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广东省深圳市2014届高三2月第一次调研数学理试题


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广东省深圳市 2014 届高三 2 月第一次调研 数学理试题
2014.2
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写

自己的学校、姓名和考生号, 同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、 不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原的答案,然后再写 上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多 涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式: 如果事件 A、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A)? P( B); 如果事件 A、 B 相互独立,那么 P( AB) ? P( A)P( B);

1 若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V ? Sh . 3
一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {2, 0, 1, 4} ,集合 B ? {x 0 ? x ? 4, x ? R} ,集合 C ? A ? B .则集合 C 可表示为 A. {2,0,1, 4} B. {1, 2, 3, 4} C. {1, 2, 4} D. {x 0 ? x ? 4, x ? R}

2.复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z = A.

1 1 ? i 2 2

B.

1 1 ? i 2 2

C. ?

1 1 ? i 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2

3.下列函数中,为奇函数的是

1 A. y ? 2 ? x 2
x

B. y ? x, x ??0,1?

C. y ? x ? sin x

?1, x ? 0 ? D. y ? ?0, x ? 0 ? ?1, x ? 0 ?

4.“ ? ? 1 ”是“ 函数 f ( x) ? cos ? x 在区间 ? 0, π ? 上单调递减”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

?

??
开始
a ? 2,i ? 1

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.执行如图 1 所示的程序框图,则输出的 a 的值为 (注: “a ? 2” ,即为“ a ? 2 ”或为“ a :?? 2 ” . ) A. 2 B.
1 3
1 2

a?

1? a 1? a

C. ?

i ? i ?1

D. ?3 1 6.( x ? )4 的展开式中常数项为 2x 1 1 A. B. ? 2 2 3 3 C. D. ? 2 2 7.如图 2,在矩形 OABC 内:记抛物线 y ? x2 ? 1 与直线 y ? x ? 1 围成的区域为 M (图中阴影部分) .随机往矩形 OABC 内投一 点 P ,则点 P 落在区域 M 内的概率是 A. C.
1 18 1 6

i ? 2014



是 输出 a 结束

y 2
1
C

图 1 x2 ? 1 y?

B

y ? x ?1

B.

1 12

1 x x A 图2 8. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 定 义 两 点 P( x1 , y1 ) 与 Q( x2 , y2 ) 之 间 的 “ 直 角 距 离 ” 为
O

D.

1 3

d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 .给出下列命题:
(1)若 P(1, 2) , Q(sin ? , 2cos ? )(? ? R) ,则 d ( P, Q) 的最大值为 3 ? 5 ; (2)若 P, Q 是圆 x ? y ? 1上的任意两点,则 d ( P, Q) 的最大值为 2 2 ;
2 2

(3) 若 P(1,3) ,点 Q 为直线 y ? 2 x 上的动点,则 d ( P, Q) 的最小值为 其中为真命题的是 A. (1) (2) (3)

1 . 2

B. (1) (2)

C. (1)(3)

D. (2)(3)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选 做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.函数 f(x)? 2x ? 4 的定义域为 . 侧视 图
侧视图

10. 某几何体的三视图如图 3 所示, 其正视图是边长为 2 的正方形, 和俯视图都是等腰直角三角形, 则此几何体的体积是 . 正视图

俯视图

图3

?

??

11.已知双曲线 C :

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 有相同的焦点, 与椭圆 a 2 b2 9 4


且双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ?2 x ,则双曲线 C 的方程为

? x ? y, ? 12. 设实数 x, y 满足 ? y ? 10 ? 2 x , 向量 a ?(2 x ? y, m), b ?(?1, 1).若 a?//?b ,则实数 m 的最大值 ? x ? 1, ?
为 . . 13.在数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 4 , a3 ? 15 ,且数列 ?an ? n? 是等比数列,则 an ?

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立

? ? x ? t, 极 坐 标 系 . 若 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ? ( t 为参数) , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 2 ? ?y ? 1? t .

? sin ? ? ? cos? ? ?1 .则曲线 C1 与曲线 C2 的交点个数为________个.
15. (几何证明选讲选做题)如图 4,已知 AB 是⊙ O 的直径,TA
O 的切线,过 A 作弦 AC //BT ,若 AC ? 4 , AT ? 2 3 ,则

T

是 ⊙

AB ?



B

O C

A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、 过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? π) 的图像经过点 ( (1)求 ? 的值;

图4

证 明

π , 1) . 12

2 2 2 ( 2 )在 ?ABC 中, ? A 、 ? B 、 ?C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? b ? c ? ab,且

f(

A π 2 .求 sin B . ? )? 2 12 2

17.(本小题满分 12 分) 某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况, 随机抽查了该市

?

??

当天 60 名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如图 5(1) ) :
网购金额 (单位:千元)

频数

频率

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

频率 组距

(0, 0.5]

3

0.05
p

(0.5,1]
(1,1.5]

x
9 15

0.15 0.25

(1.5, 2] (2, 2.5] (2.5,3]
合计 (1)

18
y

0.30
q

60

1.00
图5

金额(千元)

0

0.5

1

1.5
(2)

2

2.5

3

若网购金额超过 2 千元的顾客定义为“网购达人” ,网购金额不超过 2 千元的顾客定 义为“非网购达人” ,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 3 : 2 . (1)试确定 x , y , p , q 的值,并补全频率分布直方图(如图 5(2)) . (2)该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验,从“非网购达人” 、 “网购 达人”中用分层抽样的方法确定 10 人,若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查.设 ? 为选取 的 3 人中“网购达人”的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图 6 所示,平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且四边形 ABCD 为矩形,四边形 BCEF 为直角梯形,
BF // CE , BC ? CE , DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 . AF // 平面 CDE ; (1)求证 :

(2)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值; (3)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值.

D
A

C

E

B

F
图6

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 4(n ? 1)(Sn ? 1) ? (n ? 2) an (n ? N ) .
2 ?

?

??

(1)求 a1 , a2 的值; (2)求 an ; (3)设 bn ?

3 n ?1 ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 4 an

20.(本小题满分 14 分) 如图 7,直线 l : y ? x ? b(b ? 0) ,抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) ,已知点 P (2, 2) 在抛
2

物线 C 上,且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 (1)求直线 l 及抛物线 C 的方程;

3 2 . 4

(2)过点 Q(2,1) 的任一直线(不经过点 P )与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,直线 AB 与直线 l 相 交于点 M ,记直线 PA , PB , PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 .问:是否存在实数 ? ,使得

k1 ? k2 ? ? k3 ?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.
y
l

M
B
Q
O

P

x

图7

A

?

??

21. (本小题满分 14 分) 9x 已知函数 f ( x)? (a ? 0) . 1 ? ax2
1 (1)求 f ( x)在[ ,2]上的最大值; 2

(2)若直线 y ? ? x ? 2a 为曲线 y ? f ( x)的切线,求实数 a 的值;
?1 ? x ? 2 ? , , 且 x1 + x 2+ ? + x ? ( 3 ) 当 a ? 2 时 , 设 x1 , x, , 若 不 等 式 2? , 1 ? 4 1 14 4 ?2 ?
f ( x1 )+ f ( x2 )+ ?+f ( x14 )? ? 恒成立,求实数 ? 的最小值.

2014 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查 内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较 严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 C 2 B 3 D 4 A 5 D 6 C 7 B 8 A

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 9. {x x ? 2} ; 13. 2 ? 3
n ?1

10.

8 ; 3

11. x ?
2

y2 ? 1; 4

12. 6 ;

?n;

14. 1 ;

15. 2 6 .

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? π) 的图像经过点 ( (1)求 ? 的值;

π , 1) . 12

2 2 2 ( 2 )在 ?ABC 中, ? A 、 ? B 、 ?C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? b ? c ? ab,且

?

??

f(

A π 2 .求 sin B . ? )? 2 12 2

π π ) ? 1 ,即 sin( ? ? ) ? 1 . ???????????2 分 12 6 π π 7π π π , ? ?? ? , ? 0 ? ? ? π ,? ? ? ? ? 6 6 6 6 2 π ?? ? . ???????????????????????5 分 3
解: (1)由题意可得 f (

2 2 2 (2)? a ? b ? c ? ab ,

? cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? , 2ab 2
3 . 2
π ), 3

????????????????????7 分

?sin C ? 1 ? cos 2 C ?

????????????????8 分

由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ?

A π ? 2 . ? f ( + ) ? sin( A ? ) ? cos A ? 2 12 2 2

? A ? ? 0, ? ? , ?sin A ? 1 ? cos2 A ?

2 , ???????????10 分 2

又? sin B ? sin(π ? ( A ? C )) ? sin( A ? C ) ,

? sin B ? sin A cos C ? cos A sin C ?

2 1 2 3 2? 6 .?????12 分 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质,三角恒等变换,以 及余弦定理等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 17. (本小题满分 12 分) 某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况, 随机抽查了该市 当天 60 名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如图 5(1) ) :
网购金额 (单位:千元)
频率 组距

频数

频率

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

(0, 0.5]

3

0.05
p

(0.5,1]
(1,1.5]

x
9 15

0.15 0.25

(1.5, 2] (2, 2.5] (2.5,3]

18
y

0.30
q

?

??

若网购金额超过 2 千元的顾客定义为“网购达人” ,网购金额不超过 2 千元的顾客定 义为“非网购达人” ,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 3 : 2 . (1)试确定 x , y , p , q 的值,并补全频率分布直方图(如图 5(2)) . (2)该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验,从“非网购达人” 、 “网购 达人”中用分层抽样的方法确定 10 人,若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查.设 ? 为选取 的 3 人中“网购达人”的人数,求 ? 的分布列和数学期望. 解: (1)根据题意,有
频率 组距

?3 ? x ? 9 ? 15 ? 18 ? y ? 60, ? 2 ? 18+y ? . ? ? 3 ? x ? 9 ? 15 3

0.7 0.6 0.5 0.4

? x ? 9, 解得 ? ? y ? 6.

???????2 分

0.3 0.2 0.1
金额(千元)

? p ? 0.15 , q ? 0.10 .
补全频率分布直方图如图所示. ???4 分 (2)用分层抽样的方法,从中选取 10 人,则

0.5 1 1.5 2 2.5 3 2 3 其中“网购达人”有 10 ? =4 人, “非网购达人”有 10 ? =6 人. ???????6 分 5 5
故 ? 的可能取值为 0,1,2,3;
0 3 1 2 C4 C6 1 C4 C 1 P(? ? 0) ? 3 ? , P(? ? 1) ? 3 6 ? , C10 6 C10 2 2 1 3 0 C4 C6 3 C4 C6 1 , ? P ( ? ? 3) ? ? .??????????10 分 3 3 C10 10 C10 30

0

P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为:

?
p

0

1

2

3

1 1 ? E? ?0 ? ? 1 ? 6 2

1 6 3 1 ? 2 ? 3 ? ? 10 30

1 2 ? . 6 5

3 10

1 30

????????12 分

?

??

【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识, 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力. 18. (本小题满分 14 分) 如图 6 所示,平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且四边形 ABCD 为矩形,四边形 BCEF 为直角梯形, D BF // CE , BC ? CE , DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 .
AF // 平面 CDE ; (1)求证 :

A

(2)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值; (3)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值.

C

G

E

B
解: (法一) (1)取 CE 中点为 G ,连接 DG 、 FG ,

F
图6

? BF //CG 且 BF ? CG ,

? 四边形 BFGC 为平行四边形 ,则 BC //FG 且 BC ? FG . ????2 分
? 四边形 ABCD 为矩形, ? BC //AD 且 BC ? AD ,
? FG //AD 且 FG ? AD ,

? 四边形 AFGD 为平行四边形 ,则 AF //DG .
? DG ? 平面 CDE , AF ? 平面 CDE ,
? AF // 平面 CDE .

????????????????????4 分

(2)过点 E 作 CB 的平行线交 BF 的延长线 于 P ,连接 FP , EP , AP ,

D
A

? EP // BC // AD ,

? A , P , E , D 四点共面.
? 四边形 BCEF 为直角梯形,四边形 ABCD 为矩形,
C

E

? EP ? CD , EP ? CE ,又? CD ? CE ? C ,
? EP ? 平面 CDE ,? EP ? DE ,
又? 平面 ADE ? 平面 BCEF ? EP ,

B

F

P

? ?DEC 为平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的平面角.????????7 分
? DC ? CE ? 4 ,? cos ?DEC ?
CE 2 . ? DE 2 2 . ????????9 分 2
D A

即平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为

?

??

(3)过点 F 作 FH ? AP 于 H ,连接 EH ,

? 根据(2)知 A , P , E , D 四点共面, EP // BC // AD ,

? BC ? BF , BC ? AB ,
又? AB ? BF ? B , ? BC ? 平面 ABP , ,则 FH ? EP . ? B C? F H 又? FH ? AP , ? FH ? 平面 ADE .

? 直线 EF 与平面 ADE 所成角为 ? HEF .
? DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 ,

???????????11 分

? FH ? FP sin 450 ? 2 , EF ? FP2 ? EP2 ? 2 2 , HE ? 6 , ? cos ?HEF ?
HE 6 3 . ? ? EF 2 2 2
3 . 2
???????????14 分

即直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为

(法二) (1)? 四边形 BCEF 为直角梯形,四边形 ABCD 为矩形,

? BC ? CE , BC ? CD ,
又? 平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且 平面 ABCD ? 平面 BCEF ? BC ,

z

D
A

? DC ? 平面 BCEF .
以 C 为原点, CB 所在直线为 x 轴, CE 所在直线为 y 轴,
C

CD 所在直线为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系.
根据题意我们可得以下点的坐标:

o

E

y

B x

F

??? ? A(2,0, 4) , B(2, 0, 0) ,C (0,0,0) , D(0,0, 4) , E(0, 4,0) , F (2, 2,0) , 则 AF ? (0, 2, ?4) ,
??? ? CB ? (2,0,0) .
??????2 分

??? ? ? BC ? CD , BC ? CE , ? CB 为平面 CDE 的一个法向量.
又? AF ? CB ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? (?4) ? 0 ? 0 ,
? AF // 平面 CDE .

??? ? ??? ?

??????????????????????4 分

???? ?? ?? ? ? AD ? n1 ? 0, (2)设平面 ADE 的一个法向量为 n1 ? ( x1, y1, z1 ) ,则 ? ???? ?? ? ? DE ? n1 ? 0.

?

??

??? ? ??? ? ? AD ? (?2,0,0) , DE ? (0, 4, ?4) ,

?? ? ?2 x1 ? 0 , 取 z1 ? 1,得 n1 ? (0,1,1) . ?? ? 4 y1 ? 4 z1 ? 0
? DC ? 平面 BCEF ,

???????????6 分

??? ? ? 平面 BCEF 一个法向量为 CD ? (0,0, 4) ,
设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 ? ,

??? ? ?? CD ? n1 4 2 则 cos ? ? ??? . ? ? ?? ? 2 4? 2 CD ? n1

因此,平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 (3)根据(2)知平面 ADE 一个法向量为 n1 ? (0,1,1) ,

2 . ???????9 分 2

??

??? ? ? EF ? (2, ?2,0) ,

??? ? ?? ??? ? ?? EF ? n1 ?2 1 ? cos ? EF , n1 ?? ??? ? ? ,???12 分 ? ?? ? 2 EF ? n1 2 2 ? 2

设直线 EF 与平面 ADE 所成角为 ? ,则 cos ? ? sin ? EF , n1 ? ?

??? ? ??

3 . 2

因此,直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为

3 . ?????????14 分 2

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识, 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力. 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 4(n ? 1)(Sn ? 1) ? (n ? 2)2 an (n ? N? ) . (1)求 a1 , a2 的值; (2)求 an ; (3)设 bn ?

3 n ?1 ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 4 an

2 解: (1)当 n=1 时,有 4 ? (1 ? 1)(a1 +1 )( = 1+2) a1 ,解得 a1 =8 .

当 n =2 时,有 4 ? (2 ? 1)(a1 ? a2 ? 1) ? (2 ? 2)2 a2 ,解得 a2 =27 .?????2 分

?

??

(2) (法一)当 n ? 2 时,有 4( S n ? 1) ?

(n ? 2) 2 an , ?????① n ?1

4( Sn?1 ? 1) ?
①—②得: 4an ?

(n ? 1)2 an?1 . ???????② n

(n ? 2) 2 an (n ? 1) 2 an ?1 a (n ? 1)3 ,即: n = .????5 分 ? n ?1 n an?1 n3

?

an a ?1 a a2 = n3 = n?2 3 ? … ? 3 =1. 3 (n ? 1) n (n ? 1) 3
???????????????8 分

? an =(n ? 1)3 (n ? 2) .
另解: an ?

an an?1 a (n ? 1)3 n3 43 3 ? ??? 2 ? a1 ? ? ? ? ? ? 2 ? (n ? 1)3 . 3 3 3 an?1 an?2 a1 n (n ? 1) 3

又? 当 n=1 时,有 a1 =8 ,

? an =(n ? 1)3 . ??????????8 分

(法二)根据 a1 =8 , a2 =27 ,猜想: an =(n ? 1)3 . ????????????3 分 用数学归纳法证明如下: (Ⅰ)当 n ? 1 时,有 a1 ? 8 ? (1 ? 1) ,猜想成立.
3

(Ⅱ)假设当 n ? k 时,猜想也成立,即: ak =(k ? 1)3 . 那么当 n ? k ? 1 时,有 4(k ? 1 ? 1)(Sk ?1 ? 1) ? (k ? 1 ? 2)2 ak ?1 , 即: 4( Sk ?1 ? 1) ?

(k ? 1 ? 2)2 ak ?1 ,?????????① k ?1?1 (k ? 2)2 ak , ??????????② k ?1 (k ? 3)2 ak ?1 (k ? 2)2 ak (k ? 3) 2 ak ?1 (k ? 2)2 (k ? 1)3 ? = ? , k ?2 k ?1 k ?2 k ?1

又 4( Sk ? 1) ?

①-②得: 4ak ?1 ?

解,得 ak +1 ? (k ? 2)3 ? (k ? 1 ? 1)3 .

? 当 n ? k ? 1 时,猜想也成立.
因此,由数学归纳法证得 an =(n ? 1)3 成立.???????????????8 分 (3)? bn ?

n ?1 1 1 1 1 = ? ? ? , ???????????10 分 2 an (n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1

?

??

? Tn =b1 ? b2 ? b3 ? …? bn?1 ? bn =

1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ?…? 2 ? 2 2 3 4 n (n ? 1) 2

<

1 1 1 1 1 ? ? ?…? ? 2 2 2?3 2?3 (n ? 1)n n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ? ( ? ) ? ( ? ) ?…? ( ? )?( ? ) 4 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1
1 1 1 3 = ? ? ? . 4 2 n ?1 4
???????????????14 分

【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识,考查了学 生的运算能力,以及化归与转化的思想. 20. (本小题满分 14 分) 如图 7,直线 l : y ? x ? b(b ? 0) ,抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,已知点 P (2, 2) 在抛

物线 C 上,且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 (1)求直线 l 及抛物线 C 的方程;

3 2 . 4

(2)过点 Q(2,1) 的任一直线(不经过点 P )与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,直线 AB 与直线 l 相 交于点 M ,记直线 PA , PB , PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 .问:是否存在实数 ? ,使得

k1 ? k2 ? ? k3 ?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.
解: (1) (法一)? 点 P (2, 2) 在抛物线 C 上, ? p ? 1 . ????????2 分 y
l

设与直线 l 平行且与抛物线 C 相切的直线 l ? 方程为 y ? x ? m , 由?

? y ? x ? m,
2 ? y ? 2 x,

得 x ? (2m ? 2) x ? m ? 0 ,
2 2

M
B
Q
O

P

? ? ? (2m ? 2)2 ? 4m2 ? 4 ? 8m ,
? 由 ? ? 0 ,得 m ?

x

1 1 ,则直线 l ? 方程为 y ? x ? . 2 2 ? 两直线 l 、 l ? 间的距离即为抛物线 C 上的点到直线 l 的最短距离,

图7

A

b?
?有

1 2 3 2 ? ,解得 b ? 2 或 b ? ?1 (舍去) . 4 2

? 直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2x . ??????????6 分

?

??

(法二)? 点 P (2, 2) 在抛物线 C 上, ? p ? 1 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 x .??2 分

设M(

t2 , t( ) t ? R) 为抛物线 C 上的任意一点,点 M 到直线 l 的距离为 d ? 2

t2 ?t ?b 2 2

,根据图

象,有

t2 1 ? t ? b ? 0 ,? d ? [(t ? 1)2 ? 2b ? 1] , 2 2 2

? t ? R ,? d 的最小值为

2b ? 1 2b ? 1 3 2 ,由 ,解得 b ? 2 . ? 4 2 2 2 2
2

因此,直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y ? 2 x .???????6 分 (2)? 直线 AB 的斜率存在,? 设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 y ? kx ? 2k ? 1 ,

由?

? y ? kx ? 2k ? 1, ? y ? 2 x,
2

得 ky 2 ? 2 y ? 4k ? 2 ? 0 ,

设点 A 、 B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

2 2 ? 4k , y1 y2 ? , k k

? k1 ?

y1 ? 2 y1 ? 2 2 2 ? 2 ? , k2 ? , ??????????9 分 x1 ? 2 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?2 2

2 2 ? +8 2( y1 ? y2 ) ? 8 2 2 4k ? 2 k .?10 分 ? k1 ? k2 ? ? ? ? ? y1 ? 2 y2 ? 2 y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 2 ? 4k ? 2 ? 2 ? 4 3 k k
由?

? y ? kx ? 2k ? 1, 2k ? 1 4k ? 1 得 xM ? , yM ? , k ?1 k ?1 ? y ? x ? 2,

4k ? 1 ?2 2k ? 1 k ? 1 , ? ? k3 ? 2k ? 1 3 ?2 k ?1

?????????????????13 分

? k1 ? k2 ? 2k3 .
因此,存在实数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 成立,且 ? ? 2 .??????????14 分 【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系,切 线方程,点到直线距离,最值问题等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决 问题的能力,考查数形结合、化归与转化思想. 21. (本小题满分 14 分)

?

??

已知函数 f ( x)?

9x (a ? 0) . 1 ? ax2

1 (1)求 f ( x)在[ ,2]上的最大值; 2

(2)若直线 y ? ? x ? 2a 为曲线 y ? f ( x)的切线,求实数 a 的值;
?1 ? x ? 2 ? , , 且 x1 + x 2+ ? + x ? ( 3 ) 当 a ? 2 时 , 设 x1 , x, , 若 不 等 式 2? , 1 ? 4 1 14 4 ?2 ?
f ( x1 )+ f ( x2 )+ ?+f ( x14 )? ? 恒成立,求实数 ? 的最小值.

解: (1) f ?( x) ?

9[1? (1 ? ax 2 ) ? x ? 2ax] 9(1 ? ax 2 ) ,??????????2 分 ? (1 ? ax 2 )2 (1 ? ax 2 )2
a (负值舍去) , a

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?



1 1 a ? ? 2 ,解得 ? a ? 4 . 4 2 a

1 1 时,由 x ? [ , 2] ,得 f ?( x) ? 0 , 2 4 18 1 .?????????????3 分 ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值为 f (2) ? 4a ? 1 2 1 (ⅱ)当 a ? 4 时,由 x ? [ , 2] ,得 f ?( x) ? 0 , 2 1 18 1 .??????????????4 分 ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值为 f ( ) ? 2 a?4 2
(ⅰ)当 0 ? a ? (ⅲ)当

1 1 a a ? a ? 4 时,? 在 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,在 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , 4 2 a a

1 a 9 a .?????????????5 分 f ) = ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值为 ( 2 a 2a
? f ?(t ) ? ?1, (2)设切点为 (t , f (t )) ,则 ? ? f (t ) ? ?t ? 2a.

???????????6 分

由 f ?(t ) ? ?1 ,有

9[1 ? at 2 ] ? ?1,化简得 a 2t 4 ? 7at 2 ? 10 ? 0 , 2 2 (1 ? at )

2 2 即 at ? 2 或 at ? 5 , ???????????①

由 f (t ) ? ?t ? 2a ,有

9t ? 2a ? t ,?????② 1 ? at 2

?

??

由①、②解得 a ? 2 或 a ? (3)当 a ? 2 时, f ( x) ?

53 4 . 4

?????????????????9 分

9x , 1 ? 2x2

由(2)的结论直线 y ? 4 ? x 为曲线 y ? f ( x) 的切线,

? f (2) ? 2 ,? 点 (2, f (2)) 在直线 y ? 4 ? x 上,
根据图像分析,曲线 y ? f ( x) 在直线 y ? 4 ? x 下方. 下面给出证明:当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? 4 ? x . ??????????10 分

1 2

? f ( x) ? (4 ? x) ?

2 9x 2 x3 ? 8 x 2 ? 10 x ? 4 ( 2 x ? 1) ( x ? 2) ? 4 ? x ? ? , 2 2 1? 2x 1? 2x 1 ? 2x2

1 ? 当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? (4 ? x) ? 0 ,即 f ( x) ? 4 ? x .?????????12 分 2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( x14 ) ? 4 ?14 ? ( x1 ? x2 ? ? ? x14 ) ,
? x1 ? x2 ? ? ? x14 ? 14 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?? f ( x14 ) ? 56 ?14 ? 42 .
? 要使不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( x14 ) ? ? 恒成立,必须 ? ? 42 .?????13 分
又? 当 x1 ? x2 ? ? ? x14 ? 1 时,满足条件 x1 ? x2 ? ? ? x14 ? 14 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( x14 ) ? 42 , 因此, ? 的最小值为 42 . ???????????????????14 分 【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解 与证明、恒成立问题,考查学生的分类讨论,计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意 识.


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