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2.2.2对数及其运算


1、已知loga 2 ? m,loga 3 ? n, 求a

2m?n

的值

? 负数和零没有对数;

loga 1 ? 0

loga a ? 1

log a a ? b
b

引例1:求下列各式的值。

/>(1) log24十log28 (2) lg2+lg5

lg 2 ? m;lg 5 ? n

10 ? 2;10 ? 5
m n

lg 2 ? lg 5 ? m ? n 10 ?10 ? 10 m ? n ?1
m n m? n

? 2 ? 5 ? 10

lg 2 ? lg 5 ? 1 ? lg10 ? lg(2 ? 5)

loga (M ? N ) ? loga M ? loga N
a ? 0, 且a ? 1, M ? 0, N ? 0

loga (M ? N ) ? loga M ? loga N
a ? 0, 且a ? 1, M ? 0, N ? 0

M ?a N ?a
n

m

loga M ? m log a N ? n
m n

loga (M ? N ) ? loga (a ? a )
? log a a
m? n

? m? n

log a a ? b
b

M log a ( ) ? log a M ? log a N N

a ? 0, 且a ? 1, M ? 0, N ? 0

M ?a N ?a
n

m

loga M ? m log a N ? n

M m n log a ( ) ? log a ( a ? a ) N m? n ? log a a

? m? n

log a a ? b
b

loga M ? n loga M (n ? R)
n

M ?a
n

m

M ? (a ) ? a
m n

mn

b loga M ? loga a log a a ? b ? n?m m loga M ? log a a ?m n ? m ? n loga M

n

mn

一、对数的运算性质

如果a>0,且a≠1,M>0,N>0

loga(M·N)=logaM十logaN loga(M/N)=logaM-logaN
logaMn=nlogaM成立. ①两数积的对数,等于各数的对数的和; ②两数商的对数,等于被除数的对数减去 除数的对数; ③幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.

若a ? 0, 且a ? 1, M ? 0, N ? 0, 则 判断对错 (1) log a M ? log a N ? log a (M ? N );
(2) log a M ? log a N ? log a ( M ? N ); M (3) log a M ? log a N ? log a ; N (4) log a M ? log a N ? log a (M ? N );

?

? (7) log (MN )=log M ? log N , ? (8) log (M ? N )=log M ? log N ?
(6)(log a M )n ? n log a M .
a a a
a a a

(5) log a M ? n log a M .
n

?

指数与对数对比表
式子 名称

a ?N
b

loga N ? b
a-对数的底 b-以为底的的对数 N-真数

a-幂的底数 b-幂的指数 N-幂值

运 算 性质

a m ? a n ? a m? n (m, n ? R) loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M (a m ) n ? a mn (m, n ? R) loga ? loga M ? loga N (2) N n n n (ab) ? a ? b (n ? R) loga M n ? nloga M(n ? R) (3)

例1、计算下列各式。 ( 1) log2 6 ? log2 3 ( 2) lg 2 ? lg 5 1 (3) log5 3 ? log5 (4) log3 5 ? log3 15 3 (5)2 log12 2 ? log12 3
练习:P68--3

例2 用logax,logay,logaz表示下列 各式 2 xy x y (1) log ;(2 log a 3 a ) z z
练习1:教科书P68—1.2

练习2、 log2 3 log3 2 ? ?

log c b log a b ? log c a
练习:教科书P68--4

例题讲解

7 例3计算: (1)lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3
解法一:

解法二:

7 7 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3 3 7 7 2 ? lg14 ? lg( ) ? lg 7 ? lg18 ? lg( 2 ? 7) ? 2 lg 3 3 2 ? lg 7 ? lg( 2 ? 3 ) 14? 7 ? lg 7 2 ? lg 2 ? lg 7 ? 2(lg 7 ? lg 3) ( ) ?18 3 ? lg 7 ? (lg 2 ? 2 lg 3) ? lg1 ? 0 ?0

四、总结: (一)、对数的运算性质

如果a>0,且a≠1,M>0,N>0

loga(M·N)=logaM十logaN loga(M/N)=logaM-logaN
logaMn=nlogaM.

log c b log a b ? log c a


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