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2017届一轮复习人教A版 平面向量的概念与线性运算 理 课件


考纲要求 1.了解向量的实际背景 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义 3.理解向量的几何表示 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义

考情分析 1.平面向量的线性运算、共线向量定理是近几年高考命题的热点 2.常与三角、平面几何知识交汇考查,有时也会命制新定义问题 3.题型以选择题、填空题为主,属中低档题

[小题热身] 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)单位向量只与模有关,与方向无关。( √ ) (2)零向量的模等于 0,没有方向。( × ) (3)若两个向量共线,则其方向必定相同。( × ) (4)若 a∥b,b∥c,则必有 a∥c,( × ) → +BA → =0。( √ ) (5)AB

解析:(1)正确。由定义可知只要模为 1 的向量,就叫单位向量, 与方向无关。 (2)错误。零向量的方向是任意的。 (3)错误。可能相同,也可能相反,若有零向量,则两向量方向不 定。 (4)错误。若 b 为 0,则 a 不一定与 c 共线。 → +BA → =AB → -AB → =0。 (5)正确。AB

2. 如图所示, 在平行四边形 ABCD 中, 下列结论中错误的是( → =DC → A.AB → +AB → =AC → B.AD → -AD → =BD → C.AB → +CB → =0 D.AD

)

→ -AD → =DB →, 解析:A 显然正确,由平行四边形法则知 B 正确.AB → +CB → =AD → +DA → =0。 故 C 错误.D 中AD 答案:C

3.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交点 O,E 是线段 OD 的 → =a, → =b , → 等于( 中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F.若AC BD 则AF ) 1 1 A. a+ b 4 2 2 1 B. a+ b 3 3 1 1 1 2 C. a+ b D. a+ b 2 4 3 3

解析:如图所示,∵E 是 OD 的中点, 1→ 1 → ∴OE= BD= b。 4 4 又∵△ABE∽△FDE, AE BE 3 ∴ = = , EF DE 1 → =3EF → ,∴AE → =3AF →。 ∴AE 4 → =AO → +OE → =1a+1b。 在△AOE 中,AE 2 4 → =4AE → =2a+1b。 ∴AF 3 3 3 答案:B

→ =a,AD → =b, 4.若 ABCD 是正方形,E 是 DC 边的中点,且AB → 等于( 则BE ) 1 1 A.b+ a B.b- a 2 2 1 1 C.a+ b D.a- b 2 2

1→ 1 → → → → 解析:如图所示,BE=BC+CE=AD- AB=b- a。 2 2 答案:B

1→ → → |= |BC → |,则这个四边 5.设四边形 ABCD 中,有DC= AB,且|AD 2 形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
1→ → → |= |BC → |,所以 解析:由DC= AB知四边形 ABCD 是梯形,又|AD 2 四边形 ABCD 是等腰梯形,故选 C。 答案:C

[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 方向 既有①______ 大小 又有②______ 向量 的量; 平面向量是自由向量 向量的大小叫做向量的 长度 ③____( 模 或④______) 长度为⑤______ 其方 零 的向量; 0 零向量 记作⑥__________ 向是任意的 单位向 长度等于⑦ a 非零向量 a 的单位向量为 ± 1 个单位长度 的向量 |a| 量 ________________

平行向 量 共线向 量 相等向 量 相反向 量

相同 或⑨______ 相反 的 方向⑧______ 非零向量 1方向相同或相反 0____________向量又叫做 ○ 共线向量 长度?________ 相等 且方向? 相同 的向量 ________ 长度?________ 相等 且方向? ________ 相反 的向量

平行 或共 0 与任一向量?______ 线

0 的相反向量为 0

2.向量的表示方法 → 等。 (1)字母表示法:如 a,AB 有向线段 表示向量。 (2)几何表示法:用一条?__________

3.向量的线性运算

三角形

b+a

平行四边形

a+(b+c)

三角形 |λ||a| λμa 相同 相反 0 λa+μa λa+λb

二、必明 3●个易误点 1. 作两个向量的差时, 要注意向量的方向是指向被减向量的终点; 2. 在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”, 否则 λ 可能不存在, 也可能有无数个; 3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系。

考点一 平面向量的有关概念 【典例 1】给出下列命题: → ①若|a|= |b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB → 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;③若 a=b,b=c, =DC 则 a=c;④a=b 的充要条件是|a|= |b |且 a∥b。 ②③ 其中真命题的序号是__________ 。

解析:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相 → =DC → ,∴|AB → |= |DC → |且 AB → ∥DC →, 同。②正确.∵AB 又∵A,B,C,D 是不共线的四点,∴四边形 ABCD 为平行四边 → ∥DC → 且|AB → |= |DC → |, 形;反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则AB → =DC →。 因此,AB ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同; 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c。 ④不正确. 当 a∥b 且方向相反时, 要使|a|= |b|, 也不能得到 a=b, 故|a|= |b|且 a∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件.综上 所述,正确命题的序号是②③。

悟· 技法 平面向量中常用的几个结论 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性。 (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量。 a a (3) 是与 a 同向的单位向量,- 是与 a 反向的单位向量。 |a| |a|

通· 一类 1.设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a |a0; ②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0。 上述命题中,假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

解析:向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相等,但方 向不一定相同,故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两 种情况: 一是同向, 二是反向, 反向时 a=-|a|a0, 故②③也是假命题. 综 上所述,假命题的个数是 3。 答案:D

考点二 平面向量的线性运算

【典例 2】 → (1)如图, 在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB → =λAO → ,则 λ=__________ 2 +AD 。 → +PB → +PC → =AC → ,那么 (2)已知 P,A,B,C 是平面内四点,且PA 一定有( D ) → =2CP → B.CP → =2PB → A.PB → =2PB → D.PB → =2AP → C.AP

→ +AD → =AC → =2AO → ,∴λ=2。 解析:(1)∵AB → +PB → +PC → =AC → =PC → -PA →, (2)∵PA → =-2PA → =2AP →。 ∴PB

悟· 技法 向量线性运算的方法技巧 向量线性运算,要转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边 形法则、三角形法则,利用三角形中位线、相似三角形等平面几何的 性质,把未知向量转化为已知向量(基底向量)来求解。

通· 一类 1→ → → ,则实 2.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,CD= CA+λCB 3 数 λ=( D ) 2 1 A.- B.- 3 3 1 2 C. D. 3 3

解析:如图,D 是 AB 边上一点,过点 D 作 DE∥BC,交 AC 于点 E,过点 D 作 DF∥AC,交 BC 于点 F,连接 CD, → =CE → +CF →。 则CD 1→ → →, 因为CD= CA+λCB 3 1→ → → →。 所以CE= CA,CF=λCB 3 DE AE 2 由△ADE∽△ABC,得 = = , BC AC 3 2→ 2 → → 所以ED=CF= CB,故 λ= 。 3 3

考点三 共线向量定理及其应用 【典例 3】设两个非零向量 a 与 b 不共线, → =a+b,BC → =2a+8b,CD → =3(a-b)。 (1)若AB 求证:A、B、D 三点共线。 (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线。

→ =a+b,BC → =2a+8b,CD → =3(a-b), 解析:(1)证明:∵AB → = BC → + CD → = 2a+ 8b+ 3(a- b)= 2a+ 8b+ 3a- 3b= 5(a+ b) ∴ BD → 。∴AB → 、BD → 共线,又∵它们有公共点 B, =5AB ∴A、B、D 三点共线。 (2)∵ka+b 与 a+kb 共线,∴存在实数 λ, 使 ka+b=λ(a+kb),即 ka+b=λa+λkb。 ∴(k-λ)a=(λk-1)b。 ∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0, ∴k2-1=0,∴k=± 1。

悟· 技法 1.共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参 数的值。 (2)若 a,b 不共线,则 λa+μb=0 的充要条件是 λ=μ=0,这一结 论结合待定系数法应用非常广泛。 2.证明三点共线的方法 → =λAC → ,则 A,B,C 三点共线。 若AB

通· 一类 3.已知向量 a,b 不共线,且 c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若 c 与 d 同向,则实数 λ 的值为__________。

解析:由于 c 与 d 同向,所以 c=kd(k>0), 于是 λa+b=k[a+(2λ-1)b], 整理得 λa+b=ka+(2λk-k)b。 ? ?λ=k, 由于 a,b 不共线,所以有? ? ?2λk-k=1, 1 2 整理得 2λ -λ-1=0,所以 λ=1 或 λ=- 。 2 又因为 k>0,所以 λ>0,故 λ=1。 答案:1

高考模拟 → =3CD →, 1.(2015· 课标Ⅰ卷) 设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC 则( ) 1→ 4→ 1→ 4→ → → A.AD=- AB+ AC B.AD= AB- AC 3 3 3 3 → =4AB → +1AC → → =4AB → -1AC → C.AD D.AD 3 3 3 3 1→ → 1→ 1→ 1 → → → → 解析: 由题意得AD=AC+CD=AC+ BC=AC+ AC- AB=- 3 3 3 3 4→ → AB+ AC,故选 A。 3 答案:A

2. 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形 ABCD → +OB → +OC → +OD → 等于( 所在平面内任意一点,则OA ) → A.OM → C.3OM → B.2OM → D.4OM

解析:依题意知,点 M 是线段 AC 的中点,也是线段 BD 的中点, → + OC → = 2OM → , OB → + OD → = 2 OM → ,所以OA → + OC → + OB → + OD →= 所以 OA → ,故选 D。 4OM 答案:D

3.(2016· 长春调研)在△ABC 中,P 是 BC 边的中点,角 A、B、C → +aPA → +bPB → =0,则△ABC 的形状为 的对边长分别是 a、b、c,若 cAC ( ) A.直角三角形 C.等边三角形 B.钝角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形

? a+b? 1 → → 1 → → → ? 解析: 由题意知 cAC- a(AB+AC)+ b(AB-AC)=0, ∴?c- 2 2 2 ? ? ? a-b → a+b? → a-b → → ?AC= AC- AB=0,∴?c- AB。 2 2 2 ? ?

?a-b ? 2 =0, → 、AC → 不共线,∴? 又AB ?c-a+b=0, 2 ?
答案:C

∴a=b=c。

→ =2e +ke ,CB → =e +3e ,CD → =2e - 4.(2016· 宜昌模拟)已知AB 1 2 1 2 1 e2,若 A,B,D 三点共线,则 k=__________。
→ ∥BD →, 解析:若 A,B,D 三点共线,则AB → =λBD →。 设AB → =CD → -CB → = e -4 e , 因为BD 1 2 所以 2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2, 所以 λ=2,k=-4λ,所以 k=-8。 答案:-8

5.(2015· 课标Ⅱ卷)设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平 行,则实数 λ=__________。

解析: 由于 λa+b 与 a+2b 平行, 所以存在 μ∈R, 使得 λa+b=μ(a +2b),即(λ-μ)a+(1-2μ)b=0,因为向量 a,b 不平行,所以 λ-μ= 1 0,1-2μ=0,解得 λ=μ= 。 2 1 答案: 2


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