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第2章-2.5等比数列的前n项和性质第2课时


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第 2 课时

等比数列前 n 项和的性质及应用

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●三维目标 1.知识与技能 掌握等比数列前 n 项和公式的特点, 在此基础上能初步应用 公式解决与之有关的问题.

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2.过程与方法 通过对公式运用的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类 比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、 概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. 3.情感、态度与价值观 通过对公式运用的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透 事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.

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●重点难点 重点:等比数列前 n 项和及性质的应用. 难点:等比数列前 n 项和及性质的灵活应用.

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课标解读

1.掌握等比数列前n项和的 性质的应用.(重点) 2.能用递推公式求通项 公式.(难点) 3.掌握等差数列与等比 数列的综合应用.(重点)

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【问题导思】 1.在等差数列{an}中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,?成等差数 列吗?

【提示】 是的.

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2.若数列{an}为等比数列,a1+a2,a3+a4,a5+a6,成等 比数列吗? 【提示】 a3+a4=q2(a1+a2),a5+a6=q2(a3+a4),所以 a1 +a2,a3+a4,a5+a6 成等比数列. 3.若数列{an}为等比数列,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8 +a9 成等比数列吗?

【提示】 是的.

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4. 仿照问题 1, 在等比数列{an}中, Sk, S2k-Sk, S3k-S2k, ? 是否成等比数列.

【提示】 是成等比数列.

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在等比数列{an}中, Sn, S2n-Sn,S3n-S2n qn 其公比是 .

, ?成等比数列,

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【问题导思】 a1?1-qn? 1. 等比数列前 n 项和公式 Sn= (q≠1), 是否可以写 1-q 成 Sn=A(qn-1)(Aq≠0 且 q≠1)的形式?若可以,A 等于什么?

a1 【提示】 可以,A=- . 1-q

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a1-anq 2.等比数列前 n 项和公式 Sn= (q≠1).是否可以写 1-q 成 Sn=Aan+B(AB≠0 且 A≠1)的形式?

q a1 【提示】 可以,A=- ,B= . 1-q 1-q

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a1?1-qn? 当公比 q≠1 时, 等比数列的前 n 项和公式是 Sn= , 1 - q a1 a1 n a1 - · q+ 1 - q 1-q ,设 A= 1-q ,上式可写 它可以变形为 Sn= 成 Sn=-Aqn+A.由此可见, q≠1 的等比数列的前 n 项和 Sn 是由 关于 n 的一个 指数式 与一个 常数 的和构成的, 而指数式的系数 与常数项 互为相反数 .

当 q≠1 时,数列 S1,S2,S3,?,Sn,?的图象是函数 y= -Aqx+A 图象上的一些 孤立的点 .

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(1)已知等比数列{an}中,前 10 项和 S10=10,前 20 项和 S20=30,求 S30. (2)一个等比数列的首项是 1,项数是偶数,其奇数项的和为 85,偶数项的和为 170,求此数列的公比和项数.

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【思路探究】 (1)列出关于 a1,q 的方程组能求解吗?S10, S20 - S10 , S30 - S20 是否成等比数列?用这一性质能解决吗? (2)“奇数项之和”、“偶数项之和”的含义是什么?你能使用 等比数列前 n 项和的性质求解吗?

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【自主解答】 (1)法一 设数列{an}的首项为 a1, 公比为 q,
10 a ? 1 - q ? ? ? 1 =10, ? 1-q 显然 q≠1,则? 20 a ? 1 - q ? ? 1 =30. ? 1 - q ?

两式相除得 1+q10=3,∴q10=2. a1?1-q30? a1?1-q10? ∴S30= = (1+q10+q20) 1-q 1-q =10×(1+2+4)=70.

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法二 ∵S10,S20-S10,S30-S20 仍成等比数列, 又∵S10=10,S20=30, ?30-10?2 ∴S30-30= , 10 即 S30=70.

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(2)法一 设原等比数列的公比为 q,项数为 2n(n∈N*).
2n 1 - q ? ? 2 =85, ? 1-q 由已知 a1=1,q≠1,有? 2n q ? 1 - q ? ? ② 2 =170. ? ? 1-q



由②÷ ①,得 q=2, 1-4n ∴ =85,4n=256,∴n=4. 1-4 故公比为 2,项数为 8.

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法二 ∵S 偶=a2+a4+?+a2n =a1q+a3q+?+a2n-1q =(a1+a3+?+a2n-1)q=S 奇· q, S偶 170 ∴q= = =2. S奇 85 又 Sn=85+170=255, a1?1-qn? 1-2n 据 Sn= ,得 =255, 1-q 1-2 ∴2n=256,∴n=8. 故公比 q=2,项数 n=8.
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1.解决本例有两种思路:用等比数列的前 n 项和公式直接 求解,属通性通法;用性质求解,方法灵活,技巧性强,有时使 计算简便. 2.等比数列前 n 项和的常用性质 (1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为 q. ①若共有 2n 项,则 S 偶∶S 奇=q; ②若共有 2n+1 项, a1+a2n+1q 则 S 奇-S 偶= (q≠1 且 q≠-1). 1+q
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(2)“片断和”性质:等比数列{an}中,公比为 q,前 m 项和 为 Sm(Sm≠0),则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?,Skm-S(k-1)m,? 构成公比为 qm 的等比数列.

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(2014· 渭南高二检测)等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求 S4 的值.

【解】 法一 ∵S2=7,S6=91,易知 q≠1,
? ?S2=7, 由? ? ?S6=91,

?a1?1+q?=7, ? 得?a1?1-q6? ? 1-q =91, ?

a1?1+q??1-q??1+q2+q4? ∴ =91. 1-q
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∴q4+q2-12=0. ∴q2=3. a1?1-q4? ∴S4= =a1(1+q)(1+q2)=7×(1+3)=28. 1-q ∴S4=28.

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法二 设数列{an}的公比为 q, ∵S2=7,S6=91,
? ?a1+a2=7, ∴? ? ?a1+a2+a3+a4+a5+a6=91. ? ?a1+a2=7, ∴? 2 4 ? 7 + 7 q + 7 q =91. ?

∴q4+q2-12=0. ∴q2=3. a1?1-q4? ∴S4= =28. 1-q
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法三 ∵{an}为等比数列, ∴S2,S4-S2,S6-S4 也为等比数列, 即 7,S4-7,91-S4 成等比数列. ∴(S4-7)2=7(91-S4), 解得 S4=28 或-21. ∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2) =S2(1+q2)=7(1+q2)>0. ∴S4=28.

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根据下面各个数列{an}的首项和递推关系,求其通 项公式: (1)a1=1,an+1=an+2n(n∈N*); n (2)a1=1,an+1= an(n∈N*); n+1

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1 (3)a1=1,an+1= an+1(n∈N*); 2 1 1 1 1 (4)数列{an}满足 a1+ 2a2+ 3a3+?+ nan=2n+5,求数列 2 2 2 2 {an}的通项公式.

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【思路探究】

(1)观察递推公式的特点,能采用叠加法求

通项公式吗? (2) 用叠乘法可以求解吗? (3) 能否对递推公式变 形,构造出一个新的等比数列?(4)对已知条件用“递推求差” 的方法后你会得到怎样的结果?

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【自主解答】 (1)∵an+1=an+2n, ∴an+1-an=2n, ∴an=a1+ (a2-a1)+ (a3- a2)+ ?+ (an-an -1)= 1+2×1+ 2×2+?+2×(n-1)=1+n· (n-1)=n2-n+1. an+1 n (2)∵ = , an n+1 a2 a3 an 1 2 n-1 1 1 ∴an=a1· · · ?· =1··· ?· = ,∴an= . a1 a2 an-1 23 n n n

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1 1 (3)∵an+1= an+1,∴an+1-2= (an-2), 2 2 1 ∴{an-2}是首项为 a1-2=-1,公比为 的等比数列, 2
?1? ?1? ? ? n- 1 ? ? n- 1 ∴an-2=(-1)· ,∴ a = 2 - . n ?2? ?2? ? ? ? ?

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1 1 1 1 (4)因为 a1+ 2a2+ 3a3+?+ nan=2n+5, ① 2 2 2 2 ①式对任意正整数 n 都成立,所以当 n≥2 时,有 1 1 1 a + a +?+ n-1an-1=2(n-1)+5, ② 2 1 22 2 2 1 ①-②得, nan=2(n≥2). 2 所以 an=2· 2n=2n+1(n≥2).

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1 在①中令 n=1,可得 a1=2+5=7,即 a1=14. 2 所以
? ?14, an=? n+1 ? , ?2

?n=1?, ?n≥2?.

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1.形如 an+1=an+f(n)的递推式,可用叠加法求通项公式. 2.形如 an+1=f(n)an 的递推式,可用叠乘法求通项公式. 3.形如 an+1=kan+b(k、b 为常数)的递推式,可变形为 an+
1+λ=k(an+λ)构造等比数列求解,其中

λ 可用待定系数法确定.

4.由和式求通项公式,可把和式看做一个数列的前 n 项和, 然后根据
? ?S1 an=? ? ?Sn-Sn-1

?n=1? 来求解. ?n≥2?

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2 1 1 (1)已知数列{an}中,a1= ,an+1= an+ ,求数列{an}的通 3 2 2 项公式; (2)已知数列{an}中,a1=3,a2=5,且 Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-
1

(n≥3),求数列{an}的通项公式.

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1 1 【解】 (1)∵an+1= an+ , 2 2 1 ∴an+1-1= (an-1), 2 1 1 1 又 a1-1=- ,∴数列{an-1}是首项为- ,公比为 的等 3 3 2 比数列.
? 1 ? ?1?n-1 ∴an-1=- ×?2? , 3 ? ? ? 1 ? ?1?n-1 ∴an=1- ×?2? . 3 ? ?

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(2)由 Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3)得 Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3). ∵an=Sn-Sn-1, ∴an=an-1+2n-1(n≥3), 即 an-an-1=2n-1(n≥3).

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又 a2-a1=5-3=2, ∴an-an-1=2n-1(n≥2). ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+?+21+3 2?1-2n-1? = +3=2n+1. 1-2 故数列{an}的通项公式为 an=2n+1.

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(2013· 山东高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1) 求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn}满足 + +?+ =1- n ,n∈N*,求{bn} a1 a2 an 2 的前 n 项和 Tn.
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【思路探究】

(1)能否把条件转化为等差数列的两个基本

量 a1 和 d 的方程?怎么求出 an 的表达式? bn (2)如何先求出 进而确定出{bn}的通项公式? an (3)数列{bn}的通项公式有什么特点?能用什么方法求和 Tn?

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【自主解答】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1,得
? ?4a1+6d=8a1+4d, ? ? ?a1+?2n-1?d=2a1+2?n-1?d+1. ? ?a1=1, 解得? ? ?d=2.

因此 an=2n-1,n∈N*.

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b1 b2 bn 1 (2)由已知 + +?+ =1- n,n∈N*, a1 a2 an 2 b1 1 当 n=1 时, = ; a1 2 1 ? bn 1 ? 1 ? ? 1 - 当 n≥2 时, =1- n-? = n. an 2 ? 2n-1? ? 2 bn 1 所以 = n,n∈N*. an 2

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由(1)知 an=2n-1,n∈N*, 2n-1 所以 bn= n ,n∈N*. 2 2n-1 1 3 5 所以 Tn= + 2+ 3+?+ n , 2 2 2 2 2n-3 2n-1 1 1 3 T = + +?+ n + n+1 . 2 n 22 23 2 2 两式相减,得

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2 2? 1 1 ? ?2 ? 2n-1 T = + 22+23+?+2n?- n+1 2 n 2 ? 2 ? ? 2n-1 3 1 = - n-1- n+1 , 2 2 2 2n+3 所以 Tn=3- n . 2

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b1 b2 bn 1 1.本题对于 + +?+ =1- n式的处理运用了和式的 a1 a2 an 2 思想,这也是求数列通项公式的基本方法. 2.解决等差数列和等比数列的综合问题,一般不能直接套 用公式,要先对已知条件转化变形,使之符合等差或等比数列的 形式,然后利用公式求解.同时,要注意在题设条件下,寻求等 差数列和等比数列之间的内在联系,寻求它们之间的相互转化, 寻求它们的相互作用.
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(2012· 山东高考)已知等差数列{an}的前 5 项和为 105, 且 a10 =2a5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中不大于 72m 的项的个数记为 bm.求数列{bm}的前 m 项和 Sm.

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【解】 (1)设数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Tn, 由 T5=105,a10=2a5, 5×?5-1? ? ?5a1+ d=105, 2 ? 得 ? ?a1+9d=2?a1+4d?, 解得 a1=7,d=7. 因此 an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*).

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(2)对 m∈N*,若 an=7n≤72m,则 n≤72m-1. 因此 bm=72m-1. 所以数列{bm}是首项为 7,公比为 49 的等比数列, b1?1-qm? 7×?1-49m? 7×?72m-1? 72m+1-7 故 Sm= = = = . 48 48 1-q 1-49

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忽略对公比 q 的讨论致误 求数列 1,a,a2,?,an-1,?的前 n 项和 Sn.
【错解】 由等比数列的前 n 项和公式,得 1×?1-an? 1-an Sn= = . 1-a 1-a

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【错因分析】 本题有两处错误:(1)认为 1,a,a2,?, an-1,?为等比数列,实际上该数列只有在 a≠0 时,才是等比 数列. a1?1-qn? (2)若该数列为等比数列, 要用公式 Sn= 求和, 忘记 1-q 条件 q≠1 会导致错误.

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【防范措施】 若数列中含有字母,只有在字母不使数列各 项为 0 时,才可构成等比数列,在不明确等比数列的公比 q 的取 a1?1-qn? a1-anq 值而运用求和公式 Sn= = 时,一定要注意分 q= 1-q 1-q 1 与 q≠1 进行讨论.

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【正解】 当 a=1 时,此数列为 1,1,1,?,1,?,前 n 项和为 Sn=n; 当 a=0 时,此数列为 1,0,0,?,0,?,前 n 项和为 Sn=1; 当 a≠0 且 a≠1 时,此数列为首项为 1,公比为 a 的等比数 列, ?1-an? 1-an 则前 n 项和 Sn=1× = . 1-a 1-a

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? ?n?a=1?, ?1?a=0?, 故 Sn=? n 1 - a ? ?a≠0且a≠1?. ? 1 - a ?

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1.在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组) 求解,在解方程时,仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同 之处. 2.在解等比数列问题时,要注意合理应用等比数列的性质, 与等比数列前 n 项和有关的常用的性质有: ①连续 m 项和(如 Sm, S2m-Sm,S3m-S2m,?)仍组成等比数列(注意此连续 m 项的和必 须非零才成立 ) ;② {an} 为等比数列,且 q≠1 ? Sn =- Aqn + A(A≠0). 用好性质会降低解题的运算量,从而减少错误.

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3.解决有关数列模型的实际问题时,关键是弄懂题意,确 定数列的类型及所求的基本量.

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1. 等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3n+1+a, 则 a 的值为( A.3 C.-1 B.-3 D.任意实数

)

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【解析】 ∵Sn=3n+1+a, ∴n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=2· 3n. n=1 时,a1=S1=a+9. ∵{an}为等比数列,∴a+9=2×31, 解得 a=-3.

【答案】 B

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2.在由正数组成的等比数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=4, 则 a5+a6=________.
【解析】 ∵{an}成等比数列, ∴a1+a2,a3+a4,a5+a6 也成等比数列, ∴(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6), 42 ∴a5+a6= =16. 1

【答案】 16

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3.已知等比数列{an}中,公比 q=3,a1+a3+a5+a7=4, 则 a2+a4+a6+a8=________.

【解析】 a2+a4+a6+a8=(a1+a3+a5+a7)q=4×3=12. 【答案】 12

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4.在等差数列{an}中,a2=9,a5=21. (1)求{an}的通项公式; (2)令 bn=2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
【解】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,
? ?a1+d=9, 依题意得方程组? ? ?a1+4d=21, ? ?a1=5, 解得? ? ?d=4,

∴数列{an}的通项公式为 an=4n+1.

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(2)由 an=4n+1,得 bn=24n+1, ∴{bn}是首项为 b1=25,公比为 q=24 的等比数列, 25?24n-1? 32?24n-1? ∴数列{bn}的前 n 项和 Sn= 4 = . 15 2 -1

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? ?2n-1?n为奇数?, 在数列{an}中,an=? n ? ?3 ?n为偶数?,

求其前 n 项和 Sn.

【思路探究】 显然奇数项组成等差数列且公差为 4,偶数 项组成等比数列且公比为 9.

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【自主解答】 当 n=2m(m∈N*)时, Sn=1+5+?+(4m-3)+9+92+?+9m m?4m-2? 9?1-9m? = + 2 1-9 n?n-1? 9 n = + (3 -1); 2 8

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当 n 为奇数时,则 n-1 为偶数, ∴Sn=Sn-1+an ?n-1??n-2? 9 n-1 = + (3 -1)+2n-1 2 8 n?n+1? 9 n-1 = + (3 -1). 2 8
? ?n?n-1?+9?3n-1??n为偶数?, 8 ? 2 综上可知 Sn=? ?n?n+1? 9 n-1 + ?3 -1??n为奇数?. ? 2 8 ?

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? 1? 1 1 1 ? (1)求数列 1 ,3 ,5 ,?,??2n-1?+2n? 的前 n 项和; ? 2 4 8 ? ?

1 1 1 1 (2)求数列 2 , 2 , 2 , 2 ,?的前 n 项和. 1 +2 2 +4 3 +6 4 +8

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? 1? 1 1 1 ? 【解】 (1)Sn=1 +3 +5 +?+??2n-1?+2n? ?= 2 4 8 ? ? ?1 1 1 1? ? (1+3+5+?+2n-1)+?2+4+8+?+2n? ?= ? ? ?1? ? 1? ? ? ?n? 1 - ?2? ? ?1+2n-1?· n 2? ? ? ? ? + 2 1 1- 2

1 =n +1- n. 2
2

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1 ? 1 1? ?1 ? (2)因为通项 an= 2 = ?n- ,所以此数列的前 n 项 n+2? n +2n 2? ?
? ? ? 1? 1? ?? ? ?1 1? 和 Sn= ??1-3?+?2-4?+ 2?? ? ? ? ? 1 ? ? ?1 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 ?? ?3-5 ?+?+?n-1-n+1?+?n-n+2?? ? ? ? ? ? ??

1 1 1 ? 2n+3 1? ? ? 3 - = ?1+2- = - . 2? n+1 n+2? 4 2 ? n + 1 ?? n + 2 ? ?

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