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苏教版高中数学(选修2-1)2.5《圆锥曲线的统一定义》word教案2篇


圆锥曲线的统一定义 教学目标 了解圆锥曲线的统一定义,掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方 法. 教学重点,难点 圆锥曲线的统一定义及准线方程. 教学过程 一、问题情境 1.情境: 我们知道, 平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l ( F 不在 l 上 ) 的距离 的比等于 1 的动点 P 的轨迹是抛物线. 当这个比值是一个不等于1的常数时,动点 P 的轨迹又是什么曲线呢? 2.问题: 1 试探讨这个常数分别是 和 2 时,动点 P 的轨迹? 2 二、学生活动 探讨过程略(可以用课件演示或直接推导) ; 1 可以得到:当常数是 时,得到的是椭圆;当常数等于 2 时得到的是双曲 2 线; 三、数学运用 1.例题: 例 1. 已知点 P( x, y) 到定点 F (c, 0) 的距离与它到定直线 l : x ? 数 c (a ? c ? 0) ,求点 P 的轨迹. a a2 的距离的比是常 c ( x ? c) 2 ? y 2 c 解:根据题意可得 ? a2 a | ?x| c 2 2 2 化简得 (a ? c ) x ? a2 y 2 ? a2 (a2 ? c2 ) x2 y 2 令 a ? c ? b ,上式可化为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 这是椭圆的标准方程. 所以点 P 的轨迹是以焦点为 (?c, 0), (c, 0) ,长轴、短轴分别为 2a, 2b 的椭圆。 这个椭圆的离心率 e 就是 P 到定点 F 的距离和它到定直线 l ( F 不在 l 上 ) 的距离 的比. a2 类似地,我们可以得到:当点 P 到定点 F (c, 0) 的距离和它到定直线 l : x ? c 2 2 c x y 的距离的比是常数 (c ? a ? 0) 时, 这个点的轨迹是双曲线, 方程为 2 ? 2 ? 1 (其 a a b 中 b2 ? c 2 ? a 2 ) ,这个常数就是双曲线的离心率. 2 2 2 这样, 圆锥曲线可以统一定义为: 平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l( F 不在 l 上)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1 时,它表示椭圆; 当 e ? 1 时,它表示双曲线; 当 e ? 1 时,它表示抛物线. 其中 e 是圆锥曲线的离心率,定点 F 是圆锥曲线的焦点,定直线 l 是圆锥曲线的 准线. 根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点,焦点在 x 轴 上 的 椭 圆 或 双 曲 线 , 与 焦 点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 对 应 的 准 线 方 程 分 别 为 x?? a2 a2 ,x ? . c c x2 y2 ? ? 1 上一点到右准线的距离是 2 3b ,求该点到椭圆左焦点的 4b 2 b 2 例 2.椭圆 距离. 解:设该椭圆的的左右焦点分别是 F1 , F2 ,该椭圆的离心率为 e ? 线的统一定义可知, PF2 ? e ? 2 3b ? 3 ,由圆锥曲 2 3 ? 2 3b ? 3b 2 所以, PF1 ? 4b ? PF2 ? 4b ? 3b ? b 即该点到椭圆左焦点的距离为 b . 说明:椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线,在解题过程中要注意对应,即 左焦点对应左准线,右焦点对应右准线(或上焦点对应上准线、下焦点对应下准 线. ) x2 y 2 ? ? 1 内有一点 P(1, ? 1) , F 为右焦点,椭圆上有一点 M 使 4 3 M | MP | ?2 | MF | 最 小 , 则 点 为 ( ) 3

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