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上海市黄浦区2013届高三第一学期期终考试数学试卷(理科)


(解析版)上海市黄浦区 2013 届高三第一学期期终考试 数学试卷(理科)
1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 3} , B ? {x | x2 ? 4} ,则 A ? B ? 【答案】 [2,3) 【 解析】因为 B ? {x | x2 ? 4} ? {x x ? 2或x ? ?2} ,所以 A ? B ? {x 2 ? x ? 3} ? [2,3) 。 2.若 z ? (1 ? 2i)(a ? i) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为 【答案】2 【 解析】因为 z ? (1 ? 2i)(a ? i) ? a ? 2 ? (1 ? 2a)i 为纯虚数,所以 a ? 2 ? 0, ?(1 ? 2a) ? 0 ,解 得a ? 2。 3. 若数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1(n ? N*) ,则 lim
n→?





a1 ? a2 ? ? ? an ? nan



【答案】

1 2

N ) 【 解 析 】 因 为 an ? 2 n ? 1(n ? * , 所 以 a1 ? a2 ? ? ? an ?
lim a1 ? a2 ? ? ? an n2 n2 1 ? lim ? lim 2 ? 。 n→? n→? n(2n ? 1) n→? 2n ? n nan 2

(1 ? 2n ? 1)n ? n2 , 所 以 2

4. 已知直线 l1 : x ? ay ? 2 ? 0 和 l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 6a ? 0 , l1 ∥ l2 的充要条件是 a = 则 【答案】3 【 解析 】因为 l2 : (a ? 2)x ? 3y ? 6a ? 0 的斜截式方程为 y ?



2?a x ? 2 a ,斜率存在 为 3

k?

1 2 2?a l :y ?? x? ,所以直线 l1 : x ? ay ? 2 ? 0 的斜率也存在所以 a ? 0 ,即 1 a a ,所以 3

要使 l1 ∥ l2 ,则有

2?a 1 2 ? ? , ?2a ? ? ,解得 a ? ?1 或 a ? 3 且 a ? ?1 ,所以 a ? 3 。 3 a a
(用数字作答) .

5. ( x ? )9 的展开式中 x5 的系数是 【答案】36 【 解析】展开式的通项为 Tk ?1 ? C9 x
k 9? k

1 x

1 ( ) k ? C9k x 9? 2 k ,由 9 ? 2k ? 5 ,得 k ? 2 ,所以 x

2 T3 ? C9 x5 ? 36x 5 ,所以 x5 的系数是 36.

第 1 页 共 14 页

6.盒中装有形状、大小完全相同的 7 个球,其中红色球 4 个,黄色球 3 个.若从中随机取 出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 【答案】 .

4 7

2 1 1 【 解析】从 7 个球中取 2 个有 C7 种,颜色不同的有 C4C3 ,所以取出的 2 个球颜色不同的
1 1 C4C3 12 4 ? ? 。 2 C7 21 7

概率等于

7.已知

1 ? cos 2? 1 ? 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? 2? ) 的值为 sin ? cos ? 3



【答案】 ?1 【 解析】由

1 1 ? cos 2? 1 ? (1 ? 2sin 2 ? ) 2sin 2 ? ?1 得 ?? ? 2tan ? ? 1 ,所以 tan ? ? 。所 sin ? cos ? sin ? cos? sin ? cos? 2

以 tan(b - 2a ) = tan[(b - a ) - a ] =

tan(b - a ) - tan a 1 + tan(b - a ) tan a

1 1 3 2 = - 1。 = 1 1 1 + (- ) ( ) 3 2 8.执行右边的程序框图,若 p ? 10 ,则输出的 S = .

第 2 页 共 14 页

【答案】

9 10

【 解析】由程序框图可知该程序是计算 S ?

1 1 1 ? ??? .当 p ? 10 时,由 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

n ? 1 ? 10 得 n ? 9 ,所以所求的 S ?

1 1 1 ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 9 ?10 1 1 1 1 1 1 9 ? 1? ? ? ?? ? ? ? 1? ? 。 2 2 3 9 10 10 10 ( x ? 0) ?log2 x 9.已知函数 f ( x) ? ? x ,且函数 F ( x) ? f ( x) ? x ? a 有且仅有两个零点,则实数 ( x ? 0) ?3

a 的取值范围是
【答案】 (??,1]



【 解析】由 F ( x) ? f ( x) ? x ? a ? 0 得 f ( x) ? ? x ? a ,设 y ? f ( x), y ? ? x ? a 。做出函数

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?log x ( x ? 0) f ( x) ? ? x 2 ( x ? 0) 的 图 象 , ?3

当 y ? ?x ?1 时 , 直 线

y ? ? x ? 1 与 y ? f ( x) 有两个交点,所以要使 F ( x) ? f ( x) ? x ? a 有且仅有两个零点,则有
a ? 1 ,即实数 a 的取值范围是 (??,1] 。
y ? sin( x ? ?
10.已知函数

?
3

)( ? 0) ?

的最小正周期为 ? ,若将该函数的图像向左平移 .

m ( m ? 0) 个单位后,所得图像关于原点对称,则 m 的最小值为
【答案】

? 3

【 解析】由题意知 T ?

2?

?

? ? ,所以 ? ? 2 。即 y ? sin(2x ?
?
3

?
3

) 。函数的图像向左平移

m ( m ? 0) 个单位后得到函数 y ? sin[2(x ? m ) ?
称 , 则 2m ?

]? sin(2 ? 2 ? x m

?
3

),若函数关于原点对

?
3

? k? , k ? Z , 即 m ?

k? ? ? k ?Z , 所 以 当 k ? 1 时 , m 的 最 小 值 为 2 6

m?

?
2

?

?
6

?

?
3



11.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m) 到其焦点 F 的距离为 5,该抛物线的顶点到 直线 MF 的距离为 d,则 d 的值为 【答案】 .

16 5

【 解析】抛物线的焦点坐标 F (

p p p , 0) ,准线方程为 x ? ? 。因为 MF ? 1 ? (? ) ? 5 , 2 2 2
2

所以解得 p ? 8 。所以抛物线方程为 y 2 ? 16 x ,即 m ? 16 ,所以 m ? ?4 。不妨取 M (1, 4) , 则 直 线 MF 的 方 程 为 4 x ? 3 y ? 16 ? 0 , 则 抛 物 线 的 顶 点 到 直 线 MF 的 距 离

d?

?16 32 ? 42

?

16 。 5

12. 已知函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 f (2) ? f (3) , y ? f ?1 ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数, 若
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则关于 x 的不等式 f ?1 (1 ? ) ? 1 的解集是 【答案】 (1,

1 x



1 ) 1? a
2 3

【 解析】因为 f (2) ? f (3) ,所以 a ? a ,解得 0 ? a ? 1 。因为 y ? f ?1 ( x) 是 y ? f ( x) 的 反函数,所以 y ? f ?1 ( x) ? loga x , 0 ? a ? 1 。所以由 f ?1 (1 ? ) ? 1 得 loga (1 ? ) ? 1 ,即

1 x

1 x

0 ? 1?

1 1 1 1 ? a ,解得 1 ? x ? ,即不等式 f ?1 (1 ? ) ? 1 的解集是 (1, )。 x 1? a 1? a x
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,O 是双曲线 C 的中心,直线 y ? a 2 b2

13.已知 F 是双曲线 C :

mx 是双曲线 C 的一条渐近线. 以线段 OF 为边作正三角形 MOF, 若点 M 在双曲线 C 上,
则 m 的值为 【答案】 3 ? 2 3 【 解析】直线 y ? m x 即 x ?
y m



? 0 是双曲线 C 的一条渐近线,可设双曲线方程为
2 2

x2 ?

y2 m

y ? ? (m ? 0, ? ? 0) ,即 x ? m? ? 1(m ? 0, ? ? 0) ,∴F( ? (1 ? m) , 0), ?

? (1? m )

则 M( ?

2

,

3 ? (1? m ) )在双曲线上,故 ( 2

? (1? m ) 2
2

1 ) ? m(

3 ? (1? m ) 2 2

) ??

? (1? m)
4

? ? 3? (41m m) ? ? ? m2 ? 6m ? 3 ? 0 (m>0)?m=3+ 2

3.

14.已知命题“若 f ( x) ? m2 x2 , g ( x) ? mx2 ? 2m ,则集合 {x | f ( x) ? g ( x), 是假命题,则实数 m 的取值范围是 【答案】 (?7,0) 【 解析】题意即不等式 f ( x) ? g ( x) 在
2 2

1 ? x ?1 } ? ? ” 2



1 ? x ? 1 时有解. 2

m 2 x 2 ? m x2 ? 2m ? (m ? m) x ? 2m ? 0

令 x ? t ,则
2

1 ? t ? 1 ,又令 h(t ) ? (m2 ? m)t ? 2m ,则 h(t ) 的图像是直线,不等式 4
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2 1 h(t ) ? 0 有解的充要条件是 h( ) ? 0 ,或 h(1) ? 0 ? m 4? m ? 2m ? 0 ,或 4

(m2 ? m) ? 2m ? 0
? m ? 7m ? 0 ,或 m ? m ? 0 ?-7<m<0,或-1<m<0?-7<m<0.
2 2

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
??? ???? ? ???? ???? 15.在四边形 ABCD 中, AB ? DC ,且 AC ·BD =0,则四边形 ABCD 是

( D.等腰梯形



A.菱形 【答案】A

B.矩形

C.直角梯形

??? ???? ? ???? ???? ???? ??? ? 【 解析】由 AB ? DC 可知四边形 ABCD 为平行四边形,又 AC ·BD =0,所以 AC ? BD ,即

对角线垂直,所以四边形 ABCD 是菱形,选 A. 16.若 z ? cos ? ? i sin ? ( ? ? R ,i 是虚数单位) 则 | z ? 2 ? 2i | 的最小值是 , A. 2 2 【答案】D B. 2 C. 2 2 ? 1 ( )

D. 2 2 ? 1

| | ? ? ? ) 【 解析】 | z ? 2 ? 2i ? z ? ( 2 2i) | 的几何意义为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上点 Z (cos , sin 到点

M (2, 2)距离的最小值。 圆心 O (0, 0) 到点 M (2, 2) 的距离为 OM ? 2 2 ,所以 | z ? 2 ? 2i | 的
最小值是 2 2 ?1 ,选 D.

y 17.若 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,则下列结论:① ?| f ( x) | 是 y 偶函数;② 对任意的 x ? R 都有 f (? x)? | f ( x) |? 0 ;③ ? f (? x) 在 (??,0] 上单调递增; y ④ ? f ( x) f (? x) 在 (??,0] 上单调递增.其中正确结论的个数为
A.1 【答案】B 【 解析】取 f(x)=x3,x=-1,则 f(-x)+|f(x)|=f(1)+|f(-1)|=2≠0,故② 错,又 f(-x)=-x3 在(-?,0] 上单调减,故③ 对于① 错. ,设 x?R,则|f(-x)|=|-f(x)|=| f(x)|? y=|f(x)|是偶函数,所以① 对; 对于④ ,设 x1<x2≤0,则-x1>-x2≥0,∵f(x)在[0,+?)上单调递增,∴f(-x1)> f(-x2)≥f(0)=0? f 2(-x1)> f 2 (-x2)? f 2(x1)> f 2 (x2),∴f(x1) f(-x1)=- f 2(x1)<- f 2(x2)= f(x2) f(-x2)? y=f(x)f(-x)在(-?,0]上单调 递增,故④ 对.所以选 B. B.2 C.3 ( D.4 )

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? a1 18. 若矩阵 ? ? b1

a2 b2

a3 b3

a4 ? ① ? 满足下列条件: 每行中的四个数所构成的集合均为 {1, 2,3, 4} ; b4 ?
( )

② 四列中至少有两列的上下两数是相同的. 则这样的不同矩阵的个数为 A.48 【答案】C B.72 C.168 D.312

2 【 解析】一:恰有两列的上下两数相同,①取这两列,有 C4 种,②从 1、2、3、4 中取 2 2 个数排这两列,有 P42 种,③排另两列,有 P22 种,∴共有 C4 P2 P2 =144 种;二:恰有三列 4 2

的上下两数相同,也是恰有四列上下两数相同,有 P44 =24 种(只要排其中一行即可).故一共 有 144+24=168 种.选 C. 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分别为线段 DD1 , BD 的 中点. (1)求异面直线 EF 与 BC 所成的角; (2)求三棱锥 C ? B1 D1 F 的体积.
A1 E D1 B1 C1

D F A B

C

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 A, B, C 成等差数列. (1)若 AB ? BC ? ?3, 且 b ? 3 2 ,求 a ? c 的值; (2)若 M ?

??? ??? ? ?

2 sin C ,求 M 的取值范围. 1 sin A

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示, ABCD 是一个矩形花坛,其中 AB= 6 米,AD = 4 米.现将矩形花坛 ABCD 扩 建成一个更大的矩形花园 AMPN , 要求: 在 AM 上, 在 AN 上, B D 对角线 MN 过 C 点, 且 矩形 AMPN 的面积小于 150 平方米.
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(1) AN 长为 x 米, 设 矩形 AMPN 的面积为 S 平方米, 试用解析式将 S 表示成 x 的函数, 并写出该函数的定义域; (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求最小面积.
N P

D

C

A

B

M

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 给定椭圆 C: 的 “准圆” .已知椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴的一个端点到点 F 的距离为 3 . (1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程; (2)若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点, B, D 是椭圆 C 上的两相异点,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O、半径是 a2 ? b2 的圆为椭圆 C a 2 b2

??? ???? ? 且 BD ? x 轴,求 AB ? AD 的取值范围;
(3)在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 P ,过点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有 一个交点,试判断 l1 , l2 是否垂直?并说明理由.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 对于函数 y ? f ( x) 与常数 a , b ,若 f (2 x) ? af (x) ?b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数 f (x) 的

f ? 一个 “P 数对” ;若 f (2 x) ?a (x) b 恒成立, 则称 ( a, b) 为函数 f (x) 的一个 “类 P 数对” 设 .
函数 f (x) 的定义域为 R ? ,且 f (1) ? 3 . (1)若 (1,1) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (2n )(n? N*) ;

第 8 页 共 14 页

(2)若 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且当 x ?[1,2) 时 f ( x) ? k ? 2 x ? 3 ,求 f ( x) 在 区间 [1, 2n ) (n ? N*) 上的最大值与最小值; (3)若 f ( x) 是增函数,且 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对” ,试比较下列各组中两个 式子的大小,并说明理由. ①f (2? n ) 与 2 ? n +2 (n ? N*) ;②f ( x) 与 2 x ? 2 ( x ? (0,1]) .

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数学试卷(理科)参考答案
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内 直接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [2,3) ; 2.2; 3. 9. (??,1] ; 10.

1 4 ; 4.3; 5.36; 6. ; 2 7

7. ?1;

8.

9 ; 10

?
3



11.

16 1 ; 12. (1, ) ; 13. 3 ? 2 3 ; 14. (?7,0) . 5 1? a

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.A 16.D 17.B 18. C

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)连 BD1 ,由 E 、 F 分别为线段 DD1 、 BD 的中点, 可得 EF ∥ BD1 ,故 ?D1 BC 即为异面直线 EF 与 BC 所成的角. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,∵ BC ? 平面 CDD1C1 ,
A1

???????2 分
D1 B1 C1

CD1 ? 平面 CDD1C1 ,∴ BC ? CD1 , ?
在 Rt △ BCD1 中, BC ? 2 , CD1 ? 2 2 , ∴ tan ?D1BC ?

E

D F A B

C

D1C ? 2 ,∴ ?D1BC ? arctan 2 . BC

所以异面直线 EF 与 BC 所成的角为 arctan 2 .??? 6 分 (2)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,由 BB1 ? 平面 ABCD , CF ? 平面 ABCD , ? 可知 BB1 ? CF ,∵ CB ? CD , F 是 BD 中点, ∴ CF ? BD ,又 BB1 与 BD 相交,∴ CF ? 平面 BDD1 B1 , ??????????9 分 又 S?B1D1F ? 故 VC ? B1D1F

1 1 B1D1 ? BB1 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 2 , 2 2 1 1 4 ? S?B1D1F ? CF ? ? 2 2 ? 2 ? , 3 3 3
第 10 页 共 14 页

所以三棱锥 C ? B1 D1 F 的体积为

4 . 3

??????????????12 分

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)? A、B、C 成等差数列,∴ 2 B ? A ? C , 又 A ? B ? C ? ? ,∴ B ?

?
3



??????????2 分

??? ??? ? ? 2? 由 AB ? BC ? ?3 得, c ? a cos ? ?3 ,∴ ac ? 6

3



?????????4 分

又由余弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ∴ 18 ? a 2 ? c 2 ? ac ,∴ a 2 ? c 2 ? 24 由①、②得, a ? c ? 6 (2)由(1)得 B ?

?
3

,
② ?????????6 分

??????????????8 分 ,∴ A ? C ? ? ? B ?

?
3

2? 2? ,即 A ? ?C, 3 3
???????????10 分

故M ?

2 sin C 2? ? 2sin A ? sin C = 2sin( ? C ) ? sin C 1 sin A 3

3 1 cos C ? sin C ) ? sin C = 3 cosC , ??????????12 分 2 2 2? 2? 1 由 A? ,∴ ? ? cos C ? 1 , ? C ? 0 且 C ? 0 ,可得 0 ? C ? 3 3 2 ? 2(
即 M ? (?

3 3 , 3) ,∴ M 的取值范围为 ( ? , 3) . 2 2

??????????14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)由△NDC∽△NAM,可得 ∴

DN DC , ? NA AM

N

P

x?4 6 6x C ,即 AM ? ,????????3 分 ? D x AM x?4 6x2 故 S ? AN ? AM ? , ?????????5 分 x?4 A M B 2 6x ? 150 且 x ? 4 ,可得 x 2 ? 25 x ? 100 ? 0 ,解得 5 ? x ? 20 , 由S ? x?4 6x2 故所求函数的解析式为 S ? ,定义域为 (5,20) . ?????????????8 分 x?4
(2)令 x ? 4 ? t ,则由 x ? (5,20) ,可得 t ? (1,16) , 故S ?

6 x2 6(t ? 4) 2 16 ? ? 6(t ? ? 8) x?4 t t

??????????10 分

第 11 页 共 14 页

? 6(2 t ?

16 ? 8) ? 96 , t

??????????12 分

当且仅当 t ?

16 ,即 t ? 4 时 S ? 96 .又 4 ? (1,16) ,故当 t ? 4 时, S 取最小值 96. t

故当 AN 的长为 8 时,矩形 AMPN 的面积最小,最小面积为 96 平方米. ????14 分 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解: (1)由题意知 c ? 2 ,且 a ? b2 ? c2 ? 3 ,可得 b ? 1 , 故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,其“准圆”方程为 x2 ? y 2 ? 4 . 3

??????4 分

(2)由题意,可设 B(m, n), D(m, ?n) (? 3 ? m ? 3) ,则有 又 A 点坐标为 (2,0) ,故 AB ? (m ? 2, n), AD ? (m ? 2, ?n) ,

m2 ? n2 ? 1, 3

??? ?

????

??? ???? ? m2 ) 故 AB ? AD ? (m ? 2) 2 ? n 2 ? m 2 ? 4m ? 4 ? (1 ? 3

4 4 3 ? m2 ? 4m ? 3 ? (m ? )2 , 3 3 2
又 ? 3 ? m ? 3 ,故 (m ? )2 ?[0,7 ? 4 3) ,

??????????8 分

4 3

3 2

??? ???? ? 所以 AB ? AD 的取值范围是 [0,7 ? 4 3) .
(3)设 P( s, t ) ,则 s 2 ? t 2 ? 4 .

??????????10 分

当 s ? ? 3 时, t ? ? 1 ,则 l1 , l2 其中之一斜率不存在,另一斜率为 0,显然有 l1 ? l2 . 当 s ? ? 3 时,设过 P( s, t ) 且与椭圆有一个公共点的直线 l 的斜率为 k , 则 l 的方程为 y ? t ? k ( x ? s ) ,代入椭圆 C 方程可得

x2 ? 3[kx ? (t ? ks)2 ] ? 3 ,即 (3k 2 ? 1) x2 ? 6k (t ? ks) x ? 3(t ? ks)2 ? 3 ? 0 ,
由 ? ? 36k 2 (t ? ks)2 ? 4(3k 2 ? 1)[3(t ? ks)2 ? 3] ? 0 , 可得 (3 ? s 2 )k 2 ? 2stk ? 1 ? t 2 ? 0 ,其中 3 ? s 2 ? 0 , 设 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是上述方程的两个根,
第 12 页 共 14 页

??????????13 分

故 k1k 2 ?

1 ? t 2 1 ? (4 ? s 2 ) ? ? ?1 ,即 l1 ? l2 . 3 ? s2 3 ? s2
?? ??????????16 分

综上可知,对于椭圆 C 上的任意点 P ,都有 l1 ? l2 .

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 解: (1)由题意知 f (2 x) ? f ( x) ? 1 恒成立,令 x ? 2k (k ? N*) , 可得 f (2k ?1 ) ? f (2k ) ? 1 ,∴ { f (2k )} 是公差为 1 的等差数列, 故 f (2n ) ? f (20 ) ? n ,又 f (20 ) ? 3 ,故 f (2n ) ? n ? 3 . ????????????3 分 (2)当 x ?[1,2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | ,令 x ? 1 ,可得 f (1) ? k ? 1 ? 3 , 解得 k ? 4 ,即 x ?[1,2) 时, f ( x) ? 4? | 2 x ? 3 | , 故 f ( x) 在 [1, 2) 上的取值范围是 [3, 4] . 又 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,故 f (2 x) ? ?2 f ( x) 恒成立, 当 x ?[2k ?1 ,2k ) (k ? N*) 时, ?????????4 分

x 2
k ?1

?[1,2) ,
???????6 分

x x x f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? ? ? (?2)k ?1 f ( k ?1 ) , 2 4 2
故 k 为奇数时, f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [3 ? 2k ?1 ,2k ?1 ] ;

当 k 为偶数时, f ( x) 在 [2k ?1 ,2k ) 上的取值范围是 [?2k ?1 , ?3 ? 2k ?1 ] . ???????8 分 所以当 n ? 1 时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 4 ,最小值为 3; 当 n 为不小于 3 的奇数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2 n ?1 ,最小值为 ? 2 n ; 当 n 为不小于 2 的偶数时, f ( x) 在 [1, 2n ) 上的最大值为 2n ,最小值为 ?2 n?1 .???10 分 (3)由 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对” ,可知 f (2 x) ? 2 f ( x) ? 2 恒成立, 即 f ( x) ?

1 1 1 1 1 f (2 x) ? 1 恒成立,令 x ? k (k ? N*) ,可得 f ( k ) ? f ( k ?1 ) ? 1 , 2 2 2 2 2

即 f(

1 1 1 ) ? 2 ? [ f ( k ?1 ) ? 2] 对一切 k ? N * 恒成立, k 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ) ? 2 ? [ f ( n?1 ) ? 2] ? [ f ( n?2 ) ? 2] ? ? ? n [ f (1) ? 2] ? n , n 2 2 2 4 2 2 2

所以 f (

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故 f (2? n ) ? 2? n ? 2 (n ? N*) . 若 x ? (0,1] ,则必存在 n ? N * ,使得 x ? ( 由 f ( x) 是增函数,故 f ( x) ? f ( 又 2x ? 2 ? 2 ?

?????????????14 分

1 1 , ], 2n 2n?1

1 1 ) ? n?1 ? 2 , n ?1 2 2

1 1 ? 2 ? n?1 ? 2 ,故有 f ( x) ? 2 x ? 2 .?????????????18 分 n 2 2

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