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江苏省苏州五中2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷


2014-2015 学年江苏省苏州五中高一(上)10 月月考数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填在答题卡相应横线上) 1.已知集合 A=(﹣2,1],B=[﹣1,2) ,则 A∪B=__________. 2.U={1,2},A={x|x2+px+q=0},?UA={1},则 p+q=__________. 3.若集合 P

={x|2x﹣a<0},Q={x|3x﹣b>0},a,b∈N,且 P∩Q∩N={1},则满足条件的整 数对(a,b)的个数为__________. 4.设函数 f(n)=k(n∈N*) ,k 是 π 的小数点后的第 n 位数字,π=3.1415926535…,则 f(f (f[f(10) ) )=? =__________.

5.函数

的定义域为__________.

6. x+3 在[﹣1, +∞) 若函数 y=mx2+ (m﹣1) 上为减函数, 则实数 m 的取值范围为__________. 7.设奇函数 f(x)的定义域为[﹣5,5],若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则不等式 f (x)<0 的解集是__________.

8.函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,若 f(a)≤f(2﹣a) ,则实 数 a 的取值范围是__________.

9.定义“符号函数”f(x)=sgnx=

则不等式 x+2>(x﹣2)sgnx 的解集是

__________. 10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+3x﹣1,则当 x<0 时, f(x)的解析式为 f(x)=__________.

11. f x) = 若函数 (

+∞) 为 (﹣∞, 上的增函数, 则 k 的取值范围是__________.

12.已知函数 f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[﹣2.1]=﹣3,[﹣2]=﹣2, [2.2]=2,如果 x∈[﹣2,0],那么 y=f(x)的值域为 __________.

13. f x) =x|x﹣a|, x2∈[2, +∞) x1≠x2, 设函数 ( 若对于任意的 x1, , 不等式 >0 恒成立,则实数 a 的取值范围是__________. 14.已知 t 为常数,函数 y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=__________.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,应写出必要的文字说明和解题步骤) 15. (14 分) (1)已知 P={x|x2﹣3x+2=0},Q={x|ax﹣2=0},Q?P,求 a 的值. (2)已知 A={x|2≤x≤3},B={x|m+1≤x≤2m+5},B?A,求 m 的取值范围.

16. (14 分)已知函数 f(x)=

是奇函数,且 f(1)=2,f(2)= .

(1)求函数 f(x)的表达式; (2)当 0<x<1 时,用函数单调性的定义研究函数 f(x)的单调性. 17.某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资 生产这两种产品的有关数据如表: (单位:万美元) 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数 A 产品 20 m 10 200 B 产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关,m 是待定常数,其值由生产 A 产品的原材料决定, 预计 m∈[6,8],另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x2 万美元的特别关税,假设生产出 来的产品都能在当年销售出去. (1)求该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1,y2 与生产相应产品的件数 x 之间的 函数关系,并求出其定义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请设计相关方案. 18.已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+2m+1 的图象上方,试确定实数 m 的取 值范围. 19. (16 分)已知函数 f(x)=x2+(4﹣2a)x+a2+1.

(1)若 f(x+2)是偶函数,求 a 的值; (2)设 P= [f(x1)+f(x2)],Q=f( ) ,且 x1≠x2,试比较 P 与 Q 的大小;

(3)是否存在实数 a∈[0,8],使得函数 f(x)在[0,4]上的最小值为 7,若存在求出 a 的值, 若不存在,说明理由. 20. (16 分)设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x﹣a|+1,x∈R. (1)当 a=2 时,判断函数的奇偶性并求函数的最小值; (2)试讨论 f(x)的奇偶性; (3)当 x∈R 时.求 f(x)的最小值.

2014-2015 学年江苏省苏州五中高一 10 月月考数学 (上) 试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填在答题卡相应横线上) 1.已知集合 A=(﹣2,1],B=[﹣1,2) ,则 A∪B=(﹣2,2) . 【考点】并集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】已知集合 A=(﹣2,1],B=[﹣1,2) ,根据并集的定义进行求解. 【解答】解:∵集合 A=(﹣2,1],B=[﹣1,2) , A∪B=(﹣2,2) , 故答案为: (﹣2,2) . 【点评】本题主要考查并集及其运算,一般在高考题中出现在前三题的位置中,属于基础题 目. 2.U={1,2},A={x|x2+px+q=0},?UA={1},则 p+q=0. 【考点】补集及其运算. 【专题】集合. 【分析】根据全集 U 及 A 的补集,确定出 A,求出 p 与 q 的值,即可求出 p+q 的值. 【解答】解:∵U={1,2},A={x|x2+px+q=0},?UA={1}, ∴A={2},即方程 x2+px+q=0 有两个相等根 2, ∴﹣p=2+2,q=2×2,即 p=﹣4,q=4, 则 p+q=0. 故答案为:0 【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的运算是解本题的关键. 3.若集合 P={x|2x﹣a<0},Q={x|3x﹣b>0},a,b∈N,且 P∩Q∩N={1},则满足条件的整 数对(a,b)的个数为 6. 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】由集合 P={x|x< },Q={x|x> b∈N, 可得 1< ≤2,1> ≥0,故 a=3 或 4,b=0,1,2. 【解答】解:∵集合 P={x|2x﹣a<0}={x|x< },Q={x|3x﹣b>0 }={x|x> P∩Q∩N={1}, ∴P∩Q={x| >x> }, },a,b∈N,且 },得 P∩Q={x| >x> },由 P∩Q∩N={1},a,

∴1< ≤2,1> ≥0,∴2<a≤4,0≤b<3,∴a=3 或 4,b=0,1,2, 故满足条件的整数对(a,b)的个数为 6, 故答案为 6. 【点评】本题考查集合的表示方法,两个集合的交集的定义和求法,解不等式,求得 a=3 或 4,b=0,1,2,是解题的关键. 4.设函数 f(n)=k(n∈N*) ,k 是 π 的小数点后的第 n 位数字,π=3.1415926535…,则 f(f (f[f(10) ) )=? 【考点】函数的值. 【专题】计算题. 【分析】先由题设条件推导出 f(f(f[f(10) ) )=1,由此可以推导出 值. 【解答】解:∵f(f(f(f(10) ) ) )=f(f(f(5) ) )=f(f(9) )=f(3)=1. ∴ =1. 的 =1.

故答案为:1. 【点评】本题考查函数值的求法,解题时要结合题设条件,注意公式的合理选用.

5.函数

的定义域为(﹣2,3) .

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】 根据影响函数定义域的因素为分母不为零和偶次被开方式非负, 即可得到不等式﹣ 2 x +x+6>0,借此不等式即可求得结果. 【解答】解:要是函数有意义,须﹣x2+x+6>0, 解得﹣2<x<3, ∴函数的定义域为(﹣2,3) . 故答案为: (﹣2,3) 【点评】 本题考查已知函数的解析式求函数的定义域问题, 判断影响函数定义域的因素列出 不等式(组)是解题的关键,属基础题. 6.若函数 y=mx2+(m﹣1)x+3 在[﹣1,+∞)上为减函数,则实数 m 的取值范围为[﹣1, 0]. 【考点】函数单调性的性质. 【专题】计算题. 【分析】当 m=0 时,满足条件;当 m>0 时,y=mx2+(m﹣1)x+3 开口向上,在[﹣1,+∞) 上不为减函数,不成立;当 m<0 时,求出 y=mx2+(m﹣1)x+3 的对称轴 x= 抛物线的开口方向和单调性可知 ,由此能够求出实数 m 的取值范围. ,结合

【解答】解:当 m=0 时,y=﹣x+3 在 R 上是减函数,满足条件. 当 m>0 时,抛物线 y=mx2+(m﹣1)x+3 开口向上,在[﹣1,+∞)上不为减函数,∴m>0 不成立. 当 m<0 时,抛物线 y=mx2+(m﹣1)x+3 开口向下,对称轴为 x= 由函数 y=mx2+(m﹣1)x+3 在[﹣1,+∞)上为减函数,可知 , ,解得﹣1≤m<0.

综上所述,m∈[﹣1,0]. 故答案为:[﹣1,0]. 【点评】本题考查函数的单调性及其应用,解题时要认真审题,仔细解答. 7.设奇函数 f(x)的定义域为[﹣5,5],若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则不等式 f (x)<0 的解集是[﹣5,﹣2)∪(0,2) .

【考点】函数的图象. 【专题】图表型;数形结合;数形结合法. 【分析】 本题是一个研究奇函数对称性及函数图象的位置与函数值符号对应关系的题, 可先 补全函数在定义域上的图象,再由图象观察出不等式的解集,给出正确答案 【解答】解:由于奇函数关于原点对称,故函数(x)在定义域为[﹣5,5]的图象如右图 由图象知不等式 f(x)<0 的解集是[﹣5,﹣2)∪(0,2) 故答案为:[﹣5,﹣2)∪(0,2)

【点评】本题考查函数的图象,解题的关键是理解函数图象的数字特征,本题的重点是利用 函数的图象解不等式, 难点是根据函数的奇函数的性质作出对称区间上的函数的图象来, 对 函数图象的考查是新教材实验区高考考试的热点, 近几年明显加强了对图形的考查, 学习时 要注意归纳此类题的解题规律 8.函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,若 f(a)≤f(2﹣a) ,则实 数 a 的取值范围是 a≥1. 【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 【专题】计算题. 【分析】先根据偶函数在其对称的区间上单调性相反求出函数 y=f(x)在(0,+∞)上的 单调性,然后根据 f(x)=f(﹣x)=f(|x|)将 f(a)≤f(2﹣a)转化成 f(|a|)≤f(|2﹣a|) , 根据单调性建立关系式,解之即可求出 a 的范围.

【解答】解:∵函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数, ∴函数 y=f(x)在(0,+∞)上是减函数,且 f(x)=f(﹣x)=f(|x|) ∵f(a)≤f(2﹣a) , ∴f(|a|)≤f(|2﹣a|) , 根据函数 y=f(x)在(0,+∞)上是减函数, 则|a|≥|2﹣a|,解得 a≥1 故答案为 a≥1 【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用,解题的关键将 f(a)≤f(2﹣a) 转化成 f(|a|)≤f(|2﹣a|)进行求解,属中档题.

9.定义“符号函数”f(x)=sgnx=

则不等式 x+2>(x﹣2)sgnx 的解集是

(﹣ ,+∞) . 【考点】其他不等式的解法. 【专题】计算题;新定义;分类讨论. 【分析】根据题中已知的符号函数的定义可分 x 大于 0,等于 0,小于 0 三种情况考虑 sgnx 的值, 分别代入到不等式, 分别求出解集, 然后求出各解集的并集即可得到原不等式的解集. x 0 f x =sgnx=1 【解答】解:当 > 时, ( ) ,不等式 x+2>(x﹣2)sgnx 变为 x+2>x﹣2,解 得 x 为全体实数,则不等式的解集为:x>0; 当 x=0 时,f(x)=sgnx=0,不等式 x+2>(x﹣2)sgnx 变为 x+2>1,解得 x>﹣1,所以不 等式的解集为:x=0; 当 x<0 时,f(x)=sgnx=﹣1,x+2>(x﹣2)sgnx 变为 x+2>(x﹣2)﹣1,即(x+2) (x﹣2) 2 <1,化简得 x <5,解得﹣ <x< . 综上,不等式的解集为: (﹣ ,+∞) 故答案为: (﹣ ,+∞) 【点评】本题考查不等式的解法,分类讨论思想及新定义的运用,是基础题. 10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+3x﹣1,则当 x<0 时, f(x)的解析式为 f(x)=f(x)=﹣x2+3x+1. 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】当 x<0 时,﹣x>0,由已知表达式可求得 f(﹣x) ,由奇函数的性质可得 f(x) 与 f(﹣x)的关系,从而可求出 f(x) . 【解答】解:当 x<0 时,﹣x>0, 则 f(﹣x)=(﹣x)2+3(﹣x)﹣1=x2﹣3x﹣1. 又 f(x)是 R 上的奇函数,所以当 x<0 时 f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x2+3x+1. 故答案为:f(x)=﹣x2+3x+1. 【点评】本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质,属基础题.

11.若函数 f(x)=

为(﹣∞,+∞)上的增函数,则 k 的取值范围是[0,+∞) .

【考点】函数单调性的性质. 【专题】转化思想;函数的性质及应用. 【分析】根据分段函数的单调性的性质进行求解即可. 【解答】解:若 f(x)在(﹣∞,+∞)上为增函数, 则满足 2+k≥1+1, 即 k≥0, 故答案为:[0,+∞) 【点评】本题主要考查函数单调性的应用,根据函数单调性的性质是解决本题的关键. 12.已知函数 f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[﹣2.1]=﹣3,[﹣2]=﹣2, [2.2]=2,如果 x∈[﹣2,0],那么 y=f(x)的值域为 {0,1,2,3,4}. 【考点】函数的值域. 【专题】计算题. 【分析】利用题中条件:“[x]表示不超过 x 的最大整数”,对区间[﹣2,0]中的 x 进行分类讨 论,从而求出相应的函数值即可. 【解答】解析:x=0 时,[0]=0,f(x)=0; ﹣1<x<0 时,[x]=﹣1,0<x[x]<1,所以 f(x)=[x[x]]=0; x=﹣1 时,[x]=﹣1,所以 f(x)=[x[x]]=1; 同理,﹣1.5<x<﹣1 时,f(x)=2; ﹣2<x≤﹣1.5 时,f(x)=3; x=﹣2 时,f(x)=4. 故答案为:{0,1,2,3,4}. 【点评】本小题主要考查整数、函数的值域等基础知识,考查运算求解能力、创新能力.属 于基础题.

13. f x) =x|x﹣a|, x2∈[2, +∞) x1≠x2, 设函数 ( 若对于任意的 x1, , 不等式 >0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,2]. . 【考点】函数单调性的性质. 【专题】计算题. 【分析】首先由函数单调性定义,判断 f(x)=x|x﹣a|在[2,+∞)上单调递增;然后把 a 分 成 a≤2 与 a>2 两种情况分别进行检验;最后得到只有 a≤2 时,才满足 f(x)=x|x﹣a|在[2, +∞)上单调递增的结论. 【解答】解:由题意知 f(x)=x|x﹣a|在[2,+∞)上单调递增. (1)当 a≤2 时, 若 x∈[2,+∞) ,则 f(x)=x(x﹣a)=x2﹣ax,其对称轴为 x= , 此时 <2,所以 f(x)在[2,+∞)上是递增的; (2)当 a>2 时,

①若 x∈[a,+∞) ,则 f(x)=x(x﹣a)=x2﹣ax,其对称轴为 x= ,所以 f(x)在[a,+∞) 上是递增的; ②若 x∈[2,a) ,则 f(x)=x(a﹣x)=﹣x2+ax,其对称轴为 x= ,所以 f(x)在[ ,a) 上是递减的,因此 f(x) 在[2,a)上必有递减区间. 综上可知 a≤2. 故答案为(﹣∞,2]. 【点评】本题考查了函数单调性的定义,同时考查了分类讨论的思想方法. 14.已知 t 为常数,函数 y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=1. 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【专题】压轴题. 【分析】本题应先画出函数的大体图象,利用数形结合的方法寻找解题的思路.画出大体图 象后不难发现函数的最大值只能在 x=1 或 x=3 处取得,因此分情况讨论解决此题. 【解答】解:记 g(x)=x2﹣2x﹣t,x∈[0,3], 则 y=f(x)=|g(x)|,x∈[0,3] f(x)图象是把函数 g(x)图象在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方得到, 其对称轴为 x=1,则 f(x)最大值必定在 x=3 或 x=1 处取得 (1)当在 x=3 处取得最大值时 f(3)=|32﹣2×3﹣t|=2, 解得 t=1 或 5, 当 t=5 时,此时,f(0)=5>2 不符条件, 当 t=1 时,此时,f(0)=1,f(1)=2,符合条件. (2)当最大值在 x=1 处取得时 f(1)=|12﹣2×1﹣t|=2, 解得 t=1 或﹣3, 当 t=﹣3 时,f(0)=3>2 不符条件, 当 t=1 此时,f(3)=2,f(1)=2,符合条件. 综上 t=1 时 故答案为:1. 【点评】本题主要考查二次函数的图象性质和绝对值对函数图象的影响变化. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,应写出必要的文字说明和解题步骤) 15. (14 分) (1)已知 P={x|x2﹣3x+2=0},Q={x|ax﹣2=0},Q?P,求 a 的值. (2)已知 A={x|2≤x≤3},B={x|m+1≤x≤2m+5},B?A,求 m 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题. 【分析】 (1)先求出集合 P,讨论 a=0 与 a≠0 两种情形,根据集合 Q 是集合 P 的子集,建立 等式关系,求出 a 即可; (2)讨论 m+1 与 2m+5 的大小关系,然后根据集合 B 是集合 A 的子集,建立等式关系, 求出满足条件的 m 即可. 【解答】解: (1)由已知得 P={1,2}.当 a=0 时,此时 Q=?,符合要求 当 a≠0 时,由 得 a=2;..



得 a=1,所以 a 的取值分别为 0、1、2..

(2)①当 m+1>2m+5 时 B=?,符合要求,此时 m<﹣4 当 B≠?时, ②当 m+1=2m+5 时,求得 m=﹣4,此时 B=﹣3,与 B?A 矛盾,舍去; ③当 m+1<2m+5 由题意得 m+1≥2 且 2m+5≤3 解得 m 为?, (13 分) 综上所述,所以 m 的取值范围是(﹣∞,﹣4)..(14 分) 【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用,以及分类讨论的数学思想,属于基础 题.

16. (14 分)已知函数 f(x)=

是奇函数,且 f(1)=2,f(2)= .

(1)求函数 f(x)的表达式; (2)当 0<x<1 时,用函数单调性的定义研究函数 f(x)的单调性. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据 f(x)为奇函数,容易得出 c=0,而根据 立关于 a,b 的二元一次方程组,从而可以解得 a=b=1,从而得出 f(x)的表达式; (2)先得到 f(x)=x ,根据单调性的定义,设任意的 x1,x2∈(0,1) ,且 x1<x2,然 便可建

后作差,是分式的通分,并且提取公因式 x1﹣x2,这样便可判断 f(x1)与 f(x2)的关系, 从而得出 f(x)的单调性. 【解答】解: (1)f(x)是奇函数; ∴ ∴c=﹣c; ∴c=0; ∴ , ; ;





∴a=1,b=1; ∴ (2) ; ;

设 x1,x2∈(0,1) ,且 x1<x2 则: = ∵x1,x2∈(0,1) ,且 x1<x2; ;

∴x1﹣x2<0,0<x1x2<1,1 ∴ ∴f(x1)>f(x2) ; ∴f(x)在(0,1)上单调递减. ;



【点评】考查奇函数的定义,已知函数求值的方法,以及根据单调性定义判断一个函数单调 性的方法和过程,作差比较 f(x1) ,f(x2)的方法,作差后,是分式的要通分,并且一般 需提取公因式 x1﹣x2. 17.某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资 生产这两种产品的有关数据如表: (单位:万美元) 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数 A 产品 20 m 10 200 B 产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关,m 是待定常数,其值由生产 A 产品的原材料决定, 预计 m∈[6,8],另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x2 万美元的特别关税,假设生产出 来的产品都能在当年销售出去. (1)求该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1,y2 与生产相应产品的件数 x 之间的 函数关系,并求出其定义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请设计相关方案. 【考点】函数最值的应用. 【专题】应用题;作差法. 【分析】 (1)利润=年销售收入﹣固定成本﹣产品成本﹣特别关税,可求得该厂分别投资生 产 A、B 两种产品的年利润 y1,y2 与生产相应产品的件数 x 之间的函数关系和定义域; (2) 作差法比较年利润 y1,y2 的大小,设确定计相关方案. 【解答】解: (1)y1=10x﹣=(10﹣m)x﹣20,0<x≤200,且 x∈N y2=18x﹣(8x+40)﹣0.05x2=﹣0.05x2+10x﹣40,0<x≤120 且 x∈N (2)∵6≤m≤8 ∴10﹣m>0 ∴y1=(10﹣m)x﹣20 为增函数 又 0≤x≤200,x∈N ∴x=200 时,生产 A 产品有最大利润(10﹣m)×200﹣20=1980﹣200m(万美元) y2=﹣0.05x2+10x﹣40=﹣0.05(x﹣100)2+4600≤x≤120,x∈N ∴x=100 时,生产 B 产品有最大利润 460(万美元) (y1)max﹣(y2)max =1980﹣200m﹣460 =1520﹣200m 当 6≤m<7.6 时, (y1)max﹣(y2)max>0 当 m=7.6 时, (y1)max﹣(y2)max=0 当 7.6<m≤8 时, (y1)max﹣(y2)max<0 ∴当 6≤m<7.6 投资 A 产品 200 件可获得最大利润 当 7.6<m≤8 投资 B 产品 100 件可获得最大利润 m=7.6 生产 A 产品与 B 产品均可获得最大年利润.

【点评】考查根据实际问题抽象函数模型的能力,并能根据模型的解决,指导实际生活中的 决策问题,属中档题. 18.已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+2m+1 的图象上方,试确定实数 m 的取 值范围. 【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】 (1)用待定系数法先设函数 f(x)的解析式,再由已知条件求解未知量即可 (2)只需保证对称轴落在区间内部即可 (3)转化为函数求最值问题,即可得到个关于变量 m 的不等式,解不等式即可 【解答】解: (1)由已知∵f(x)是二次函数,且 f(0)=f(2) ∴对称轴为 x=1 又最小值为 1 设 f(x)=a(x﹣1)2+1 又 f(0)=3 ∴a=2 ∴f(x)=2(x﹣1)2+1=2x2﹣4x+3 (2)要使 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则 2a<1<a+1 ∴ (3)由已知 2x2﹣4x+3>2x+2m+1 在[﹣1,1]上恒成立 化简得 m<x2﹣3x+1 设 g(x)=x2﹣3x+1 则 g(x)在区间[﹣1,1]上单调递减 ∴g(x)在区间[﹣1,1]上的最小值为 g(1)=﹣1 ∴m<﹣1 【点评】本题考查待定系数法和二次函数的单调性和最值,须注意恒成立问题的转化.属简 单题 19. (16 分)已知函数 f(x)=x2+(4﹣2a)x+a2+1. (1)若 f(x+2)是偶函数,求 a 的值; (2)设 P= [f(x1)+f(x2)],Q=f( ) ,且 x1≠x2,试比较 P 与 Q 的大小;

(3)是否存在实数 a∈[0,8],使得函数 f(x)在[0,4]上的最小值为 7,若存在求出 a 的值, 若不存在,说明理由. 【考点】二次函数的性质. 【专题】综合题;分类讨论;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)先求出 f(x+2)的解析式,根据函数的奇偶性,求出 a 的值即可; (2)求出 P﹣Q 的表达式,变形整理成完全平方式,从而判断出结论; (3)先求出函数的对称轴,通过讨论对称轴的位置,从而判断出函数的单调性,得到函数 的最小值的表达式,解出 a 的值即可.

【解答】解: (1)f(x+2)=(x+2)2+(4﹣2a) (x+2)+a2+1 =x2+(8﹣2a)x+a2﹣4a+13, 若 f(x+2)是偶函数,则 8﹣2a=0,解得:a=4; (2)P﹣Q= [f(x1)+f(x2)﹣f ( ) + (4﹣2a) +a2+1] (x1+x2)

= [x12+ x1+a2+1+x22+ x2+a2+1]﹣[ (4﹣2a) (4﹣2a)

=

>0,

∴P>Q. (3)设存在这样的 a, 由于 0≤a≤8,∴﹣2≤a﹣2≤6, ①若﹣2≤a﹣2<0,即 0≤a<2,则 f(x)在[0,4]上为增函数, ∴f(0)=a2+1=7,解得:a= ; ②若 0≤a﹣2≤4,即 2≤a≤6, 则 f(a﹣2)=(a﹣2)2+(4﹣2a) (a﹣2)+a2+1=7, 化简得 4a﹣11=0,解得 a= ,

综上,存在 a=﹣1 满足条件, ③若 4<a﹣2≤6,即 6<a≤8,则 f(x)在[0,4]为减函数, ∴f(4)=16+4(4﹣2a)+a2+1=7,无解, 综上,存在实数 a= 或 ∈[0,8],使得函数 f(x)在[0,4]上的最小值为 7.

【点评】 本题考查了二次函数的性质, 考查函数的奇偶性、 单调性问题, 考查分类讨论思想, 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键,本题是一道中档题. 20. (16 分)设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x﹣a|+1,x∈R. (1)当 a=2 时,判断函数的奇偶性并求函数的最小值; (2)试讨论 f(x)的奇偶性; (3)当 x∈R 时.求 f(x)的最小值. 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;分类讨论;函数的性质及应用. 【分析】 (1)当 a=2 时,f(x)=x2+|x﹣2|+1= ,从而判断函数的奇偶性

及求函数的最小值; (2)可知 f(﹣x)=x2+|x+a|+1,从而可知若函数为偶函数,则|x+a|=|x﹣a|,从而解得,不 说明 a≠0 时的情况即可;

(3)化简 f(x)=

;从而分类讨论以确定函数的

单调性,从而求最小值. 【解答】解: (1)当 a=2 时, f(x)=x2+|x﹣2|+1= ∵f(﹣2)=9,f(2)=5; ∴函数 f(x)是非奇非偶函数; 当 x≤2 时,x= 时有最小值 f( )= 当 x>2 时,f(x)>f(2)=5; 故函数的最小值为 . ; ,

(2)∵f(x)=x2+|x﹣a|+1, ∴f(﹣x)=x2+|x+a|+1, 若函数为偶函数, |x+a|=|x﹣a|, 解得,a=0; 当 a≠0 时,x2+|x﹣a|+1≠x2+|x+a|+1, 故函数为非奇非偶函数; 综上所述,当 a=0 时,函数为偶函数; 当 a≠0 时,函数为非奇非偶函数;

(3)f(x)=



①当 a<

时,f(x)在(﹣∞,a)上是减函数,故 f(x)>f(a)=a2+1;

在(a,﹣ )上是减函数,在(﹣ ,+∞)上是增函数; 故 f(x)在(﹣∞,﹣ )上是减函数,在(﹣ ,+∞)上是增函数; 故 f(x)有最小值 f(﹣ )=﹣a+ ; ②当﹣ ≤a≤ 时,f(x)在(﹣∞,a)上是减函数,在(a,+∞)上是增函数; 故 f(x)有最小值 f(a)=a2+1; ③当 a> 时,f(x)在(﹣∞, )上是减函数,在[ ,+∞)上是增函数; 故 f(x)有最小值 f( )=a+ ;

综上所述,当 a<

时,f(x)有最小值 f(﹣ )=﹣a+ ;

当﹣ ≤a≤ 时,f(x)有最小值 f(a)=a2+1; 当 a> 时,f(x)有最小值 f( )=a+ . 【点评】 本题考查了绝对值函数与分段函数的综合应用及分类讨论的思想应用, 化简与判断 都比较困难,属于难题.


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