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2014年高考一轮复习数学教案:6.1 不等式的性质


第六章
●网络体系总览
不等式的性质

不等式

绝对值及其性质

含绝对值的不等式 不等式的证明:比较法、 分析法、综合法、放缩 法等

不等式的解法

不等式的应用:比较大小,函数的定 义域、值域,方程根的分布,取值范 围问题,实际应用问题等

●考点目标定位 1.理解不等式的性质及应用. 2.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会 简单地应用. 3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式. 4.掌握不等式的解法. 5.理解不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. ●复习方略指南 本章内容在高考中,以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点,多数 是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查,单独考查不等式的问题较少,尤其 是不等式的证明题. 借助不等式的性质及证明,主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分 类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论,不等式与函数、数列、三角等内 容的综合问题,仍将是今后高考命题的热点. 本章内容理论性强,知识覆盖面广,因此复习中应注意: 1.复习不等式的性质时,要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势,要以比较准则 和实数的运算法则为依据. 2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外,还有反证法、换元法、判别式法、 构造法、几何法,这些方法可作了解,但要控制量和度,切忌喧宾夺主. 3.解(证)某些不等式时,要把函数的定义域、值域和单调性结合起来. 4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用. 5.利用平均值定理解决问题时,要注意满足定理成立的三个条件:一“正” 、二“定” 、 三“相等”. 6.对于含有绝对值的不等式(问题) ,要紧紧抓住绝对值的定义实质,充分利用绝对值 的几何意义. 7.要强化不等式的应用意识,同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系.

6.1

不等式的性质

●知识梳理 1.比较准则:a-b>0 ? a>b; a-b=0 ? a=b;a-b<0 ? a<b. 2.基本性质: (1)a>b ? b<a. (2)a>b,b>c ? a>c. (3)a>b ? a+c>b+c;a>b,c>d ? a+c>b+d. (4)a>b,c>0 ? ac>bc;a>b,c<0 ? ac<bc; a>b>0,c>d>0 ? ac>bd. (5)a>b>0 ? n a > n b (n∈N,n>1) ; a>b>0 ? an>bn(n∈N,n>1). 3.要注意不等式性质成立的条件.例如,重要结论:a>b,ab>0 ? 件得 a>b ?

1 1 < ,不能弱化条 a b

1 1 1 1 < ,也不能强化条件得 a>b>0 ? < . a b a b 4.要正确处理带等号的情况.如由 a>b,b≥c 或 a≥b,b>c 均可得出 a>c;而由 a≥b, b≥c 可能有 a>c,也可能有 a=c,当且仅当 a=b 且 b=c 时,才会有 a=c. 5.性质(3)的推论以及性质(4)的推论可以推广到两个以上的同向不等式. 6.性质(5)中的指数 n 可以推广到任意正数的情形. 特别提示
不等式的性质从形式上可分两类:一类是“ ? ”型;另一类是“ ? ”型.要注意二者的 区别. ●点击双基 1.若 a<b<0,则下列不等式不能成立的是 .. A.

1 1 > a b

B.2a>2b D.(

C.|a|>|b| 解析:由 a<b<0 知 ab>0,因此 a·

1 a 1 ) >( )b 2 2

1 1 1 1 <b· ,即 > 成立; ab ab a b 由 a<b<0 得-a>-b>0,因此|a|>|b|>0 成立. 1 x 1 1 ) 是减函数,所以( )a>( )b 成立. 2 2 2 故不成立的是 B. 答案:B
又(

c d - >0(其中 a、 a b b、c、d 均为实数) ,用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命 题,可组成的正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
2.(2004 年春季北京,7)已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,

解析:由 ab>0,bc-ad>0 可得出

c d - >0. a b
bc-ad>0,两端同除以 ab,得 同样由

c d - >0. a b

c d - >0,ab>0 可得 bc-ad>0. a b

?bc ? ad ? 0 ?bc ? ad ? 0 ? ? ? ? bc ? ad ? ab>0. ?c d ?a ? b ? 0 ? ab ? 0 ? ? 答案:D
3.设α ∈(0, A.(0,

? π π ) ∈[0, ] ,β ,那么 2α - 的范围是 2 2 3
B.(- D.(-

5π ) 6

π 5π , ) 6 6 π ,π ) 6

C.(0,π ) 解析:由题设得 0<2α <π ,0≤ ∴-

?
3



π . 6

? ? π π ≤- ≤0.∴- <2α - <π . 6 6 3 3 答案:D
4.a>b>0,m>0,n>0,则 解析:特殊值法即可 答案:

b a b?m a?n , , , 的由大到小的顺序是____________. a b a?m b?n

a b a?n b?m > > > b a b?n a?m

5.设 a=2- 5 ,b= 5 -2,c=5-2 5 ,则 a、b、c 之间的大小关系为____________. 解析:a=2- 5 = 4 - 5 <0,∴b>0. c=5-2 5 = 25 - 20 >0. b-c=3 5 -7= 45 - 49 <0. ∴c>b>a. 答案:c>b>a ●典例剖析 【例 1】 已知-1<a+b<3 且 2<a-b<4,求 2a+3b 的取值范围. 剖析:∵a+b,a-b 的范围已知, ∴要求 2a+3b 的取值范围, 只需将 2a+3b 用已知量 a+b,a-b 表示出来. 可设 2a+3b=x(a+b)+y(a-b) ,用待定系数法求出 x、y. 解:设 2a+3b=x(a+b)+y(a-b) ,

5 ? ?x ? 2 , ? x ? y ? 2, ? ∴? 解得 ? x ? y ? 3. ? ?y ? ? 1 ? 2 ?

∴-

5 5 15 < (a+b)< , 2 2 2 1 (a-b)<-1. 2

-2<- ∴- 即-

9 5 1 13 < (a+b)- (a-b)< , 2 2 2 2

9 13 <2a+3b< . 2 2 评述:解此题常见错误是:-1<a+b<3, 2<a-b<4. ①+②得 1<2a<7. 由②得-4<b-a<-2.
①+④得-5<2b<1,∴- ③+⑤得-

① ② ③ ④ ⑤

15 3 <3b< . 2 2

13 17 <2a+3b< . 2 2

思考讨论
1.评述中解法错在何处? 2.该类问题用线性规划能解吗?并试着解决如下问题: 已知函数 f(x)=ax2-c,满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的最大值 和最小值. 答案:20 -1 【例 2】 (2004 年福建,3)命题 p:若 a、b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不 必要条件;命题 q:函数 y= | x ? 1 | ?2 的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞) ,则 A.“p 或 q”为假 B.“p 且 q”为真 C. p 真 q 假 D. p 假 q 真 剖析:只需弄清命题 p、q 的真假即可. 解:∵|a+b|≤|a|+|b|,若|a|+|b|>1 不能推出|a+b|>1, 而|a+b|>1 一定有|a|+|b|>1,故命题 p 为假. 又函数 y= | x ? 1 | ?2 的定义域为|x-1|-2≥0,∴|x-1|≥2. ∴x≤-1 或 x≥3.∴q 为真. 答案:D 【例 3】 比较 1+logx3 与 2logx2(x>0 且 x≠1)的大小. 剖析: 由于要比较的两个数都是对数, 我们联系到对数的性质, 以及对数函数的单调性. 解: (1+logx3)-2logx2=logx 3x . 4

?0 ? x ? 1, ? x ? 1, ? ? 当? 或 ?3 3 ?0 ? 4 x ? 1 ? 4 x ? 1, ? ?
即 0<x<1 或 x>

4 时, 3

有 logx 3x >0,1+logx3>2logx2. 4 ?0 ? x ? 1, ? x ? 1, ? ? 当 ?3 ①或 ? ②时,logx 3x <0. 3 x ? 1, 0 ? x ?1 4 ?4 ? 4 ? ? 解①得无解,解②得 1<x< 即当 1<x<

4 , 3

4 时,有 logx 3x <0, 3 4 1+logx3<2logx2. 3 4 x=1,即 x= 时,有 logx 3x =0. 4 3 4 ∴1+logx3=2logx2.
当 综上所述,当 0<x<1 或 x> 当 1<x< 当 x=

4 时,1+logx3>2logx2; 3

4 时,1+logx3<2logx2; 3

4 时,1+logx3=2logx2. 3 评述:作差看符号是比较两数大小的常用方法,在分类讨论时,要做到不重复、不遗漏. 深化拓展
函数 f(x)=x2+(b-1)x+c 的图象与 x 轴交于(x1,0)(x2,0) 、 ,且 x2-x1>1.当 t< 2 x1 时,比较 t +bt+c 与 x1 的大小. 提示:令 f(x)=(x-x1) (x-x2) , 2 ∴x +bx+c=(x-x1) (x-x2)+x. 2 把 t +bt+c 与 x1 作差即可. 答案:t2+bt+c>x1. ●闯关训练 夯实基础 1.(2004 年辽宁,2)对于 0<a<1,给出下列四个不等式:

1 1 ①loga(1+a)<loga(1+ ) ;②loga(1+a)>loga(1+ ) ;③a1+a<a1 a a
1?

1?

1 a

;④a1+a>

a

1 a

.其中成立的是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

解析:∵0<a<1,∴a<

1 1 ,从而 1+a<1+ . a a

∴loga(1+a)>loga(1+ 又∵0<a<1,∴a 故②与④成立. 答案:D 2.若 p=a+ A.p>q
1+a

1 ). a
1 a

1?

>a

.

2 1 (a>2) ,q=2 ? a ? 4 a ? 2 ,则 a?2 B.p<q

C.p≥q

D.p≤q

解析:p=a-2+ 答案:A

1 +2≥4,而-a2+4a-2=-(a-2)2+2<2,∴q<4.∴p>q. a?2 1 1 ,D= 则 A、B、C、D 按从小到大 1? a 1? a

3.已知-1<2a<0,A=1+a2,B=1-a2,C= 的顺序排列起来是____________.

10 8 3 3 1 解析:取特殊值 a=- ,计算可得 A= ,B= ,C= ,D= . 9 9 2 4 3 ∴D<B<A<C. 答案:D<B<A<C 4.若 1<α <3,-4<β <2,则α -|β |的取值范围是____________. 解析:∵-4<β <2,∴0≤|β |<4. ∴-4<-|β |≤0.∴-3<α -|β |<3. 答案: (-3,3) 5.已知 a>2,b>2,试比较 a+b 与 ab 的大小. 解:∵ab-(a+b)=(a-1) (b-1)-1, 又 a>2,b>2,∴a-1>1,b-1>1. ∴(a-1) (b-1)>1, (a-1) (b-1)-1>0. ∴ab>a+b. - - - 6.设 A=xn+x n,B=xn 1+x1 n,当 x∈R+,n∈N 时,求证:A≥B. - - - 证明:A-B=(xn+x n)-(xn 1+x1 n) - - =x n(x2n+1-x2n 1-x) - - - =x n[x(x2n 1-1)-(x2n 1-1) ] -n 2n-1 =x (x-1) (x -1). -n + 由 x∈R ,x >0,得 - 当 x≥1 时,x-1≥0,x2n 1-1≥0; 当 x<1 时,x-1<0,x2n-1<0,即 - x-1 与 x2n 1-1 同号.∴A-B≥0.∴A≥B. 培养能力

1 7.设 0<x<1,a>0 且 a≠ ,试比较|log3a(1-x)3|与|log3a(1+x)3|的大小. 3 1 解:∵0<x<1,∴①当 3a>1,即 a> 时, 3 3 3 |log3a(1-x) |-|log3a(1+x) | =|3log3a(1-x)|-|3log3a(1+x)|

=3[-log3a(1-x)-log3a(1+x) ] 2 =-3log3a(1-x ). ∵0<1-x2<1,∴-3log3a(1-x2)>0.

1 ②当 0<3a<1,即 0<a< 时, 3 3 |log3a(1-x) |-|log3a(1+x)3| =3[log3a(1-x)+log3a(1+x) ] 2 =3log3a(1-x )>0. 综上所述,|log3a(1-x)3|>|log3a(1+x)3|. 1 8.设 a1≈ 2 ,令 a2=1+ . 1 ? a1
(1)证明 2 介于 a1、a2 之间; (2)求 a1、a2 中哪一个更接近于 2 ; (3)你能设计一个比 a2 更接近于 2 的一个 a3 吗?并说明理由. (1) 证明: 2 -a1) 2 -a2) 2 -a1) ( 2 -1- ( ( = ( · <0. ∴ 2 介于 a1、a2 之间. (2)解:| 2 -a2|=| 2 -1-
( ? 2)( 2 ? a1) 1 =| | 1 ? a1
2 ?1 | 2 -a1|<| 2 -a1|. 1 ? a1
1 | 1 ? a1
2 ( ? 2)( 2 ? a1) 1 1 ) = 1 ? a1 1 ? a1

=

∴a2 比 a1 更接近于 2 . (3)解:令 a3=1+
1 , 1 ? a2

则 a3 比 a2 更接近于 2 . 由(2)知| 2 -a3|=
2 ?1 | 2 -a2|<| 2 -a2|. 1 ? a2

探究创新 9.已知 x>-1,n≥2 且 n∈N*,比较(1+x)n 与 1+nx 的大小. 解:设 f(x)=(1+x)n-(1+nx) , - n-1 则 f ? (x)=n(1+x) -n=n[ (1+x)n 1-1].

由 f ? (x)=0 得 x=0. 当 x∈(-1,0)时, f ? (x)<0, f(x)在(-1,0)上递减. 当 x∈(0,+∞)时, f ? (x)>0, f(x)在(0,+∞)上递增. ∴x=0 时,f(x)最小,最小值为 0,即 f(x)≥0. ∴(1+x)n≥1+nx. 评述:理科学生也可以用数学归纳法证明. ●思悟小结 1.不等式的性质是解、证不等式的基础,对任意两实数 a、b 有 a-b>0 ? a>b,a- b=0 ? a=b,a-b<0 ? a<b,这是比较两数(式)大小的理论根据,也是学习不等式的基石. 2.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质,并注意解题中灵活、准确地加 以应用. 3.对两个(或两个以上)不等式同加(或同乘)时一定要注意不等式是否同向(且大于零). 4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论. ●教师下载中心 教学点睛 1.加强化归意识,把比较大小问题转化为实数的运算. 2.通过复习要强化不等式“运算”的条件.如 a>b、c>d 在什么条件下才能推出 ac>bd. 3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用,加强知识间的联系. 拓展题例 【例 1】 已知 f(x)=|log2(x+1)|,m<n,f(m)=f(n). (1)比较 m+n 与 0 的大小;

m?n m?n )与 f( )的大小. m?n n?m 剖析:本题关键是如何去掉绝对值号,然后再判断差的符号. 解: (1)∵f(m)=f(n) , ∴|log2(m+1)|=|log2(n+1)|. ∴log22(m+1)=log22(n+1). ∴[log2(m+1)+log2(n+1)[log2(m+1)-log2(n+1) ] ]=0,
(2)比较 f( log2(m+1) (n+1) ·log2 m ? 1 =0. n ?1 ∵m<n,∴ m ? 1 ≠1. n ?1 ∴log2(m+1) (n+1)=0. ∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0. 当 m、n∈(-1,0]或 m、n∈[0,+∞)时, 由函数 y=f(x)的单调性知 x∈(-1,0]时,f(x)为减函数,x∈[0,+∞)时, f(x)为增函数,f(m)≠f(n). ∴-1<m<0,n>0.∴m·n<0. ∴m+n=-mn>0. (2)f(

m?n )=|log2 2m |=-log2 2m =log2 m ? n , m?n m?n m?n 2m

f(

m?n )=|log2 2n |=log2 2n . n?m n?m n?m 2 ? m ? n) ? 4mn ( m?n 2n - = 2m(n ? m) 2m n?m
2 ( m ? n) >0. 2 m ( n ? m)

=-

m?n m?n )>f( ). m?n n?m 【例 2】 某家庭准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案, 甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠;乙旅行社的方案是: 家庭旅游算集体票,可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同,请问该家庭选择 哪家旅行社外出旅游合算? 解:设该家庭除户主外,还有 x 人参加旅游,甲、乙两旅行社收费总金额分别为 y1 和 y2.一张全票价格为 a 元, 那么 y1=a+0.55ax,y2=0.75(x+1)a. ∴y1-y2=a+0.55ax-0.75a(x+1)=0.2a(1.25-x). ∴当 x>1.25 时,y1<y2; 当 x<1.25 时,y1>y2.又因 x 为正整数, 所以当 x=1,即两口之家应选择乙旅行社; 当 x≥2(x∈N) ,即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.
∴f(


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