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(同步辅导)2015高中数学《单位圆与诱导公式》导学案 北师大版必修4


第 4 课时

单位圆与诱导公式

1.借助单位圆,利用点的对称性推导出“-α ,π +α ,π -α ,α + ”的诱导公式,并会应 用公式求任意角的三角函数值. 2.会应用公式进行简单的三角函数的化简与求值. 3.通过公式的运用,学会从未知到已知,复杂到简单的转化方法.

我们已经学习了任意角的正弦、余弦函数的定义,以及终边相同的角的正弦、余弦函数 值也相等,即 sin(2kπ +α )=sin α (k∈Z)与 cos(2kπ +α )=cos α (k∈Z),公式体现了求任 意角的正弦、余弦函数值转化为求 0°~360°的角的正弦、余弦函数值 , 那么我们能否将 0°~360°间的角的正弦、余弦函数值转化为锐角的正弦、余弦函数值呢?

问题 1:将任意角转化成 0°~360°间的角的几种情况 因为任意角都可以通过终边相同的角转化成 0°~360°间的角,对于任意 0°~360°的 角 β ,只有四种可能(其中 α 为锐角),则有 β =

问题 2:(1)角 α 与-α 的正弦函数、余弦函数关系 如图,在单位圆中对任意角∠MOP=α ,作∠MOP'=-α ,这两个角的终边与单位圆的交点分 别为 P 和 P',可知 OP 与 OP'关于 轴对称,设 P 点的坐标为(a,b),则点 P'的坐标为 (a,-b),所以 sin(-α )=-b,cos α =a.即 sin(-α )= ,cos(-α )= .

1

(2)角 α 与 α ±π 的正弦函数、余弦函数关系 如图,在直角坐标系的单位圆中,对任意角∠MOP=α ,其终边与单位圆的交点为 P,当点 P 按 逆 ( 顺 ) 时 针 方 向 旋 转 π 至 点 P' 时 , 点 P' 的 坐 标 为 :(cos(α +π ),sin(α +π )) 或 (cos(α -π ),sin(α -π )),此时点 P 与点 P'关于原点对称,横、纵坐标都互为 , 故 sin(α +π )= ,cos(α +π )= ;sin(α -π )= ,cos(α -π )=

.
(3)角 α 与 π -α 的正弦函数、余弦函数关系

如图,在单位圆中,当∠MOP=α 是锐角时,作∠MOP'=π -α ,不难看出,点 P 和点 P'关于 y 轴对称,则有 sin(π -α )= , cos(π -α )= . (4)角 α 与 +α 的正弦函数、余弦函数关系 在 单 位 圆 中 , 仿 照 上 面 的 方 法 , 可 以 得

出,sin(α + )=

,cos(α + )=

.

问题 3:任意角的正弦函数与余弦函数的诱导公式 (1)sin(2kπ +α )= ;cos(2kπ +α )= (2)sin(-α )= ;cos(-α )= ; (3)sin(2π -α )= ;cos(2π -α )= (4)sin(π -α )= ;cos(π -α )= (5)sin(π +α )= ;cos(π +α )= (6)sin(α + )= (7)sin( -α )= ;cos(α + )= ;cos( -α )= ;

; ; ; ;

.

问题 4:讨论几组诱导公式的共同点与规律 (1)2kπ ±α ,-α ,π ±α 的三角函数值等于 α 的 把 α 看作 角时原三角函数值的符号; (2) ±α 的正弦(余弦)函数值分别等于 α 的 个把 α 看作 角时原三角函数值的符号. (

三角函数值,前面加上一个

)函数值,前面加上一

2

1.下列等式不正确的是( ). A.sin(α +180°)=-sin α B.cos(-α +β )=-cos(α -β ) C.sin(-α -360°)=-sin α D.cos(-α -β )=cos(α +β ) 2.函数 f(x)=cos (x∈Z)的值域为( ).

A.{-1,- ,0, ,1} B.{-1,- , ,1}

C.{-1,- ,0, ,1}

D.{-1,- , ,1}

3.若 sin( -θ )= ,则 sin( -θ )=

.

4.已知 sin(π +α )+sin(-α )=-m,求 sin(3π +α )+2sin(2π -α )的值.

利用诱导公式化简 求特殊角的三角函数值. (1)sin 1320°; (2)cos(- π ).

诱导公式在三角函数中的综合运用 已知 f(θ )= (1)化简 f(θ );
3

.

(2)若 sin( -θ )= ,求 f(θ )的值.

利用诱导公式对三角函数式化简、求值或证明恒等式 化简:sin( π -α )+cos( π -α )(n∈Z).

求 sin(- π )cos π +cos(- π )?sin( π )的值.

已知 f(x)=

?

,求 f(-

)的值.

4

已知 cos(π +α )=- ,且 α 是第四象限角,计算

(n∈Z)的值.

1.sin(- π )的值等于(

).

A.-

B.-

C.

D.

2.已知 sin(α - )= ,则 cos( +α )的值为(

).

A.

B.-

C.

D.-

3.5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°= 4.化简

.

.

(2009 年?全国Ⅰ卷)sin 585°的值为( A.B. C.D.

).

5

考题变式(我来改编):

第 4 课时 单位圆与诱导公式 知识体系梳理 问题 1:一 二 三 四 问题 2:(1)x -sin α cos α (2)相反数 -sin α -cos α -sin α -cos α (3)sin α -cos α (4)cos α -sin α 问题 3:(1)sin α cos α (2)-sin α cos α (3)-sin α cos α (4)sin α -cos α (5)-sin α -cos α (6)cos α -sin α (7)cos α sin α 问题 4:(1)同名 锐 (2)余弦 正弦 锐 基础学习交流 1.B 由诱导公式可知,A 正确;对于 B,cos(-α +β )=cos[-(α -β )]=cos(α -β ),故 B 不正确; 对 于 C,sin(-α -360°)=sin(-α )=-sin α , 故 C 正 确 ; 对 于 D,cos(-α -β )=cos[-(α +β )]=cos(α +β ),故 D 正确. 2.B 对 x 依次赋值 0,1,2,3,4,?,很容易选出. 3.sin( -θ )=sin[π +( -θ )]=-sin( -θ )=- . α -sin α =-2sin α =-m,∴sin α = , 而

4. 解 :∵sin(π +α )+sin(-α )=-sin

6

sin(3π +α )+2sin(2π -α )=sin[2π +(π +α )]-2sin

α =sin(π +α )-2sin

α =-sin

α -2sin α =-3sin α ,故 sin(3π +α )+2sin(2π -α )=- m. 重点难点探究 探究一:【解析】(1)sin 1320°=sin(3?360°+240°) =sin 240°

=sin(180°+60°)=-sin 60°=- .

(2)cos(- π )=cos(-10π - )=cos(- )=cos = . 【小结】 熟记正弦函数、 余弦函数的诱导公式,将其转化为锐角的正弦或余弦值,是解答 此类题型的关键,同时要牢记一些特殊角的三角函数值. 探究二:【解析】(1)f(θ )=

=-cos θ .
(2)∵sin( -θ )=-cos θ = ,

∴f(θ )=-cos θ = .
【小结】熟记诱导公式,并注意总结规律,有助于理解和记忆,如涉及 2kπ ±α ,-α ,π ±α 的三角函数值,其三角函数的名不变,若涉及 ±α ,则正弦变余弦、余 弦变正弦,另外,要注意符号的变化. 探究三:【解析】原式=sin[nπ -( +α )]+cos[nπ +( -α )]

=sin( +α )-cos( -α ) =sin[ -( -α )]-cos( -α ) =cos( -α )-cos( -α )=0.
[问题]以上化简过程正确吗? [结论]不正确,在化简过程中未对 n 加以讨论而导致错误. 于是,正确解答如下: 原式=sin[nπ -( +α )]+cos[nπ +( -α )].

①当 n=2k+1(k∈Z)时,
原式=sin[2kπ +π -( +α )]+cos[2kπ +π +( -α )]
7

=sin( +α )-cos( -α ) =cos( -α )-cos( -α )=0. ②当 n=2k(k∈Z)时,
原式=sin[2kπ -( +α )]+cos[2kπ +( -α )]

=-sin( +α )+cos( -α )=0.
综上可得,原式=0. 【小结】 在对 sin(α +kπ ),cos(α +kπ )进行化简时,一般要分两种情况讨论:当 k 为偶 数 时 ,sin(α +kπ )=sin α ,cos(α +kπ )=cos α ; 当 k 为 奇 数 时 ,sin(α +kπ )=-sin α ,cos(α +kπ )=-cos α . 思维拓展应用 应 用 一 : 原 式

=-sin(6π + )cos(6π + π )+cos(4π + π )?sin(4π + π )=-sin(π - )cos(π + )+cos(2

π - )sin(2π - )=sin cos -cos sin = ? - ? = .

应用二:∵f(x)=

?

=-sin x,

∴f(-

)=-sin(-

)=sin

=sin(10π + )

=sin = .

应用三:∵cos(π +α )=- ,∴-cos α =- ,cos α = ,



=

=

=

=
8

=-

=-4.

基础智能检测 1.C ∵sin(- π )=sin(-4π + π )=sin π =sin(π - )=sin = ,故选 C.

2.D 3.0

cos( +α )=sin[ -( +α )]=-sin(α - )=- . 5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°=5?1+2?1-3?(-1)+10?(-1)=0.

4.解:原式=

=-

=-1.

全新视角拓展 A sin 585°=sin(360°+225°)=sin 225°=sin(180°+45°)=- .

思维导图构建 sin α -cos α

-cos α

cos α

-sin α

9


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