a ? 2 ? 4 ? a ? ?2 .
3

考点:函数解析式 13.(15 年陕西文科)设 f ( x) ? ? A. ? 1 B.

? ?1 ? x , x ? 0 ,则 f ( f (?2)) ? ( x 2 , x ? 0 ? ?
3 2



1 4

C.

1 2

D.

【答案】 C

考点:1.分段函数;2.函数求值. 14.(15 年陕西文科)设 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ( x) ? ( A.既是奇函数又是减函数 C.是有零点的减函数 【答案】 B 【解析】 试题分析: f ( x) ? x ? sin x ? f (? x) ? (? x) ? sin(? x) ? ? x ? sin x ? ?( x ? sin x) ? ? f ( x) 又 f ( x ) 的定义域为 R 是关于原点对称,所以 f ( x ) 是奇函数; B.既是奇函数又是增函数 D.是没有零点的奇函数 )

f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 ? f ( x) 是增函数.
故答案选 B 考点:函数的性质. 15.(15 年陕西文科)设 f ( x) ? ln x,0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f ( 列关系式中正确的是( A. q ? r ? p 【答案】 C ) C. p ? r ? q D. p ? r ? q

a?b 1 ) , r ? ( f (a ) ? f (b)) ,则下 2 2

B. q ? r ? p

【解析】

1 a?b a?b 1 1 ln ab ; q ? f ( ) ? ln ; r ? ( f (a) ? f (b)) ? ln ab 2 2 2 2 2 a?b a?b ? ab ,由 f ( x) ? ln x 是个递增函数, f ( ) ? f ( ab ) 因为 2 2
试题分析: p ? f ( ab ) ? ln ab ? 所以 q ? p ? r ,故答案选 C 考点:函数单调性的应用. 16. ( 15 年 天 津 文 科 ) 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) = 2|x- m| - 1(m为实数) 为 偶 函 数 , 记

a = f (log0.5 3), b = f (log2 5),c = f (2m) ,则 a, b, c ,的大小关系为(
(A) a < b < c 【答案】B 【解析】 (B) c < a < b (C) a < c < b



(D) c < b < a

试题分析:由 f ? x ? 为偶函数得 m ? 0 ,所以 a ? 2, b ? 4, c ? 0 ,故选 B. 考点:1.函数奇偶性;2.对数运算. 17. (15 年天津文科) 已知函数 f ( x) = í 的个数为 (A) 2 【答案】A

ì ? 2- | x |, x ? 2 ,函数 g ( x) = 3 - f (2 - x) ,则函数 y = f ( x) - g ( x) 的零点 2 ? ? ( x - 2) , x > 2
(D)5

(B) 3

(C)4

考点:函数与方程. 18.(15 年江苏)已知函数 f ( x) ?| ln x | , g ( x) ? ? 【答案】4

? 0,0 ? x ? 1 ,则方程 | f ( x) ? g ( x) |? 1 实根的个数为 2 ?| x ? 4 | ?2, x ? 1

考 点:函数与方程

专题三 三角函数
1.(15 北京文科)已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin 2 (Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ? 0,

x . 2

? 2? ? 上的最小值. ? 3 ? ?

【答案】 (1) 2? ; (2) ? 3 .

考点:倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 2.(15 年广东文科)已知 tan ? ? 2 .

? 的值; 4? sin 2? 的值. ? 2? 求 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 ?
【答案】 (1) ?3 ; (2) 1 .

?1? 求 tan ? ?? ?

??

考点:1、两角和的正切公式;2、特殊角的三角函数值;3、二倍角的正、余弦公式;4、同角三角函数的基本 关系. 3.(15 年安徽文科)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? cos 2 x
2

(1)求 f ( x ) 最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

【答案】 (1) ? ; (2)最大值为 1 ? 2 ,最小值为 0

考点:1.三角函数的性质;2.三角函数的最值. 4.(15 年福建文科)若 sin ? ? ? A.

12 5

B. ?

12 5

5 ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的值等于( 13 5 5 C. D. ? 12 12



【答案】D 【解析】 试题分析:由 sin ? ? ?

5 12 sin ? 2 ,且 ? 为第四象限角,则 cos ? ? 1 ? sin ? ? ,则 tan ? ? 13 13 cos ?

??

5 ,故选 D. 12 x x x cos ? 10 cos 2 . 2 2 2

考点:同角三角函数基本关系式. 5.(15 年福建文科)已知函数 f ? x ? ? 10 3 sin (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位长度,再向下平移 a ( a ? 0 )个单位长度后得到函数 g ? x ? 的图 6

象,且函数 g ? x ? 的最大值为 2. (ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; (ⅱ)证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 . 【答案】 (Ⅰ) 2? ; (Ⅱ) (ⅰ) g ? x ? ? 10sin x ? 8 ; (ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将 f ? x ? 化为 f ( x) ? 10sin ? x ?

? ?

??

? ? 5 ,然后利用 6?

T?

2?

?

求周期; (Ⅱ)由函数 f ? x ? 的解析式中给 x 减

? ,再将所得解析式整体减去 a 得 g ? x ? 的解析式为 6

g ? x ? ? 10sin x ? 5 ? a ,当 sin x 取 1 的时, g ? x ? 取最大值 10 ? 5 ? a ,列方程求得 a ? 13 ,从而 g ? x ? 的解
析式可求;欲证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,可解不等式 g ? x0 ? ? 0 ,只需解集的 长度大于 1,此时解集中一定含有整数,由周期性可得,必存在无穷多个互不相同的正整数 x0 . 试题解析: (I)因为 f ? x ? ? 10 3 sin

x x x cos ? 10 cos 2 2 2 2

? 5 3 sin x ? 5cos x ? 5

?? ? ? 10sin ? x ? ? ? 5 . 6? ?
所以函数 f ? x ? 的最小正周期 ? ? 2? . (II) (i)将 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位长度后得到 y ? 10sin x ? 5 的图象,再向下平移 a ( a ? 0 )个单 6

位长度后得到 g ? x ? ? 10sin x ? 5 ? a 的图象. 又已知函数 g ? x ? 的最大值为 2 ,所以 10 ? 5 ? a ? 2 ,解得 a ? 13 . 所以 g ? x ? ? 10sin x ? 8 . (ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数

x0 ,使得 10sin x0 ? 8 ? 0 ,即 sin x0 ?

4 . 5



? 4 4 3 知,存在 0 ? ? 0 ? ,使得 sin ? 0 ? . ? 3 5 5 2
4 . 5

由正弦函数的性质可知,当 x ? ??0 , ? ? ?0 ? 时,均有 sin x ? 因为 y ? sin x 的周期为 2? ,

所以当 x ? ? 2k? ? ?0 ,2k? ? ? ? ?0 ? ( k ? ? )时,均有 sin x ? 因为对任意的整数 k , ? 2k? ? ? ? ? 0 ? ? ? 2k? ? ? 0 ? ? ? ? 2? 0 ?

4 . 5

?

3

? 1,

所以对任意的正整数 k ,都存在正整数 xk ? ? 2k? ? ?0 ,2k? ? ? ? ?0 ? ,使得 sin xk ? 亦即存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 . 考点:1、三角函数的图像与性质;2、三角不等式.

4 . 5

6.(15 年陕西文科)如图,某港口一天 6 时到 18 时的谁深变化曲线近似满足函数 y=3sin( 数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为____________.

? x+Φ)+k,据此函 6

【答案】8 【解析】 试题分析:由图像得,当 sin( 当 sin(

?
6

x ? ? ) ? ?1 时 ymin ? 2 ,求得 k ? 5 ,

?
6

x ? ? ) ? 1 时, ymax ? 3 ?1 ? 5 ? 8 ,故答案为 8.

考点:三角函数的图像和性质. 7.(15 年天津文科)已知函数

f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?? ? 0 ? , x ? R,

若函数 f ? x ? 在区间 ? ??, ? ? 内单调递

增,且函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为



【答案】

π 2

【解析】 试 题 分 析 : 由 f ? x ? 在 区 间 ? ??, ? ? 内单 调 递 增 , 且 f ? x ? 的 图 像 关 于 直 线 x ? ? 对 称 , 可 得 2? ?

π

?

,且

π? ? f ?? ? ? sin ? 2 ? cos ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? ? ? 1 , 4? ?
所以 ? 2 ?

π π π ? ?? ? . 4 2 2
1 ,则 tan ? 的值为_______. 7

考点:三角函数的性质. 8.(15 年江苏)已知 tan ? ? ?2 , tan ?? ? ? ? ? 【答案】3 【解析】
1 ?2 tan(? ? ? ) ? tan ? 试题分析: tan ? ? tan(? ? ? ? ? ) ? ?7 ? 3. 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 2 7

考点:两角差正切公式 9.(15 年江苏)在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 60? . (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值. 【答案】 (1) 7 (2) 【解析】
4 3 7

考点:余弦定

理,二倍角公式

专题四 解三角形
1.(15 北京文科)在 ???C 中, a ? 3 , b ? 【答案】 【解析】 试题分析:由正弦定理,得

6 , ?? ?

?
4

2? ,则 ?? ? 3



3 6 2 a b ? ,即 ,所以 sin B ? ,所以 ?B ? . ? ? 2 sin A sin B 4 3 sin B 2

考点:正弦定理. 2.(15 年广东文科)设 ???C 的内角 ? ,? ,C 的对边分别为 a ,b ,c .若 a ? 2 ,c ? 2 3 ,cos ? ? 且 b ? c ,则 b ? ( A. 3 【答案】B 【解析】 试题分析:由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ,所以 22 ? b 2 ? 2 3 ) B. 2 C. 2 2 D. 3

3 , 2

?

?

2

? 2?b? 2 3 ?

3 ,即 2

b 2 ? 6b ? 8 ? 0 ,解得: b ? 2 或 b ? 4 ,因为 b ? c ,所以 b ? 2 ,故选 B.
考点:余弦定理.
? ? 3.(15 年安徽文科)在 ?ABC 中, AB ? 6 , ?A ? 75 , ?B ? 45 ,则 AC ?



【答案】2 【解析】 试题分析:由正弦定理可知: 考点:正弦定理.

AB AC 6 AC ? ? ? ? AC ? 2 ? ? ? ? sin[180 ? (75 ? 45 )] sin 45 sin 60 sin 45?
?

0 0 4.(15 年福建文科)若 ?ABC 中, AC ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? _______.

【答案】 2 【解析】 试题分析:由题意得 B ? 180 ? A ? C ? 60 .由正弦定理得
0 0

AC BC AC sin A ? ,则 BC ? , sin B sin A sin B

所以 BC ?

3? 3 2

2 2 ? 2.

考点:正弦定理. 5.(15 年新课标 2 文科)△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? BAC,BD=2DC. (I)求

sin ?B ; sin ?C

(II)若 ?BAC ? 60? ,求 ? B . 【答案】 (I)

1 ? ; 30 . 2

考点:解三角形 6.(15 年陕西文科) ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (a, 3b) 与 n ? (cos A,sin B) 平 行. (I)求 A ; (II)若 a ? 7, b ? 2 求 ?ABC 的面积. 【答案】(I) A ?

??

?

?
3

;(II)

3 3 . 2

试题解析:(I)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 由正弦定理,得 sin Asin B ? 3sin B cos A ? 0 , 又 sin B ? 0 ,从而 tan A ? 由于 0 ? A ? ? 所以 A ?

??

?

3,

?
3

(II)解法一:由余弦定理,得

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,而 a ? 7, b ? 2 , A ?
得 7 ? 4 ? c ? 2c ,即 c ? 2c ? 3 ? 0
2 2

?
3



因为 c ? 0 ,所以 c ? 3 , 故 ?ABC 面积为

1 3 3 bc sin A ? . 2 2
7 sin

解法二:由正弦定理,得

?
3

?

2 sin B

从而 sin B ?

21 7 2 7 7

又由 a ? b 知 A ? B ,所以 cos B ?

故 sin C ? sin( A ? B ) ? sin( B ?

?
3

)

? sin B cos

?
3

? cos B sin

?
3

?

3 21 , 14

所以 ?ABC 面积为

1 3 3 . ab sin C ? 2 2

考点:1.正弦定理和余弦定理;2.三角形的面积. 7. (15 年天津文科) △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? (I)求 a 和 sinC 的值; (II)求 cos ? 2 A ?

1 , 4

? ?

??

? 的值. 6? 15 15 ? 7 3 ; (II) . 8 16

【答案】 (I)a=8, sin C ? 【解析】

考点:1.正弦定理、余弦定理及面积公式;2 三角变换.

专题五 平面向量
1.(15 北京文科)设 a , b 是非零向量, “ a ? b ? a b ”是“ a //b ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

? ?

? ?

? ?



【解析】 试题分析: 由已知得 cos ? a, b ?? 1 , 即 ? a, b ?? 0 , a //b .而当 a //b 时, a ? b ?| a | ? | b | cos ? a, b ? , ? a, b ? 还可能是 ? ,此时 a ? b ? ? | a || b | ,故“ a ? b ? a b ”是“ a //b ”的充分而不必要条件. 考点:充分必要条件、向量共线. 2. (15 年广东文科) 在平面直角坐标系 x?y 中, 已知四边形 ??CD 是平行四边形,?? ? ?1, ?2 ? ,?D ? ? 2,1? , 则 ?D ? ?C ? ( A. 2 【答案】D 【解析】 试题分析:因为四边形 ??CD 是平行四边形,所以 ?C ? ?? ? ?D ? ?1, ?2 ? ? ? 2,1? ? ? 3, ?1? ,所以

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

??? ?

????

???? ??? ?

) B. 3 C. 4 D. 5

??? ?

??? ? ????

???? ??? ? ?D ? ?C ? 2 ? 3 ? 1? ? ?1? ? 5 ,故选 D.
考点:1、平面向量的加法运算;2、平面向量数量积的坐标运算. 3.(15 年安徽文科) ?ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a 、b 满足 AB ? 2 a , AC ? 2 a ? b ,则下列 结论中正确的是 。 (写出所有正确结论得序号)

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ① a 为单位向量;② b 为单位向量;③ a ? b ;④ b // BC ;⑤ (4a ? b ) ? BC 。

【答案】①④⑤ 【解析】 试题分析:∵等边三角形 ABC 的边长为 2, AB ? 2a ∴ AB ∵ AC ? AB ? BC ? 2a ? BC

?

=2 a =2 ? a ? 1 ,故①正确;

∴ BC ? b ? b ? 2 ,故②错误,④正确;由于 AB ? 2a, BC ? b ? a与b 夹
2

? 角为 120 ,故③错误;又∵ (4a ? b) ? BC ? (4a ? b) ? b ? 4a ? b ? b ? 4 ? 1 ? 2 ? (? ) ? 4 ? 0

1 2

∴ (4a ? b) ? BC ,故⑤正确

因此,正确的编号是①④⑤.

考点:1.平面向量的基本概念;2.平面向量的性质. 4.(15 年福建文科)设 a ? (1, 2) , b ? (1,1) , c ? a ? kb .若 b ? c ,则实数 k 的值等于( A. ?

?

?

?

?

?

?

?



3 2

B. ?

5 3

C.

5 3

D.

3 2

【答案】A

考点:平面向量数量积.

5.(15 年新课标 1 文科)

6.(15 年新课标 2 文科)已知 a ? ?1, ?1? , b ? ? ?1, 2? ,则 (2a ? b) ? a ? ( A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 2



【答案】C 【解析】
2 试题分析:由题意可得 a ? 2 , a ? b ? ?3, 所以 ? 2a ? b? ? a ? 2a ? a ? b ? 4 ? 3 ? 1.故选 C.

2

考点:向量数量积. 7.(15 年陕西文科)对任意向量 a, b ,下列关系式中不恒成立的是( A. | a ? b |?| a || b | 【答案】 B

? ?

) D. (a ? b)(a ? b) ? a ? b

? ?

? ?

B. | a ? b |?|| a | ? | b ||

? ?

?

?

C. (a ? b)2 ?| a ? b |2

? ?

? ?

?

? ?

?

?2

?2

考点:1.向量的模;2.数量积. 8.(15 年天津文科)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB ? DC , AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60 , 点 E 和点 F 分别在线
?

段 BC 和 CD 上,且 BE ? 【答案】 【解析】

??? ?

? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 ??? BC , DF ? DC , 则 AE ? AF 的值为 3 6



29 18
ABCD 中 , 由

试 题 分 析 : 在 等 腰 梯 形

AB ? DC , AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60? , 得

???? ??? ? 1 ??? ???? 1 ??? ? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? AD ? BC ? , AB ? AD ? 1 , DC ? AB ,所以 AE ? AF ? AB ? BE ? AD ? DF 2 2

?

??

?

? 2 ??? ? ? ? ???? 1 ??? ? ? ??? ? ???? 2 ??? ? ???? 1 ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? 1 1 1 29 ? ??? ? ? AB ? BC ? ? ? AD ? AB ? ? AB ? AD ? BC ? AD ? AB ? BC ? AB ? 1 ? ? ? ? 3 12 3 12 18 3 3 18 18 ? ? ? ?
考点:平面向量的数量积. 9.(15 年江苏)已知向量 a= (2,1) ,b= (1,?2) , 若 ma+nb= (9,?8) ( m, n ? R ), m ? n 的值为______. 【答案】 ?3 【解析】
[来源:学科网 ZXXK]

试题分析:由题意得: 2m ? n ? 9, m ? 2n ? ?8 ? m ? 2, n ? 5, m ? n ? ?3. 考点:向量相等 10.(15 年江苏)设向量 ak ? (cos
11 ?? ? ???? k? k? k? , sin ? cos )( k ? 0,1,2,? ,12) ,则 ? (ak ? ak ?1 ) 的值为 6 6 6 k ?0

【答案】 9 3 【解析】 试题分析:
? cos

? ???? 20 ?? k? k? k? (k ? 1)? (k ? 1)? (k ? 1)? ak ? ak ?1 ? (cos ,sin ? cos ) ? (cos ,sin ? cos ) 11 6 6 6 6 6 6
2k? ? ? k? (k ? 1)? 3 3 2k? ? ? 1 (2k ? 1)? ? cos cos ? ? sin ? cos 6 6 6 4 6 2 6

?
6

? sin

11 ?? ? ???? 3 3 ? 12 ? 9 3 因此 ? ak ? ak ?1 ? 4 k ?0

专题六 数列
1.(15 北京文科)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等?

【答案】 (1) an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2 ; (2) b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 【解析】 试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、 转化能力、计算能力.第一问,利用等差数列的通项公式,将 a1 , a2 , a3 , a4 转化成 a1 和 d,解方程得到 a1 和 d 的 值,直接写出等差数列的通项公式即可;第二问,先利用第一问的结论得到 b2 和 b3 的值,再利用等比数列的通 项公式,将 b2 和 b3 转化为 b1 和 q,解出 b1 和 q 的值,得到 b6 的值,再代入到上一问等差数列的通项公式中,解 出 n 的值,即项数. 试题解析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d. 因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2

(n ? 1, 2,?) .

(Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q . 因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 , 所以 q ? 2 , b1 ? 4 . 所以 b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 . 由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 . 所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 考点:等差数列、等比数列的通项公式. 2.(15 年广东文科)若三个正数 a , b , c 成等比数列,其中 a ? 5 ? 2 6 , c ? 5 ? 2 6 ,则 b ? 【答案】 1 【解析】 .

c 成等比数列, b, 试题分析: 因为三个正数 a , 所以 b ? ac ? 5 ? 2 6
2

?

??5 ? 2 6 ? ? 1 ,因为 b ? 0 ,所以 b ? 1 ,

所以答案应填: 1 . 考点:等比中项.

3.(15 年广东文科) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , n ? ? ? .已知 a1 ? 1 , a2 ?

?1? 求 a4 的值;

4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 .
1 ? an ? 为等比数列; 2 ?
n ?1

3 5 , a3 ? ,且当 n ? 2 时, 2 4

? 2 ? 证明: ? ?an ?1 ?

? ? 3? 求数列 ?an ? 的通项公式.

【答案】 (1)

7 ?1? ; (2)证明见解析; (3) an ? ? 2n ? 1? ? ? ? 8 ?2?





点:1、等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的通项公式.

an ? an ?1 ? ( n ? 2 ) 4. (15 年安徽文科) 已知数列 {an } 中, , 则数列 {an } 的前 9 项和等于 a1 ? 1 ,
【答案】27

1 2



考点:1.等差数列的定义;2.等差数列的前 n 项和. 5.(15 年安徽文科)已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 Sn Sn ?1

【答案】 (1) an ? 2n?1 (2)

2n ?1 ? 2 2n ?1 ? 1

=1 ?

1 2n ?1 ? 1

?

2n ?1 ? 2 . 2n ?1 ? 1

[学优高考网]

考点:1.等比数列的性质;2.裂项相消法求和. 6.(15 年福建文科)若 a , b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点,且 a, b, ?2 这三个
2

数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于________. 【答案】9



点:等差中项和等比中项. 7.(15 年福建文科)等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an ?2

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

【答案】 (Ⅰ) an ? n ? 2 ; (Ⅱ) 2101 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用基本量法可求得 a1 , d ,进而求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列前 n 项和,首先考虑其通 项公式,根据通项公式的不同特点,选择相应的求和方法,本题 bn ? 2n ? n ,故可采取分组求和法求其前 10 项和. 试题解析: (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由已知得 ?

? ?a1 ? d ? 4 , ? ?? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? 6d ? ? 15

解得 ?

?a1 ? 3 . ?d ? 1

所以 an ? a1 ? ? n ?1? d ? n ? 2 .

考点:1、等差数列通项公式;2、分组求和法. 8.(15 年新课标 2 文科)设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? ( A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 )

【答案】A 【解析】 试题解析: a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 3 ? a3 ? 1, S5 ? 考点:等差数列 9.(15 年新课标 2 文科)已知等比数列 {an } 满足 a1 ?

5 ? a1 ? a5 ? ? 5a3 ? 5 .故选 A. 2

1 , a a ? 4 ? a4 ?1? ,则 a2 ? ( 4 3 5



A.2

B.1

C.

1 2

D.

1 8

【答案】C 【解析】

a a ? a42 ? 4 ? a4 ?1? ? a4 ? 2 试题分析:由题意可得 3 5
考点:等比数列.

,所以

q3 ?

1 a4 a2 ? a1q ? ?8? q ? 2 ,故 2 ,选 C. a1

10.(15 年陕西文科)中位数为 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项为________ 【答案】5

考点:等差数列的性质. 11.(15 年陕西文科)设 f n ( x) ? x ? x2 ? ? ? xn ? 1, n ? N , n ? 2. (I)求 f n?(2) ;

1 1?2? ? 2? (II)证明: f n ( x) 在 ? 0, ? 内有且仅有一个零点(记为 an ) ,且 0 ? an ? ? ? ? . 2 3? 3? ? 3?
【答案】(I) f n?(2) ? (n ? 1)2 ? 1 ;(II)证明略,详见解析.
n

n

【解析】 试题分析: (I)由题设 f n?( x) ? 1 ? 2 x ? ? ? nx
n?1

, 所以 f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? n2
n

n?1

, 此式等价于数列 {n ? 2

n ?1

}

的前 n 项和,由错位相减法求得 f n?(2) ? (n ? 1)2 ? 1 ;

(II)因为 f (0) ? ?1 ? 0 , f n ( ) ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 0 ,所以 f n ( x) 在 (0, ) 内至少存在一个零点, 又 f n?( x) ? 1 ? 2 x ? ? ? nx n?1 ? 0 ,所以 fn ( x) 在 (0, ) 内单调递增,因此, fn ( x) 在 (0, ) 内有且只有一个零点

2 3

?2? ?3?

n

?2? ?3?

2

2 3

2 3

2 3

1 1 1 1 ? xn 1 ? an n ? 1 ,所以 0 ? f n (an ) ? an ,由于 f n ( x ) ? ? 1 ,由此可得 an ? ? an n ?1 ? 2 2 2 1? x 1 ? an 1 2 1 1 1 ?2? 故 ? an ? ,继而得 0 ? an ? ? an n?1 ? ? ? ? 2 3 2 2 2 ? 3?
试题解析:(I)由题设 f n?( x) ? 1 ? 2 x ? ? ? nxn?1 , 所以 f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? n2n?1 由 ①
n
n ?1

1 ?2? ? ?? ? . 3 ? 3?

n

2 f n? ( 2 ? ) ? 1 ?2 ? 2 2 ?2 ?? n

2



① ? ②得 ? f n?(2) ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n2n

1 ? 22 ? ? n ? 2n ? (1 ? n)2n ? 1 , 1? 2
所以

fn?(2) ? (n ? 1)2n ? 1

(II)因为 f (0) ? ?1 ? 0

2? ?2? ?1 ? ? ? 3? ? 3? 2 fn ( ) ? ? 2 3 1? 3
2 3

n

? ? n 2 ? ? ?1 ? 1? 2 ? ? 2 ? ? 1? 2 ? ? 2 ? ? 0 , ? ? ? ? ? 3? ? 3?

所以 f n ( x) 在 (0, ) 内至少存在一个零点, 又 f n?( x) ? 1 ? 2 x ? ? ? nx n?1 ? 0 所以 fn ( x) 在 (0, ) 内单调递增, 因此, fn ( x) 在 (0, ) 内有且只有一个零点 an ,

2 3

2 3

1 ? xn ?1, 由于 f n ( x ) ? 1? x
所以 0 ? f n (an ) ?

1 ? an n ?1 1 ? an

由此可得 an ? 故

1 1 n ?1 1 ? an ? 2 2 2

1 2 ? an ? 2 3
n ?1

1 1 1 ?2? 所以 0 ? an ? ? an n?1 ? ? ? ? 2 2 2 ? 3?

1 ?2? ? ?? ? 3 ? 3?

n

考点:1.错位相减法;2.零点存在性定理;3.函数与数列. 12. ( 15 年 天 津 文 科 ) 已 知 {an } 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 , {bn } 是 等 差 数 列 , 且

a1 = b1 = 1, b2 +b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 .
(I)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (II)设 cn = anbn , n ? N* ,求数列 {cn } 的前 n 项和. 【答案】 (I) an ? 2n?1 , n ? N? , bn ? 2n ?1, n ? N? ; (II) Sn ? ? 2n ? 3? 2 ? 3
n

【解析】 试题分析: (I)列出关于 q 与 d 的方程组,通过解方程组求出 q,d,即可确定通项; (II)用错位相减法求和. 试题解析: (I)设 {an } 的公比为 q, {bn } 的公差为 d,由题意 q ? 0 ,由已知,有 ?

?2q 2 ? 3d ? 2, 消去 d 得 4 ? q ? 3d ? 10,

q 4 ? 2q 2 ? 8 ? 0, 解 得 q ? 2 ,d ? 2 , 所 以 {an } 的 通 项 公 式 为 an ? 2n?1 , n ? N? ,
bn ? 2n ?1, n ? N? .
(II)由(I)有 cn ? ? 2n ?1? 2
n?1

{bn } 的 通 项 公 式 为

,设 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,则

Sn ? 1? 20 ? 3? 21 ? 5 ? 22 ??? ? 2n ?1? ? 2n?1, 2Sn ? 1? 21 ? 3? 22 ? 5? 23 ??? ? 2n ?1? ? 2n ,
两式相减得 ?Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 2n ?1? ? 2 ? ? ? 2n ? 3? ? 2 ? 3,
2 3 n n n

所以 Sn ? ? 2n ? 3? 2 ? 3 .
n

考点:1.等差、等比数列的通项公式;2.错位相减法求和. 13.(15 年天津文科)已知函数 f ( x) = 4 x - x , x ? R, (I)求 f ( x ) 的单调性; (II)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证:对于任意的正实数
4

x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;
(III)若方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实数根 x1,x2, 且 x1 < x2 ,求证: x2 -x1 < -

a 1 + 43 . 3

【答案】 (I) f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? ; (II)见试题解析; (III)见试题解析. 【解析】

试题解析: (I)由

f (x) =4 x - x 4 ,可得 f ? ( x) = 4 - 4x3 ,当 f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ? x ? 单调递增;当 f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? 1
时,函数 f ? x ? 单调递减.所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? . (II)设 P ? x0 ,0? ,则 x0 ? 4 即
1 3

, f ? ? x0 ? ? ?12, 曲线 y ? f ? x ? 在点 P 处的切线方程为 y ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ,

g ? x ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? , 令

F ? x? ? f ? x? ? g ? x?



F ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ?? x ? x0 ?



F ? ? x ? ? f ? ? x ? ? f ? ? x0 ? .
由 于 f ( x) = 4- 4x 在 ? ??, ??? 单 调 递 减 , 故 F ? ? x ? 在 ? ??, ??? 单 调 递 减 , 又 因 为 F ? ? x0 ? ? 0 , 所 以 当
3

x ? ? ??, x0 ? 时, F ? ? x ? ? 0 ,所以当 x ? ? x0 , ??? 时, F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ? ??, x0 ? 单调递增,在 ? x0 , ??? 单
调递减,所以对任意的实数 x, F ? x ? ? F ? x0 ? ? 0 ,对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) .

考点:1.导数的几何意义;2.导数的应用. 14.(15 年江苏)数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1 ( n ? N * ) ,则数列 {

1 } 的前 10 项和为 an

【答案】 【解析】

20 11 n(n ? 1) 2

试题分析:由题意得: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? n ? n ? 1 ? ? ? 2 ? 1 ? 所以
1 1 1 1 2n 20 ? 2( ? ), Sn ? 2(1 ? )? , S10 ? an n n ?1 n ?1 n ?1 11

考点:数列通项,裂项求和 28.(15 年江苏)设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d ( d ? 0) 的等差数列 (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次成等比数列; (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a22 , a33 , a44 依次成等比数列,并说明理由; (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 , a2 , a3
n n? k n? 2 k
[来源:学科网 ZXXK]

a

a

a

a

n?3k 依次成等比数列,并说明理由. , a4

【答案】 (1)详见解析(2)不存在(3)不存在

(2)令 a1 ? d ? a ,则 a1 , a2 , a3 , a4 分别为 a ? d , a , a ? d , a ? 2d ( a ? d , a ? ?2d , d ? 0 ) . 假设存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列, 则 a ? ? a ? d ?? a ? d ? ,且 ? a ? d ? ? a
4 3 6 2

2

3

4

? a ? 2d ?

4



令t ?

d 1 3 6 4 ,则 1 ? ?1 ? t ??1 ? t ? ,且 ?1 ? t ? ? ?1 ? 2t ? ( ? ? t ? 1 , t ? 0 ) , a 2

化简得 t 3 ? 2t 2 ? 2 ? 0 ( ? ) ,且 t 2 ? t ? 1 .将 t 2 ? t ? 1 代入( ? )式,

1 t ?t ?1? ? 2 ?t ?1? ? 2 ? t 2 ? 3t ? t ?1? 3t ? 4t ?1 ? 0 ,则 t ? ? . 4 1 显然 t ? ? 不是上面方程得解,矛盾,所 以假设不成立, 4
因此不存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列. (3)假设存在 a1 , d 及正整数 n , k ,使得 a1 , a2 则 a1 ? a1 ? 2d ?
n n?2k

2

3

4

n

n?k

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数列,
2? n ? 2 k ?

? ? a1 ? d ?

2? n ? k ?

,且 ? a1 ? d ? 及 a1 ?
2 n?2k ?

n?k

? a1 ? 3d ?

n ?3k

? ? a1 ? 2d ?



分别在两个等式的两边同除以 a1 ?

2 n? k ?

,并令 t ?

d 1 (t ? ? ,t ? 0) , a1 3

则 ?1 ? 2t ?

n?2k

? ?1 ? t ?

2? n ? k ?

,且 ?1 ? t ?

n?k

?1 ? 3t ?

n ?3k

? ?1 ? 2t ?

2? n ? 2 k ?



将上述两个等式两边取对数,得 ? n ? 2k ? ln ?1 ? 2t ? ? 2 ? n ? k ? ln ?1 ? t ? , 且 ? n ? k ? ln ?1 ? t ? ? ? n ? 3k ? ln ?1 ? 3t ? ? 2 ? n ? 2k ? ln ?1 ? 2t ? . 化简得 2k ? ?ln ?1 ? 2t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ? 2 ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 2t ? ? ?, 且 3k ? ?ln ?1 ? 3t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ?3ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 3t ? ? ?. 再将这两式相除,化简得 ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3ln ?1 ? 2t ? ln ?1 ? t ? ? 4ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? t ? ( ?? ) . 令 g ?t ? ? 4ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3ln ?1 ? 2t ? ln ?1 ? t ? ,
2 2 2 2 ??1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 3 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3 ?1 ? t ? ln ?1 ? t ?? ? ?. 则 g? ?t ? ? ?1 ? t ??1 ? 2t ??1 ? 3t ?

令 ? ? t ? ? ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 3 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3 ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ,
2 2 2

则 ?? ?t ? ? 6 ? ??1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 2 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ? ?.

? ?t ? ? 6 ? 令 ?1 ?t ? ? ?? ?t ? ,则 ?1 ?3ln ?1 ? 3t ? ? 4 ln ?1 ? 2t ? ? ln ?1 ? t ? ? ?.

? ?t ? ? ? ?t ? ,则 ?2 令 ?2 ? t ? ? ?1

12 ?0. ?1 ? t ??1 ? 2t ??1 ? 3t ?

? ?t ? ? 0 , 由 g ? 0? ? ? ? 0? ? ?1 ? 0? ? ?2 ? 0? ? 0 , ?2
知 ?2 ?t ? , ?1 ? t ? , ? ? t ? , g ? t ? 在 ? ? , 0 ? 和 ? 0, ?? ? 上均单调. 故 g ? t ? 只有唯一零点 t ? 0 ,即方程( ?? )只有唯一解 t ? 0 ,故假设不成立. 所以不存在 a1 , d 及正整数 n , k ,使得 a1 , a2
n n?k

? 1 ? 3

? ?

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数列.

考点:等差、等比数列的定义及性质,函数与方程

专题七 不等式
1.(15 北京文科)如图,???C 及其内部的点组成的集合记为 D ,? ? x, y ? 为 D 中任意一点, 则 z ? 2x ? 3y 的 最大值为 .

【答案】7

考点:线性规划.

?x ? 2 y ? 2 ? 2.(15 年广东文科)若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为( ?x ? 4 ?
A. 10 【答案】C B. 8 C. 5 D. 2



考点:线性规划. 3.(15 年广东文科)不等式 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 的解集为 【答案】 ? ?4,1? 【解析】 试题分析:由 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 得: ?4 ? x ? 1 ,所以不等式 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 的解集为 ? ?4,1? ,所以答案应填: . (用区间表示)

? ?4,1? .
考点:一元二次不等式.

? x? y ?0 ? 4.(15 年安徽文科)已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z=-2x+y 的最大值是( ? y ?1 ?
(A)-1 【答案】A 【解析】 试题分析:根据题意作出约束条件确定的可行域,如下图: (B)-2 (C)-5 (D)1

)

令 z ? ?2 x ? y ? y ? ?2 x ? z ,可知在图中 A(1,1) 处, z ? ?2 x ? y 取到最大值-1,故选 A. 考点:简单的线性规划. 5.(15 年福建文科)若直线 A.2 B.3 C.4

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点 (1,1) ,则 a ? b 的最小值等于( a b
D. 5



【答案】C

考点:基本不等式.

?x ? y ? 0 ? 6.(15 年福建文科)变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z ? 2x ?y 的最大值为 2,则实数 m 等于( ?mx ? y ? 0 ?
A. ? 2 【答案】C 【解析】
3 2



B. ? 1

C. 1

D. 2

C
–4 –3 –2 –1

1

B
1 2 3 4

O
–1 –2 –3 –4

x

试题分析:将目标函数变形为 y ? 2 x ? z ,当 z 取最大值,则直线纵截距最小,故当 m ? 0 时,不满足题意; 当 m ? 0 时 , 画 出 可 行 域 , 如 图 所 示 , 其 中 B(

2 2m , ) . 显 然 O( 0 , 0 )不 是 最 优 解 , 故 只 能 2m ? 1 2m ? 1 2 2m 4 2m B( , ) 是最优解,代入目标函数得 ? ? 2 ,解得 m ? 1 ,故选 C. 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1

考点:线性规划.

? x? y ?5? 0 ? 7.(15 年新课标 2 文科)若 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
【答案】8



考点:线性规划 8.(15 年陕西文科)某企业生产甲乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原 料的可用限额表所示,如果生产 1 吨甲乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润 为( )

A(吨) B(吨)
A.12 万元 【答案】 D

甲 3 1
B.16 万元

乙 2 2

原料限额 12 8
D.18 万元

C.17 万元

当直线 3x ? 4 y ? z ? 0 过点 A(2,3) 时, z 取得最大值 z ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 18 故答案选 D 考点:线性规划.

ì x- 2? 0 ? ? 9..(15 年天津文科)设变量 x , y 满足约束条件 í x - 2 y ? 0 ,则目标函数 z = 3x + y 的最大值为( ? ? ? x +2y - 8 ? 0
(A) 7 【答案】C (B) 8 (C) 9 (D)14



考点:线性规划 10.(15 年天津文科)设 x ? R ,则“ 1 < x < 2 ”是“ | x - 2 |< 1”的( (A) 充分而不必要条件 (C)充要条件 【答案】A 【解析】 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

试题分析:由 x ? 2 ? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3 ,可知“ 1 < x < 2 ”是“ | x - 2 |< 1”的充分而不必要条件,故选 A. 考点:1.不等式;2. 充分条件与必要条件. 11.(15 年天津文科)已知 a ? 0, b ? 0, ab ? 8, 则当 a 的值为 【答案】4 【解析】 试题分析: log 2 a ? log 2 ? 2b ? ? ? 时 log2 a ? log2 ? 2b? 取得最大值.

? log 2 a ? log 2 ? 2b ? ? 1 1 2 2 ? ? ? log 2 2ab ? ? ? log 2 16 ? ? 4, 当 a ? 2b 时取等号 , 2 4 ? ? 4

结合 a ? 0, b ? 0, ab ? 8, 可得 a ? 4, b ? 2. 考点:基本不等式.

x ?1 ? (5 ? x) ? 2 x ? 6 ? 2 ,解得 x ? 4 ,则 1 ? x ? 4 ;当 x ? 5 时, x ? 1 ? ( x ? 5) ? 4 ? 2 不成立.综上 x ? 4 ,
答案选(A) 12.(15 年江苏)不等式 2 【答案】 (?1, 2). 【解析】 试题分析:由题意得: x 2 ? x ? 2 ? ?1 ? x ? 2 ,解集为 (?1, 2). 考点:解指数不等式与一元二次不等式
x2 ? x

? 4 的解集为________.

专题八 复数
1.(15 北京文科)复数 i ?1 ? i ? 的实部为 【答案】-1 【解析】 试题分析:复数 i (1 ? i ) ? i ? 1 ? ?1 ? i ,其实部为-1. 考点:复数的乘法运算、实部. 2.(15 年广东文科)已知 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ? ? (
2



) D. 2i

A. ?2 【答案】D

B. 2

C. ?2i

考点:复数的乘法运算. 3.(15 年安徽文科) 设 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ??1 ? 2i ? ? ( (A)3+3i 【答案】C (B)-1+3i (3)3+i (D)-1+i )

考点:复数的运算. 4.(15 年福建文科) 若 (1 ? i) ? (2 ? 3i) ? a ? bi ( a, b ? R, i 是虚数单位) ,则 a , b 的值分别等于( A. 3, ?2 【答案】A 【解析】 试题分析:由已知得 3 ? 2i ? a ? bi ,所以 a ? 3, b ? ?2 ,选 A. 考点:复数的概念. B. 3, 2 C. 3, ?3 D. ?1, 4 )

5.(15 年新课标 1 文科)

6.(15 年新课标 2 文科)若为 a 实数,且 A. ? 4 B. ? 3 C. 3 D. 4

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? ( 1? i

)

【答案】D 【解析】 试题分析:由题意可得 2 ? ai ? ?1 ? i ??3 ? i ? ? 2 ? 4i ? a ? 4 ,故选 D. 考点:复数运算. 7.(15 年陕西文科)设复数 z ? ( x ? 1) ? yi ( x, y ? R) ,若 | z |? 1 ,则 y ? x 的概率( A. )

3 1 ? 4 2?

B.

1 1 ? 2 ?

C.

1 1 ? 4 2?

D.

1 1 ? 2 ?

【答案】 C 【解析】 试题分析: z ? ( x ? 1) ? yi ?| z |?

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

如图可求得 A(1,1) , B(1, 0) ,阴影面积等于 ? ?1 ?
2

1 4

1 ? 1 ? 1? 1 ? ? 2 4 2

1 1 1 若 | z |? 1 ,则 y ? x 的概率 4 2 ? ? 2 ? ?1 4 2? ?
故答案选 C 考点:1.复数的模长;2.几何概型. 8.(15 年天津文科)i 是虚数单位,计算 【答案】-i

?

1 ? 2i 的结果为 2?i



【解析】 试题分析:

1 ? 2i ?i 2 ? 2i ?i ? i ? 2 ? ? ? ? ?i . 2?i 2?i 2?i

考点:复数运算. 9.(15 年江苏)设复数 z 满足 z 2 ? 3 ? 4i (i 是虚数单位) ,则 z 的模为_______. 【答案】 5 【解析】 试题分析: | z 2 |?| 3 ? 4i |? 5 ?| z |2 ? 5 ?| z |? 5 考点:复数的模

专题九 导数及其应用
1.(15 北京文科)设函数 f ? x ? ?

x2 ? k ln x , k ? 0 . 2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和极值; (Ⅱ)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? 上仅有一个零点.

?

?

【答案】 (1)单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;极小值 f ( k ) ? 见解析.

k (1 ? ln k ) ; (2)证明详 2

所以, f ( x) 的单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;

f ( x) 在 x ? k 处取得极小值 f ( k ) ?

k (1 ? ln k ) . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 在区间 (0, ??) 上的最小值为 f ( k ) ? 因为 f ( x) 存在零点,所以

k (1 ? ln k ) ? 0 ,从而 k ? e . 2

k (1 ? ln k ) . 2

当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (1, e ) 上单调递减,且 f ( e ) ? 0 , 所以 x ?

e 是 f ( x) 在区间 (1, e ] 上的唯一零点.
1 e?k ? 0 , f ( e) ? ?0, 2 2

当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (0, e ) 上单调递减,且 f (1) ?

所以 f ( x) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点. 综上可知,若 f ( x) 存在零点,则 f ( x) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点. 考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题. 2.(15 年安徽文科)已知函数 f ( x) ?

ax (a ? 0, r ? 0) ( x ? r )2

(1)求 f ( x) 的定义域,并讨论 f ( x) 的单调性; (2)若

a ? 400 ,求 f ( x) 在 (0,??) 内的极值。 r

【答案】 (1)递增区间是(-r,r);递减区间为(-∞,-r)和(r,+∞) ; (2)极大值为 100;无极小值.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

内的极大值为 f ( r ) ? f ( x)在(0,??)

ar a ? ? 100 2 4r 4r

内无极小值; f ( x)在(0,??)

0,??) 所以 f ( x)在( 内极大值为 100,无极小值.
考点:1.导数在函数单调性中的应用;2.函数的极值.

? 3.(15 年福建文科) “对任意 x ? (0, ) , k sin x cos x ? x ”是“ k ? 1 ”的( 2
A.充分而不必要条件 【答案】B B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件



D.既不充分也不必要条件

考点:导数的应用.

( x ? 1) 2 4.(15 年福建文科)已知函数 f ( x) ? ln x ? . 2
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时,恒有 f ? x ? ? k ? x ?1? . 【答案】(Ⅰ) ? 0, ? 【解析】 试题分析:(Ⅰ)求导函数 f ? ? x ? ?

? 1? 5 ? (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ) ? ??,1? . ? ?; 2 ? ?

? x2 ? x ? 1 ,解不等式 f ' ( x) ? 0 并与定义域求交集,得函数 f ? x ? 的单调递 x

增区间; (Ⅱ)构造函数 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1? , x ? ?1, ?? ? .欲证明 f ? x ? ? x ?1,只需证明 F ( x ) 的最大值 小于 0 即可; (Ⅲ)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意;当 k ? 1 时,对于 x ? 1 , 有 f ? x ? ? x ?1 ? k ? x ?1? , 则 f

? x? ? k?

x ?1? , 从 而 不 存 在 x0 ? 1 满 足 题 意 ; 当 k ? 1 时 , 构 造 函 数

G ? x? ? f ? x ? ? k ? x ?1? , x ? ? 0, ??? ,利用导数研究函数 G ( x) 的形状,只要存在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时
G ( x) ? 0 即可.

试题解析: (I) f ? ? x ? ? 由 f ? ? x? ? 0 得 ?

1 ? x2 ? x ? 1 ? x ?1 ? , x ? ? 0, ??? . x x
解得 0 ? x ?

?x ? 0 ?? x ? x ? 1 ? 0
2

1? 5 . 2

故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0,

? 1? 5 ? ? ? ?. 2 ? ?

(II)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1? , x ? ? 0, ??? . 则有 F? ? x ? ?

1 ? x2 . x

当 x ? ?1, ?? ? 时, F? ? x ? ? 0 , 所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故当 x ? 1 时, F ? x ? ? F ?1? ? 0 ,即当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1. (III)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,有 f ? x ? ? x ?1 ? k ? x ?1? ,则 f ? x ? ? k ? x ?1? ,从而不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,令 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ?1? , x ? ? 0, ??? , 则有 G? ? x ? ?

? x 2 ? ?1 ? k ? x ? 1 1 ? x ?1? k ? . x x
2

由 G? ? x ? ? 0 得, ? x ? ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 .

解得 x1 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 0 , x2 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 1.

当 x ? ?1, x2 ? 时, G? ? x ? ? 0 ,故 G ? x ? 在 ?1, x2 ? 内单调递增. 从而当 x ? ?1, x2 ? 时, G ? x ? ? G ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? k ? x ?1? , 综上, k 的取值范围是 ? ??,1? . 考点:导数的综合应用.

5.(15 年新课标 2 文科)已知曲线 y ? x ? ln x 在点 ?1,1? 处的切线与曲线 y ? ax2 ? ? a ? 2? x ? 1 相切,则

a= 【答案】8 【解析】



试题分析:由 y? ? 1 ?

1 可得曲线 y ? x ? ln x 在点 ?1,1? 处的切线斜率为 2,故切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,与 x

y ? ax2 ? ? a ? 2? x ? 1 联立得 ax2 ? ax ? 2 ? 0 ,显然 a ? 0 ,所以由 ? ? a2 ? 8a ? 0 ? a ? 8 .
考点:导数的几何意义.

6.(15 年新课标 2 文科)已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1? x ? .
(I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)当 f ? x ? 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 时,求 a 的取值范围. 【答案】 (I)a ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 是单调递增;a ? 0 , f ? x ? 在 ? 0,

? ?

1? ?1 ? (II) ? 单调递增,在 ? , ?? ? 单调递减; a? ?a ?

? 0,1? .
【解析】

考 点:导数的应用.

7.(15 年陕西文科)函数 y ? xe x 在其极值点处的切线方程为____________.
【答案】 y ? ?

1 e

考点:导数的几何意义.

8. ( 15 年天津文科) 已知函数 f ? x ? ? ax ln x, x ? ? 0, ??? , 其中 a 为实数 , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数 , 若

f ? ?1? ? 3 ,则 a 的值为



【答案】3 【解析】 试题分析:因为 f ? ? x ? ? a ?1 ? ln x ? ,所以 f ? ?1? ? a ? 3 . 考点:导数的运算法则.

9.(15 年江苏)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b(a, b ? R) .
(1)试讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是 a 与无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) ,求 c 的值. 【答案】 (1)当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, ??? 上单调递增; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, ?

3 2

3 2

? ?

2a ? ? 2a ? ? , ? 0, ?? ? 上单调递增,在 ? ? , 0 ? 上单调递减; 3 ? ? 3 ? 2a ? ? 2a ? ? , ?? ? 上单调递增,在 ? 0, ? ? 上单调 递减. 3 ? ? 3 ? ?

当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??,0 ? , ? ? (2) c ? 1.

考点:利用 导数求函数单调性、极值、函数零点

专题十 算法初步
1.(15 北京文科)执行如图所示的程序框图,输出的 k 的值为( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 )

【答案】B

考点:程序框图. 2.(15 年安徽文科)执行如图所示的程序框图(算法流程图) ,输出的 n 为( )

(A)3 【答案】B

(B)4

(C)5

(D)6

考 点:程序框图. 3.(15 年福建文科)阅读如图所示的程序框图,阅读相应的程序.若输入 x 的值为 1,则输出 y 的值为( A.2 B.7 C.8 D.128 )

【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得,该程序表示分段函数 y ? ? 考点:程序框图. 4.(15 年新课标 2 文科)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”, 执行该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a 为( )

?2x , x ? 2, ?9 ? x, x ? 2

,则 f (1) ? 9 ? 1 ? 8 ,故选 C.

A.0

B.2

C.4

D.14

【答案】B 【解析】 试题分析:由题意输出的 a 是 18,14 的最大公约数 2,故选 B. 考点:1. 更相减损术;2.程序框图. 5.(15 年陕西文科)根据右边框图,当输入 x 为 6 时,输出的 y ? ( A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 )

【答案】 D 【解析】 试题分析:该程序框图运行如下: x ? 6 ? 3 ? 3 ? 0 , x ? 3 ? 3 ? 0 , x ? 0 ? 3 ? ?3 ? 0 , y ? (?3) ? 1 ? 10 ,
2

故答案选 D . 考点:程序框图的识别.

6.(15 年江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为________. S←1 I←1 While

I ? 10 S←S+2 I←I+3 End While Print S

【答案】7 【解析】 试题分析:第一次循环:S ? 3, I ? 4 ;第二次循环:S ? 5, I ? 7 ;第三次循环:S ? 7, I ? 10 ;结束循环,输出 S ? 7. 考点:循环结构流程图

专题十一 常用逻辑用语
1.(15 年安徽文科)设 p:x<3,q:-1<x<3,则 p 是 q 成立的( (A)充分必要条件 (C)必要不充分条件 【答案】C 【解析】 试题分析:∵ p : x ? 3 , q : ?1 ? x ? 3 ∴ q ? p ,但 p ? ? q ,∴ p 是 q 成立的必要不充分条件,故选 C. 考点:充分必要条件的判断. 2.(15 年陕西文科) “ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的( A 充分不必要条件 【答案】 A B 必要不充分条件 C 充分必要条件 ) D 既不充分也不必要 (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 )

考点:1.恒等变换;2.命题的充分必要性.

专题十二 推理与证明
1.(15 年广东文科)若集合 ? ?

?? p, q, r , s ? 0 ? p ? s ? 4, 0 ? q ? s ? 4, 0 ? r ? s ? 4且p, q, r , s ? ?? ,

F ? ?? t , u , v, w ? 0 ? t ? u ? 4, 0 ? v ? w ? 4且t , u , v, w ? ?? ,用 card ? ? ? 表示集合 ? 中的元素个数,则

card ? ? ? ? card ? F ? ? (
A. 50 【答案】D

) B. 100 C. 150 D. 200

考点:推理与证明. 2.(15 年陕西文科)观察下列等式:

1 1 ? 2 2 1 1 1 1 1 1- ? ? ? ? 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1- ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6 4 5 6
1- ???? 据此规律,第 n 个等式可为______________________. 【答案】 1 ? 【解析】 试题分析:观察等式知:第 n 个等式的左边有 2 n 个数相加减,奇数项为正,偶数项为负,且分子为 1,分母是 1 到 2 n 的连续正整数,等式的右边是

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

1 1 1 ? ? ??? ? . n ?1 n ? 2 2n

故答案为 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

考点:归纳推理. 3.(15 年江苏)已知集合 X ? ? 1,2,3?, Yn ? ? 1,2,3,?, n?(n ? N ) , S n ? (a, b) a整除b或b整除a,
*

?

a ? X , b ? Yn ?,令 f (n) 表示集合 Sn 所含元素的个数.
(1)写出 f (6) 的值; (2)当 n ? 6 时,写出 f ( n) 的表达式,并用数学归纳法证明.

? ?n n? ?n ? 2 ? ? 2 ? 3 ? , n ? 6t ? ? ? ? ? n ?1 n ?1 ? ? ?n ? 2 ? ? ? , n ? 6t ? 1 2 3 ? ? ? ? ?n n?2? ?n ? 2 ? ? ? ? , n ? 6t ? 2 3 ? ? ?2 【答案】 (1)13(2) f ? n ? ? ? ?n ? 2 ? ? n ? 1 ? n ? , n ? 6t ? 3 ? ? ? 3? ? 2 ? ?n ? 2 ? ? n ? n ? 1 ? , n ? 6t ? 4 ? ? ? 3 ? ?2 ? ?n ? 2 ? ? n ? 1 ? n ? 2 ? , n ? 6t ? 5 ? ? ? 3 ? ? 2 ?

下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 6 时, f ? 6 ? ? 6 ? 2 ?

6 6 ? ? 13 ,结论成立; 2 3

②假设 n ? k ( k ? 6 )时结论成立,那么 n ? k ? 1 时, S k ?1 在 Sk 的基础上新增加的元素在 ?1, k ? 1? ,

考点:计数原理、数学归纳法

专题十三 概率统计
1.(15 北京文科)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽 取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年教师人数为( A. 90 B. 100 C. 180 ) D. 300

类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 【答案】C 【解析】

人数

900 1800 1600
4300

1600 16 ? ;设样本中老年教师的人数为 x,由分层抽 900 9 320 16 样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等,即 ? ,解得 x ? 180 . x 9
试题分析:由题意,总体中青年教师与老年教师比例为 考点:分层抽样.

2.(15 北京文科)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)

2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日

12

35000 35600


48

注: “累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为( A. 6 升 【答案】B 【解析】 B. 8 升 C. 10 升

D. 12 升

试题分析:因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量 V ? 48 升. 而这段 时间内行驶的里程数 S ? 35600 ? 35000 ? 600 千米. 所以这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为

48 ?100 ? 8 升,故选 B. 600
考点:平均耗油量.

3.(15 北京文科)高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年 级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.

从这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 【答案】乙、数学 【解析】 试题分析:①由图可知,甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后;而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前,故填 乙. ②由图可知,比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多;而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少,所以丙 的数学成绩的排名更靠前,故填数学. 考点:散点图. 4.(15 北京文科)某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如 下统计表,其中“√”表示购买, “×”表示未购买. 商 顾 客 品 人 数 √ × √ √ √ × × √ √ × × √ √ × √ √ × × √ √ × × × × 甲 乙 丙 丁 ; .

100 217 200
300
85

98

(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 中商品的概率; (Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大? 【答案】 (1)0.2; (2)0.3; (3)同时购买丙的可能性最大.

【解析】 试题分析:本题主要考查统计表、概率等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能 力.第一问,由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数 200,计算出概率;第二问,先由统计表读出顾客在甲、 乙、丙、丁中同时购买 3 中商品的人数 100+200,再计算概率;第三问,由统计表读出顾客同时购买甲和乙的 人数为 200, 顾客同时购买甲和丙的人数为 100+200+300, 顾客同时购买甲和丁的人数为 100, 分别计算出概率, 再通过比较大小得出结论. 试题解析: (Ⅰ)从统计表可以看出,在这 1000 位顾客中,有 200 位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购 买乙和丙的概率可以估计为

200 ? 0.2 . 1000

(Ⅱ)从统计表可以看出,在在这 1000 位顾客中,有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有 200 位顾客同时 购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以 估计为

100 ? 200 ? 0.3 . 1000

(Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:

200 ? 0.2 , 1000 100 ? 200 ? 300 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 ? 0.6 , 1000 100 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 ? 0.1 , 1000
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点:统计表、概率. 5.(15 年广东文科)已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次品 的概率为( A. 0.4 【答案】B 【解析】 试题分析: 5 件产品中有 2 件次品,记为 a , b ,有 3 件合格品,记为 c , d , e ,从这 5 件产品中任取 2 件, 有 10 种,分别是 ? a, b ? , ? a, c ? , ? a, d ? , ? a, e ? , ? b, c ? , ? b, d ? , ? b, e ? , ? c, d ? , ? c, e ? , ? d , e ? ,恰有一 件次品,有 6 种,分别是 ? a, c ? , ? a, d ? , ? a, e ? , ? b, c ? , ? b, d ? , ? b, e ? ,设事件 ? ? “恰有一件次品” ,则 ) B. 0.6 C. 0.8 D. 1

? ? ?? ?

6 ? 0.6 ,故选 B. 10

考点:古典概型.

6.(15 年广东文科)已知样本数据 x1 , x2 ,??? , xn 的均值 x ? 5 ,则样本数据 2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 ,??? , 2 xn ? 1 的均值为 【答案】 11 .

考 点:均值的性质. 7.(15 年广东文科)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度) ,以 ?160,180 ? ,?180, 200 ? ,? 200, 220 ? ,

? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? , ? 280,300? 分组的频率分布直方图如图 2 .

?1? 求直方图中 x 的值; ? 2 ? 求月平均用电量的众数和中位数; ? 3? 在月平均用电量为 ? 220, 240 ? ,? 240, 260 ? ,? 260, 280 ? ,? 280,300? 的四组用户中,用分层抽样的方法抽 取 11 户居民,则月平均用电量在 ? 220, 240 ? 的用户中应抽取多少户?
【答案】 (1) 0.0075 ; (2) 230 , 224 ; (3) 5 . 【解析】 试题解析: (1)由 ? 0.002 ? 0.0095 ? 0.011 ? 0.0125 ? x ? 0.005 ? 0.0025? ? 20 ? 1 得: x ? 0.0075 ,所以直 方图中 x 的值是 0.0075

考 点:1、频率分布直方图;2、样本的数字特征(众数、中位数) ;3、分层抽样. 8.(15 年安徽文科)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职 工 对 该 部 门 的 评 分 , 绘 制 频 率 分 布 直 方 图 ( 如 图 所 示 ), 其 中 样 本 数 据 分 组 区 间 为

[40,50],[50,60],? ? ? ,[80,90],[90,100]
(1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在 [40,60] 的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在 [40,50] 的概率.

【答案】 (1)0.006(2)

2 1 (3) 5 10

(Ⅲ)由频率分布直方图可知:在[40,50)内的人数为 0.004×40×50=2(人) 在[50,60)内的人数为 0.006×10×50=3(人) 设[40,50)内的两人分别为 a1 , a2 ;[50,60)内的三人为 A 1, A2 , A 3 ,则从[40,60)的受伤职工中随机抽取 2 人,基 本事件有( a1 , a2 ) , ( a1 , A1 ) , ( a1 , A2 ) , ( a1 , A3 ) , ( a2 , A1 ) , ( a2 , A2 ) , ( a2 , A3 ) , (A 1 , A2 ( A2 , A3 )共 10 种;其中 2 人评分都在[40,50)内的概率为 考点:1.频率分布直方图;2.古典概型. 9.(15 年福建文科)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为 (1, 0) .且点 C 与点 D 在函数 ) , ( A1 , A3 ) ,

1 . 10

? x ? 1, x ? 0 ? f ( x) ? ? 1 的图像上.若在矩形 ABCD 内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率等于( ? x ? 1, x ? 0 ? ? 2
A.



1 6

B.

1 4

C.

3 8

D.

1 2

y D F O C x B

A

【答案】B

考点:古典概型. 10.(15 年福建文科)某校高一年级有 900 名学生,其中女生 400 名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年 级学生中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为_______. 【答案】 25 【解析】 试题分析:由题意得抽样比例为 考点:分层抽样. 11.(15 年福建文科)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标.根据相关报道提 供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前 20 名的“省级卫视 新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.

45 1 1 ? ? 25 . ,故应抽取的男生人数为 500 ? 900 20 20

组号 1 2 3 4

分组

频数 2 8 7 3

[4,5)
[5, 6) [6, 7)
[7,8]

(Ⅰ)现从融合指数在 [4,5) 和 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研,求至少有 1 家的融合 指数在 ?7,8? 的概率; (Ⅱ)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数. 【答案】 (Ⅰ)

9 ; (Ⅱ) 6.05 . 10

解 法一: (I)融合指数在 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”记为 ?1 , ? 2 , ?3 ;融合指数在 ? 4,5? 内的“省级卫视 新闻台”记为 ?1 , ?2 .从融合指数在 ? 4,5? 和 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件 是: ??1 , ?2 ? , ??1 , ?3? , ??2 , ?3? , ??1 , ?1? , ??1 , ?2 ? , ??2 , ?1? , ??2 , ?2 ? , ??3 , ?1? , ??3 , ?2 ? ,

??1, ?2? ,共10 个.
其中,至少有 1 家融合指数在 ?7,8? 内的基本事件是:??1 , ?2 ? ,??1 , ?3? ,??2 , ?3? ,??1 , ?1? ,??1 , ?2 ? ,

??2 , ?1? , ??2 , ?2? , ??3 , ?1? , ??3 , ?2? ,共 9 个.
所以所求的概率 ? ?

9 . 10

(II)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 4.5 ?

2 8 7 3 ? 5.5 ? ? 6.5 ? ? 7.5 ? ? 6.05 . 20 20 20 20

解法二: (I)融合指数在 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”记为 ?1 , ? 2 , ?3 ;融合指数在 ? 4,5? 内的“省级卫

视新闻台”记为 ?1 , ?2 .从融合指数在 ? 4,5? 和 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事 件是:??1 , ?2 ? ,??1 , ?3? ,??2 , ?3? ,??1 , ?1? ,??1 , ?2 ? ,??2 , ?1? ,??2 , ?2 ? ,??3 , ?1? ,??3 , ?2 ? ,

??1, ?2? ,共10 个.
其中,没有 1 家融合指数在 ?7,8? 内的基本事件是: ??1 , ?2 ? ,共 1 个. 所以所求的概率 ? ? 1 ? (II)同解法一. 考点:1、古典概型;2、平均值. 12.(15 年新课标 2 文科)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以 下结论中不正确的是(
2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年

1 9 ? . 10 10



A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D

考 点:柱形图 13. (15 年新课标 2 文科) 某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据 用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分 布表.

A 地区用户满意度评分的频率分布直方图

(I)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及 分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)

B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.

【答案】 (I)见试题解析(II)A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.

考 点:1.频率分布直方图;2.概率估计. 14.(15 年陕西文科)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图所示,则该校女 教师的人数为( A.93 B.123 ) C.137 D.167

70% 女





60% 男

(初中部)
【答案】 C 【解析】

(高中部)

试题分析:由图可知该校女教师的人数为 110 ? 70% ? 150 ? (1 ? 60%) ? 77 ? 60 ? 137 故答案选 C 考点:概率与统计. 15.(15 年陕西文科)随机抽取一个年份,对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计,结果如下: 日期 天气 1 晴 2 雨 3 阴 4 阴 5 阴 6 雨 7 阴 8 晴 9 晴 10 晴 11 阴 12 晴 13 晴 14 晴 15 晴

日期 天气

16 晴

17 阴

18 雨

19 阴

20 阴

21 晴

22 阴

23 晴

24 晴

25 晴

26 阴

27 晴

28 晴

29 晴

30 雨

(I)在 4 月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率; (II)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率. 【答案】(I) 【解析】 试题分析:(I)在容量为 30 的样本中,从表格中得,不下雨的天数是 26,以频率估计概率,4 月份任选一天,西 安市不下雨的概率是

13 7 ; (II) . 8 15

26 13 ? . 30 15 14 7 ? ,以频率估计概率,运 16 8

(II)称相邻两个日期为“互邻日期对” (如 1 日与 2 日,2 日与 3 日等)这样在 4 月份中,前一天为晴天的互邻 日期对有 16 对,其中后一天不下雨的有 14 个,所以晴天的次日不下雨的频率为 动会期间不下雨的概率为

7 . 8

试题解析:(I)在容量为 30 的样本中,不下雨的天数是 26,以频率估计概率,4 月份任选一天,西安市不下雨的

概率是

13 . 15
7 , 8

(II)称相邻两个日期为“互邻日期对” (如 1 日与 2 日,2 日与 3 日等)这样在 4 月份中,前一天为晴天的互邻 日期对有 16 对,其中后一天不下雨的有 14 个,所以晴天的次日不下雨的频率为 以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为 考点:概率与统计. 16.(15 年天津文科)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三 个协会中抽取 6 名运动员参加比赛. (I)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数; (II)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5, A 6 ,从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打 比赛. (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设 A 为事件“编号为 A5 , A6 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A 发生的概率. 【答案】 (I)3,1,2; (II) (i)见试题解析; (ii)

7 . 8

3 5

【解析】 试题分析: (I)由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3,1,2; (II) (i) 一一列举,共 15 种; (ii)符合条件的结果有 9 种,所以 P ? A ? ?

9 3 ? .. 15 5

试题解析: (I)应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3,1,2; (II) (i)从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛,所有可能的结果为 ? A 1, A 2? ,

? A1, A3? , ? A1, A4? , ? A1, A5? , ? A1, A6? , ? A2 , A3? , ? A2 , A4? , ? A2 , A5? , ? A2 , A6? , ? A3 , A4? , ? A3 , A5? , ? A3 , A6? , ? A4 , A5? , ? A4 , A6? , ? A5 , A6? ,共 15 种.
( ii ) 编 号 为 A5 , A6 的 两 名 运 动 员 至 少 有 一 人 被 抽 到 的 结 果 为 ? A 1, A 5? , ? A 1, A 6? ,

? A2 , A5? , ? A2 , A6? ,
9 3

? A3 , A5? , ? A3 , A6? , ? A4 , A5? , ? A4 , A6? , ? A5 , A6? ,共 9 种,所以事件 A 发生的概率 P ? A? ? 15 ? 5 .
考点:分层抽样与概率计算. 17.(15 年江苏)已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 【答案】6

考点:平均数

18.(15 年江苏) 袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随机摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为________.

5 【答案】 . 6

考 点:古典概型概率

专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何
1.(15 北京文科)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 )

【答案】C 【解析】 试题分析:四棱锥的直观图如图所示:

由三视图可知, SC ? 平面 ABCD,SA 是四棱锥最长的棱, SA ? 考点:三视图.

SC 2 ? AC 2 ? SC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 3 .

2.(15 北京文科)如图,在三棱锥 V ? ??C 中,平面 V?? ? 平面 ??C , ?V?? 为等边三角形, ?C ? ?C 且 ?C ? ?C ?

2 , ? , ? 分别为 ?? , V? 的中点.

(Ⅰ)求证: V? // 平面 ??C ; (Ⅱ)求证:平面 ??C ? 平面 V?? ; (Ⅲ)求三棱锥 V ? ??C 的体积.

【答案】 (1)证明详见解析; (2)证明详见解析; (3) 【解析】

3 . 3

试题分析:本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公 式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力. 第一问,在三角形 ABV 中,利用中位线的性质得 OM / /VB ,最后直接利用线面平行的判定得到结论;第二问, 先在三角形 ABC 中得到 OC ? AB ,再利用面面垂直的性质得 OC ? 平面 VAB,最后利用面面垂直的判定得 出结论;第三问,将三棱锥进行等体积转化,利用 VC ?VAB ? VV ? ABC ,先求出三角形 VAB 的面积,由于 OC ? 平 面 VAB,所以 OC 为锥体的高,利用锥体的体积公式计算出体积即可.

试题解析: (Ⅰ)因为 O, M 分别为 AB,VA 的中点, 所以 OM / /VB . 又因为 VB ? 平面 MOC, 所以 VB / / 平面 MOC. (Ⅱ)因为 AC ? BC , O 为 AB 的中点, 所以 OC ? AB . 又因为平面 VAB ? 平面 ABC,且 OC ? 平面 ABC, 所以 OC ? 平面 VAB. 所以平面 MOC ? 平面 VAB. (Ⅲ)在等腰直角三角形 ACB 中, AC ? BC ? 所以 AB ? 2, OC ? 1 . 所以等边三角形 VAB 的面积 S ?VAB ? 3 . 又因为 OC ? 平面 VAB, 所以三棱锥 C-VAB 的体积等于 ? OC ? S ?VAB ?

2,

1 3

3 . 3

又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等, 所以三棱锥 V-ABC 的体积为

3 . 3

考点:线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式. 3.(15 年广东文科)若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 ? 内, l2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的交线, 则下列命题正确的是( ) B. l 与 l1 , l2 都相交 D. l 与 l1 , l2 都不相交

A. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 【答案】A



点:空间点、线、面的位置关系. 4. (15 年广东文科) 如图 3 , 三角形 ?DC 所在的平面与长方形 ??CD 所在的平面垂直, ?D ? ?C ? 4 , ?? ? 6 , ?C ? 3 .

?1? 证明: ?C// 平面 ?D? ; ? 2 ? 证明: ?C ? ?D ; ? 3? 求点 C 到平面 ?D? 的距离.

【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3) 【解析】

3 7 . 2

试题解析: (1)因为四边形 ??CD 是长方形,所以 ?C//?D ,因为 ?C ? 平面 ?D? , ?D ? 平面 ?D? ,所 以 ?C// 平面 ?D? ( 2 )因为四边形 ??CD 是长方形,所以 ?C ? CD ,因为平面 ?DC ? 平面 ??CD ,平面 ?DC ? 平面

??CD ? CD , ?C ? 平面 ??CD ,所以 ?C ? 平面 ?DC ,因为 ?D ? 平面 ?DC ,所以 ?C ? ?D
(3)取 CD 的中点 ? ,连结 ?? 和 ?? ,因为 ?D ? ?C ,所以 ?? ? CD ,在 Rt???D 中,?? ?

?D 2 ? D? 2

? 42 ? 32 ? 7 ,因为平面 ?DC ? 平面 ??CD ,平面 ?DC ? 平面 ??CD ? CD , ?? ? 平面 ?DC ,所以
?? ? 平面 ??CD ,由(2)知:?C ? 平面 ?DC ,由(1)知:?C//?D ,所以 ?D ? 平面 ?DC ,因为 ?D ?
平 面 ?DC , 所 以 ?D ? ?D , 设 点 C 到 平 面 ?D? 的 距 离 为 h , 因 为 V三棱锥C ??D? ? V三棱锥???CD , 所 以

1 S ??CD ? ?? 2 ? 3 ? 6 ? 7 3 7 3 7 1 1 ? ? ,所以点 C 到平面 ?D? 的距离是 S ??D? ? h ? S ??CD ? ?? ,即 h ? 1 S ??D? 2 2 3 3 ? 3? 4 2
考点:1、线面平行;2、线线垂直;3、点到平面的距离. 5.(15 年安徽文科)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )

(A) 1 ? 3 【答案】C

(B) 1 ? 2 2

(C) 2 ? 3

(D) 2 2

考点:1.几何体的三视图;2.锥体的体积公式. 6.(15 年安徽文科) 如图,三棱锥 P-ABC 中,PA ? 平面 ABC, PA ? 1, AB ? 1, AC ? 2, ?BAC ? 60 .
o

(1)求三棱锥 P-ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC ? BM,并求

PM 的值。 MC

【答案】 (1) 【解析】

PM 1 3 ? (2) MC 3 6

试题分析: (Ⅰ)在 ?ABC 中 ? S?ABC =

3 .又∵PA⊥面 ABC ∴PA 是三棱锥 P-ABC 的高,根据锥体的体积公 2

式即可求出结果;(Ⅱ)过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N,过 N 作 NM∥PA 交 PC 于 M,根据线面垂直的判定定理和性 质定理,可知此 M 点即为所求,根据相似三角形的性质即可求出结果. 试题解析: (Ⅰ)在 ?ABC 中, AB =1, AC ? 2, ∠ BAC ? 60
?

1 1 3 . ? S?ABC = AB ? AC ? sin ?BAC = ? 1 ? 2 ? sin 60? ? 2 2 2
又∵PA⊥面 ABC ∴PA 是三棱锥 P-ABC 的高 ∴ V三棱锥P - ABC= PA ? S?ABC ?

[gkstk.Com]

1 3

1 3 3 ? 1? ? 3 2 6

(Ⅱ)过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N,过 N 作 NM∥PA 交 PC 于 M,则

MN ? 面ABC? ? ? AC ? 面BMN ? ? AC ? BM ? ? MN ? AC ? ? AC ? 面ABC ? MN ? BN=N ? BM ? 面BMN ?

3 PM 1 1 CM CN 3 = . = ? 2= ? 此时 M 即为所找点,在 ?ABN 中,易知 AN = ? 2 PC AC MC 3 2 4

考点:1.锥体的体积公式;2.线面垂直的判定定理及性质定理. 7.(15 年福建文科)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( A. 8 ? 2 2 B. 11 ? 2 2 C. 14 ? 2 2 D. 15 )

2

1

1

1

【答案】B 【解析】 试题分析:由三视图还原几何体,该几何体是底面为直角梯形,高为 2 的直四棱柱,且底面直角梯形的两底

2 ,直角腰长为 1 ,斜腰为 2 .底面积为 2 ? 分别为 1,

1 ? 3 ? 3 ,侧面积为则其表面积为 2

2+2+4+2 2=8+2 2 ,所以该几何体的表面积为 11 ? 2 2 ,故选 B.
考点:三视图和表面积. 8.(15 年福建文科)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点, ?? 垂直于圆 ? 所在的平面, 且 ?? ? ?? ? 1.

(Ⅰ)若 D 为线段 AC 的中点,求证 ?C ? 平面 ? D ? ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? ABC 体积的最大值; (Ⅲ)若 BC ? 2 ,点 E 在线段 PB 上,求 CE ? OE 的最小值.

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】

1 2? 6 ; (Ⅲ) . 3 2

试题分析: (Ⅰ)要证明 ?C ? 平面 ? D ? ,只需证明 AC 垂直于面 ? D ? 内的两条相交直线.首先由 ?? 垂直 于圆 ? 所在的平面,可证明 ?? ? ?C ;又 ?? ? ?C , D 为 ? C 的中点,可证明 ?C ? ?D ,进而证明结论; (Ⅱ)三棱锥 P ? ABC 中,高 PO ? 1 ,要使得 P ? ABC 体积最大,则底面 ABC 面积最大,又 AB ? 2 是定 值,故当 AB 边上的高最大,此时高为半径,进而求三棱锥 P ? ABC 体积; (Ⅲ)将侧面 ? C ? 绕 ?? 旋转至平 面 ? C?? ,使之与平面 ??? 共面,此时线段 OC 的长度即为 CE ? OE 的最小值.
'

试题解析:解法一: (I)在 ??? C 中,因为 ?? ? ?C , D 为 ? C 的中点, 所以 ?C ? ?D . 又 ?? 垂直于圆 ? 所在的平面, 所以 ?? ? ?C . 因为 D? ? ?? ? ? , 所以 ?C ? 平面 ? D ? . (II)因为点 C 在圆 ? 上, 所以当 C? ? ?? 时, C 到 ?? 的距离最大,且最大值为 1 . 又 ?? ? 2 ,所以 ??? C 面积的最大值为 又因为三棱锥 ? ? ?? C 的高 ?? ? 1 , 故三棱锥 ? ? ?? C 体积的最大值为 ?1? 1 ?

1 ? 2 ?1 ? 1 . 2
1 . 3
?

1 3

(III)在 ???? 中, ?? ? ?? ? 1, ???? ? 90 , 所以 ?? ? 12 ? 12 ? 2 . 同理 ?C ?

2 ,所以 ?? ? ?C ? ?C .

在三棱锥 ? ? ?? C 中,将侧面 ? C ? 绕 ?? 旋转至平面 ? C?? ,使之与平面 ??? 共面,如图所示.

当 ? , ? , C? 共线时, C? ? ?? 取得最小值.

又因为 ?? ? ?? , C?? ? C?? , 所以 ?C? 垂直平分 ?? , 即 ? 为 ?? 中点. 从而 ?C? ? ?? ? ?C? ?

2 6 2? 6 , ? ? 2 2 2 2? 6 . 2

亦即 C? ? ?? 的最小值为

解法二: (I) 、 (II)同解法一. (III)在 ???? 中, ?? ? ?? ? 1, ???? ? 90 ,
?

所以 ???? ? 45 , ?? ? 12 ? 12 ? 2 .同理 ?C ?
?

2.

所以 ?? ? ?C ? ?C ,所以 ?C?? ? 60 .
?

在三棱锥 ? ? ?? C 中,将侧面 ? C ? 绕 ?? 旋转至平面 ? C?? ,使之与平面 ??? 共面,如图所示. 当 ? , ? , C? 共线时, C? ? ?? 取得最小值. 所以在 ??C?? 中,由余弦定理得:

?C?2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos ? 45? ? 60? ?

? 2 1 ? 1 ? 2? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2

2 ? 2

? 3 ? ? 2 ?

? 2? 3.
从而 ?C? ?

2? 3 ?

2? 6 . 2 2? 6 . 2

所以 C? ? ?? 的最小值为

考点:1、直线和平面垂直的判定;2、三棱锥体积. 9. (15 年新课标 2 文科) 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余 部分体积的比值为( )

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

【答案】D 【解析】 试题分析:截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的

1 ,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 6

1 ,故选 D. 5
考点:三视图 10. ( 15 年新课标 2 文科)已知 A, B 是球 O 的球面上两点 , ?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点 . 若三棱锥

O ? ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为(
A. 36? 【答案】C B. 64? C. 144 ? D. 256 ?



考 点:球与几何体的切接. 11.(15 年新课标 2 文科)如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10, AA 1 ? 8 ,点 E,F 分别在 A 1B 1, D 1C1 上, A 1E ? D 1F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ;

(II)求平面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】 (I)见试题解析(II)

9 7 或 7 9

考 点:1.几何体中的截面问题;2.几何体的体积 12.(15 年陕西文科)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. 3? B. 4? C. 2? ? 4 D. 3? ? 4 )

【答案】 D

【解析】 试题分析:由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半, 所以该几何体的表面积为 ? ?1? 2 ?

1 ? ? ?12 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3? ? 4 ,故答案选 D 2

考点:1.空间几何体的三视图;2.空间几何体的表面积. 13. (15 年陕西文科) 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中,AD // BC , ?BAD ?

?
2

, AB ? BC ?

1 AD ? a ,E 是 AD 2

的中点, O 是 OC 与 BE 的交点,将 ?ABE 沿 BE 折起到图 2 中 ?A1BE 的位置,得到四棱锥 A 1 ? BCDE . (I)证明: CD ? 平面 AOC ; 1 (II)当平面 A 1BE ? 平面 BCDE 时,四棱锥 A 1 ? BCDE 的体积为 36 2 ,求 a 的值.

【答案】(I) 证明略,详见解析;(II) a ? 6 .

(II) 由已知,平面

A1 BE ? 平面 BCDE ,且平面 A1BE ? 平面 BCDE ? BE ,又由(I)知, AO ? BE ,所 1
以 AO ? 平面 BCDE ,即 AO 1 1 是四棱锥 A 1 ? BCDE 的高,易求得平行四边形 BCDE 面积

1 2 3 2 3 S ? BC ? AB ? a 2 ,从而四棱锥 A1 ? BCDE 的为 V ? ? S ? A1O ? a ,由 a ? 36 2 ,得 a ? 6 . 6 3 6

(II)由已知,平面 A 1BE ? 平面 BCDE , 且平面 A 1BE ? 平面 BCDE ? BE 又由(I)知, AO ? BE ,所以 1

AO ? 平面 BCDE , 1
即 AO 1 是四棱锥 A 1 ? BCDE 的高,

? 由图 1 可知, AO 1

2 2 AB ? a ,平行四边形 BCDE 面积 S ? BC ? AB ? a 2 , 2 2

从而四棱锥 A 1 ? BCDE 的为

1 1 2 2 3 V ? ? S ? AO ? ? a2 ? a? a , 1 3 3 2 6


2 3 a ? 36 2 ,得 a ? 6 . 6

考点:1.线面垂直的判定;2.面面垂直的性质定理;3.空集几何体的体积. 14.(15 年天津文科)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

m3 .

【答案】

8π 3

【解析】 试题分析:该几何体是由两个高为 1 的圆锥与一个高为 2 圆柱组合而成,所以该几何体的体积为

1 8π 3 2 ? ? π ?1 ? π ? 2 ? (m ) . 3 3
考点:1.三视图;2.几何体的体积. 15.(15 年天津文科)如图,已知 AA1 ? 平面 ABC, BB1 ? AA1 , AB=AC=3, BC ? 2 5, AA 1 ? 7 ,, BB 1 ? 2 7, 点 E,F 分别是 BC, AC 的中点. 1 (I)求证:EF ? 平面 A 1B 1BA ; (II)求证:平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 . (III)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

【答案】 (I)见试题解析; (II)见试题解析; (III) 30 . 【解析】 试题分析: (I) 要证明 EF ? 平面 A (II) 要证明平面 AEA 1B 1BA , 只需证明 EF ? BA 1 且 EF ? 平面 A 1B 1BA ; 1 ? 平面 BCB1 ,可证明 AE ? BC , BB1 ? AE ; (III)取 B1C 中点 N,连接 A1 N ,则 ?A1B1 N 就是直线 A1B1 与平面

?

BCB1 所成角,Rt△ A1 NB1 中,由 sin ?A1B1 N ?

A1 N 1 ? , 得直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角为 30? . A1B 2

试题解析: (I)证明:如图,连接 A 的中点,所以 EF ? BA1 ,又因为 1B ,在△ A 1BC 中,因为 E 和 F 分别是 BC, AC 1 EF ? 平面 A 1B 1BA , 所以 EF ? 平面 A 1B 1BA . (II)因为 AB=AC,E 为 BC 中点,所以 AE ? BC ,因为 AA1 ? 平面 ABC, BB1 ? AA1 , 所以 BB1 ? 平面 ABC,从而

BB1 ? AE ,又 BC ? BB1 ? B ,所以 AE ? 平面 BCB1 ,又因为 AE ? 平面 AEA1 ,所以平面 AEA1 ? 平面 BCB1 .

考点:1.空间中线面位置关系的证明;2.直线与平面所成的角 16.(15 年浙江文科)

17.(15 年江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。若将 它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 【答案】 7 【解析】

1 1 2 2 2 2 试题分析:由体积相等得: ? 4 ? ? ? 5 +? ? 2 ? 8= ? r ? ? ? 4 ? ? ? r ? 8 ? r ? 7 3 3
考点:圆柱及圆锥体积 18.(15 年江苏)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AC ? BC , BC ? CC1 ,设 AB1 的中点为 D , (1) DE // 平面AA B1C ? BC1 ? E .求证: 1C1C ; (2) BC1 ? AB1 .
[来源:学科网]

【答案】 (1)详见解析(2)详见解析 【解析】 试题分析: (1)由三棱锥性质知侧面 BB1C1C 为平行四边形,因此点 E 为 B1C 的中点,从而由三角形中位线性质 得 DE / / AC ,再由线面平行判定定理得 DE // 平面AA 1C1C (2)因为直三棱柱 ABC ? A 1 B1C1 中 BC ? CC1 , 所以侧面 BB1C1C 为正方形,因此 BC1 ? B1C ,又 AC ? BC , AC ? CC1 (可由直三棱柱推导) ,因此由线面垂 直判定定理得 AC ? 平面BB1C1C ,从而 AC ? BC1 ,再由线面垂直判定定理得 BC1 ? 平面AB1C ,进而可得

BC1 ? AB1

考点:线面平行判定定理,线面垂直判定 定理

专题十五 点、线、面的位置关系

1.(15 年安徽文科)直线 3x+4y=b 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 相切,则 b=( (A)-2 或 12 【答案】D 【解析】 试题分析:∵直线 3x ? 4 y ? b 与圆心为(1,1),半径为 1 的圆相切,∴ (B)2 或-12 (C)-2 或-12 (D)2 或 12

)

3? 4?b 32 ? 42

=1 ? b ? 2 或 12,

故选 D. 考点:1.直线与圆的位置关系;2.点到直线的距离公式.

专题十六 平面几何初步
1.(15 北京文科)圆心为 ?1,1? 且过原点的圆的方程是( A. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2 2


2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 D. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

C. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

【答案】D 【解析】 试题分析:由题意可得圆的半径为 r ? 考点:圆的标准方程. 2.(15 年新课标 2 文科)已知三点 A(1,0), B(0, 3), C(2, 3) ,则△ ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )

2 ,则圆的标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .
2 2

A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

【答案】B

考 点:直线与圆的方程.

x2 y 2 2 3.(15 年新课标 2 文科)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 2, 2 在 C 上. a b 2
(I)求 C 的方程; (II)直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明:直线 OM 的斜率 与直线 l 的斜率乘积为定值. 【答案】(I)

?

?

x2 y 2 ? ? 1 (II)见试题解析 82 42



点:直线与椭圆 4.(15 年天津文科)如图,在圆 O 中,M,N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则 线段 NE 的长为( ) (A)

8 3

(B) 3

(C)

10 3

(D)

5 2

【答案】A 【解析】 试题分析:由相交弦定理可

CM ? MD ? CN ? NE ?
考点:相交弦定理

1 CM ? MD 8 AB ? AB ? NE ? ? , 3 CN 3

故选 A.

x2 y 2 5 5.(15 年天津文科)已知椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的上顶点为 B,左焦点为 F ,离心率为 , a b 5
(I)求直线 BF 的斜率; (II)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B),故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 Q(Q 异于点 B)直线 PQ 与 x 轴交于点 M, |PM |=l |MQ| . (i)求 l 的值; (ii)若 |PM |sin?BQP =

7 5 ,求椭圆的方程. 9

【答案】 (I)2; (II) (i) 【解析】 试题分析: (I)先由

x2 y 2 7 ? ? 1. ; (ii) 8 5 4

b?0 b c 5 2 2 2 ? ?2; 及 a ? b ? c , 得 a ? 5c, b ? 2c ,直线 BF 的斜率 k ? (II)先 ? a 5 0 ? ? ?c ? c
PM MQ
? xM ? x P xQ ? xM ? 7 ? . ( ii)先由 xQ 8 xP

把直线 BF,BQ 的方程与椭圆方程联立 , 求出点 P,Q 横坐标 , 可得 ? ?

|PM |sin?BQP =

7 5 15 得 BP =|PQ|sin?BQP = |PM |sin? BQP 9 7

5 5 , 由 此 求 出 c=1, 故 椭 圆 方 程 为 3

x2 y 2 ? ? 1. 5 4
试题解析: (I) F ? ?c,0 ? ,由已知

c 5 及 a 2 ? b2 ? c 2 , 可得 a ? 5c, b ? 2c ,又因为 B ? 0, b ? ,故直线 BF ? a 5

的斜率 k ?

b?0 b ? ?2 . 0 ? ? ?c ? c

(II)设点 P ? xP , yP ? , Q xQ , yQ , M ? xM , yM ?

?

?

x2 y2 ,(i)由(I)可得椭圆方程为 2 ? 2 ? 1, 直线 BF 的方程为 5c 4c
5c . 因为 BQ ? BP , 所以直线 BQ 方程为 3

y ? 2 x ? 2c , 两方程联立消去 y 得 3x2 ? 5cx ? 0, 解得 xP ? ?

PM 1 40c y ? ? x ? 2c ,与椭圆方程联立消去 y 得 21x 2 ? 40cx ? 0 ,解得 xQ ? .又因为 ? ? ,及 xM ? 0 得 2 21 MQ

??

xM ? x P xQ ? xM

?

7 ? . xQ 8

xP

(ii)由(i)得

PM MQ

?

PM 15 7 5 7 7 7 PM ,又因为 |PM |sin?BQP = ,所以 , ? ? ,即 PQ ? 7 9 8 PM ? MQ 7 ? 8 15
15 |PM |sin? BQP 7 5 5 . 3
2 2

所以 BP =|PQ|sin?BQP =

5c ? ? 4c ? 5 5 4 5 5 5 5 ? c , 因此 又因为 yP ? 2 xP ? 2c ? ? c , 所以 BP ? ? 0 ? c? , c ? 1, 所 ? ? ? 2c ? ? ? 3 3? ? 3 ? 3 3 3 ?

x2 y 2 ? ? 1. 以椭圆方程为 5 4
考点:直线与椭圆. 6.(15 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,以点 (1,0) 为圆心且与直线 m x ? y ? 2m ? 1 ? 0(m ? R) 相切的所有 圆中,半径最大的圆的标准方程为 【答案】 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2.

考点:直线与圆位置关系

专题十七 圆锥曲线与方程

1.(15 北京文科)已知 ? 2, 0 ? 是双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ( b ? 0 )的一个焦点,则 b ? b2



【答案】 3 【解析】 试题分析:由题意知 c ? 2, a ? 1 , b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3 ,所以 b ? 3 . 考点:双曲线的焦点. 2.(15 北京文科)已知椭圆 C : x ? 3 y ? 3 ,过点 D ?1, 0 ? 且不过点 ? ? 2,1? 的直线与椭圆 C 交于 ? , ? 两点,
2 2

直线 ?? 与直线 x ? 3 交于点 ? . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若 ?? 垂直于 x 轴,求直线 ?? 的斜率; (Ⅲ)试判断直线 ?? 与直线 D? 的位置关系,并说明理由.

【答案】 (1) 【解析】

6 ; (2)1; (3)直线 BM 与直线 DE 平行. 3

试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识,考查学 生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先将椭圆方程化为标准方程,得到 a,b,c 的值, 再利用 e ?

c 计算离心率;第二问,由直线 AB 的特殊位置,设出 A,B 点坐标,设出直线 AE 的方程,由于直 a

线 AE 与 x=3 相交于 M 点,所以得到 M 点坐标,利用点 B、点 M 的坐标,求直线 BM 的斜率;第三问,分直 线 AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论,第一种情况,直接分析即可得出结论,第二种情况,先设出直 线 AB 和直线 AE 的方程,将椭圆方程与直线 AB 的方程联立,消参,得到 x1 ? x2 和 x1 x2 ,代入到 k BM ? 1 中, 只需计算出等于 0 即可证明 k BM ? k DE ,即两直线平行.

试题解析: (Ⅰ)椭圆 C 的标准方程为 所以 a ? 3 , b ? 1 , c ? 所以椭圆 C 的离心率 e ?

x2 ? y 2 ? 1. 3

2.

c 6 . ? a 3

(Ⅱ)因为 AB 过点 D (1, 0) 且垂直于 x 轴,所以可设 A(1, y1 ) , B (1, ? y1 ) . 直线 AE 的方程为 y ? 1 ? (1 ? y1 )( x ? 2) . 令 x ? 3 ,得 M (3, 2 ? y1 ) . 所以直线 BM 的斜率 k BM ?

2 ? y1 ? y1 ? 1. 3 ?1

(Ⅲ)直线 BM 与直线 DE 平行.证明如下: 当直线 AB 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 k BM ? 1 . 又因为直线 DE 的斜率 k DE ?

1? 0 ? 1 ,所以 BM / / DE . 2 ?1

当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 1) . 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则直线 AE 的方程为 y ? 1 ?

y1 ? 1 ( x ? 2) . x1 ? 2

令 x ? 3 ,得点 M (3,

y1 ? x1 ? 3 ). x1 ? 2

由?

? x2 ? 3 y 2 ? 3 2 2 2 2 ,得 (1 ? 3k ) x ? 6k x ? 3k ? 3 ? 0 . y ? k ( x ? 1) ?
6k 2 3k 2 ? 3 , . x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

所以 x1 ? x2 ?

考点:椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系. 3.(15 年广东文科)已知椭圆 A. 9 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得: m 2 ? 25 ? 42 ? 9 ,因为 m ? 0 ,所以 m ? 3 ,故选 C. 考点:椭圆的简单几何性质. 4.(15 年安徽文科)下列双曲线中,渐近线方程为 y ? ?2 x 的是( (A) x ?
2

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 )的左焦点为 F1 ? ?4, 0 ? ,则 m ? ( 25 m 2
C. 3 D. 2



B. 4

)

y2 ?1 4

(B)

x2 ? y2 ? 1 4

y2 ?1 (C) x ? 2
2

x2 ? y2 ? 1 (D) 2

【答案】A 【解析】

试题分析:由双曲线的渐进线的公式可行选项 A 的渐进线方程为 y ? ?2 x ,故选 A. 考点:渐近线方程. 5.(15 年安徽文科)设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( a , 0) ,点 B 的 a 2 b2

坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA , 直线 OM 的斜率为 (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MN ? AB。 【答案】 (1)

5 。 10

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2 5 (2)详见解析. 5



1 b 2 2 2 2 3 = 5 ? b ? 1 ? a ?c ? 1 ? c ? 4 ?e ? 2 5 2 a2 5 a2 5 a2 5 5 a 10 3 a b (Ⅱ)由题意可知 N 点的坐标为( ,? ) 2 2 1 1 5b b? b 2 ? 6 ? 5b ∴ K MN ? 3 2 a a a a? 3 2 6 b K AB ? ?a

∴ K MN ? K AB ? ? ∴MN⊥AB

5b 2 ? ?1 a2

考点:1 椭圆的离心率;2.直线与椭圆的位置关系. 6. ( 15 年 福建 文科) 已知 椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 右焦 点为 F . 短轴 的一 个端点 为 M , 直线 a 2 b2
4 ,则椭圆 E 的离心率 5

l : 3x ? 4 y ? 0 交椭圆 E 于 A, B 两点.若 AF ? BF ? 4 ,点 M 到直线 l 的距离不小于
的取值范围是( ) A.

(0,

3 ] 2

B. (0, ]

3 4

C. [

3 ,1) 2

D. [ ,1)

3 4

【答案】A

考 点:1、椭圆的定义和简单几何性质;2、点到直线距离公式. 7.(15 年福建文科)已知点 F 为抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,点 A(2, m) 在抛物线 E 上,且 AF ? 3 . (Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 G(?1, 0) ,延长 AF 交抛物线 E 于点 B ,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线

GB 相切.

【答案】 (Ⅰ) y 2 ? 4 x ; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用抛物线定义,将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化.本题由 AF ? 3 可得

2?

p ? 3 ,可求 p 的值,进而确定抛物线方程; (Ⅱ)欲证明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 2

GB 相 切 . 可 证 明 点 F 到 直 线 GA 和 直 线 GB 的 距 离 相 等 ( 此 时 需 确 定 两 条 直 线 方 程 ) ;也可以证明 ??GF ? ??GF ,可转化为证明两条直线的斜率互为相反数.
试题解析:解法一: (I)由抛物线的定义得 ?F ? 2 ? 因为 ?F ? 3 ,即 2 ?

p . 2

p ? 3 ,解得 p ? 2 ,所以抛物线 ? 的方程为 y 2 ? 4x . 2

(II)因为点 ? ? 2, m? 在抛物线 ? : y 2 ? 4 x 上, 所以 m ? ?2 2 ,由抛物线的对称性,不妨设 ? 2, 2 2 . 由 ? 2, 2 2 , F ?1,0? 可得直线 ? F 的方程为 y ? 2 2 ? x ?1? . 由?

?

?

?

?

? ? y ? 2 2 ? x ? 1? ? ? y ? 4x
2

,得 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,
2

解得 x ? 2 或 x ? 又 G ? ?1,0 ? ,

1 ?1 ? ,从而 ? ? , ? 2 ? . 2 ?2 ?

所以 kG? ?

? 2 ?0 2 2 2 2 ?0 2 2 ?? , kG? ? , ? 1 3 2 ? ? ?1? 3 ? ? ?1? 2

所以 kG? ? kG? ? 0 ,从而 ??GF ? ??GF ,这表明点 F 到直线 G ? , G ? 的距离相等, 故以 F 为圆心且与直线 G ? 相切的圆必与直线 G ? 相切. 解法二: (I)同解法一. (II)设以点 F 为圆心且与直线 G ? 相切的圆的半径为 r . 因为点 ? ? 2, m? 在抛物线 ? : y 2 ? 4 x 上, 所以 m ? ?2 2 ,由抛物线的对称性,不妨设 ? 2, 2 2 .

?

?

由 ? 2, 2 2 , F ?1,0? 可得直线 ? F 的方程为 y ? 2 2 ? x ?1? . 由?

?

?

? ? y ? 2 2 ? x ? 1? ? ? y ? 4x
2

,得 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,
2

解得 x ? 2 或 x ?

1 ?1 ? ,从而 ? ? , ? 2 ? . 2 ?2 ?

又 G ? ?1,0 ? ,故直线 G ? 的方程为 2 2x ? 3 y ? 2 2 ? 0 , 从而 r ?

2 2 ?2 2 8?9

?

4 2 . 17

又直线 G ? 的方程为 2 2x ? 3 y ? 2 2 ? 0 , 所以点 F 到直线 G ? 的距离 d ?

2 2?2 2 8?9

?

4 2 ?r. 17

这表明以点 F 为圆心且与直线 G ? 相切的圆必与直线 G ? 相切. 考点:1、抛物线标准方程;2、直线和圆的位置关系. 8. ( 15 年 新课 标 2 文科)已 知双曲线过点 4, 3 , 且渐近线 方程为 y ? ?

?

?

1 x , 则该双曲线的标 准方程 2

为 【答案】



x2 ? y2 ? 1 4

考点:双曲线几何性质 9.(15 年陕西文科)已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过点 (?1,1) ,则抛物线焦点坐标为( A. (?1, 0) 【答案】 B 【解析】 试题分析:由抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 得准线 x ? ?
2



B. (1, 0)

C. (0, ?1)

D. (0,1)

p ,因为准线经过点 (?1,1) ,所以 p ? 2 , 2

所以抛物线焦点坐标为 (1, 0) ,故答案选 B 考点:抛物线方程. 10.(15 年陕西文科)如图,椭圆 E : (I)求椭圆 E 的方程; (II)经过点 (1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P, Q (均异于点 A ) ,证明:直线 AP 与 AQ 的 斜率之和为 2.

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) ,且离心率为 . 2 a b 2

【答案】(I) 【解析】

x2 ? y 2 ? 1 ; (II)证明略,详见解析. 2

x2 c 2 2 2 2 试题分析:(I)由题意知 ? , b ? 1 ,由 a ? b ? c ,解得 a ? 2 ,继而得椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 ; 2 a 2
(II) 设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? , x1 x2 ? 0 由题设知,直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) ,代入

4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) x2 , x1 x2 ? ? y 2 ? 1 ,化简得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2
由已知 ? ? 0 , 从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和 k AP ? k AQ ?

y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x1

化简得 k AP ? k AQ ? 2k ? (2 ? k )

x1 ? x2 4k (k ? 1) ? 2k ? ? 2 ? k ? ? 2k ? (2k ? 1) ? 2 . 2k (k ? 2) x1 x2

试题解析:(I)由题意知
2 2 2

c 2 ? ,b ? 1, a 2

综合 a ? b ? c ,解得 a ? 2 ,

x2 ? y2 ? 1 . 所以,椭圆的方程为 2
(II)由题设知,直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) ,代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 2

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 ,
由已知 ? ? 0 ,设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? , x1 x2 ? 0 则 x1 ? x2 ?

4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) , x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和

k AP ? k AQ ?

y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x1

?1 1? x ? x2 ? 2k ? (2 ? k ) ? ? ? ? 2k ? (2 ? k ) 1 x1 x2 ? x1 x2 ?

? 2k ? ? 2 ? k ?

4k (k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? 2 . 2k (k ? 2)

考点:1.椭圆的标准方程;2.圆锥曲线的定值问题.

11. ( 15 年天津文科)已知双曲线

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的一个焦点为 F (2, 0) , 且双曲线的渐近线与圆 a 2 b2


( x - 2)
(A)

2

+ y 2 = 3 相切,则双曲线的方程为(

x2 y 2 =1 9 13

(B)

x2 y 2 =1 13 9

(C)

x2 - y2 =1 3

(D) x -

2

y2 =1 3

【答案】D

考点:圆与双曲线的性质. 12.(15 年江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个动点。若点 P 到直线
2 2

x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为
【答案】 【解析】
2 2

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

试题分析:设 P( x, y ), ( x ? 1) ,因为直线 x ? y ? 1 ? 0 平行于渐近线 x ? y ? 0 ,所以 c 的最大值为直线 x ? y ? 1 ? 0 与渐近线 x ? y ? 0 之间距离,为
1 2 ? 2 . 2

考点:双曲线渐近线,恒成立转化 13.(15 年江苏)如图,在平面直角坐标 系 xOy 中,已知椭圆 点 F 到左 准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若 PC=2AB, 求直线 AB 的方程.

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且右焦 2 a b 2

【答案】 (1)

x2 ? y 2 ? 1(2) y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 2

(2)当 ?? ? x 轴时, ?? ? 2 ,又 C? ? 3 ,不合题意. 当 ?? 与 x 轴不垂直时,设直线 ?? 的方程为 y ? k ? x ?1? , ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , 将 ?? 的方程代入椭圆方程,得 1 ? 2k

?

2

?x

2

? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1? ? 0 ,

则x

1,2

?

2k 2 ? 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2
2

? 2k 2 ?k ? , , C 的坐标为 ? 2 2 ? ,且 ? 1 ? 2k 1 ? 2 k ?
2

?? ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?

?

?1 ? k ? ? x
2

2

? x1 ? ?
2

2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2



若 k ? 0 ,则线段 ?? 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意.

从而 k ? 0 ,故直线 ? C 的方程为 y ?

k 1? 2k 2 ? ? ? x ? ? ?, 1 ? 2k 2 k ? 1 ? 2k 2 ?

? 2 ? 3k 2 ? 1? 1 ? k 2 5k 2 ? 2 ? ? ,从而 ?C ? 则 ? 点的坐标为 ? ?2, . 2 ? 2 ? k 1 ? 2 k k 1 ? 2 k ? ? ? ? ? ?
因为 ?C ? 2 ?? ,所以

2 ? 3k 2 ? 1? 1 ? k 2 k ?1 ? 2k 2 ?

?

4 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2

,解得 k ? ?1 .

此时直线 ?? 方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 考点:椭圆方程,直线与椭圆位置关系

专题十八

几何证明选讲

1.(15 年广东理科)如图 1,已知 AB 是圆 O 的直径, AB ? 4 , EC 是圆 O 的切线,切点为 C ,

BC ? 1 ,过圆心 O 做 BC 的平行线,分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ,则 OD ?
C B

D E A 图1

P

O

【答案】 8 .

【考点定位】本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理,属于中档题.

2.(15 年广东文科)如图 1 , ?? 为圆 ? 的直径, ? 为 ?? 的延长线上一点,过 ? 作圆 ? 的切线,切点为 C , 过 ? 作直线 ?C 的垂线,垂足为 D .若 ?? ? 4 , C? ? 2 3 ,则 ?D ? .

【答案】 3

A 考点:1、切线的性质;2、平行线分线段成比例定理;3、切割线定理. 3.(15 年新课标 2 文科)如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与△ABC 的底 边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. E O B M D N C G F

(I)证明 EF ? BC ; (II)若 AG 等于圆 O 半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积.

【答案】(I)见试题解析;(II)

16 3 3

考 点:1.几何证明;2.四边形面积的计算. 4.(15 年陕西文科)如图, AB 切 ? O 于点 B ,直线 AO 交 ? O 于 D , E 两点, BC ? DE , 垂足为 C . (I)证明: ?CBD ? ?DBA (II)若 AD ? 3DC, BC ?

2 ,求 ? O 的直径.

【答案】(I)证明略,详见解析; (II) 3 . 【解析】 试题分析: :(I)因为 DE 是 ? O 的直径,则 ?BED ? ?EDB ? 90? ,又 BC ? DE ,所以

?CBD ? ?EDB ? 90? ,又 AB 切 ? O 于点 B ,得 ?DBA ? ?BED ,所以 ?CBD ? ?DBA ;
(II)由(I)知 BD 平分 ?CBA ,则

BA AD ? ? 3 ,又 BC ? 2 ,从而 AB ? 3 2 ,由 AB2 ? BC 2 ? AC 2 , BC CD

2 解得 AC ? 4 ,所以 AD ? 3 ,由切割线定理得 AB ? AD ? AE ,解得 AE ? 6 ,故 DE ? AE ? AD ? 3 ,

即 ? O 的直径为 3. 试题解析:(I)因为 DE 是 ? O 的直径, 则 ?BED ? ?EDB ? 90? 又 BC ? DE ,所以 ?CBD ? ?EDB ? 90? 又 AB 切 ? O 于点 B , 得 ?DBA ? ?BED 所以 ?CBD ? ?DBA (II)由(I)知 BD 平分 ?CBA , 则

BA AD ? ? 3, BC CD

又 BC ? 2 ,从而 AB ? 3 2 , 所以 AC ?

AB2 ? BC2 ? 4

所以 AD ? 3 , 由切割线定理得 AB ? AD ? AE
2

AB 2 ? 6, 即 AE ? AD
故 DE ? AE ? AD ? 3 ,

即 ? O 的直径为 3. 考点:1.几何证明;2.切割线定理. 5.(15 年江苏)如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , ?ABC 的外接圆圆 O 的弦 AE 交 BC 于点 D 求证: ?ABD ∽ ?AEB A

O B E (第 21——A 题) 【答案】详见解析 D C

考点:三角形相似

专题十九

不等式选讲

1.(15 年新课标 2 文科)设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件. 【答案】 【解析】 试题分析:(I)由 a ? b ? c ? d 及 ab ? cd ,可证明

?

a? b

? ??
2

c? d

? ,开方即得
2

a? b? c? d .

(II)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.

试题解析: 解:(I)因为

?

a? b

?

2

? a ? b ? 2 ab ,

?

c? d

?

2

? c ? d ? 2 cd ,

考点:不等式证明. 2.(15 年陕西文科)已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 {x | 2 ? x ? 4} (I)求实数 a , b 的值; (II)求 at ? 12 ? bt 的最大值. 【答案】(I) a ? ?3, b ? 1 ;(II) 4 . 【解析】 试题分析:(I)由 x ? a ? b ,得 ?b ? a ? x ? b ? a ,由题意得 ?
2

? ?b ? a ? 2 ,解得 a ? ?3, b ? 1 ; ?b ? a ? 4
2 2 2

(II)柯西不等式得 ?3t ? 12 ? t ? 3 4 ? t ? t ? [( 3) ? 1 ][( 4 ? t ) ? ( t ) ? 2 4 ? t ? t ? 4 ,当 且仅当

4?t t 即 t ? 1 时等号成立,故 ? 1 3

?

?3t ? 12 ? t

?

min

?4.

试题解析:(I)由 x ? a ? b ,得 ?b ? a ? x ? b ? a 则?

? ?b ? a ? 2 ,解得 a ? ?3, b ? 1. ?b ? a ? 4

(II) ?3t ? 12 ? t ? 3 4 ? t ? t

? [( 3) 2 ? 12 ][( 4 ? t ) 2 ? ( t ) 2

? 2 4?t ?t ? 4
当且仅当

4?t t 即 t ? 1 时等号成立, ? 1 3



?

?3t ? 12 ? t

?

min

?4

考点:1.绝对值不等式;2.柯西不等式. 3.(15 年江苏)解不等式 x? | 2 x ? 3 |? 3 【答案】 ? x x ? ?5或x ? ? ?

? ?

1? 3?

【解析】 试题分析:根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集,分别求解即可

3 3 ? ? ?x ? ? ?x ? ? 试题解析:原不等式可化为 ? 2 或? 2 . ? ? ?? x ? 3 ? 2 ?3 x ? 3 ? 2
解得 x ? ?5 或 x ? ?

1 . 3

综上,原不等式的解集是 ? x x ? ?5或x ? ? ? .

? ?

1? 3?

考点:含绝对值不等式的解法

专题二十 坐标系与参数方程
1.(15 年广东文科)在平面直角坐标系 x?y 中,以原点 ? 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? cos ? ? sin ? ? ? ?2 ,曲线 C 2 的参数方程为 ? 坐标为 【答案】 ? 2, ?4 ? .
2 ? ?x ? t

? ? y ? 2 2t

( t 为参数) ,则 C1 与 C 2 交点的直角

【解析】 试题分析: 曲线 C1 的直角坐标方程为 x ? y ? ?2 , 曲线 C 2 的普通方程为 y ? 8 x , 由?
2

? x ? y ? ?2 ? y ? 8x
2

得:?

?x ? 2 , ? y ? ?4

所以 C1 与 C 2 交点的直角坐标为 ? 2, ?4 ? ,所以答案应填: ? 2, ?4 ? . 考点:1、极坐标方程化为直角坐标方程;2、参数方程化为普通方程;3、两曲线的交点. 2.(15 年新课标 2 文科)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? , ? y ? t sin ? ,

在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值. 【答案】(I) ? 0, 0 ? , ? 【解析】 试题分析:( I )把 C2 与 C3 的方程化为直角坐标方程分别为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 , x2 ? y 2 ? 2 3x ? 0 , 联立解

? 3 3? ? 2 ,2? ? ;(II)4. ? ?

考点:参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 3.(15 年陕西文科)在直角坐标版权法 xOy 吕,直线 l 的参数方程为 ? ,以原点为极 (t 为参数) ?y ? 3 t ? ? 2
点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? C 的极坐标方程为 ? ? 2 3sin ? . (I)写出 ? C 的直角坐标方程; (II) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的坐标. 【答案】(I) x ? y ? 3
2

?

?

2

? 3 ; (II) (3,0) .

【解析】 试题分析:(I)由 ? ? 2 3sin ? ,得 ? 2 ? 2 3? sin? ,从而有 x 2 ? y 2 ? 2 3 y ,所以 x ? y ? 3
2

?

?

2

?3

2 ? ? 1 3 ? 1 ? ? 3 ? t ? ,又 C (0, 3) ,则 PC ? ? 3 ? t ? ? ? (II)设 P ? 3 ? t , t ? 3 ? ? t 2 ? 12 ,故当 t ? 0 时, PC 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ?

2

取得最小值,此时 P 点的坐标为 (3,0) .

试题解析:(I)由 ? ? 2 3sin ? , 得 ? 2 ? 2 3? sin? , 从而有 x 2 ? y 2 ? 2 3 y 所以 x ? y ? 3
2

?

?

2

?3

(II)设 P ? 3 ?

? ?

1 3 ? t, t ? ,又 C (0, 3) , 2 2 ?
2

2 ? 1 ? ? 3 ? 则 PC ? ? 3 ? t ? ? ? t ? 3 ? ? t 2 ? 12 , 2 ? ? 2 ? ?

故当 t ? 0 时, PC 取得最小值, 此时 P 点的坐标为 (3,0) . 考点:1. 坐标系与参数方程;2.点与圆的位置关系.
2 4.(15 年江苏)已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 ? sin(? ?

?
4

) ? 4 ? 0 ,求圆 C 的半径.

【答案】 6

考点:圆的极坐标方程,极坐标与之间坐标互化


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