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解三角形单元测试题


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(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题: (每小题 5 分,共计 60 分) ) 1. △ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为( A B C 等边三角形 D 等腰三角形
新疆 新疆 新疆 新疆

王新敞 奎屯

王新敞 奎屯

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奎屯

王新敞

2. 在△ABC 中,b= 3 ,c=3,B=300,则 a 等于( A. 3 B.12 3 C. 3 或 2 3

) D.2

3. 不解三角形,下列判断中正确的是( ) 0 A.a=7,b=14,A=30 有两解 B.a=30,b=25,A=1500 有一解 D.a=9,c=10,B=600 无解 C.a=6,b=9,A=450 有两解 4. 已知△ABC 的周长为 9,且 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为





a?b?c 等于( sin A ? sin B ? sin C 2 39 A.3 3 B. 3 8 3 39 D. C. 3 2 6. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 的值为( )
5. 在△ABC 中,A=60°,b=1,其面积为 3 ,则 7.关于 x 的方程 x ? x ? cos A ? cos B ? cos A.79 C.5
2 2

A. ?

1 4

B.

1 4

C. ?

2 3

D.

2 3

)

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 8. 设 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长,则实数 m 的取值范围是( ) A.0<m<3 B.1<m<3 C.3<m<4 D.4<m<6 9. △ABC 中,若 c= a 2 ? b 2 ? ab ,则角 C 的度数是( A.60° B.120° ) C.60°或 120° ) D.30°<A<60° ( ) D.45°

C ? 0 有一个根为 1,则△ABC 一定是( 2

B.69 D.-5



10. 在△ABC 中,若 b=2 2 ,a=2,且三角形有解,则 A 的取值范围是( A.0°<A<30° B.0°<A≤45°
2

C.0°<A<90°

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 12. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( ) (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 11. 二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分)
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11.在△ABC 中, tan A ? sin B ? tan B ? sin A ,那么△ABC 一定是

2

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13.在△ABC 中,有等式:①asinA=bsinB;②asinB=bsinA;③acosB=bcosA;④ 恒成立的等式序号为______________ 14. 在等腰三角形 ABC 中,已知 sinA∶sinB=1∶2,底边 BC=10,则△ABC 的周长是 15. 在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________. 16. 已知△ABC 的三边分别是 a、b、c,且面积 S ? 三、解答题
0

a b?c . 其中 ? sin A sin B ? sin C


a2 ? b2 ? c2 ,则角 C=____________. 4

17. 已知在△ABC 中,A=45 ,AB= 6 ,BC=2,求解此三角形. (本题满分 12 分)

18. 在△ABC 中,已知 a-b=4,a+c=2b,且最大角为 120°,求△ABC 的三边长. (本题满分 12 分)

19. 在锐角三角形中,边 a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足 2sin(A+B)- 3 =0,求角 C 的度数,边 c 的长度及△ABC 的面积. (本题满分 13 分)

2

cosA b 4 20. 在△ABC 中,已知边 c=10, 又知 = = ,求 a、b 及△ABC 的内切圆的半径。 (本题满分 13 分) cosB a 3

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21. 如图 1,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45°方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度 沿南偏西 15°方向航行,若甲船以 28n mile/h 的速度航行,应沿什么方向,用多少 h 能尽快追上乙船? (本题满分 12 分) 北 A

45°

B 15° C

图1

7 22.在△ABC 中,已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,边 c= ,且 tanA+tanB= 3 tanA·tanB- 3 , 2 3 3 又△ABC 的面积为 S△ABC= ,求 a+b 的值。 (本题满分 12 分) 2

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1. A 2.C 3. B 4. A 5. B 6. D 7. A 8. B 9.B 10. B 11.D 12.A 0 0 13. ②④ 14.50, 15.120 ,16. 45 18. 解答:a=14,b=10,c=6 17. 解答:C=120

?

B=15

?

AC= 3 ? 1 或 C=60

?

B=75

?

19. 解答:解:由 2sin(A+B)- 3 =0,得 sin(A+B)=
2

3 , ∵△ABC 为锐角三角形 2

∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,∴a+b=2 3 , 2 2 2 2 a·b=2, ∴c =a +b -2a·bcosC=(a+b) -3ab=12-6=6, ∴c= 6 , 1 1 3 3 = S△ABC= absinC= ×2× 2 2 2 2 .

cosA b sinB b cosA sinB 20.解答:由 = , = ,可得 = ,变形为 sinAcosA=sinBcosB cosB a sinA a cosB sinA ∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π -2B, ∴A+B=

b 4 a+b-c 6+8-10 2 2 2 由 a +b =10 和 = ,解得 a=6, b=8, ∴内切圆的半径为 r= = =2 a 3 2 2 21. 解析:设用 t h,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。 在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9,设∠ABC=α ,∠BAC=β 。
2 2
2

? . ∴△ABC 为直角三角形. 2

3 1 9 2 (4t-3) (32t+9)=0,解得 t= ,t= ? 81 ? ? 20t ? ? 2 ? 9 ? 20t ? (? ) ,128t 2 ? 60t ? 27 ? 0 , 2 32 4 3 3 (舍)∴AC=28× =21 n mile,BC=20× =15 n mile。 4 4

? 28t ?

∴α =180°-45°-15°=120°。根据余弦定理 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos ? ,

2

BC sin ? ? 根据正弦定理, 得 sin ? ? AC


15 ?

3 5 3 2 ?5 3, 又∵α =120°, ∴β 为锐角, β =arcsin , 14 21 14

船。

5 3 7 2 2 5 3 ? 5 3 3 ? < < , ∴arcsin < , ∴甲船沿南偏东 -arcsin 的方向用 h 可以追上乙 14 14 2 14 14 4 4 4

22. 解答:由 tanA+tanB= 3 tanA·tanB- 3 可得 ∴tan(π -C)= - 3 , ∴-tanC=- 3 , ∴tanC= 3 ∵C∈(0, π ), ∴C=

tan A ? tan B =- 3 ,即 tan(A+B)=- 3 1 ? tan A ? tan B

3 3 1 3 3 又△ABC 的面积为 S△ABC= ,∴ absinC= 2 2 2
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? 3

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3 3 3 1 ab× = , ∴ab=6 2 2 2 2 2 2 又由余弦定理可得 c =a +b -2abcosC 7 2 2 2 ? ∴( ) = a +b -2abcos 2 3 即 ∴( 7 2 2 2 2 ) = a +b -ab=(a+b) -3ab 2
2 121 , ∵a+b>0, ∴(a+b) = 4

11 ∴a+b= 2

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