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2012年全国高考理科数学试题及答案-江西卷(校订版)


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、若集合 A ? { ? 1,1} , B ? {0 , 2} ,则集合 { z | z ? x ? y , x ? A , y ? B } 中的元素的个数为 A.5 B

.4
1
3

C.3 定义域相同的函数为

D.2

2、下列函数中,与函数 y ?
1 s in x

x

A. y ?

B. y ?
2

ln x x

C. y ? x e

x

D. y ?

s in x x

? x ? 1, 3、若函数 f ( x ) ? ? ? lg x ,

x ?1 x ?1

,则 f ( f (1 0 )) ?

A. lg 1 0 1 4、若 tan ? ? A.
1 5 1 tan ?

B. 2
? 4 ,则 sin 2? ?

C. 1

D. 0

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

5、下列命题中,假命题为 A.存在四边相等的四边形不是正方形 . B. z1 , z 2 ? C , z 1 ? z 2 为实数的充分必要条件是 z 1 , z 2 互为共轭复数 C.若 x , y ? R ,且 x ? y ? 2, 则 x , y 至少有一个大于 1 D.对于任意 n ? N , C n ? C n ? ? ? C n 都是偶数
* 0 1 n

a 6、 观察下列各式: ? b ? 1, a ? b ? 3, a ? b ? 4, a ? b ? 7 , a ? b ? 1 1, ? 则 a
2 2 3 3 4 4 5 5

10

?b

10

?

A.28 B.76 C.123 D.199 7、在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 C D 的中点,则
| PA | ? | PB |
2 2

| PC |

2

?

A.2 B.4 C.5 D.10 8、某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植 黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
-1-

年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨

年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元

每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 ? 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面 积(单位:亩)分别为 A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 9、样本( x1 , x 2 , ? , x n )的平均数为 x ,样本( y 1 , y 2 , ? y m )的平均数为 y ( x ? y ) ,若样本 ( x1 , x 2 , ? , x n , y 1 , y 2 , ? y m )的平均数 z ? ? x ? (1 ? ? ) y ,其中 0 ? ? ?
1 2

,则 n , m 的大小

关系为 A. n ? m B. n ? m C. n ? m D.不能确定 10、 如右图, 已知正四棱锥 S ? A B C D 所有棱长都为 1, E 是侧棱 S C 点 上一动点,过点 E 垂直于 S C 的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记
S E ? x (0 ? x ? 1), 截面下面部分的体积为 V ( x ), 则函数 y ? V ( x ) 的图

S E

像大致为
A

D B

C

-2-

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学 第Ⅱ卷
二。填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11、计算定积分 ? ( x ? sin x ) d x ? ___________。
2 ?1 1

12、设数列 { a n } , { b n } 都是等差数列,若 a 1 ? b1 ? 7 , a 3 ? b 3 ? 2 1 ,则 a 5 ? b 5 ? ___________。
x a
2 2

13、椭圆

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右顶点分别是 A , B ,左、右焦点分别是 F1 , F 2 。若

| A F1 | , | F1 F2 | , | F1 B |成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.

14、下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是______________.
是 开始 是 a=1
k=k+1

k<6



输出T

结束

否 a=0

三、选做题:请在下列两题中任选一题作答。若两题都做,则按第一题评阅计分。本题共 5 分。 15.(1) (坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 0 ,以原点为极
2 2

点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为___________。 15.(2) (不等式选做题)在实数范围内,不等式 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 1 |? 6 的解集为___________。 四.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k ,并求 a n ; (2)求数列 {
9 ? 2an 2
n

1 2

n ? k n (其中 k ? N ? ) ,且 S n 的最大值为 8 。
2

} 的前 n 项和 T n 。

-3-

17、 (本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中, A , B , C 的对边分别为 a , b , c 。 角 已知 A ? (1)求证: B ? C ? (2)若 a ?
?
2

?
4

,b s in (

?
4

? C ) ? c s in (

?
4

? B) ? a 。

2 ,求 ? A B C 的面积。

18、 (本题满分 12 分) 如 图 , 从 A1 ( 1 , 0 , 0 ) A 2 ( 2, 0, 0 ) , B1 (0 ,1, 0 ) , B 2 (0, 2, 0 ) , ,
C 1 (0 , 0 ,1) , C 2 (0, 0, 2 ) 这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原

z C2 C1 O B1 B2 y

点 O 两两相连构成一个 “立体” 记该 , “立体” 的体积为随机变量 V (如 A1 果选取的 3 个点与原点在同一个平面内, 此时 “立体” 的体积 V ? 0 ) 。 A2 (1)求 V ? 0 的概率; x (2)求 V 的分布列及数学期望 E V 。

19、 (本题满分 12 分) 在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,已知 A B ? A C ? A A1 ?
B C ? 4 ,点 A1 在底面 A B C 的投影是线段 B C 的中点 O 。

5,

A1 B1

C1

(1) 证明在侧棱 A A1 上存在一点 E , 使得 O E ? 平面 B B1 C 1 C , 并求出 A E 的长; (2)求平面 A1 B 1 C 与平面 B B1 C 1 C 夹角的余弦值。

A O B

C

20、 (本题满分 13 分) 已知三点 O (0, 0 ) , A ( ? 2,1) , B ( 2,1) ,曲线 C 上任意一点 M ( x , y ) 满足
???? ???? ???? ??? ??? ? ? ? | M A ? M B |? O M ? ( O A ? O B ) ? 2 。

(1)求曲线 C 的方程; (2)动点 Q ( x 0 , y 0 )( ? 2 ? x 0 ? 2 ) 在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 。问:是否存在定 点 P (0 , t )( t ? 0 ) ,使得 l 与 P A , P B 都相交,交点分别为 D , E ,且 ? Q A B 与 ? P D E 的面积之 比是常数?若存在,求 t 的值。若不存在,说明理由。

-4-

21、 (本小题满分 14 分) 若函数 h ( x ) 满足 (1) h (0 ) ? 1 , h (1) ? 0 ; (2)对任意 a ? [0 ,1] ,有 h ( h ( a )) ? a ; (3)在 (0,1) 上单调递减。
1? x
p p 1

则称 h ( x ) 为补函数。已知函数 h ( x ) ? (

1? ?x

) ( ? ? ? 1, p ? 0 ) 。
p

(1)判函数 h ( x ) 是否为补函数,并证明你的结论; (2) 若存在 m ? [0 ,1] , 使得 h ( m ) ? m , m 是函数 h ( x ) 的中介元。 p ? 称 记
1 n (n ? N ? ) 时 h( x)

的中介元为 x n ,且 S ( x ) ?

?
i ?1

n

x i ,若对任意的 n ? N ? ,都有 S n ?

1 2

,求 ? 的取值范围;

(3)当 ? ? 0 , x ? (0 ,1) 时,函数 y ? h ( x ) 的图像总在直线 y ? 1 ? x 的上方,求 p 的取值范 围。

-5-

-6-

-7-

-8-

-9-


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