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排列组合复习


一、计数原理 【知识梳理】 元素相同——隔板法(3 种情形,用不定方程的解的个数来理解)

分配问题 有空盒(可重排问题)——求幂 元素不同 无空盒 (至多至少问题) ——分组分 配,先分组,再分配 特殊元素,特殊位置——特殊考虑,可用直接法,间接法 相邻捆绑,不相邻插空——注意内部顺序,不相邻时,最后插空

均匀分组 部分均匀分组 非均匀

分组

计 数 原 理

定序问题——倍缩法 多面手问题——按单面手分类

手套问题——先选双再选只

图色问题——按所用颜色分类;一个点一个点的图.注意不相邻的点

排列组合综合问题——先选后排 构建常见模型

【例题讲解】 例 1.有 10 个小球, 7 个盒子, (1)若小球相同,盒子不同,每个盒子至少一个球,有多少种分配方案? (2)若小球相同,盒子不同,有多少种分配方案? (3)若小球相同,盒子不同,1 号盒至少 2 球,有多少种分配方案? (4)若小球不同,盒子不同,有多少种分配方案? (5)若小球不同,盒子相同,每个盒子至少一个球,有多少种分配方案? (6)若小球不同,盒子不同,每个盒子至少一个球,有多少种分配方案?

练习:1.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、 乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 【答案】30 2.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 3.设集合 A={1,2,3,4},B={6,7,8}, (1)则从集合 A 到集合 B 的不同的函数有 个 个 排法

(2)A 为定义域,B 为值域,则从集合 A 到集合 B 的不同的函数有 【答案】36 4.现有 9 个位置,安排 4 个,要求任意两人之间有空位,则有 例 2.(1)甲与乙、丙都不相邻的排法有 种.

种,甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有

【答案】9!-2× 8!× 2+2× 7!, 3× 6!×A72 × 2 (2)某电视台连续播放 6 个广告,其中有三个不同的商业广告,两个不同的奥运宣传广告, 一个公益广告. 要求最后播放的不能是商业广告,且奥运宣传广告与公益广告不能连续播 放,两个奥运宣传广告也不能连续播放,则不同的播放方式有 108 . (3)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两 位女生相邻,则不同排法的种数是 48 . (4) .某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 【答案】 3 ,相邻两节文化课间最多间隔 1 节艺术课排法分三类:

5

4 (1)两节相邻文化课之间没有艺术课间隔:排法有 A3 3A4=144 种; 3 3 (2)三节文化课间都有 1 节艺术课间隔:排法有 2A3 A3=72 种;

3 1 1 2 (3)三节文化课中有两节之间有一节艺术课,排法有: A3 C3C2 ? 3A2 ? 216 种.

? 3. 在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 432 6 A6 5
练习:1.有 6 名乒乓球运动员分别来自 3 个不同国家,每一个国家 2 人,他们排成一排,列 队上场,要求同一国家的人不能相邻,那么不同的排法有___240_______种 2.对某种产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品一一进行测试,至区分出所有次品为止. (1)若恰在第 5 次测试,才测试到第一件次品,第 10 次才找到最后一件次品的不同测试方 法数是多少? (2)若所有次品恰好在第 5 次测试时被全部发现,则这样的测试方法有多少种可能? (3)若所有次品恰好在第 6 次测试时被全部发现,则这样的测试方法有多少种可能? 答案:103680,576

例 3.7 名同学中,有 3 人只会唱歌,有 2 人只会跳舞,有 2 人既会唱歌又会跳舞.现从中 选出 4 名同学,安排其中 2 人唱歌,2 人跳舞,则有 A.37 B.25 C.60 种不同的安排方法? D.42

【答案】A
2 2 1 1 2 0 2 2 【解析】按只会唱歌的 3 人中被选的人数分为三类, C3 C4 ? C3 C2C3 ? C3 C2 C2 ? 37 .

例 4(1)在一次射击比赛中,8 个泥制的靶子挂成三列(如图) ,其中有两列各挂 3 个,一 列挂 2 个,一位射手按照下列规则去击碎靶子:先挑选一列,然后必须击碎这列中尚未击碎 的靶子中最低一个, 若每次射击都严格执行这一规则, 击碎全部 8 个靶子的不同方法有 ( )

A.560 【答案】A

B.320

C. 650

D. 360

【解析】 定序排列问题, 将 8 个靶按先后击碎的顺序排成一排, 第 1 列的 3 个相对顺序一定, 第 2 列的 2 个相对顺序一定,第 3 列的 3 个相对顺序也一定,故 N ?
8 A8 ? 560 . 3 2 3 A3 A2 A3

(2)已知集合 A ? {3, 4,5,6,7}, B ? {4,5,6,7,8} ,从 A 中取出一个元素,从 B 中取出三个 元素,可以组成 【答案】300
1 3 【解析】A 中取 3,有 A3 A5 ? 180 个;A 中不取 3,有 A54 ? 120 个,故 N ? 180 ? 120 ? 300

个无重复数字且比 4000 大的自然数?

(3)如果自然数 a 的各位数字之和等于 7 ,那么称 a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到 大排成一列 a1 , a2 , a3 , 【答案】65
k ?1 【解析】∵方程 x1 ? x2 ? ? ? xk ? m 使 x1 ? 1, xi ? 0(i ? 2) 的整数解个数为 Cm ? k ?2 . 现取

,若 an ? 2005 ,则 n ?

6 6 k ?1 6 m ? 7, 可知,k 位“吉祥数”的个数为 P(k ) ? C5 ) ? C6 ? 1, P(2) ? C7 ? 7, ?k ? Ck ?5 且 P(1

P(3) ? C86 ? 28, 对于四位“吉祥数” 1abc,其个数为满足 a ? b ? c ? 6 的非负整数解个数,
2 即 C8 ? 28 个 。 ∵2005 是 形 如 2abc 的 数 中 最 小 的 一 个 “ 吉 祥 数 ” , ? 2005 是 第

1 ? 7 ? 2 8? 2 8? 1? 6 5 个 “吉祥数”,即 a65 ? 2005 . 从而 n ? 65
(4)某人连续射击 8 次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不 同的结果有多少种.



把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻的排列问题

2 A5 ? 20 种

(5)从 1,2,3,…,1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数,有多少种不同的去法. 【解析】把问题转化为 10 个相同的黑球与 990 个相同白球,其中黑球不相邻的排列问题,
10 为 C991 .

(6)亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有 5 名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由 1 号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方 2 号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获 胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种? 【答案】设亚洲队队员为 a1,a2,…,a5,欧洲队队员为 b1,b2,…,b5,下标表示事先排列的 出场顺序,若以依次被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化为这 10 个字母互相穿插的一个排 列, 最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员, 所以比赛过程可表示为 5 个相
6 同的白球和 5 个相同黑球排列问题,比赛过程的总数为 C10 ? 252 种。

(7)30030 能被多少个不同的偶数整除 30030=2× 3× 5 ×7 × 11× 13 依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘 积. 二、二项式定理 三、概率统计 四、分布列及期望方差


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