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1.2充分条件与必要条件 1.2.1充分条件与必要条件


1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件

整体设计 教材分析 《充分条件与必要条件》是高中数学教材中的重要内容,是正确进行逻辑推理必不可 少的基础知识,是高考的重点.由于本节内容涉及对概念下定义和运用概念进行推理,因此 需要全面的掌握概念;本节教材是在对命题“若 p,则 q” 的探究中,给出了充分条件,必 要条件的概念; 由于这节课概念性、

理论性较强, 内容相对比较抽象, 学生较难理解和掌握, 一般的教学方式容易使学生感到枯燥乏味; 为此, 教材紧密结合了已学过的数学实例和生活 实例,避免了空泛地讲数学概念、思想、方法;始终要以学生为主,让学生在自我思考、相 互交流中去总结概念,去体会概念的本质属性,同时结合问题激发学生的学习兴趣,引起学 生探究的好奇心,激发出学生潜在的创造力,培养学生的创新意识. 课时划分 1 课时 教学目标 知识与技能 理解充分条件、必要条件的概念,掌握它们的判断方法和技巧,熟悉判断步骤. 过程与方法 充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想,培养学生发现问题的能力, 通过对充分条件、必要条件的判定, 提高分析问题、 解决问题的能力;学会观察,敢于归纳, 善于建构;充分培养学生的发散思维能力,挖掘学生的创新思维能力. 情感、态度与价值观 通过“p q”与“q p”的判断,感受对立,统一的思想,培养辩证唯物主义观;通 过学习本节课体验成功的愉悦,激发学习的兴趣;通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创 新的个性品质. 重点难点 教学重点:对充分条件、必要条件概念的理解和判断. 教学难点:对充分条件、必要条件概念的理解,特别是对必要条件概念的理解. 教学过程 引入新课

事例一:音乐欣赏《我是一只鱼》 . 教师提问:鱼非常需要水,没了水,鱼就无法生存,但只有水够吗? 事例二: 有一位母亲要给女儿做一件衬衫, 母亲带女儿去商店买布, 母亲问营业员: “要 做一件衬衫,应该买多少布料?”营业员回答:“买三米足够了!”

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提出问题:做衣服需要布料,有三米布料,就足够做一件衬衫吗?营业员回答正确吗? 活动设计:先让学生独立思考,然后小组交流,教师巡视引导,并注意与学生交流. 学情预测:学生可能会说出:事例一:水是鱼生存必须的条件,但不是唯一条件. 事例二:三米的布料,足够做一件衬衫. 活动结果:事例一:p:有水 :鱼能生存. 事例二:p:有三米布料 :做一件衬衫的布料足够.回答正确. 设计意图:自然合理地提出问题,让学生体会“数学来源于生活”.创造和谐积极地学 习气氛. 先对充分条件和必要条件有一个直观的认识, 突出学习充分条件和必要条件的现实 意义. 探究新知 判断下列命题是真命题还是假命题: (1)若 x>a2+b2 ,则 x>2ab; (2)若 x2=y2,则 x=y; (3)若 ab=0,则 a=0; (4)若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数解,则 b2-4ac>0. 活动设计:学生先口答,然后教师板书. 学情预测:开始学生的回答可能不全面、不准确,但在其他学生的不断补充、纠正下, 会趋于准确. 活动结果:(1)(4)是真命题,(2)(3)是假命题. 提出问题:对于命题“若 p,则 q”,有时是真命题,有时是假命题.同学们是如何判 断其真假的? 活动设计:学生独立思考.先由学生自由发言,然后教师小结并形成新知. 学情预测: 经过前面对命题及其关系的学习, 学生有足够的能力来解决上面所提出的问 题. 活动结果:(1) 判断由 p 能否推出 q,如果 p 能推出 q,则原命题是真命题,否则就是 假命题.对于命题“若 p,则 q”,如果由 p 经过推理能推出 q,也就是说,如果 p 成立, 那么 q 一定成立.换句话说,只要有条件 p 就能充分地保证结论 q 的成立,这时我们称条件 p 是 q 成立的充分条件. (2)判别技巧: ①简化命题; ②否定命题时举反例; ③利用等价的逆否命题来判断. 教师(板书): 充分条件的定义:一般的,“若 p,则 q”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q.这 时,我们就说,由 p 可推出 q,记作 p q,并且说 p 是 q 的充分条件. 设计意图: 对于充分条件概念的学习, 以学生熟知的知识为基础, 为引进新知识作准备, 使充分条件概念的形成更自然、更生动,有助于学生对充分条件概念的理解.并训练和培养 学生的抽象概括和表达能力.
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理解新知 提出问题 问题 1:请用充分条件来叙述上述(1)(4)的条件与结论之间的关系. 活动设计:学生口答. 学情预测:学生积极思考片刻,有学生举手回答且回答准确. 活动结果:(1)是真命题,即“x>a2+b2”是“x>2ab”成立的充分条件; (4)是真命题,即“方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数解”是“b2-4ac>0”成 立的充分条件. 教师:从另一个角度看,如果 成立,那么其逆否命题 q p 也成立,即如果没 有 q,也就没有 p,亦即 q 是 p 成立的必须要有的条件,也就是必要条件. 教师:(板书) 必要条件的定义:一般的,“若 p,则 q”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q.这 时,我们就说,由 p 可推出 q,记作 p q,并且说 q 是 p 的必要条件. 问题 2:请用必要条件来叙述上述(1)(4)的条件与结论之间的关系. 活动设计:学生口答. 学情预测:学生积极思考片刻,有学生举手回答且回答准确. 活动结果:(1)是真命题,即“x>2ab”是“x>a2+b2”成立的必要条件; (4)是真命题,即“b2-4ac>0”是“方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数解”成 立的必要条件. 设计意图: 通过所举的例子教师可以了解学生对充分条件的理解程度, 通过必要条件的 学习明确概念的内涵和外延,加深对关键词、重点词的理解,及时更正学生在认识理解中产 生的偏差,巩固定义. 运用新知 1 下列“若 p,则 q”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件. (1)若 x=1,则 x2-4x+3=0; (2)若 f(x)=x,则 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; (3)若 x 为无理数,则 x2 是无理数. 思路分析:根据充分条件的定义,逐一进行判断. 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.所以命题(1)(2)中的 p 是 q 的充分条件. 点评:1.通过对上述问题的交流、思辨,在争论中得到答案,并加深了对充分条件的认 识. 2.判断步骤: ①找出 p、q; ②判断 的真假. ③根据定义下结论. 巩固练习 “x2-3x+2≠0”是“x≠1”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.不是充分条件 D.既不充分条件也不必要条件 答案:A 2 下列“若 p,则 q”形式的命题中,哪些命题中的 q 是 p 的必要条件. (1)若 x=y,则 x2=y2;
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(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3)若 a>b,则 ac>bc. 思路分析:根据必要条件的定义,逐一进行判断. 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.所以命题(1)(2)中的 q 是 p 的必要条件. 点评: 通过对上述问题的交流、 思辨, 在争论中得到答案, 并加深了对必要条件的认识. 巩固练习 若 p: b=0, 则 q: y=ax2+bx+c 是偶函数; 那么 p 是 q 的________条件, q 是 p 的________ 条件. 答案:充分 必要 教师:如果“若 p,则 q”为假命题,那么由 p 推不出 q,记作 此时,我们就说 p 不是 q 的充分条件,q 也不是 p 的必要条件. 变练演编 3(1)下列条件中哪些是 a+b>0 的充分条件? ①a>0,b>0; ②a<0,b<0 ;③a>0,b<0 且|a|>|b|;④a=3,b=-2 ;⑤a>-b; (2)写出 x2=1 的一个充分条件. 思路分析:(1)中根据充分、必要条件的定义,逐一进行判断.(2)中答案不唯一. 解:(1)①③④⑤是 a+b>0 的充分条件. (2)x=1(答案不唯一). 点评:(1)中先给多个 p,让学生进行选择,通过选择,感知 p 的不唯一性. (2)中加强学生思维的灵活性、分析问题的深刻性. 活动设计:学生讨论交流并回答问题,老师对不同的合理答案给予肯定,将所有发现的 结果一一列举,并在学生之间互相评价. 设计意图:通过变练演编,使学生对充分条件与必要条件的认识不断加深,同时培养学 生思维的严谨性. 达标检测 1.若 p:x=3,则 q:x2=9;那么 p 是 q 的________条件,q 是 p 的________条件. 2.若 p:(x-1)(x-2)=0,则 q:x=1;那么________的充分条件,________的必要条 件. 3. 若 p: 同位角相等, 则 q: 两直线平行; 那么 p 是 q 的________条件, q 是 p 的________ 条件. 答案:1.充分 必要 2.q 是 p p 是 q 3.充分(或必要) 必要(或充分) 课堂小结 1.知识收获:(1)若 p q,则 p 是 q 的充分条件.(p 可能会多余浪费) (2)若 p q,则 q 是 p 的必要条件.(q 可能还不足以使 p 成立) 2.方法收获:(1)判别步骤: ①找出 p、q;②判断 p q 的真假;③根据定义下结论. (2)判别技巧: ①简化命题;②否定命题时举反例;③利用等价的逆否命题来判断. 3.思维收获:严谨缜密的思维习惯. 布置作业 课本习题 1.2A 组 2 (1)(2),3(1)(3) 补充练习
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基础练习 1.“a>0,b>0”是“a+b≥2 ab成立的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.不是充分条件 D.既不充分条件也不必要条件 2.(1)若 p q,则 p 是 q 的________. (2)若 p q,则 q 是 p 的________. 3.要判断由 p 经过推理能否推出 q,既是判断命题________的真假. 答案:1.A 2.(1)充分条件 (2)必要条件 3.若 p,则 q 拓展练习 4.下列“若 p,则 q”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件. (1)若 x>5,则 x≥5; (2)若多面体是长方体,则多面体是正四棱柱; (3)在△ABC 中,若 acosB=bcosA,则△ABC 是等腰三角形. 答案:(1)(3) 设计说明 设计思想 由于这节课概念性、理论性较强,一般的教学方式使学生感到枯燥乏味,为此,激发学 生的学习兴趣是关键.教学中始终要注意以学生为主,让学生在自我思考、相互交流中去总 结概念、“下定义”,去体会概念的本质属性. 设计意图 学生对于充分条件和必要条件的理解, 需要经过一定时间的体会, 先给学生对于充分条 件和必要条件一个准确规范的表述, 及对充分条件和必要条件进行判断的方法及步骤, 教学 中不要急于求成,而应在后续的教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析数学问题. 设计特点 引导学生从日常生活中的“充分”和“必要”性出发, 对新知有所了解. 结合学生熟知 的具体的数学命题,发现、归纳新知识;同时在应用新知的过程中,将所学的知识条理化, 使自己的认知结构更趋合理. 备课资料 备选例题 1.下列“若 p,则 q”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若 q≤1,则方程 x2+2x+q=0 有实根; (2)若 x,y 都是奇数,则 x+y 是偶数; (3)若 xy=0,则 x=0 或 y=0; (4)若 x2+y2=0,则 x,y 全为 0. 思路分析: 由充分条件的定义可知, 判断命题中 p 是 q 的什么条件, 即判断命题的真假, 因此只需根据以前所学知识逐一判断真假即可. 解:命题(1)(2)(3)(4)都是真命题.所以命题(1)(2)(3)(4)中的 p 是 q 的充分条件. 点评:加深对充分条件、必要条件的认识,明确判断命题中 p 是 q 的什么条件,即是判 断命题的真假. 2.在下列各题中,判断 A 是 B 的什么条件,并说明理由. (1)A:| p| ≥2,p∈R;B:方程 x2+px+p+3=0 有实根; (2)A:圆 x2+y2=r2 与直线 ax+by+c=0 相切;B:c2=(a2+b2)r2.
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思路分析:根据充分条件、必要条件的定义,判断 A 是 B 的什么条件,即逐一判断命 题的真假即可. 解:(1)当|p|≥2 时,例如 p=3,则方程 x2+3x+6=0 无实根,故(1)为假命题.所以 A 不是 B 的充分条件. (2)若圆 x2+y2=r2 与直线 ax+by+c=0 相切,则圆心到直线 ax+by+c=0 的距离等于 |c| 2 2 2 2 r,即 r= 2 2,所以 c =(a +b )r ,故 A 是 B 的充分条件. a +b 点评:对于涉及充分条件、必要条件判断的问题,必须以准确、完整地理解充分条件、 必要条件的概念为基础,有些问题需转化为等价命题后才容易判断. 3.在下列各命题中,哪些是“x、y 都不为零”的充分条件? (1)x+y=0;(2)x2+y2>0;(3)xy>0 ;(4) x2+y2=0;(5) xy≠0 ;(6)x2+y2=0. 思路分析:根据充分条件的定义,逐一进行判断. 解:命题(3)(5)都是真命题.所以命题(3)(5)中的 p 是 q 的充分条件. 点评:通过选择,对于同一个结论感知条件的不唯一性. (设计者:赵海彬)

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