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高一数学必修二——1.3空间几何体的表面积与体积


教学目标:

1.熟记球的体积公式和表面积公式; 4 2.会用球的体积公式 V ? ? R 和表面积公式 3 2 S ? 4 ? R 解决有关问题。
3

提出问题: 1、球既没有底面,也无法像在柱体、锥体 和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求 球的表面积与体积呢? 2、球的大小是与球的半径有关,如何用球 半径来表示球的体积和面积?
王新敞
奎屯 新疆

1.探究球的体积公式 回顾祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两 个几何体,被平行于这两个平面的任意平面 所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几 何体的体积一定相等。 构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体 积公式(见P32页)

设球的体积为V,则有:
1 2 V ? ? R ?R ?
2

1 3

? R ?R ? V ?
2

4 3

?R .
3

∴ 球的体积

V球 ?

4 3

?R

3

2. 探究球的表面积公式
设球O的半径为R,我们把球面任意分割为一些 “小球面片”,它们的面积分别用 ? S 1 , ? S 2 , ? , ? S i , ? 表示
以这些“小球面片”为底, 球心为顶点的“小锥体”的 体积和等于球的体积,这些 “小锥体”可近似地看成棱 锥,“小锥体”的底面积 ? S i 可近似地等于“小棱锥” 的底面积,球的半径R近似 地等于小棱锥的高 h i

因此,第i 个小棱锥的体积
Vi ? 1 3 hi ? ? S i
O

当“小锥体”的底面非常小 时,“小锥体”的底面几乎 是“平的”,于是球的体积:
V ? 1 3 ( h1 ? ? S 1 ? h 2 ? ? S 2 ? ? ? h i ? ? S i ? ? )

又因为 hi ? R

且 S ? ? S1 ? ? S 2 ? ? ? ? S i ? ?
1 3 R ?S

?Si
O

?Vi

可得: V ?

又因为 V ?

4 3

?R

3

所以:
2

1 3

? RS ?

4 3

?R

3

所以球的表面积: S ? 4 ? R

例题示范,巩固新知: 例1.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距 离为球半径的一半,且AB=BC=CA=2,求球的表面 积. 解:设截面圆心为O',连结OA, 设球半径为R .则:
王新敞
奎屯 新疆

O ?A ?

2

?
王新敞
奎屯 新疆

3

?2?

2 3 3
2 2 2

C A
4 3

O O'



3 2 R t ? O ?O A 中
2

B

O A ? O ?A ? O ?O
1 4 R
2

?R ?(

2 3 3

) ?
2

?R ?

? S ? 4? R ?
2

64 9

?

例2.半球内有一个内接正方体,正方体的一个面 在半球的底面圆内,若正方体棱长为 6 ,求球的 表面积和体积。 D' 解:作轴截面如图所示, C' A'
CC ? ? 6 , AC ?

2?

6 ? 2 3

设球半径为R ,则:
?2 R ? OC ? CC
2 2

D A O

B' B C

A'

C' R

? ( 6) ? ( 3) ? 9
2 2

?R ?3
A O

∴ S 球 ? 4? R ? 3 6?
2

C

V球 ?

4 3

? R ? 3 6?
3

例3.表面积为324π 的球,其内接正四棱柱的高 是14,求这个正四棱柱的表面积。 解:设球半径为R ,正四棱柱 底面边长为a,则作轴截面如图,
A A ? ? 14, A C ? 2a,
A D' A' B' D O C B C'

又 ? 4 ? R 2 ? 324 ? , ? R ? 9.
王新敞
奎屯 新疆

? AC ?

AC ? ? CC ? ? 8 2
2 2

A' O A

C'

?a ?8

∴ S 表 ? 64 ? 2 ? 32 ? 14 ? 576

C

例4. (P27页)如图,圆柱的底面直径与高都等于 球的直径. 2 求证:(1) 球的体积等于圆柱体积的 3 (2) 球的表面积等于圆柱的侧面 证明:(1) 设球的半径为R,则圆 积。 柱的底面半径为R,高为2R
.

因为 V 所以,



?

4 3

2 3 ?R , V ? ? R ? 2 R ? 2? R . 圆柱
3

V球 ?

2 3

V圆 柱 .

(2) 因为 S 球 ? 4 ? R 2
S 圆 柱 侧 ? 2? R ? 2 R ? 4? R
2

所以, S 球 ? S 圆 柱 侧

练习反馈,理解加深: 指导学生完成P28练习1,2,3题 补充练习: 1.三个球的半径之比为 1 : 2 : 3 那么最大的球的 体积是其余两个球的体积和的 倍; 2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍,则球的体积 比原来增加 倍; 3.把半径分别为3,4,5的三个铁球,熔成一个大 球,则大球半径是 ;

4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是 切球的体积是 .

,内

5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切, 正方体的各顶点都在球O3的表面上,求三个球的 表面积之比. 提示:球的表面积之比事实上就是半径之比的平 方,故只需找到球半径之间的关系即可.

答案:1. 3 2. 7
王新敞
奎屯 新疆

3. 6

4.

, 4 3?

4 3

?

5 解:设正方体棱长为a,则三个球的半径依次
a
2 2

为 2 ,

a

,

3 2

a

.

∴ 三个球的表面积之比是

S1 : S 2 : S 3 ? 1 : 2 : 3

小结归纳 :

球的表面积公式的推导及应用;球的内接正方体、 长方体及外切正方体的有关计算 “分割 求近似和 化为准确和”的方法, 是一种重要的数学思想方法——极限思想,它是 今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个 应用;球的体积公式和表面积公式要熟练掌握.
王新敞
奎屯 新疆

作业布置: P28 习题1.3 A组第5题; 课外 P29 B组第 1题.


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