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山东省滕州市实验高中2016届高三上学期开学初检测数学试题(文)


山东省滕州市实验高中 2016 届高三第一学期开学初检测 数 学 试 题(文科)

一、选择题:每小题 5 分,共 12 小题,共 60 分. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8} ,集合 A={2,3,5,6} ,集合 B={1,3,4,6, 7} ,则集合 A ? CUB= A.{2,5} C. {2,5,6} B. {3,6} D. {2

,3,5,6,8}

2. 设 S n 是数列 {an }的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? A.5 B.7 C.9 D.11

3. 若 a 为实数且 (2 ? ai)(a ? 2i) ? ?4i ,则 a ? A. ?1 4.设 f(x)= ? A.-1 B. 0 C. 1 D. 2

? ?1 ? x , x ? 0
x ? ?2 ,

x?0
B.

,则 f(f(-2) )=

1 4

C.

1 2

D. )

3 2

5. 下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y ? ?2 x 的是( A. x ?
2

y2 ?1 4

B.

x2 ? y2 ? 1 4

C.

y2 ? x2 ? 1 4

D. y ?
2

x2 ?1 4
).

6.如下左图,在平面直角坐标系中,AC 平行于 x 轴,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,记 四边形位于直线 x=t(t>0)左侧图形的面积为 f(t),则 f(t)的大致图象是(

7. 下列判断正确的是(

)

A. 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“ p ? q ”为真命题 B. 命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ” C. “ sin ? ?

1 ? ”是“ ? ? ”的充分不必要条件 2 6

D. 命题“ ?x ? R, 2 x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, 2 x0 ? 0 ”
8. 设 f ?( x)是f ( x)的导函数 ,且 f ?( x) ? x 2 ? 3 x ? 4, 则 y ? f ? x ? 1? +ln2 的单调减区间为 ( )

A. ? ?4,1?

B. ? ?5, 0 ?

C. ? ? , ?? ?

? 3 ? 2

? ?

D. ? ? , ?? ?

? 5 ? 2

? ?

9. 定义一种运算 (a, b) ? (c, d ) ? ad ? bc , 若函数 f ( x) ? (1, log 3 x) ? (tan 方程 f ( x) ? 0 的解,且 0 ? x0 ? x1 ,则 f ( x1 ) 的值( )

13? 1 x , ( ) ) ,x0 是 4 5

A.恒为负值

B.等于 0

C.恒为正值

D.不大于 0

? y ? 2x ? 2 x?3 ? 10. 设实数 x,y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 的取值范围是( y ?1 ?x ? 2 ?
A. ? , 5 ?7 ? ? D. ? ? ?, ? ? ? , ? ??

)

?5 ?

B. ? ,1? 7

?5 ? ? ?

C.

?1 7 ? , ? ?5 5 ? ?

? ?

1? 5?

?7 ?5

? ?

? 11. 已知 M 是 ?ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30 ,若 ?MBC 、 ?MAB 、

??? ? ??? ?

1 1 4 ?MAC 的面积分别为 、 x 、 y ,则 ? 的最小值是( 2 x y
A. 18 B. 16 C. 9

) D. 4

12. 已 知 正 实数 a、b、c满足

1 c ? ? 2, c ln b ? a ? c ln c, 其中 e是自然对数的底数 , 则 e a

ln

b 的取值范围是( a

) B. ?1, ? ln 2? ? 2 ?

A. ?1 , ? ??

? 1

?

C. ?? ?, e ? 1?

D. ?1 ,e ? 1?

二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ?( x) ? 0 , 且 f (? ) ? 0 , 则不等式 f ( x) ? 0 的解集为
3 2

1 2

.

14.已知 f ( x) ? x ? ax ? 4 x 有两个极值点 x1 、 x2 ,且 f ( x) 在区间(0,1)上有极大值, 无极小值,则 a 的取值范围是 .

15.已知 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边的边长为 a、b、c ,且 b cos C ? ?2a ? c ? cos B , 则y?

1 ? 2 cos 2 B 的值为

.

16. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x ? 满 足 f ? x ? 4 ? ? ? f ? x ? , 且 x ? ? 0, 2? 时 ,

f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? . 现有以下甲,乙,丙,丁四个结论:
甲: f ? 3? ? 1 ; 乙:函数 f ? x ? 在 ? ?6, ?2? 上是增函数; 丙:函数 f ? x ? 关于直线 x ? 4 对称; 丁:若 m ? ? 0,1? ,则关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 在 ? ?8,8? 上所有根之和为-8. 则其中正确结论的序号是______________. 三、解答题:共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b),n= (sinB,sinA),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,请判定△ABC 的形状; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3

18.(10 分)已知等比数列{an}中,a1+a3=10,前 4 项和为 40. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3=15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列,求 Tn.

2 19. (12 分)已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx, 若f ? x ? 1? 为偶函数,且集合 A= x f ( x) ? x 为单

?

?

元素集合.

(1)求 f ? x ? 的解析式; (2)设函数 g ( x) ? [ f ( x) ? m]e ,若函数 g ( x) 在 x ? [?3,2] 上单调,求实数 m 的取值
x

范围.

20.(12 分)南山中学近几年规模不断壮大,学生住宿异常紧张,学校拟用 1000 万元购一块 空地,计划在该空地上建造一栋至少 8 层,每层 2000 平方米的学生电梯公寓.经测算, 如果将公寓建为 x(x≥8)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元). (1)写出拟修公寓每平米的平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式; (2)该公寓应建造多少层时,可使公寓每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少? (结果精确到 1 元) 购地总费用 (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= ) 建筑总面积

6cos x+5sin x-4 21. (12 分)已知函数 f(x)= . cos2x (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的周期和单调区间; (3)若关于 x 的不等式 f(x)≥m -m 有解,求实数 m 的取值范围.
2

4

2

22. (14 分)已知函数 f ( x) ? x ln x. (1)求函数 f ( x) 的单调区间和最小值;

(2)若函数 F ? x ? ?

f ?x ? ? a 3 在 ?1, e? 上是最小值为 ,求 a 的值; x 2

(3)当 b ? 0时, 求证 : b b ? ( ) e (其中 e =2.718 28?是自然对数的底数).

1 e

1

山东省滕州市实验高中 2016 届高三第一学期开学初检测 数学参考答案(数文) 一、选择题: AABCC CDB A A AD 14. a ?

二、填空题:13. ? - ?, - ? ? ?0, ? ; 2 2

? ?

1? ?

? 1? ? ?

7 ; 2

15. 0;

16. 甲,丁

三、解答题 17.解:(1)∵m∥n,∴asinA=bsinB,即 a· =b· ,其中 R 是△ABC 外接圆半径, 2R 2R ∴a=b.∴△ABC 为等腰三角形. (2)由题意可知 m·p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0.∴a+b=ab. 由余弦定理可知,4=a +b -ab=(a+b) -3ab,即(ab) -3ab-4=0. ∴ab=4(舍去 ab=-1), 1 1 π ∴S= absinC= ×4×sin = 3 2 2 3 18.解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,
? ?a1+a1q =10, 则? 2 3 ?a1+a1q+a1q +a1q =40, ?
2 2 2 2 2

a

b

∴?

? ?a1=1, ?q=3. ?
n-1

∴an=a1q

n-1

=3

n-1

.

∴等比数列{an}的通项公式为 an=3

.

(2)设等差数列{bn}的公差为 d,则 T3=b1+b2+b3=3b2=15,∴b2=5. 又∵a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列,∴(a2+b2) =(a1+b1)(a3+b3), 即(3+5) =(1+b1)(9+b3),64=(6-d)(14+d).∴d=-10 或 d=2. ∴?
? ?b1=15, ?d=-10 ?
2 2

(舍去)或?

? ?b1=3, ?d=2. ?

∴Tn=nb1+

n?n-1? n?n-1? 2 d=3n+ ×2=n +2n.
2 2

19. (1) f ? x ? ? 1 x 2 ? x 2 (2)若 g ? x ? 在 ?? 3,2? 上单调递增,则 g ?? x ? ? 0 在 x ? ?? 3,2? 上恒成立,

?1 2 ? 1 2 ? x ? ?1 即? ? x ? 2 x ? 1 ? m ?e ? 0 在 x ? ?? 3,2? 上恒成立,即 m ? ? x ? 2 x ? 1? ?2 ? min ?2 ?
若 g ? x ? 在 ?? 3,2? 上单调递减,则 g ?? x ? ? 0 在 x ? ?? 3,2? 上恒成立, 即?

?1 2 ? x ? 2 x ? 1 ? m ?e x ? 0 在 x ? ?? 3,2? 上恒成立, ?2 ?

即m ? ?

?1 2 ? x ? 2 x ? 1? ? 7 ? m ? ?? ?,?1? ? ?7,?? ? ?2 ? max
1000 ? 10000 5000 * =560+48x+ ( x≥8,x∈N ); 2000 x x

20. 解(1)依题意得 y=(560+48x)+

(2)提示:均值不等式失效,求导或由 x=10 时,y=1540;x=11 时,y=1543. 故该公寓应建造 10 层时,可使公寓每平方米的平均综合费用最少,最小值为 1540 元. π kπ π 21. 解:(1)由 cos2x≠0 得 2x≠kπ + ,k∈Z,解得 x≠ + ,k∈Z,∴f(x)的定义域 2 2 4 为{x|x≠


2

π + ,k∈Z}. 4

∴f(x)的定义域关于原点对称.当 x≠
4 2 4


2


2

π ,k∈Z 时, 4
2 2

f(x)=

6cos x+5sin x-4 6cos x-5cos x+1 (2cos x-1)(3cos x-1) 2 = = =3cos x-1, cos2x cos2x cos2x

∴f(x)是偶函数. (2)∵f(x)=3cos x-1=3× 周期为 π . 增 区 间 为
2

1+cos2x 1 3 2π -1= + cos2x.∴T= =π ,∴f(x)的最小正 2 2 2 ω

? ?? ? ? ? ? ? k? ? , k? - ?、 ? k? ? , k? ?(k ? Z ) 4 2 4? ? ? ?











? ?? ?? ? ? ? k? ? , k? ? ?(k ? Z ) ? k? , k? ? ?、 4 2? 4? ? ?

(3)当 x≠


2



π 1 2 2 2 2 (k∈Z)时,0≤cos x≤1 且 cos x≠ ,∴-1≤3cos x-1≤2 且 3cos x 4 2

1 -1≠ , 2 1 1 2 ∴f(x)的值域为{y|-1≤y< 或 <y≤2}.由关于 x 的不等式 f(x)≥m -m 有解得 2≥ 2 2

m2-m
解得-1≤m≤2 22. 解 : ( 1 )
? f ?( x) ? ln x ? 1( x ? 0), 令f ?( x) ? 0, 即 ln x ? ?1 ? ln e ?1.

1 ? x ? e ?1 ? . e

1 ? x ? [ ,??). e 1 e
∴f(x)单调递增区间为 [ ,??) ,单调递减区间

同理,令 f ?( x) ? 0可得x(0, ]. 为 (0, ] .

1 e

1 e

由此可知 y ? f ( x) min ? f ( ) ? ? . (2) F ?? x ? ?

x?a x2

1 e

1 e

当 a ? -1 时,F(x)在 ?1, e? 上单调递增, F ? x ?min ? ? a ? 去; 当 a ? -e 时, F ? x ? 在 ?1, e? 单调递减, F ? x ?min ? F (e) ?

3 3 ,? a ? ? ? ?- 1, ? ? ,舍 2 2

3 e , ? a ? ? ? ?? ?,-e?舍去; 2 2

若 a ? ?? e,?1? , F ? x ? 在 ?1,? a ? 单调递减,在 ?? a, e ? 单调递增,

? F ? x ?min ? F ?? a ? ? ln ?? a ? ? 1 ?
综上所述: a ? ? e

3 , a ? ? e ? ?? e,?1? . 2

(3)由(I)可知当 b ? 0 时,有 f (b) ? f ( x) min ? ? ,? b ln b ? ?

1 e

1 , e

1 1 1 1 1 b e 即 ln(b ) ? ? ? ln( ) . ? b ? ( ) e . e e e
b


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