当前位置:首页 >> 数学 >>

立体几何空间角的求法


长垣一中学生课堂导学提纲

编号:高三理数

(2014.12.21)

编制:赵程晓 审核:理数组 序号:099

……………………………………装……………………………………订……………………………………线…………………………………

空间角的求解(1) 班 级 :_________ 姓 名 :____________ 小组 : ___________ 评 价 : ___________ 【考纲解读】 通过平移平行直线中的一条或两条,作出它们所成的角,通过解三角形确定角的大小。理解直 线与平面所成角的定义,并能以几何体为载体按找、作、证、求得逻辑顺序求角。理解二面角 及其平面角的定义,并能以几何体为载体按找、作、证、求得逻辑顺序求角 【课堂六环节】 一、导——教师导入新课。(7分钟) ( 一 ) 异 面 直 线 所 成 的 角 : 定 义 : 已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线 a? // a, b? // b , a?, b? 所成的角的大小 与点 O 的选择无关,把 a?, b? 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a , b 所成的角(或夹角).为 了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上。范 围 :(0,

?
2

]

a b
O

b′

求 异 面 直 线 所 成 的 角 的 方 法 : 法 1: 通 过 平 移 , 在 一 条 直 线 上 找 一 点 , 过 该 点 做 另 一 直 线 的 平 行 线 ; 法 2;找 出 与 一 条 直 线 平 行 且 与 另 一 条 相 交 的 直 线 , 那 么 这 两 条 相 交 直 线 所 成 的 角 即 为 所 求
王新敞
奎屯 新疆

法3.向 量 法 : cos? ? ( 二 ) 直 线 和 平 面 所 成 的 角

AB. CD AB CD

?

?

1. 线 面 角 的 定 义 : 平 面 的 一 条 斜 线 和 它 在 平 面 上 的 射 影 所 成 的 锐 角 叫 做 这 条 斜 线 和 这 个 平 面 所 成 的 角 ,范 围 : ?0, 2.求 线 面 角 的 一 般 步 骤 : ( 1) 经 过 斜 线 上 一 点 作 面 的 垂 线 ,找 出 斜 线 在 平 面 内 的 射 影 , 从 而 找 出 线 面 角 ( 2) 向 量 法 : 设 直 线a 与 平 面? 所 成 角 为? , 直 线a 的 方 向 向 量 与 面? 的 法 向 量 分 别 是m, n , 则? m,n ? 的 余 角 或 其 补 角 的 余 角 即 为a 与? 所 成 的 角? ,

? ? 2

sin ? ? cos ? m,n ? ?

m?n mn
m

n

(三)二面角
1

通往清华北大的路是用卷子铺出来的!

长垣一中学生课堂导学提纲

编号:高三理数

(2014.12.21)

编制:赵程晓 审核:理数组 序号:099

1.二面角的平面角: (1)过二面角的棱上的一点 O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA, OB ,则 ?AOB 叫 做二面角 ? ? l ? ? 的平面角 范围是 [0 ,180 ] ; 二面角的平面角的特点: 1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 3)角的边都要垂直于二面角的棱。
王新敞
奎屯 新疆

2利 用 法 向 量 求 解 : 设n1 是 平 面? 的 法 向 量 ,n2 是 平 面? 的 法 向 量 . ①两 个 平 面 的 二 面 角 如 图 1所 示 的 示 意 图 , 则n1 与n2 之 间 的 夹 角 就 是 欲 求 的 二 面 角 ; ② 若 两 个 平 面 的 二 面 角 如 图 2所 示 的 示 意 图 , 设n1 与n2 之 间 的 夹 角 为? . 则 两 个 平 面 的 二 面 角 为π ? ? .

(图1) (图2) 用法向量求二面角时,首先必须判断二面角是锐角还是钝角。 由余弦定理求出: cos ? n1 , n2 ?? cos? ?

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |



二、思——自主学习。学生结合课本自主学习,完成下列相关内容。(15分钟) 考点一 异面直线所成的角

例 1. 在 正 三 棱 锥 S- ABC中 , E为 SA的 中 点 , F为 △ ABC的 中 心 , SA=BC=2, 则 异 面 直 线 EF与 AB所 成 的 角 是 (A)30° (B) 45° (C) 60° (D) 90° ( )

分 析 : 设 M是 SB的 中 点 , 连 结 EM, 则 EM∥ AB. ∠ MEF是 异 面 直 线 EF与 AB所 成 的 角 . 连 AF和 MF, 由 于 F 是 △ ABC的 中 心 , 故 SF是 正 三 棱 锥 S- ABC的 高 . 在 Rt△ SAF中 , E是 斜 边 SA的 中 点

1 SA ? 1, 同 理 FM=1, 2 1 1 又EM ? AB ? BC ? 1 , 故 △ EFM是 等 边 三 角 形 , ∠ MEF=60° . 2 2
, 因 此EF ? 例 2、 如 图 , 三 棱 锥 P—ABC中 , PC ? 平 面 ABC, PC=AC=2, AB=BC, D 是 PB上 一 点 , 且 CD ? 平 面 PAB.(I) 求 证 : AB ? 平 面 PCB;(II) 求 异 面 直 线 AP与 BC所 成 角 的 大 小 ; 解 法 一 : (I) ∵PC ? 平 面 ABC,AB ? 平 面 ABC, ∴PC ? AB. ∵CD ? 平 面 PAB,AB ? 平 面 PAB, ∴CD ? AB.又 PC ? CD ? C , ∴AB ? 平 面 PCB. P
2

通往清华北大的路是用卷子铺出来的!
D E B

长垣一中学生课堂导学提纲

编号:高三理数

(2014.12.21)

编制:赵程晓 审核:理数组 序号:099

(II) 过 点 A作 AF//BC, 且 AF=BC, 连 结 PF, CF. 则 ? PAF 为异 面 直 线 PA与 BC所 成 的 角 . 由(Ⅰ)可得AB⊥BC, ∴CF ? AF.由 三 垂 线 定 理 , 得 PF ? AF. 则AF=CF= 2 , PF= PC ? CF
2

? 6, PF 6 在Rt?PFA 中 , tan∠PAF= = 3, ? AF 2 ?
2

∴异 面 直 线 PA与 BC所 成 的 角 为 .

3

例 3、 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90? , PA ? 底面

1 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ? , AB ? 1 , M 是 PB 的中点 2 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角;
证明:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间 直角坐标系,则各点坐标为

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), P(0, 0,1), M (0,1, ) 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是 平 面PAD 内 的 两 条 相 交 直 线 , 由 此 得DC ? 面PAD 又DC 在 面PCD 上 , 故 面PAD ⊥ 面PCD
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

( Ⅱ ) 解 : 因AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所 以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5

考点二

直线和平面所成角

例 4. 在 三 棱 柱 ABC- A1B1C1中 , 四 边 形 A1ABB1是 菱 形 , 四 边 形 BCC1B1是 矩 形 , CB⊥ AB, 且 AB=4, BC=3 , ∠ ABB1=60° . 求 AC1与 平 面 BCC1所 成 角 的 正 弦 . 解 : ∵四 边 形 BCC1B1是 矩 形 , 即 BC⊥ B1B. 又 BC⊥ AB, 且 B1B∩AB=B, ∴BC⊥ 平 面 A1ABB1, ∵BC ? 平 面 BCC1, ∴平 面 A1ABB1⊥ 平 面 BCC1, B1B是 交 线 .
3

通往清华北大的路是用卷子铺出来的!

长垣一中学生课堂导学提纲

编号:高三理数

(2014.12.21)

编制:赵程晓 审核:理数组 序号:099

作 AH⊥ B1B, 垂 足 是 H, 连 结 C1H. ∴AH⊥ 平 面 BCC1, C1H是 AC1在 平 面 BCC1的 射 影 , ∠ AC1H是 直 线 AC1与 平 面 BCC1所 成 的 角 . 在 菱 形 ABB1A1中 , AB=4, ∠ ABB1=60° , ∴AH=ABsin60° =2 3, BH=ABcos60° =2, B1H=2. 在 Rt△ B1HC1中 ,C1 H ? tg ?AC1 H ?

B1 H 2 ? B1C12 ? 13 , 在 Rt△ AHC1中 ,

2 3 2 3 AH 2 3 2 39 ,sin ?AC1 H ? .即 所 求 角 的 正 弦 是 . ? ? 5 5 C1 H 13 13

[典例] 例 5(2013· 湖南高考)如 图 , 在 直 棱 柱 ABCD A1B1C1D1中 , AD∥BC, ∠BAD= 90° , AC⊥BD, BC= 1, AD= AA1= 3. (1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值.

[解] 法 一 : (1)证明:如图 1,因为 BB1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,所以 AC⊥BB1. 又 AC⊥BD, 所以 AC⊥平面 BB1D.而 B1D?平面 BB1D, 所以 AC⊥B1D. (2)因为 B1C1∥AD, 所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1 所成的角(记 为 θ). 如图 1, 连接 A1D.因为棱柱 ABCD A1B1C1D1 是直棱柱, 且∠ B1A1D1

=∠ BAD=90° , 所以 A1B1⊥ 平面 ADD1A1.从而 A1B1⊥ AD1.又 AD=AA1=3, 所以四边形 ADD1A1 是正方形,于是 A1D⊥ AD1.故 AD1⊥ 平面 A1B1D,于是 AD1⊥ B1D. 由(1)知,AC⊥ B1D,所以 B1D⊥ 平面 ACD1.故∠ ADB1=90° -θ.在直角梯形 ABCD 中,因为 AB BC AC⊥ BD,所以∠ BAC=∠ ADB.从而 Rt△ ABC∽ Rt△ DAB,故DA=AB.即 AB= DA· BC= 3.
2 2 2 2 连接 AB1, 易知△ AB1D 是直角三角形, 且 B1D2=BB2 即 B1D 1+BD =BB1+AB +AD =21,

4

通往清华北大的路是用卷子铺出来的!

长垣一中学生课堂导学提纲

编号:高三理数

(2014.12.21)

编制:赵程晓 审核:理数组 序号:099

= 21在 Rt△ AB1D 中,cos∠ ADB1=

AD 3 21 21 21 = = ,即 cos(90° -θ)= .从而 sin θ= . B1D 7 7 7 21 21 . 7

即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为

(2)
建立直角坐标系,用向 量解题。设原点在 A点,AB为Y轴正半轴, AD为X轴正半轴。

设A?0,0, 0?, D(3,0,0), D1 (3,0,3), B(0, y,0),C(1, y,0),则AC ? (1, y,0), BD ? (3,? y,0),? AC ? BD

AC ? BD ? 0 ? 3 ? y 2 ? 0 ? 0, y ? 0 ? y ? 3.? AC ? (1, 3 ,0), AD1 ? (3,0,3).

? ?n ? AC ? 0 设平面ACD1的法向量为n, 则? ? .平面ACD1的一个法向量 n? ( - 3, 1,3) , AD ? (3, 0, 3 ? n ? AD ? 0 1 ?

? 平面ACD1的一个法向量 n? (- 3, 1,3) , AD ? (3, 0, 0) ? sin ? ?| cos ? n, AD ?|?

3 3 21 ? 7 7 ?3

所以BD1与平面ACD1夹角的正弦值为

21 . 7

例 6(2013 年高考新课标 1(理))如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.

(Ⅰ)证明AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE, A1 B , A1 E ,

5

通往清华北大的路是用卷子铺出来的!

长垣一中学生课堂导学提纲

编号:高三理数

(2014.12.21)

编制:赵程晓 审核:理数组 序号:099

∵AB= AA1 , ?BAA1 = 60 ,∴ ?BAA1 是正三角形,
0

∴ A1 E ⊥AB,

∵CA=CB,

∴CE⊥AB,

∵ CE ? A1 E =E,∴AB⊥面 CEA1 ,

∴AB⊥ A1C ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又∵面ABC⊥面 ABB1 A1 ,面ABC∩面 ABB1 A1 =AB,∴EC⊥面 ABB1 A1 ,∴EC⊥ EA1 , ∴EA,EC, EA1 两两相互垂直,以E为坐标原点, EA 的方向为 x 轴正方向,| EA |为单位长度, 建立如图所示 空间直角坐标系 O ? xyz , 有题设知A(1,0,0), A1 (0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0),则 BC =(1,0, 3 ), BB1 = AA1 =(-1,0, 3 ), A1C =(0,- 3 , 3 ), 设 n = ( x, y, z ) 是平面 CBB1C1 的法向量, 则?

? ?n ? BC ? 0 ? ?n ? BB1 ? 0

,即 ?

? ? x ? 3z ? 0 ? ?x ? 3y ? 0

,可取 n =( 3 ,1,-1),

∴ cos n, A1C =

n ? A1C 10 , | n || A1C | 5
10 5
6

∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为

通往清华北大的路是用卷子铺出来的!

长垣一中学生课堂导学提纲

编号:高三理数

(2014.12.21)

编制:赵程晓 审核:理数组 序号:099

考点三

二面角问题

例 7、如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点. (I)求证: 平面PAC ? 平面PBC; (II) 若AB ? 2,AC ? 1,PA ? 1,求证:二面角C ? PB ? A的余弦值.

7

通往清华北大的路是用卷子铺出来的!

长垣一中学生课堂导学提纲

编号:高三理数

(2014.12.21)

编制:赵程晓 审核:理数组 序号:099

8

通往清华北大的路是用卷子铺出来的!

长垣一中学生课堂导学提纲

编号:高三理数

(2014.12.21)

编制:赵程晓 审核:理数组 序号:099

三 、 议 ——学 生 起 立 讨 论 。 根 据 以 上 学 习 的 内 容 进 行 小 组 集 体 讨 论 。 ( 6分 钟 ) 四 、 展 ——学 生 激 情 展 示 。 小 组 代 表 或 教 师 随 机 指 定 学 生 展 示 。 ( 5分 钟 ) 五 、 评 ——教 师 点 评 , 教 师 总 结 规 律 , 点 评 共 性 问 题 , 或 拓 展 延 伸 。 ( 10分 钟 ) 六 、 检 ——课 堂 检 测 。 ( 2分 钟 ) 【当堂检测】
例 8. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理))如图,直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

D, E 分别是 AB, BB1 的中点, AA1 ? AC ? CB ?
(Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 A1CD ;

2 AB . 2

(Ⅱ)求二面角 D ? A1C ? E 的正弦值.

A1 B1

C1

A

E

C

D

B

【答案】

9

通往清华北大的路是用卷子铺出来的!

长垣一中学生课堂导学提纲

编号:高三理数

(2014.12.21)

编制:赵程晓 审核:理数组 序号:099

10

通往清华北大的路是用卷子铺出来的!

长垣一中学生课堂导学提纲

编号:高三理数

(2014.12.21)

编制:赵程晓 审核:理数组 序号:099

11

通往清华北大的路是用卷子铺出来的!


赞助商链接
相关文章:
必修二高中数学立体几何专题——空间几何角和距离的计算
立体几何专题:空间角和距离的计算一 线线角 1. 直三棱柱 A1B1C1-ABC, ∠BCA=900, D1, 1 分别是 A1B1 和 A1C1 的中点, BC=CA=CC1, 点 F 若求 ...
立体几何中空间角的求法
立体几何空间角的求法 立体几何是高中数学的核心内容之一,在高考中占有很大的比 重。考查的知识点、题型等相对稳定,但对学生的空间概念、逻辑 思维能力、空间...
立体几何中空间角求法的思考
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 立体几何空间角求法的思考 作者:李丙周 来源:《成功· 教育》2013 年第 01 期 立体几何是高考重点考察的部分,其中的...
立体几何中用传统法求空间角_图文
立体几何中用传统法求空间角 - -立体几何中的传统法求空间角 知识点: 一.异面直线所成角:平移法 二.线面角 1.定义法:此法中最难的是找到平面的垂线.1....
立体几何之空间角(经典)
立体几何中的空间角 讲义、纸、笔 教学目标 教学重点和难点 参考教材 【知识...空间角的求法: (所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形...
立体几何中的向量方法---空间角
立体几何中的向量方法---空间角_数学_高中教育_教育专区。立体几何中的向量方法---空间角一、异面直线所成角的求法: 异面直线AB与CD所成的角为?,则cos? ?...
立体几何中空间角的应用
向量法求空间角求空间角的大小,是立体几何的重点、难点,也是高考中的热点。运用向量解决这类 问题, 可以把几何关系转化为向量问题, 从而求出角的大小。 向量法的...
立体几何专题空间角
立体几何专题空间角_数学_高中教育_教育专区。立体几何专题:空间角一、异面直线...2.求法:几何法 向量法 公式法 (1)几何法:作出二面角的平面角,再解三角形...
空间立体几何专题复习《空间角的计算》
关键词:空间立体几何专题复习《空间角的计算》 同系列文档 朝鲜历届领导人资料 ...角的定义及其范围 3.写出二面角及其平面角的定义及其范围 4.上述三种角的求法...
立体几何空间角
立体几何空间角_高三数学_数学_高中教育_教育专区。XD-CPZX-0204-BMBD-1-080430...二面角的求法: (1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点) ,分别在两个...
更多相关标签: