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2010年中考数学试题分类汇编


2010 年中考数学试题分类汇编 图形的相似与位似

1. (2010 年福建省德化县)如图,小“鱼”与大“鱼”是位似图形,如果小“鱼” 上一个“顶点”的坐标为 ( a, b ) ,那么大“鱼”上对 应“顶点”的坐标为 A、 ( ? a, 2b ) ? C、 ( ?2 a, 2b ) ? B、 ( ?2 a, b ) ? D、 ( ?2b, 2a ) ? ( )

【关键词】位似中心是原点的坐标之间的关系(若相似比为 k, 则坐标之比同侧为 k 异侧为-k) 【答案】C 2. (2010 江苏泰州, )一个铝质三角形框架三条边长分别为 24cm、30cm、36cm,要做一个与它相似的铝质 三角形框架,现有长为 27cm、45cm 的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允 许有余料)作为另外两边.截法有( ) A.0 种 B. 1 种 C. 2 种 D. 3 种 【答案】B 【关键词】相似三角形的判定 3.(2010 年宁德市)如图,在□ABCD 中,AE=EB,AF=2,则 FC 等于_____. 【答案 4】 1.(2010 年台湾省)图(一)表示 D、E、F、G 四点在△ABC 三边上的位置,其中 DG 与 EF 交于 H 点。若∠ABC=∠EFC=70°,∠ACB=60°,∠DGB=40°,则下列哪 A 一组三角形相似? E (A) △BDG,△CEF (B) △ABC,△CEF D (C) △ABC,△BDG (D) △FGH,△ABC 。 H 【关键词】相似 【答案】B B C G F 图(一) 3.(2010 福建泉州市惠安县)两个相似三角形的面积比是 9:16,则这两个三角形的相似比是( A.9:16 B. 3:4 C.9:4 D.3:16 【关键词】相似三角形的性质 【答案】B )

4. (2010 年兰州市) 如图,上体育课,甲、乙两名同学分别站在 C、D 的位置时,乙的影子恰好在甲的影 子里边,已知甲,乙同学相距 1 米.甲身高 1.8 米,乙身高 1.5 米,则甲的影长是 米. 【关键词】图形的相似 【答案】6 5.(2010 辽宁省丹东市)如图, 位似图形,且位似比

△ ABC 与 △ A′B′C ′ 是

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是 1: 2 ,若 AB=2cm,则 A′B′ = cm, 并在图中画出位似中心 O. 【关键词】位似 【答案】 .4(填空 2 分,画图 1 分)
B A C′

B A C B′

C′

′ A

O
C B′

第 11 题图

′ A

第 11 题图 6.(2010 年安徽省芜湖市)如图,光源 P 在横杆 AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为 CD,AB∥CD,AB=2m, CD=6m,点 P 到 CD 的距离是 2.7m,则 AB 与 CD 间的距离是__________m.

【关键词】投影 相似三角形 【答案】 1.8 7.(2010 重庆市 ) 已知△ ABC 与△ DEF 相似且对应中线的比为 2:3,则△ ABC 与△ DEF 的周长比为 2010 _____________. 解析:由相似三角形的对应线段比等于相似比知,△ABC 与△DEF 的周长比为 2:3 答案:2:3. (2010 山东德州)如图,小明在 A 时测得某树的影长为 2m,B 时又测得该树的影长为 8m,若两次日照 8. 的光线互相垂直,则树的高度为_____m. B时 A时

第 14 题图 【关键词】三角形相似 【答案】4 9.(2010 重庆潼南县)12. △ABC 与△DEF 的相似比为 3:4,则△ABC 与△DEF 的周长比为 答案:3:4 10. (2010 重庆市潼南县)△ABC 与△DEF 的相似比为 3:4,则△ABC 与△DEF 的周长比为 重庆市潼南县) 答案:3:4.
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.

.

11.(2010 年浙江省金华). 如图在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E,F,O 分别是 AB,CD,AD 的中点,以 O 为圆心,以 OE 为半径画弧 EF.P 是 上的一个动点,连
A O D

结 OP,并延长 OP 交线段 BC 于点 K,过点 P 作⊙O 的切线,分别交射线 AB 于点 M,交直线 BC 于点 G.
BG 若 = 3 ,则 BK﹦ BM

.

E M

F

B C G 【关键词】正方形、相似、切线定理 K 1 5 【答案】 或 ( 第 16 题 3 3 12.一天,小青在校园内发现:旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上,树顶的影子和 她头顶的影子恰好落在地面的同一点,同时还发现她站立于树影的中点(如图所示).如果小青的峰高 为 1.65 米,由此可推断出树高是_______米. 3.3

13.. (2010 浙江衢州) 浙江衢州) 如图,方格纸中每个小正方形的边长为 1,△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上. (1) 判断△ABC 和△DEF 是否相似,并说明理由; (2) P1,P2,P3,P4,P5,D,F 是△DEF 边上的 7 个格点,请在这 7 个格点中选取 3 个点作为三角形的 顶点,使构成的三角形与△ABC 相似(要求写出 2 个符合条件的三角形,并在图中连结相应线段,不必 说明理由).
B P1 A P3 P4 C E P2 D P5 F

解:(1) △ABC 和△DEF 相似. 根据勾股定理,得
AB = 2 5 , AC = 5 ,BC=5 ;

……2 分

DE = 4 2 , DF = 2 2 , EF = 2 10 .

AB AC BC 5 , = = = DE DF EF 2 2 ∴ △ABC∽△DEF. (2) 答案不唯一,下面 6 个三角形中的任意 2 个均可. △P2P5D,△P4P5F,△P2P4D,



……3 分 ……1 分 ……4 分

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△P4P5D,△P2P4 P5,△P1FD.
B P1 A P3 P4 C E (第 22 题) P2 D P5 F

14. (2010 江西)图 1 所示的遮阳伞,伞炳垂直于水平地面,起示意图如图 2.当伞收紧时,点 P 与点 A 重 合;当三慢慢撑开时,动点 P 由 A 向 B 移动;当点 P 到达点 B 时,伞张得最开。已知伞在撑开的过程 中,总有 PM=PN=CM=CN=6.0 分米,CE=CF=18.0 分米.BC=2.0 分米。设 AP=x分米.

(1)求x的取值范围; (2)若∠CPN=60 度,求x的值; (3)设阳光直射下伞的阴影(假定为圆面)面积为y,求y与x的关系式(结构保留 π ) 【关键词】菱形、圆、等边三角形、相似三角形的性质与判定、勾股定理、二次函数、动手操作等 【答案】23.解(1)因为 BC=2,AC=CN+PN=12,所以 AB=12-2=10 所以x的取值范围是 0 ≤ x ≤ 10 (2) 因为 CN=PN,∠CPN=60°,所以三角形 PCN 是等边三角形.所以 CP=6 所以 AP=AC-PC=12-6=6 即当∠CPN=60°时,x=6 分米 (3) 连接 MN、EF,分别交 AC 与 0、H, 因为 PM=PN=CM=CN,所以四边形 PNCM 是菱形。 所以 MN 与 PC 互相垂直平分,AC 是∠ECF 的平分线

PC 12 ? x = = 6 ? 0.5 x 2 2 在 RtVMOP 中,PM=6, PO =

MO 2 = PM 2 = 6 2 ? (6 ? 0.5 x) 2 = 6 x ? 0.25 x 2
又因为 CE=CF,AC 是∠ECF 的平分线,所以 EH=HF,EF 垂直 AC。 因为∠ECH=∠MCO,∠EHC=∠MOC=90°, 所以 VCOM : VCEH ,所以 MO/EH=CM/CE 所以 (

MO 2 6 ) = ( )2 EM 18

所以 EH 2 = 9gMO 2 = 9(6 x ? 0.25 x 2 )

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所以 y = π gEH = 9π (6 x ? 0.25 x )
2 2

15.(2010 珠海)19.如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E, 连接 DE,F 为线段 DE 上一点,且∠AFE=∠B. (1) 求证:△ADF∽△DEC (2) 若 AB=4,AD=3 3 ,AE=3,求 AF 的长.

(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC (2)解:∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在 Rt△ADE 中,DE= ∵△ADF∽△DEC ∴

AD 2 + AE 2 = (3 3 ) 2 + 3 2 = 6

AD AF = DE CD



3 3 AF = 6 4

AF= 2 3

16.(2010 年滨州)本题满分 8 分)如图,在△ABC 和△ADE 中,∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE. (1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线) ; (2)请分别说明两对三角形相似的理由.

解:(1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE (2)①证△ABC∽△ADE.
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∵∠BAD=∠CAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE 又∵∠ABC=∠ADE, ∴△ABC∽△ADE. ②证△ABD∽△ACE. ∵△ABC∽△ADE,

AB AC = AE ∴ AD
又∵∠BAD=∠CAE, ∴△ABD∽△ACE (2010 年滨州)15.如图,A、B 两点被池塘隔开,在 AB 外取一点 C,连结 AC、BC,在 AC 上取点 M,使 AM=3MC,

作 MN∥AB 交 BC 于 N,量得 MN=38cm,则 AB 的长为 【答案】152 17.(2010 日照市) 如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 与 E,交 BC 与 D.求证: (1)D 是 BC 的中点;

(2)△BEC∽△ADC; (3)BC =2AB·CE. (1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90° , 即 AD 是底边 BC 上的高. 又∵AB=AC,∴△ABC 是等腰三角形, ∴D 是 BC 的中点 (2) 证明:∵∠CBE 与∠CAD 是同弧所对的圆周角, ∴ ∠CBE=∠CAD. 又∵ ∠BCE=∠ACD, ∴△BEC∽△ADC; (3)证明:由△BEC∽△ADC,知
2

CD CE , = AC BC

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即 CD·BC=AC·CE. ∵D 是 BC 的中点,∴CD=

1 BC. 2 1 BC ·BC=AB·CE 2

又 ∵AB=AC,∴CD·BC=AC·CE= 即 BC 2 =2AB·CE.

18.(8 分) (2010 年浙江省东阳市)如图,BD 为⊙O 的直径,点 A 是弧 BC 的中点,AD 交 BC 于 E 点,AE=2, ED=4. (1)求证: ?ABE ~ ?ABD ; (2) 求 tan ∠ADB 的值; (3)延长 BC 至 F,连接 FD,使 ?BDF 的面积等于 8 3 , 求 ∠EDF 的度数. 【关键词】图形相似 三角函数 【答案】 (1)∵点 A 是弧 BC 的中点 ∴∠ABC=∠ADB 又∵∠BAE=∠BAE ∴△ABE∽△ABD............ ............3分


A B O D C E F

(2)∵△ABE∽△ABD ∴AB =2×6=12 ∴AB=2 3

在Rt△ADB中,tan∠ADB=

2 3 3 ............. .............3分 = 6 3

(3)连接CD,可得BF=8,BE=4,则EF=4,△DEF是正三角形, ∠EDF=6°................... ...................

19.(2010 年四川省眉山市) .如图,Rt△AB ′C ′ 是由 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的,连结 CC ′ 交斜 边于点 E,CC ′ 的延长线交 BB ′ 于点 F. (1)证明:△ACE∽△FBE; (2)设∠ABC= α ,∠CAC ′ = β ,试探索 α 、 β 满足什么关系时,△ACE 与△FBE 是全等三角形,并说 明理由. 【关键词】图形的旋转、相似三角形的判定、全等三角形的判定 【答案】 (1)证明:∵Rt△AB ′C ′ 是由 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的, ∴AC=AC ′,AB=AB ′,∠CAB=∠C ′AB ′ ∴∠CAC ′=∠BAB ′ F B ∴∠ACC ′=∠ABB ′ C' 又∠AEC=∠FEB E ∴△ACE∽△FBE
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C A

B'

(2)解:当 β = 2α 时,△ACE≌△FBE. 在△ACC′中,∵AC=AC ′,

180° ? ∠CAC ' 180° ? β = = 90° ? α 2 2 在 Rt△ABC 中, ∠ACC′+∠BCE=90°,即 90° ? α + ∠BCE = 90° , ∴∠BCE= α . ∵∠ABC= α , ∴∠ABC=∠BCE ∴CE=BE 由(1)知:△ACE∽△FBE, ∴△ACE≌△FBE.
∴ ∠ACC ' = 20. (2010 年安徽中考) 如图,已知△ABC∽△ A1B1C1 ,相似比为 k ( k > 1 ) 且△ABC 的三边长分别为 a 、 ,

b、c(a > b > c ) ,△ A1B1C1 的三边长分别为 a1 、 b1 、 c1 。
⑴若 c = a1 ,求证: a = kc ; ⑵若 c = a1 ,试给出符合条件的一对△ABC 和△ A1B1C1 ,使得 a 、 b 、 c 和 a1 、 b1 、 c1 进都是正整数, 并加以说明; ⑶若 b = a1 , c = b1 ,是否存在△ABC 和△ A1B1C1 使得 k = 2 ?请说明理由。

【关键词】三角形相似 【答案】 (1) 证明:∵△ABC∽△ A1B1C1 ,且相似比为 k ( k > 1 ) ,∴

a = k ∴ a = ka1 a1

又∵ c = a1 ,所以 a = kc (2)取 a=8,b=6,c=4,同时取 a1 = 4, b1 = 3, c1 = 2 此时

a b c = = = 2 ∴ ?ABC a1 b1 c1

?A1 B1C1且c = a1

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(1)

不存在这样的△ABC 和△ A1B1C1 ,理由如下:

若 k=2,则 a = 2a1 , b = 2b1 , c = 2c1 又∵ b = a1 , c = b1 , ∴ a = 2a1 = 2b = 4b1 = 4c ∴b=2c ∴b+c=2c+c<4c=a,而 b+c>a 故不存在这样的△ABC 和△ A1B1C1 使得 k = 2 。

21、 (2010 年宁波)如图 1、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,□ABCD 的顶点 A 的坐标为(-2,0) , ,点 B 在 x 轴的正半轴上,点 E 为线段 AD 的中点,过点 E 的直线 l 与 x 轴交于点 点 D 的坐标为(0, 2 3 ) F,与射线 DC 交于点 G。 (1)求 ∠DCB 的度数; (2)连结 OE,以 OE 所在直线为对称轴,△OEF 经轴对称变换后得到△ OEF ′ ,记直线 EF ′ 与射线 DC 的交点为 H。 ①如图 2,当点 G 在点 H 的左侧时,求证:△DEG∽△DHE; ②若△EHG 的面积为 3 3 ,请直接写出点 F 的坐标。 y D 解: (1) 60° G C y D G H C E x A O (图 3) y B x y

E E (2, 2 3 ) (2) (3)①略 x B A O ②过点 E 作 EM⊥直线 CD 于点 M O B F FA ∵CD∥AB (图 1) (图 2) ∴ ∠EDM = ∠DAB = 60° ∴ Em = DE ? sin 60° = 2 × ∵ S ?EGH =

F′

D

C

3 = 3 2

MD
E A O (图 3) B

C

∴ GH = 6 ∵△DHE∽△DEG ∴

1 1 ? GH ? ME = ? GH ? 3 = 3 3 2 2

x

DE DH 即 DE 2 = DG ? DH = DG DE 当点 H 在点 G 的右侧时,设 DG = x , DH = x + 6 ∴ 4 = x ( x + 6)
解: x1 = ?3 + 13 + 2 = 13 ? 1

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∴点 F 的坐标为( ? 13 + 1 ,0) 当点 H 在点G的左侧时,设 DG = x , DH = x ? 6 ∴ 4 = x ( x ? 6) 解: x1 = 3 + 13 , x1 = 3 ? 13 (舍) ∵△DEG≌△AEF ∴ AF = DG = 3 + 13 ∵ OF = AO + AF = 3 + 13 + 2 = 13 + 5 ∴点F的坐标为( ? 13 ? 5 ,0) , 综上可知,点F的坐标有两个,分别是 F1 ( ? 13 + 1 ,0) F2 ( ? 13 ? 5 ,0)

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